Предельный переход в классе накрывающих отображений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физическая культура и спорт


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 988. 52
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В КЛАССЕ НАКРЫВАЮЩИХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
© Е.С. Жуковский
Ключевые слова: метрическое пространство- накрывающее относительно заданных множеств отображение- предел последовательности отображений.
А. В. Арутюновым получены условия, при которых равномерным пределом последовательности накрывающих отображений метрических пространств является накрывающее отображение. Здесь эти результаты распространяются на накрывающие относительно заданных подмножеств метрических пространств отображения.
Пусть (X, рх), (У, ру) — метрические пространства, предполагается, что пространство X полное. Обозначаем через Вх (и, г) — замкнутый шар пространства X с центром в и € X радиуса г & gt- 0. Аналогично обозначаем замкнутый шар пространства У. Пусть
заданы число, а & gt- 0 и множества и С X, Ш С У.
Определение 1 [1]. Отображение Е: X ^ У называется, а -накрывающим относительно множеств и, Ш, если для любых таких и € и, г & gt- 0, что Вх (и, г) С
и, имеет место включение Ву (Е (и), аг) Р| Ш С Е (Вх (и, г)). Если и = X, Ш = У, то
отображение Е: X ^ У называется, а -накрывающим.
Определение 2 [2]. Отображение Е: X ^ У называется условно, а -накрывающим относительно множеств и С X, Ш С У, если оно является, а -накрывающим относительно множеств и и Ш (и). Если и = X, Ш = У, то отображение
Е: X ^ У называется условно, а -накрывающим.
В работе исследуется вопрос, сохраняется ли свойство накрывания относительно множеств при сходимости отображений. Отметим, что для «безотносительно» накрывающих (т. е. относительно пространств X, У) отображений соответствующий результат получен в [3, теорема 3]. Здесь мы сформулируем аналог этого утверждения.
Для произвольного множества Ш С У и любого 5 & gt- 0 через Ву (Ш, 5) = и Ву (у, 5)
у& amp-Ш
обозначим 5 -раздутие множества Ш.
Теорема. Пусть заданы отображения: X ^ У, г = 1, 2,… Предположим, что существуют: шар и = Вх (зд, Е) радиуса 0 & lt- Е & lt- то, множество Ш С У, положительные числа а, 5, такие что при любом натуральном г каждое отображение ^ является, а -накрывающим относительно шара и и 5 -раздутия Ву (Ш, 5) множества Ш. Если при г ^ то последовательностиь {^} равномерно на каждом ограниченном множестве
и С и сходится, т. е. вир ру (^(ж), Е (ж)) ^ 0, и предельное отображение Е: X ^ У
ж€Я
замкнуто, то при любом е & gt- 0 отображение Е: X ^ У является а-е -накрывающим относительно шара и и множества Ш.
1666
Отметим, что в формулировке данной теоремы нельзя «избавиться» от е и принять константу накрывания оператора Е равной (а не меньшей) а. Соответствующий пример для «безотносительно» накрывающих отображений (накрывающих относительно пространств X и У) приведен в работе [3]. Нельзя также заменить требование накрывания отображений Ег более «слабым» предположением условного накрывания.
Пример 1. При каждом натуральном г определим периодическую с периодом 2-г+1 функцию (см. рис. 1):
ж, при ж € [0, 2-г],
Fi (x) 1 -x, при x € [-2 г, 0).
Рис. 1. Графики функций Fj (x)
При любом натуральном г отображение: М ^ М условно 1 -накрывающее (относительно пространств X = М и У = М). Последовательность {Ег} равномерно сходится к функции? (ж) = 0, конечно, не являющейся условно накрывающей.
В завершение приведем пример, показывающий, что утверждение теоремы будет неверным, если отображения Ег является, а -накрывающим относительно шара и и множества Ш, а не его 5 -раздутия Ву (Ш, 5).
Пример 2. Пусть X = [0, 2], У = М,
Fi (x) =
(i 1+1)x, если x € [0,1], i-1+1, если x € (1, 2].
При любом натуральном г отображение Ег: [0,2] ^ М является 1 -накрывающим относительно всего пространства X = [0,2] и множества Ш = [0,1], но не обладает таким свойством относительно 5 -раздутия Ву (Ш, 5) множества Ш. Последовательность {Ег} равномерно сходится к
ж, если ж € [0,1],
1, если ж € (1, 2].
F (x) =
Предельное отображение Е: X ^ У уже не является, а -накрывающим (и условно, а -накрывающим) относительно X и множества Ш ни при каком положительном а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arutyunov A., Avakov E., Gel’man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009.
2. Арутюнов А. В., Аваков Е. Р., Жуковский Е. С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. № 5. С. 613−634.
3. Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 163−169.
1667
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901−97 503) — АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009−2010 годы)» (проект № 2.1. 1/1131) — ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009−2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14. 740. 11. 0349, № 14. 740. 11. 0682) — темплана 1.5. 10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Zhukovskiy E.S. Passage to the limit in a class of covering mappings.
A.V. Arutyunov has received the conditions under which the uniform limit of a sequence of covering mappings of metric spaces is a covering mapping. These results we extend to mappings which are covering with respect to given subsets of some metric space.
Key words: metric space- mapping covering with respect to given sets- limit of a sequence of mappings.
1668

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой