Обратная задача акустики и ее сведение к операторному виду

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 988. 68
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АКУСТИКИ И ЕЕ СВЕДЕНИЕ К ОПЕРАТОРНОМУ ВИДУ
Тюлепбердинова Г. А., Адилжанова С. А.
РГП «Казахский национальный университет им. Аль-Фараби», Алматы, e-mail: tyulepberdinova@mail. ru
В этой статье рассматривается динамическая обратная задача для уравнения акустики. Для исследования свойства оператора производной Фреше и сопряженного к нему оператора сведем дифференциальную постановку обратной задачи акустики к операторному виду В обратной задачу введем новую переменную и получаем обратную задачу в которой по дополнительной информации надо найти решение и акустическую жесткость среды. А еще, обратную задачу можно будет свести к системе нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа, для которой можно будет получить серию результатов, включая теоремы о корректности и о сходимости метода итераций Ландвебера. Дальше уравнения образует систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. И дальше сведем обратную задачу для уравнения акустики к операторому виду.
Ключевые слова: обратная задача, уравнение акустики, производная Фреше, сопряженный оператор, уравнение Вольтерра, акустическая жесткость, метод итераций Ландвебера
INVERSE ACOUSTIK PROBLEM AND ITS REDUCTION TO AN OPERATOR MEAN
Tyulepberdinova G.A., Adilzhanova S.A.
Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, e-mail: tyulepberdinova@mail. ru
In this article the dynamic return task for acoustics equation is considered. For research of property of the operator derivative Frechet and the operator interfaced to it we will reduce differential statement of the return problem of acoustics to an operator look. In the return a task we will enter a new variable and we receive the return task in which according to additional information it is necessary to find the solution and acoustic rigidity of the environment. And still, the return task can be reduced to system of the nonlinear integrated equations of Voltairian type for which it will be possible to receive a series of results, including theorems of a correctness and of convergence of a method of iterations of Landveber. Further the equation forms system of the nonlinear integrated equations of Voltaire of the second sort. We will reduce the return task for acoustics equation to an operatornm to a look further.
Keywords: the return task, acoustics equation, derivative Frechet, the interfaced operator, Voltaire'-s equation, acoustic rigidity, a method of iterations of Landveber
В статье рассматривается обратная за- «("л р (z) /1Ч
^ ^ ^ ным c (z) и Прямая задача (1)-(3)
дача акустики в случае сосредоточенного ^ v/"v/
ЛЛ корректна, подробнее исследование этой за-
источника. Исходная задача сводится к си- ^ '- ^ ^
«» дачи можно найтн в работах 13, 41. стеме нелинейных интегральных уравнений
Вольтерра второго рода. Для этого с начало Материалы и методы исследования
рассмотрим обратную задачу акустики [1, 2] «. «
r r В обратной задаче (1)-(4) по дополнительной ин-
1 р'-(z) формации (4) надо найтн либо c (z), либо p (z), либо
V tt = Vzz -- Vz, z & gt- 0, t & gt- 0, (1) некоторую их комбинацию. Покажем, что одновре-
I / tt zz (ч z& gt- -5-'- -5 nwvuiu^iv iwiu^miu^uv. iiwiiumwn, nw
(z) p (z) менно отыскать функции c (z) и p (z) в одномерной
v It& lt-0 — 0, z & gt- 0, (2)
V lz=0 =o (t), t & gt- 0, (3)
постановке невозможно, но их произведение можно найти.
Введем новую переменную
dz
x = I
ф^и-
4+0, г) = е (г), г & gt- о, (4) ^ с (г)
где р (г) & gt- 0 — плотностъ среДы- с (г) & gt- 0 — Шсюлысу с (г) ж^ща^^ то дм ф (г) су-
скорость распространения воЛн в среде. ществУет обРатная функция У (г) такая, что
Прямая (обобщенная начально-краевая) (()) —
задача (1)-(3) заключается в определении т^Ф^)) ~
акустического давления К г, г) по извест- °б°значим
и (х, г) — у (у (х), г), а (х) — с (у (х)), Ъ (х) — р (у (х)).
Запишем обратную задачу (1)-(4) в переменных и | = о х & gt- 0
(х, г), обозначая с (+0) -у '-& lt-0
и» — ихх — (а'-/ а + Ъ'-/ Ъ) их, х & gt- 0, г & gt- 0, их (+0, г)-у5(/), г & gt- 0, и (+0, г) — я (г), г & gt- 0.
¦ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ¦
31
Обозначая ст (x) = a (x)b (x) и учитывая, что a'-/ a + b'-/ b = (ln a)'-+ (ln b)'- = (ln (ab))'- = (ln ст)'- = ст'-/ ст, получим обратную задачу
о ст'-(X)
utt = u — 2-u
ст (x)
x & gt- 0, t & gt- 0,
0, x & gt- 0,
?x (+0, t) = y5(t), t & gt- 0,
u (+0, t) = g (t), t & gt- 0.
(5)
(6)
(7)
(8)
в которой по дополнительной информации (8) надо найти решение и (х, Г) и акустическую жесткость среды ст (х) & gt- 0, х & gt- 0, сте Н1 [0, да).
Нетрудно показать, что решение прямой задачи (5)-(7) имеет вид
и (X, Г) = х)0(Г — х) + и (X, Г), (9)
где й (х, Г) — непрерывная при х & gt- 0 и достаточно гладкая при Г & gt- х & gt- 0 функция, х) = -^ст (х) / ст (+0), 0 — тэта-функция Хевисайда.
Подставляя (9) в систему (5)-(8), получим эквивалентную обратную задачу относительно и (х, Г) и •?(х)
, s'-(x)
u» = и — 2-u.
, t & gt- x & gt- 0 — t & gt- 0,
s (x)
*x lx=0
u (x, x + 0) = s (x), x & gt- 0
u lx=+0 = g (t), t & gt- 0.
(5'-) (6'-) (7'-)
(8'-)
личие от прямой задачи (1)-(3), не имеет сингулярных составляющих. Во-вторых, в обратной задаче (5'-)-(8'-) не два, а один неизвестный коэффициент s (x). Поэтому после доказательства локальной теоремы существования решения этой задачи станет ясно, что решение исходной обратной задачи (1)-(4) не является единственным, поскольку для одной функции ст (x) = c (y (x)) р (у (x)) можно подобрать бесконечно много пар функций c (y (x)) = Cc (y (x), p (у (x)) = C-1 p (y (x), C = const, удовлетворяющих исходной обратной задаче. В-третьих, обратную задачу (5'-)-(8'-) оказывается возможным свести к системе нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа, для которой получена серия результатов, включая теоремы о корректности и о сходимости метода итераций Ландвебера.
Сведение обратной задачи акустики к операторному виду. Сформулируем обратную задачу акустики в операторном виде, при этом оставим все обозначения принятые в работе [3].
Обозначим
q1(x, t) = ux (x, t),
*(x)=-
s (x) Y V ст (x)
1 p (+0)c (+0)
y vpO (x))cO (x))'-
q3(x) = 2 iM = = c'-(y (x)) + c (y (x)).
s (x) ст (x) Отметим, что поскольку
p (y (x))
q2(x):
*'- (x): s 2(x)
¦2 q3(x)q2(x),
?2(х) = - & quot--2 }. (I0)
Y 2 0
Используем формулу Даламбера для представления решения задачи Коши (5'-), (6'-), (8'-)
s (+0) = -у,
Обратная задача (5'-)-(8'-) предпочтительнее первоначальной постановки (1)-(4) по нескольким причинам. Во-первых, прямая задача (5'-)-(7'-), в от-
1 1 x t+x-$
u (x, t) = -[-q (t — x) + q (t + x)] + - J J q3(5)q5, x) dxd 5,
и дифференцируем (11) по x
0 t-x+5
(11)
ux (x, t) = q1 (x, t) = - [-q'- (t — x) + q '-(t + x)] + 2 Jqs (^)[q1(^, t + x-5) + ^(5,t — x + 5)]d5.
(12)
Положим в (11) по t = x + 0
1 1 x 2x4
s (x) = - [q (+0) + q (2x)] + 2 J J q3(5)?1(5, T) dт d5,
s,(x) = q1(2 x)+J qз (|)q1(5,2 x — 5) d 5 = 2 qз (x)s (x). 0 2
Умножив почленно на (10), получаем
q3(x)=
1 -1
Y
J q3 (5)q2 (5)d 5 2q '-(2 x) + 2 J q3 (5)fc (5,2 x — 5) d 5
(13)
то
МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЖУРНАЛ ПРИКЛАДНЫХ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ № 2, 2015
Уравнения (12), (10), (13) образуют систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Решение этой системы будем искать в классе q е L2(l) таком, что q (е L2 (Д^)) и функции q2, q3 е L2 (0, l). Здесь
Д^): ={(х, t) е R2 :0 & lt- х & lt- t & lt- 2/ - х}, l & gt- 0.
Заметим, что если решение задачи (12), (10), (13) существует и
u еL2(Д (/))nC2(Д (/)), s е C ((0,l), g е C2(0,2l),
то по формуле х) = (ст (+0)/у2)s2(х) мы можем найти решение обратной задачи (5'-)-(7'-), при условии, что а (+0) известно.
Результаты исследования и их обсуждение
Исследовать обратную задачу для уравнения акустики (5)-(8) будем в операторной форме
где, в соответствии с (12), (10), (13), Aq := q + Bq,
q (хt) = q q2, qs) T,
qx (х, t) = ux (х, t), q2(х) =
(15)
(16)
s (х)
q3(х) = 2
s'-(х)
Aq = f,
(14)
s (х)
f (х, t) = f f2, f) T, fi (х, t) = [ g '-(t + х) — g '-(t — х)]/ 2,
f2 =- 1, f3(х) = - ^M,
Y y
Bq = (Bq, B2 q, B3q) T,
(17)
(18)
Bq = -2 j^G)fe?, t + х-?) + q (E, t — х + ^)]d 2 0
B2 q = 2 E,
20
B3 q = 2B2 q [ g '-(2х) + B4 q ] + (2/ Y) B4 q,
х
B4 q = J q3(^)qi (^, 2×4)d1
0 qi (х, t) е /2(Д (/)), qk (х) е L2(0, l), k = 2,3,
Заметим что если |u (х, t), s (х)} - ре- где Д (/) = r («) е R2: 0 & lt- х & lt- & lt- 2l — х} ше задачи (5'-)-(8'-), то вектор-функция где Д (/) = 1(х, t) е R 0 & lt- х & lt- t & lt- х/.
Ч (х, г), построенная по формуле (16), является решением задачи Ац — /.
Введем обозначение прямого произведения пространств Ь2 (Д (/)) и ^ (0, /). Будем говорить, что элемент ц (х, г) — (ц1, ц2, ц3) г, принадлежит пространству ?2(/), если
шение
Введем в пространстве L2 (l) скалярное произведение
3 l
(q (1), ^ (l) =-Ц ql (1)(х, t) qi2)(х, t) dхdt +? J qk1)(х) q^^d
Д (l)
k=2 0
и согласованную с ним норму
q
L2(l)
:= (q, ^2(l)=1 qi
l|2 Il l|2
lll2(Д (/))
k=2
L2(0,l) •
(19)
(20)
Заключение, выводы. В статье рассмо- a one-dimentional inverse acoustic problem // J. Inv. Ill-Posed трена обратная задача акустики в случае со- Problems. — 2001 — VoL 9, № 3. — P 249−267 средоточенного источника. Исходная задача тт 2. Кабанихин С И Бектемесов м.А., Нурсеитова А. т
Итерационные методы решения обратных и некорректных сведена к системе нелинейныХ интеграль- задач с данными на части границы. — Алматы: Международных уравнений Вольтерра второго рода. ный фонд обратных задач, 2006. — 432 c. Получена операторная форма обратной за- 3. Тюлепбердинова Г. А. Сходимость метода наискорей-
дачи для исследования свойства оператора шего спуска в дискретной обратной задаче для уравнения производной Фреше и сопряженного к нему акустики // Материалы международной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы математики,
оператора.
Список литературы
1. Kabanikhin S.I., Iskakov К.Т., Yamamoto М. Ht-
механики и информатики». — Караганда: КарГУ, 2010. -№ 6. — С. 165−166
4. Романов В. Г. Обратные задачи математической физи-
conditional stability with explicit Lipschitz constant for ки. — М.: Наука, 1984. — 264 c.
1

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой