Обратные тригонометрические функции в школьном курсе алгебры и начал анализа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
© 2012 Камаева С. Ц.
Дагестанский государственный педагогический университет
Изложены составление обратной функции по отношению к данной и построение их графиков как один из вариантов изучения темы «Обратные тригонометрические функции» в общеобразовательных учреждениях.
The author of the article states making the arc function in relation to the given one and constructing their graphics as a way of studying the «Arc trigonometric functions «topic.
Ключевые слова: обратная тригонометрическая функция, многозначная функция, график функции, доказательство.
Keywords: arc trigonometric function, multiple-valued function, function graph, proving.
В шестидесятые годы прошлого века из перечня предметов школьного образования была изъята
«Тригонометрия» — один из предметов математического цикла школьного образования. С тех пор
тригонометрический материал включен в программы геометрии и алгебры. В ходе анализа программ по математике для общеобразовательных учреждений, рекомендованных Министерством
образования Российской Федерации в последние 20 лет, мы обнаружили, что тема «Обратные тригонометрические функции» в программах
общеобразовательных школ вообще не значится. Только в классах и школах с углубленным изучением математики на изучение этой темы отводится 2−4 часа. Но в заданиях ЕГЭ встречаются примеры, содержащие обратные тригонометрические функции, а сдают ЕГЭ все выпускники
общеобразовательных учреждений.
При решении уравнений и неравенств, содержащих
тригонометрические функции, учащиеся приходят к понятию arccos, arctg, arcctg, поэтому изучение обратных
тригонометрических функций в школьном курсе алгебры и начал
анализа вполне актуально. Мы в своей практической деятельности учли это противоречие и изыскиваем
возможности выделить 4−6 часов на изучение темы «Обратные
тригонометрические функции».
Целесообразно это делать после
изучения темы «Обратная функция» и построения графика обратной функции.
В статье изложен один из возможных вариантов рассмотрения темы «Обратные тригонометрические
функции» в общеобразовательных учреждениях.
Функция у = атс8тх При изучении функции y=sinx было установлено, что:
1) каждому углу, а из промежутка от
ж ж ж ж
— - до + -: — - & lt-а<- - соответствует
одно из определенных значений sinа, и это значение sinа по абсолютной величине меньше или равно единице-
2) двум любым различным значениям
угла, а из этого промежутка соответствует два различных значения smа^- это следует из того, что на
указанном промежутке значения, а функция sinа — возрастающая-
3) каково бы ни было число у, по
абсолютной величине меньшее единицы,
существует, и притом только один, угол
ж ж
а из указанного промежутка: — - & lt-а<- -,
синус которого равен у: $іпа=у.
Определение. Арксинусом числа у (arcsiny) называется угол, а из
промежутка
Л Л 2' 2
Л Л
----& lt-а<- -
2 2
синус которого равен у:
sina=y. (1)
Из сказанного следует, что любому
числу у (аргументу), по абсолютной
величине меньшему или равному
единице, всегда соответствует, и притом
только одно, значение arcsiny (функция).
Таким образом, имеем равенство
a=arcsiny, (2)
которое читается так: «а равно арксинус у».
Равенства (1) и (2) по-разному
выражают одну и ту же зависимость.
Приведенное определение можно кратко
записать так: arcsin (sina)=a (если
л л ч
---& lt-а<--).
2 2
Из этого же определения следует и такое тождество sin (arcsiny)=y.
Примеры:
.1 л. л 1
1. arcsm- = -, так как sm — = - и
2 6 6 2
ллл
---& lt- - & lt- -
2 6 2'-
т ¦ л/2 л ¦ л 42
2. arcsm-- = -, так как sm — =---- и
2 4 4 2
ллл
---& lt- - & lt- -
2 4 2'-
_. 43 л .л 43
3. arcsm----= -, так как sin — = - и
2 3 3 2
ллл
---& lt- - & lt- -
2 3 2'-
л л л л
4. arcsm1=-, так как sm -=1 и — не
2 2 2
выходит за границу промежутка
Л Л
2 ' 2
-. (1 1 Л
5. arcsm I — I =-------так как
2
6
(Л 1 1 Л Л Л
sin I------------I = - и----------------------& lt- - & lt- -.
I 6 J 2 2 6 2
6. arcsin —
421 л
=-----, так как
4
2
J
(л1 ЛЛЛ
sin I-I =--и----& lt- - & lt- -
I 4 J 2 2 4 2
7. arcsin —
2
J
(л1 S
sin I-------I =-----------
I 3 J 2
ЛЛЛ
и--& lt- - & lt- -.
2 3 2
ЛЛ
8. arcsin (-1)=-, так как sin (-)=-1 и
22
Л
не выходит за границу сегмента
ЛЛ
2 2
Функция arccosx
При изучении функции y=cosx было установлено, что:
1) каждому углу, а из промежутка [0- п]: 0& lt-а<-л соответствует одно определенное значение cosа, и это значение cosа по абсолютной величине меньше или равно единице-
2) двум любым различным значениям угла, а из промежутка [0- п] соответствуют два различных значения cosа^- это следует из того, что в промежутке [0- п] функция cosа -убывающая-
3) каково бы ни было число х, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол, а из промежутка 0& lt-а<-п, косинус которого равен х: cosа=x.
Определение. Арккосинусом числа x (arccosx) называется угол, а из промежутка [0- п]: 0& lt-а<-п, косинус
которого равен х: cosа=x.
Из сказанного следует, что любому числу х (аргументу), по абсолютной величине меньшему единицы, всегда соответствует, и притом только одно, значение arccosx (функция).
Равенство a=arccosx читается так: «а равно arccosx».
Примеры:
2
1 ж ж 1
1. arccos — = -, так как cos — = - и
2 3 3 2
ж
0& lt- - & lt-п.
3
42 ж
2. arccos-----= -, так как
2 4
ж 42 «ж
cos — =--------- и 0& lt- - & lt-п.
4 2 4
«43 ж ж 43
3. arccos---= -, так как cos — =-
2 6 6 2
ж
и 0& lt- - & lt-п.
6
ж ж
4. arccos 0 = -, так как cos- = 0 и
2 2
ж
0& lt- - & lt-п.
2
Г 11 2ж
5. arccos I---I =-------, так как
I 2) 3
2ж 1 2ж
cos----=-------и 0& lt-------<-п.
3 2 3
6. arccos
л/2
2
Л
Зж
4
V «У
Зж 42 Зж
cos — =-------------и 0& lt- - & lt-п.
4 2 4
^ л/3 ^ 5ж
7. arccos
2
6
так как
V «У
5ж 43 п 5ж
cos — =----------и 0& lt- - & lt-п.
6 2 6
8. arccos (- 1)=п, так как cosn=-1 и
пе [0-п].
Функция y = arctgx
При изучении функции у = tgx было
установлено, что:
14 (ж жЛ
1) каждому углу ае- -I:
ж ж
----& lt-а<- -
2 2
соответствует одно
определенное значение tgа-
2) двум любым различным значениям угла из этого промежутка соответствуют два различных значения tgа, так как на
этом промежутке функция tgа —
возрастающая-
3) каково бы ни было число а, существует, и притом только один, угол
г ж ж
а из промежутка [ - - - - ], тангенс
которого равен а.
Определение. Арктангенсом числа а (arctgа) называется угол, а из
ж ж
промежутка [ - - - - ]: тангенс которого равен а.
Из сказанного следует, что любому числу, а — аргументу, всегда
соответствует, и притом только одно, значение arctgа — функция.
Примеры:
1 ж ж 1
1. arctg--= = -, так как tg- = -^ и
%/з 6 6 43
жжж
— & lt--
2 6 2'-
2. arctg43 = -, так как tg — = 43
3 3
жжж
-----& lt- -
2 3 2'-
1 ж ж л
3. arctgl = -, так как tg- = 1 и
4 4
жжж
-----
2 4 2'-
4. arctg 0=0, так как tg0=0 и
жж
-----& lt-0<- -.
22
/ 1 N ж
5. arctg (--=) =--, так как
43 6
, ж 1 ж ж ж
, g («в) = -Тз и ^& lt- 16. arctg (~43) = - -, так как
, ж, пт ж ж ж
tg (-) = -V 3 и----& lt- - & lt- -.
3 2 3 2
7. arctg (-1) = - -, так как
, жч ж ж ж
tg (--) = -1 и------& lt- - & lt--.
4 2 4 2
Функция y = arcctgx
и
При исследовании функции y = ctgx было установлено, что:
1) каждому углу, а из промежутка от 0 до п (0& lt-а<-п) соответствует одно определенное значение ctga-
2) двум любым различным значениям, а из этого промежутка соответствуют два различных значения ctga — это следует из того, что в промежутке (0- п) функция ctga — убывающая-
3) каково бы ни было число b, существует, и притом только один, угол из промежутка (0- п), котангенс которого равен b: ctga=b.
Определение. Арккотангенсом числа b (arcctgb) называется угол, а из
промежутка (0- п): (0& lt-а<-п), котангенс которого равен b.
Из сказанного следует, что любому числу b (аргументу) всегда соответствует, и притом только одно, значение arcctgb (функция).
Примеры:
жж
1. arcctg1= -, так как ctg -=1 и
44
ж
(0& lt- - & lt-п).
4
2. arcctg43 = -, так как ctg — = V3 и
66
ж
(0& lt- - & lt-п).
6
1 ж ж 1
3. arcctg-j= = -, так как ctg-=-?= и
л/э Г s3 V3
ж
(0& lt-у<-л).
. 1, 3ж 3ж
4. arcctg (-1)= -, так как ctg — =-1 и
4 4

(0& lt- - & lt-п).
4
1 2ж 2ж
5. arcctg (-?=)=--, так как ctg-=-
S 3 3
1 2ж
-j= и (0& lt-----<-п).
¦S 3 '-
6. arcctg (-43)= -, так как ctg- = V3
6 6

и (0& lt- - & lt-п).
6
В дальнейшем целесообразно придерживаться общепринятых
обозначений — аргумент обозначается через х, а значение массой функции через у. Таким образом, у = arcsinx будет обратной функцией по отношению к функции у = sinx. Аналогично — у = arccosx — обратная функция по
отношению к функции у = cosx- у = arctgx — это обратная функция по отношению к функции у = tgx и у = arcctgx — обратная функция по
отношению к функции у = ctgx.
Основные тождества про обратные тригонометрические функции
Приведем доказательства двух тождеств, которыми будем часто
пользоваться в дальнейшем при решении уравнений и неравенств.
Теорема 1. Каково бы ни было число х по абсолютной величине меньшее или равное единице, имеем: ж
arcsinx+arccosx= -.
2
ж
Доказательство arcsinx+arccosx= -
2
Пусть arcsinx=а. (1)
Из этого равенства на основании определения, приведенного выше, имеем:
ж ж
sina=x и-----& lt-а<- -
2 2
Но cos | ж — ,
а I =sina=x,
(2)
(3)
ж ж ж
а так как--& lt-а<- -, то 0& lt---а<-п. (4)
2 2 2
Из соотношений (3) и (4) следует, что
ж
arccosx=-----а.
2
(5)
Складывая почленно (1) и (5),
ж
получим: arcsmx+arccosx= -, что и
требовалось доказать.
Теорема 2. Каково бы ни было число х, имеет место тождество: ж
arctgx+arcctgx= -.
Доказательство Пусть arcctgx=a.
жж
Тогда имеем tga=x и------& lt-а<- -. Но
22
ctg I ж — а I также равен x, так как
1 2
ctg — а J =tga. Из неравенств
ж ж ж
----& lt-а<-- следует: 0& lt---а<-п, а так как
2 2 2
ж
тангенс угла & quot-^"--а равен x, то по
приведенному выше определению ж
имеем: arcctgx=--а.
(7)
Складывая равенства (6) и (7), ж
получим arctgx+arcctgx= -.
Эти тождества можно было бы доказать иначе.
Докажем тождество arcsinx+ ж
arccosx=
2
Сначала вычислим синус левой части этого равенства, для чего воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: sin (a+?)=sina-cos?+cosasin?.
Имеем
sin (arcsin x + arccos x) = = sin (arcsin x) • cos (arccosx) + + cos (arcsin x) • sin (arccos x) = = x • x + л/1 — x • 41 — x = x +1 — x = 1, при этом учли, что
cos а
sin а, тогда
cos (arcsin x) =
-y/l — sin2 (arcsin x) = Vl — x& quot-
sin (arccos x) =
¦Jl — cos2 (arccosx) = Vl
= V1 — х.
Но из одного того факта, что sin (arcsinx+arccosx) = 1, еще не можем
ж
заключить, что arcsinx+arccosx= -, так
2
как существует бесконечное множество различных углов, синус которых равен 1.
Чтобы удостовериться в том, что сумма
ж
arcsinx+arccosx равняется именно -,
п п
---& lt-arcsinx<--.
2 2
необходимо найти границы этой суммы. По определению
Складывая эти неравенства, получим:
ж 3ж
----& lt-агсніпх+агссо8х<- -. Но среди
2 2
чисел, больших или равных — - и

меньших или равных, имеется лишь
ж 1 одно число -, синус которого равен 1.
«ж
Поэтому агс8іпх+агссо$х= -,
что и требовалось доказать. Аналогично докажем и тождество
ж
arctgx+arcctgx= -.
Воспользовавшись формулой
тангенса суммы двух углов:
tg (а + р) =------------, сначала
1- ^а¦
вычислим тангенс левой части доказываемого равенства
tg (arctgx+ аге^Х) = tg (arctgХ) + tg (аге^Х) 1 — tg (аг^Х) ¦ tg (аге^Х) 1
x + -
l — x •
l
= да.
х
Но из одного того факта, что tg (arctgx+arcctgx) не существует, еще нельзя заключить, что arctgx+ ж
arcctgx= -, так как существует
бесконечное множество различных углов, тангенс которых не существует. Чтобы убедиться в том, что сумма
ж
arctgx+arcctgx равна именно -,
необходимо найти границы этой суммы. По определениям, приведенным выше,
x
а
жж
— - & lt-arctgx<-- и 0& lt-arcctgx<-ж.
Складывая эти неравенства, получим
ж 3ж
— - & lt-arctgx+arcctgx<-. Но среди
ж Зж
чисел больших-------и меньших -,
2 2
ж
имеется лишь одно число -, тангенс
2
которого не существует. Поэтому arctgx+arcctgx= -, что и требовалось доказать.
Примеры с обратными
тригонометрическими функциями 1. Вычислить sin (arccosx).
Так как 0& lt-arccos<-п, то sin (arccosx)& gt-0. Поэтому, пользуясь формулой
sinа= + 41 — соб2 а, получим, что
Бт (агссоБ х) = 1 — соБ2(агссоБх) =
=VT-x2.
2. Вычислить cos (arcsinx).
лл
Так как----& lt-arcsin<- -, то
22
cos (arcsinx)& gt-0. Поэтому, пользуясь
формулой cosa= + 41 — sin2 а, получим
cos (arcsin x) = +д/1 — sin2 (arcsin x) =
= V1 — x2.
3. Вычислить tg (arcctgx).
Так как 0& lt-arcctgx<-n, то
tg (arcctgx) e R. Пользуясь формулой
1
tga =------, получим, что
ctga
tg (arcctgx) =
1
1
ctg (arcctgx) x 4. Упростить выражение tg (arcsinx).
sin а
Пользуясь формулой tga =
cosa
получим, что tg (arcsin x) =
sin (arcsin x) _ x
cos (arcsin x) 41 — x2
5. Упростить выражение sin (arctgx).
л
Пусть x& gt-0, тогда 0& lt-arctgx<- -.
Пользуясь формулой tga
sin, а = +
Vi
, получим, что
+ tg, а tg (arctgx)
¦ = ±
Бт (arctgX) = +¦ -----------= + -------
д/1 + tg 2(arctgX) л/1 + х2
Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, sin (arctgx)& gt-0, так как при ж
х& gt-0 0& lt-ог^х<- -. Правая часть будет
положительным числом или нулем, если из двух знаков, стоящих перед ней, выбрать только знак плюс (по условию х& gt-0). Итак, окончательно имеем
sin (arctgx) =
лЯ
+ x
Пусть
теперь
x& lt-0.
Тогда
л
— - & lt-arctgx<-0.
Имеем: sin (arctgx) = ±
tg (arctgx)
¦ = ±
д/Г+tg2(arctgX) ¦Л+х2
Но из этих двух знаков годным является только знак плюс, потому что sin (arctgx)& lt-0, так как при х& lt-0 будет ж
— - ^г^х& lt-0.
Правая же часть будет отрицательным числом лишь тогда, когда из двух знаков, стоящих перед дробью, выберем только плюс (по условию х& lt- 0). Итак, при х& lt-0 формула имеет тот же знак, как при х& gt-0, то есть
sin (arctgx)=±. Таким образом,
+ x
равенство
sin (arctgx) —
x
лЯ
справедливо при всяком значении x.
/ •
6. Вычислить tg2 arcsin —
Решение.
x
43
Обозначим угол (дугу) arcsin---
2
и ^
через а. Имеем a=arcsm, тогда
43 43
sina=sin (arcsin-) — sin а-. Так как
22
ж
тогда а= -.
3
ж
sina& gt-0, то 0& lt-а<--,
2
Следовательно,
. 43. «ж 2ж /-
g 2(arcsin-) = tg2-tg- = -43.
7. Вычислить sin
Решение.
2 arccosI — -
Обозначим arccos I — - I =а, тогда
cosa= |-^J и 0& lt-а<-п. Теперь требуется найти sin2x, но sin2a=2sinacosa.
Находим sina: sina=
Значение sina взято положительным, так
Г 3 J «
как arccos I — - I — угол второй четверти.
Итак:
sin
2 arccos — -
= sin 2а =
о 4 (3 J 24
= 2sin а¦ cosa = 2 — I — I =------------.
5 L 5) 25
8. Вычислить
cos
¦ -12 R
arcsm-------+ arcctgl 3
2
42
Решение. Положим arcsin--------= a ,
2
откуда, а = Ж- и arcctg 43 = ?, откуда
ж
? = -. Следовательно, 6
cos
arcsin + arcctg 43
/
(ж ж Л (_ 3ж = 2ж Л
= cos 21 -I- I = cosl 2-------I =
V 4 6 У V 12 У
5ж 43
= cos- =-------.
62
9. Вычислить tg (arctg — + arctg -). Решение.
Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
tga + tgP
tg (a + ?) =
Имеем:
1 + tga¦ tg?
1 1J
tg | arctg — + arcctg — I =
tg | arctg 1J + tg (arcctg 1
1 — tg | arctg 1 V tg (arcctg 1
11
--1-
2__3
1+
= 1.
10. Доказать справедливость равенства
, 1, 1, 1, 1 ж
arctg -+ arctg — + arctg -+ arctg — = -. 4 5 7 84
Доказательство.
Сначала вычислим тангенс суммы
левой части:
1 1 1 1ч
tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg -) =
= tg
1 1 J (1 1
arctg — + arctg — I + I arctg — + arctg —
^ | сг^ 1 + сг^ 1 j + ^ (сг^ 1 + сг^ 1, (1 П (1 1
1- ^ I — I • /? I — -
Для краткости записей вычислим значение тангенсов, участвующих в записи дроби:
2
2
tg I arctg 1 + arctg 1 j =
tg I arctg 11 + tg ^ arctg 1 1 — tg I arctg 1 j — tg I arctg 1
1 1 8
---------1- --------------
3 5 _ 1S
1 —
84
11 14 14 і
з s
1S
Найдем также, что
1 1 3
tg (arctg — + arctg -) = -.
7 8 11
Теперь
1111, tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg-):
4 _ 7 44 = 65 = 1
Ц 65.
7'- 44
Заметим, что
_ 1 л
0 & lt- arctg — & lt- -
3 4 •
1 —
_ 1 л
0 & lt- arctg — & lt- -
5 4 •
1 л '
0 & lt- arctg — & lt- -
7 4 •
1 л- '
0 & lt- arctg — & lt- -
8 4.
Складывая эти неравенства, получим:
1111 0 & lt- arctg — + arctg — + arctg — + arctg — & lt- л.
Итак, установлено два факта:
1)
1 1 1 1ч 1
tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg-) = 1.
2) 0.
Из этих двух фактов следует:
1 1 1 1 л
arctg — + arctg — + arctg — + arctg — = -
4 5 і
что и требовалось доказать.
84
Примечания
1. Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. М.: ГТТИ, 1957. 2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницин Ю. П. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10−11 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2004.
Статья поступила в редакцию 14. 02. 2012 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой