Представление градиента гравитационного потенциала небесных тел рядом шаровых функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

К. В. Холшевников
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАДИЕНТА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА НЕБЕСНЫХ ТЕЛ РЯДОМ ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ*
Введение. Компоненты гравитационного ускорения используются во всех теориях движения небесных тел. Во многих из них используются и частные производные от указанных компонент. Следовательно, в случае притяжения телом конечных размеров мы нуждаемся в алгоритме вычисления производных от шаровых функций. Существует множество таких алгоритмов, одним из наилучших представляется алгоритм Л. Каннингема [1]. Он выражает производные произвольной элементарной гармоники в виде линейной комбинации (одной или двух) элементарных гармоник с отличающимися индексами. Здесь мы даем некоторое улучшение алгоритма, представляя производные от гравитационного потенциала в такой же форме, что и сам потенциал. Другими словами, мы даем формулы перевычисления коэффициентов.
Гравитационное поле невращающегося тела. Рассмотрим тело Т, неподвижное относительно декартовой системы координат О (О§|?). Его гравитационный потенциал V может быть представлен рядом Лапласа
Здесь т, в, — сферические координаты, О — произведение гравитационной постоянной и массы Т, К — масштабный фактор, Апк и Впк — безразмерные коэффициенты Стокса, постоянные для данного тела. В общем случае I = 0, N = ж, но иногда интерес представляет часть ряда (1), так что мы не придерживаемся этих значений I, N, ограничивая их лишь неравенствами 0 ^ I & lt- ж, I ^ ^ ж.
Хорошо известно, что градиент шаровой функции сам является шаровой функцией, а ее порядок повышается на единицу [2]
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05−02−17 408), Совета по грантам Президента Р Ф для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4929. 2006. 2) и Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006−2008 годы)» Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ.
© К. В. Холшевников, 2007
N
п
(1)
п=1 к=0
по шаровым функциям
[(V2 — 1) п], (0 ^ к ^ п).
(3)
N +1
п
ёгаё V = О Дп-1^ (Апк ипк + ВпкWnk).
(4)
п=1+1 к=0
Остается только выразить (также безразмерные) компоненты А^, В^ векторов Апк, Бпк через А"_1я, В"_1,я, 0 ^ в ^ п — 1. Кратчайший путь — использование слегка модифицированных соотношений [1]:
1 + & lt-5ой гг тт
п, к--1 + п, к- 1 ?
дип_ 1, к
дх
1, к
дх
дип_ 1, к
ду
д? п_ 1, к
ду
дип_ 1, к
дг
дУГп- 1, к
2
1 — & lt-5р?- 2
1 + ^0к
2
1 — ^0к
п, к+1 + Мпкп, к-1?п, к+1 Мпкп, к-1 ?
ип, к+1 + Мпкип, к — 1 ?
2
— (п — к) ипд ,
— (п — к)^пк 7 (5)
где
_ (п — /г + 1)(п — /г)
№пк — (-1- ,)
2
^ -символ Кронекера, г ^ 0, ] ^ 0.
Сравнение (4) и (5) дает компоненты АПд, ВПд векторов Апд, Бпд как линейные комбинации Ап1, я, Вп1, я, п ^ 1, в = к — 1, к +1 при г = 1, 2- в = к при г = 3:
А^к =------------[1 — 8ок) Ап-1^к~1 + ь'-пкАп-х^к+г,
Впк = (1 — ^0к)
1 — 6^к я я
2 -?Зп-1,к-1 ^пк^п-1,к--1
Впк = -(1 — ^0к)
при
Апк = -(п — к) Ап-1,к ,
Впк = -(1 — ^0к)(п — к) Вп-1,к (6)
(п — к)(п — к — 1)
Vпк = ^ •
Замечание. Обычно считают Вп0 и Апк, Впк вне пределов суммирования равными нулю. В частности,
Ап,-1 = Вп,-1 = Вп0 = Ап, п+1 = Вп, п+1 = Ап, п+2 = Вп, п+2 = 0* (7)
Используя (6), мы можем не учитывать (7), так как все соответствующие коэффици-
енты обращаются в нуль.
Стоит заметить также, что А00 = 1, а если начало О системы отсчета О помещено в центр масс Т, то
А10 = А11 = В11 = 0.
Среднеквадратическая нормализация. Мы использовали стандартную нормализацию (3) функций Лежандра. Часто используется другая нормализация:
P]l (v)=nkPkn (v),
'- (1 + Sok)(n + к)!
2(2п+1)(п-к) '
(8)
имеющая следующее достоинство. Обозначим через Unk,. . выражения, в которых Р^ заменены на Ркп. Тогда интеграл от квадратов Unk и Wпк по поверхности единичной сферы r =1 будет равен 4п.
Очевидно,
Unk = Xnk Unk 7 Ank = Ank/Xnk (9)
и такие же равенства справедливы для величин с синусами. Простые вычисления преобразуют (6) для коэффициентов с чертой:
A 1
Ank
R1
Bnk
A2
Ank
R2
Bnk
Z3
Ank
sL
= (1 — Sok) [-A2fcBn-i, fc-i +
= - l, к- 1 + l, fc+l ,
= -(1 — S0k) [KikAn-l, k-l + KikAn-l, k+l = - KikAn-l, k ,
= -{l — 5ok) KikBn-l, k-
(10)
Здесь
при
*
Xnk
X 1
Xnk
X2
Xnk
X3
Xnk
4
(1 + ^0k)(2n — 1)(n — k)(n — k — 1)
(2n +1)
0
nk
(1 — $ок)/1 + & lt-^ifc A,
(1 — 7
(1 — & lt-5ifc)(l _ k)^nk & gt-
(n + k)(n — k)(2n — 1) 2n+ 1
— «
1 /(2n — 1)(n + k)(n + k — 1)
2V
(2n +1)
(11)
Xnk
k
n
Высшие производные. Формулы (6) позволяют получить рекуррентности для вычисления производных высших порядков от V. Обозначим Ж1 = ж, Х2 = у, жз = г, З™^/Зж*тдж^-. . дж^ = V4т& quot-'-41. Тогда
N+т
^ Y, Rn-mY. (АПй'-*1 Unk + ВТ'-& quot-1 Wn^. (12)
n=1+m k=0
Первый шаг. Вычисляем Аг^-Во., используя (6).
Второй шаг. Вычисляем А^Д1, ВД*1, используя (6), заменяя А^д, В^д в левой части на АД1, В^!1, а A"_ijfc, В"_1,д в правой части на А^д, B-i. fc-
Следующие шаги очевидны. Надо только помнить, что на каждом шаге (за исключением последнего) мы должны добавлять нулевые коэффициенты (7).
Такой же алгоритм справедлив для коэффициентов с чертой.
В качестве примера сосчитаем
АН = 1+42fc (1 — & lt-5lfc)(l — & lt-5ofc)An-2,fc-2 — 2+2^lfc VnkAn-2,k + VnkVn-l, k+lAn-2,k+2 ,
A2^k = - 1+^2fc (1 — (5ifc)(l — Sok) A"-2,k-2 — 2 2^ vrtkAn-2}k ~ VnkVn-l, k+lAn-2,k+2 ,
Anfc — 2vnkAn -2,Д —
В^д = (1 — 50k) [4 2fc (1 — $ 1к)В"-2,к-2 ~ 2~^lk VnkBn-2,fc + VnkVn-l, k+lBn-2,k+2 ,
B2 = - (1 — Sok) [*2fc (1 & amp-к)Вп — 2: к — 2 + 2+2^lfc VnkBn-2,k + ^nfc^n-l, fc+l-Bn-2,fc+2] ,
— 2(1 ^0fc)vnfcBn-2,Д •
Таким образом,
ii 22 33 ii 22 33 Ank + Ank + Ank — - 0
в согласии с уравнением Лапласа AV — 0.
Случай вращающегося тела. Перейдем от системы отсчета O к другой системе O'- (Ox'-y'-z'-) с тем же началом O. Переход от O к O'- описывается 3×3 матрицей вращения A с элементами а*д:
(x'-, y'-, z'-)T — A (x, y, z) T.
Точное описание вращения Земли (Луны …) влечет сложную зависимость а*д от времени t, хотя часто достаточно ограничиться вращением вокруг оси z:
cos & lt-р — sin & lt-р 0 A — | sin ^ cos ^ 0 |. (13)
0 0 1
Заметим, что допускается неравномерное вращение, так что ^ может быть произвольной функцией времени.
Обозначим отнесенные к O декартовы координаты через x*, а отнесенные к O'- через x*. Тогда
dV _ dV
дх[ aikdxk' (}
где подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу k.
Вообще,
^ai-fc-& quot-'-ailfcl3xfcm… axfcl • (15)
Разумеется, есть иной путь вычисления производных: изменение стоксовых коэффициентов. Другими словами, мы можем использовать (1), выражая U"k, W"k через г, 0'-, А'-, отнесенные к O'-, и заменяя Апд, Впд на А^д, В^д. Тогда формулы (6), (12) останутся верными для системы O'- тоже. Недостаток этого способа: переход от А"д, В"д к АПд, В^д громоздок (см., например, книгу [3]), а делать это надо непрерывно для каждой эпохи t.
Случай тела, вращающегося вокруг оси z. Указанный недостаток исчезает в случае тела, вращающегося вокруг оси z. Индуцируемое матрицей (13) преобразование сводится к г'- - г, в'- - 0, А'- - А + ^ при у& gt-, независящем от x '-, y'-, z '-. Итак,
A^fc — А"д cos — B"fc sin k^,
— (1 — M (A"fc sin k^ + B"fc cos k^). (16)
Замечание. Операторы [•]'- и [•]* коммутируют в случае i — 3:
(АПд)3 — (АПд)'-, (Вд)3 — (Вд)'-
и не коммутируют в случаях i — 1, 2. Заметим, что физический смысл имеют величины в левой части, такие как (А^д)*.
Формула (15) также сильно упрощается и может быть записана в форме
dmV
Vrnlvm2Vm3Vy m = mi + m2 + m3
dx '-m1 dy '-m2 dz '-m3 1 2 3
при
_ d d d d „d
T& gt- = COS (fi--siny& gt--, X& gt-2 = Siny& gt--+cosy>--, V3= -
dx dy dx dy dz
С помощью биномиального разложения получим
г1+™2 d V
Ят! Я"т1+т2ЧЯ7тз
dmv dmV
при
dx'-m1 dy'-m2dz'-m3 ^m1m^ dx*dym1+m2-*dzm3
Ы — E (-1)m1-^"k0 G^) cosm2-i+2fc ^ sinm1+i-2fc. (18)
„к) V г — к
к /
Пределы суммирования в (18) зависят от шх, Ш2, г сложным образом. Предположим, что Ш2 ^ шх. Тогда
0 ^ к ^ г, если 0 ^ г ^ Ш2,
г — ш2 ^ к ^ г, если ш2 + 1 ^ г ^ шх,
г — Ш2 ^ к ^ Ш1, если Ш1 + 1 ^ г ^ Ш1 + Ш2.
Предположим, что шх ^ Ш2. Тогда
о ^ к ^ г, если о ^ г ^ шх,
0 ^ к ^ шх, если шх + 1 ^ г ^ ш2,
г — ш2 ^ к ^ шх, если ш2 + 1 ^ г ^ шх + ш2.
Гравитационное поле в окрестности начала. Мы рассмотрели стандартный случай ряда Лапласа (1) в окрестности бесконечно удаленной точки, требующий шаровых функций (2) второго рода. Рассмотрим случай системы О с началом О вне тела Т. Например, О может быть центром тора или центром полости внутри сферы. В окрестности О потенциал Т может быть описан рядом Лапласа
N п
V = ^Д-п-^ (Апк^пк + ВпкйЦ (19)
п=1 к=0
по шаровым функциям первого рода
Unfc — rnP“ (cos в) cos kA, W"fc — rnP“ (cos в) sin kA. (20)
Заметим, что А"д, в (19) и (1) различны, но они никогда не встречаются вместе.
Описанная процедура получения производных (1) имеет аналог для производных от (19) и мы приводим ее без подробного доказательства. Главное отличие этих двух случаев: производная шаровой гармоники первого рода V» является шаровой гармоникой порядка n — 1.
Аналог (4):
N-1 n
grad V — G 53 Д-«-2^ (A"fc U"fc + B"fcWnfc). (21)
n=max{0,l-1} fc=0
Аналог (5):
дUn+1,k 1+0k ft ~ ^
n, fe+l + f-LnkU n, k- 1 ?
дж 2
dWra+l, fc _ 1 — & lt-5pfc
dx 2
дUn+1,k 1+ ^0k
2
dWn+i, fc _ 1 — 6pк
dy ~ 2
Wn, k+1 + AinkWn, k-1, Wn, k+1 AinkWn, k-1 ,
Un, k+1 + AinkU^n, k-1 ,
дг
при
дг
Mnk = (1 ^0k)
(n + k + 1) Unk ,
(n + k + 1) Wnk (22)
(n + k + 1)(n + k)
2
Аналог (б):
Anfc --------------------(1 — Sok) An+itk-l + i'-nfcA-n+ljfc+l —
1 «Jlfc P і ~ p
2%+1,/г-І «Г ^nfc-Dn+ljfc+l
Bnk = (1 — ^0k)
Anfc = ----~------Bn+l, fc-l + & lt-ynfc5"+ l, fc+l:
2
2
Bnk = -(1 — ^0k)
1 + л і ~ 4
+ ^nfc-^n+ljfc+l
при
2
Ank = (n + k + 1) An+1,k ,
Bnk = (1 — ^0k)(n + k + 1) Bn+1,k (23)
_ (n + k + 1)(n + k + 2)
J-'-nfc = 2 *
Аналог (lO):
Здесь
при
Апк = ~KikAn+i, k-i + A*fcAn+ijfc+i,
Впк = (1 «$ 0к) [ - ^nkBn+l, k-l + KikBn+l, k+l]
Ank = Х3пкВп+і, к-і + КкВп+і, к+и
Впк = -(1 — ^Ofc) [КікАп+1,к-1 + A*fcAn+ijfc+i].
& quot-t- = л4
пк = Iі «°0к)Л"к?& gt-п+1,к
Апк AnfcA™+l,& amp- 7
Впк = (1 — 5ok)^tkBn+i, k ¦ (24)
1 /(1 +) (2гг. + З)(n + к + l)(n + к + 2)
A"fc = -1
2n + І
Anfc = (1 — & lt-5ofc)v/l + & lt-^ifc A°fc
Ank = (І - ^lk)Ank ,
Ank = (І - ^0k)(1 — ^lk)Ank & gt-
д4 _ _/(2n + 3)(n — к + l)(n + к + 1)
n
k
2n + 1
A
0
nk
1 /(2n + 3)(n — k + 2)(n — k +1)
2 V 2n +1
(25)
Summary
K. V. Kholshevnikov. Representation of gravity potential gradient of celestial bodies by means of series in solid spherical harmonics.
It is well known that the derivative of a solid spherical harmonic of degree n is a solid spherical harmonic of degree n + 1. Using the algorithm by L. Cunningham [1] we succeed to expand the derivative’s coefficients as linear combinations of the original function’s coefficients. It seems to be the best expression for the gradient of the gravitational potential of any celestial body represented by the Laplace series in spherical harmonics. Generalization to higher derivatives is done. Similar procedure is performed with solid spherical harmonics, regular at the origin.
Литература
1. Cunningham L. E. On the computation of the spherical harmonic terms needed during the numerical integration of the orbital motion of an artificial satellite // Celest. Mech. 1970. Vol. 2, N2, P. 207−216.
2. Лнтанйв В. А., Tимoшкoвa E. И., Холшевников К. В. Bвeдeниe в тeopию HbKiTOHoBcKoro пoтeнциaлa. М., 1988. 270 с.
3. Шкодров В. Г. Плaнeтeн пoтeнциaл.фия, 1989. 332 с.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой