Представления абелевых полуциклических n-арных групп

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 4 (2013)
УДК501. 548
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ПОЛУЦИКЛИЧЕСКИХ п-АРНЫХ ГРУПП
В. М. Кусов (г. Волгоград)
Аннотация
В статье изучается взаимосвязь между представлениями абелевых групп и представлениями абелевых n-арных групп. Опираясь на эту взаимосвязь, описаны все представления абелевых полуциклических n-арных групп.
Ключевые слова: n-арная группа, гомоморфизм, представление
REPRESENTATIONS OF ABELIAN SEMICYCLIC N-ARY GROUPS
V. M. Kusov (c. Volgograd)
Abstract
In this paper we study the relationship between representations of abelian groups and representations of abelian n-ary groups. Based on this relationship, described all the representations of abelian semicyclic n-ary groups.
Keywords: n-ary group, homonorphism, representation.
Алгебра (G, [ ]) с п-арной операцией [ ]: Gn ^ G, п ^ 2, называется п-арной группой, если
1) операция [ ] ассоциативна, т. е. верны тождества
[[a1,.. , an], an+1, ¦ ¦ ¦, a2n1] [a1, ¦ ¦ ¦, ai, [ai+1, • • • j ai+n], ai+n+1, ¦ ¦ ¦, a2n1]
для всех i = 1, ¦ ¦ ¦, п — 1, и
2) каждое из уравнений
[a1,a2, ¦ ¦ ¦, ai1, Xi, ai+1, ¦ ¦ ¦, a, n] = b, i = 1, ¦ ¦ ¦, п,
разрешимо для любых a1, a2, ¦ ¦ ¦, ai-1, ai+1, ¦ ¦ ¦, an и b из G.
Очевидно, при п = 2 алгебра (G, [ ]) является обычной (бинарной) группой.
Если, кроме того, в {О, [ ]) верны тождества
Х1, х2, ¦ ¦ ¦, Хп] Ха'-(1), Ха (2), ¦ ¦ ¦, Х& lt-г (п)]
для любой подстановки, а? Sn, то и-арная группа {О, [ ]) называется абелевой. Для фиксированного элемента, а и-арной группы {О, [ ]) решение уравнения
В [1] показано, что на любой абелевой и-арной группе {О, ]) можно определить абелеву группу {О, +) = гейсО (называемую редуктом), в которой бинарная операция + действует по правилу
Верно и обратное: в любой абелевой группе {О, +) для произвольного фиксированного элемента й задается абелева и-арная группа {О, [ ]) = аЬ^О, где и-арная операция [ ] действует по правилу (2). Если {О, +) = (а) — циклическая группа, то аЫаО называется абелевой полуциклической и-арной группой [2].
В любой группе {О, о) (не обязательно абелевой) задается и-арная группа {О, [ ]) = тейпО, где и-арная операция [ ] действует по правилу
Эта и-арная группа {О, [ ]) = тейпО называется производной от группы {О, о). В частности, используемая далее и-арная группа тейпОЬт© является производной от полной линейной группы ОЬт©.
Имеется тесная связь между и-арными группами и обычными группами, и, в частности, между гомоморфизмами этих алгебр.
Теорема 1. Пусть ф — гомоморфизм абелевой и-арной группы {О, [ ]) в производную и-арную группу {О'-, [ ]) = тейпО'-. Тогда для любого фиксированного с? О существует гомоморфизм ф абелевой группы тейсО в группу О'-, действующий по правилу ф (х) = ф (х) о ф-1©.
Доказательство. Из определения косого элемента следует, что для ф©, ф© € О'- справедливо равенство ф© = [ф©,…, ф©, ф (с)]. В производной
4-----V-----'-
п-1
и-арной группе тейпО'- и-арная операция [ ] связана с групповой операцией о правилом (3), поэтому
а + Ь = а, с, ¦ ¦ ¦, с, с, Ь],
(1)
п-3
где с — фиксированный элемент из О. Тогда
аі, ¦ ¦ ¦, ап] - аі + ¦ ¦ ¦ + ап + й,
(2)
где й =, а элемент с является нулем в группе гейсО.
п
[а-^, ¦ ¦ ¦, аП] = а1 о ¦ ¦ ¦ о ап
(3)
ф© = [& lt-р©, ф©, ф (с)] = ф© О …? ф© Оф{с) = фп 1© О ф©,
'-------V------'- 4------V-------'-
п-1 п-1
откуда ф© = ф (с)-(п-2).
В редукте твйсО групповая операция + связана с п-арной операцией [) правилом (1), поэтому для произвольно выбранных элементов а, Ь? С имеем
ф (а + Ь) = ф (а + Ь) о ф-1© = ф ([а, с,…, с, с, Ь)) о ф-1© =
п-3
= ., ф©, ф©, ф (Ь))? ф-1© = ф (а)? ф (с)п-3? ф©? ф (ь)? ф-1© =
4------V-----'-
п-3
= ф (а) о ф (с)п-3 о ф (с)-(п-2) о ф (Ь) о ф-1© = ф (а) о ф (с)-1 о ф (Ь) о ф (с)-1 =
= ф (а) о ф (Ь).
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть ф — гомоморфизм абелевой группы (С, +) в группу (С'-, о) и для некоторых элементов d из С и Ь из С'- выполнено условие
ф (в) = ?& gt- о о Ьу = Ьп-1. (4)
п- 1
Тогда отображение ф: С ^ О, действующее по правилу ф (х) = ф (х) о Ь, является гомоморфизмом абелевой п-арной группы (С, [)) = аЫа в п-арную группу (С'-, [)) = rednС'-.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть посылка теоремы выполнена. Тогда для произвольно выбранных элементов а1,…, ап? С имеем
ф ([а1,…, ап)) = ф ([а1,…, а^)? Ь = ф (а1 + … + ап + d) о Ь =
= ф (а1) о … оф (ап) оф (д) о Ь = ф (а1) о … оф (ап) о Ьп-1 о Ь = ф (а1) о … оф (ап) о Ьп = = (ф (а{) о Ь) о … о (ф (ап) о Ь) = ф (а1) о … о ф (ап) = [ф (а1),…, ф (ап)). Теорема доказана.
Определение 1. Гомоморфизм ф: (С, [)) ^ rednСLm (C,) называется (линейным) представлением п-арной группы (С, [))
(см. например [3],[4]).
Доказанные выше теоремы 1 и 2 позволяют устанановить связь между представлениями абелевых групп и представлениями абелевых п-арных групп. Так, из теоремы 1 имеем
Следствие 1. Пусть ф — представление абелевой n-арной группы (G, [ ]). Тогда найдется представление ф группы redc (G, [) действующее по правилу ф (х) = ф (х) ¦ ф (с)-1.
Из теоремы 2 имеем
Следствие 2. Пусть ф — представление абелевой группы (G, +) и для некоторых элемента d из (G, +) и матрицы U из GLm© выполнено условие
ф (d) = Un-1. (5)
Тогда отображение ф: G ^ GLm©, действующее по правилу ф (х) = ф (х) ¦ U, является представлением абелевой n-арной группы (G, [ ]) = abldG.
С помощью следствий 1 и 2 изучим представления абелевых полуцикличе-ских n-арных групп.
Для конечных абелевых полуциклических n-арных групп верна
Теорема 3. Пусть конечная циклическая группа (а) порядка к имеет, представление фг (sa) = ?rs, где? — корень к-й степени из 1, r = 0,1,…, к — 1 [5, стр. 94]. Тогда абелева полуциклическая n-арная группа ablia (a) имеет, представление
фг, t (sa) = ?rs+t, (6)
где t — решение сравнения
x (n — 1) = lr mod к. (7)
Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено. Тогда для фг, la и? t имеют место равенства
фг (la) = ?lr = ?t (n-1) = (?t)n-1,
т. е. выполнено условие (5) следствия 2. Следовательно, отображение
фг, t: ablia (a) ^ rednGLm©,
действующее по правилу
фг, t (sa) = фг (sa) ¦ ?t = ?rs ¦ ?t = ?rs+t,
является представлением n-арной группы ablia (a). Теорема доказана.
Замечание 1. В том случае, когда сравнение (7) не разрешимо, абелева полуциклическая n-арная группа ablla (a) не имеет представлений, описываемых формулой (6).
Известно (Лемма 1, [6]), что любые две абелевы полуциклические n-арные группы ablsa (a) и ablta (a) изоморфны тогда и только тогда, когда НОД (s, n — 1, к) = НОД (t, n-1, к), где к = |(a)|. Отсюда следует, что количество различных (с точностью до изоморфизма) конечных абелевых полуциклических n-арных групп одного и того же порядка к равно количеству натуральных делителей числа НОД (n — 1, к).
В частности, когда делитель НОД (n — 1, к) равен 1, получаем циклическую n-арную группу abla (a), порождаемую элементом a. Если же делитель НОД (n — 1, к) равен ему самому, получаем n-арную группу abl0(a) = redn (a), являющуюся производной от циклической группы (a).
Из теоремы 3 для конечных циклических n-арных групп имеем
Следствие 3. Пусть конечная циклическая группа (a) порядка к имеет, представление фг (sa) = ?rs, где? — корень к-й степени из 1, r = 0,1,…, к — 1. Тогда для каждого r, кратного НОД (n — 1, к), циклическая n-арная группа abla (a) имеет НОД (n — 1, к) представлений, построенных по правилу (6), где t — решение сравнения x (n — 1) = r mod к.
Из теоремы 3 для производных n-арных групп от конечных циклических групп имеем
Следствие 4. Пусть конечная циклическая группа (a) порядка к имеет, представление фг (sa) = ?rs, где? — корень к-й степени из 1, r = 0,1,…, к —
1. Тогда производная n-арная группа abl0 (a) = redn (a) для каждого r имеет, НОД (n — 1, к) представлений, построенных по правилу (6), где t — решение сравнения x (n — 1) = 0 mod к.
Для бесконечных абелевых полуциклических n-арных групп верна
Теорема 4. Пусть бесконечная циклическая группа (a) имеет представление ip (sa) = Xs, где X Е C и X = 0 [5, стр. 93]. Тогда бесконечная абелева полуциклическая n-арная группа ablla (a) имеет представление
ф (sa) = Xs ¦ ?1, (8)
где 1 удовлетворяет условию X1 = ?in-1.
Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено. Тогда для ф, la и i выполнено также условие (5) следствия 2, поскольку ф (Ш) = X1 = ?in-1. Следовательно, отображение ф: ablla (a) ^ rednGLm©, действующее по правилу
ф (sa) = ip (sa) ¦ i = Xs ¦ i, является представлением n-арной группы ablla (a). Теорема доказана.
Замечание 2. Так как уравнение X1 = xn-1 имеет n — 1 решений при X = 0, то с помощью одного представления ip (sa) = Xs бесконечной циклической группы (a) в теореме 4 строятся n — 1 не эквивалентных представлений бесконечной абелевой полуциклической n-арной группы ablla (a).
Известно (Предложение 7, [7]), что любые две бесконечные абелевы полуцик-лические n-арные группы ablsa (a) и ablta (a) изоморфны тогда и только тогда, когда s = t mod (n — 1) либо s = -t mod (n — 1). Отсюда следует, что количество различных (с точностью до изоморфизма) бесконечных абелевых полуцикли-ческих n-арных групп равно [п-1] + 1, и каждая из них имеет вид ablia (a), где l = 0,1,…, [п-1].
В частности, для l = 1 получим бесконечную циклическую n-арную группу abla (a), порождаемую элементом a. Если же l = 0, получим n-арную группу abl0 (a) = redn (a), являющуюся производной от бесконечной циклической группы (a).
Из теоремы 4 для бесконечных циклических n-арных групп имеем
Следствие 5. Пусть бесконечная циклическая группа (a) имеет представление y (sa) = Xs, где X Е C и X = 0. Тогда бесконечная циклическая n-арная группа abla (a) имеет представление
p (sa) = /is{n~1)+1,
где ц удовлетворяет условию X = цп~1.
Из теоремы 4 для производных n- арных групп от бесконечных циклических групп имеем
Следствие 6. Пусть бесконечная циклическая группа (a) имеет представление y (sa) = Xs, где X Е C и X = 0. Тогда производная n-арная группа abl0(a) от бесконечной циклической группы (a) имеет представление по правилу (8), где ц является корнем (n — 1)-й степени из 1.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Timm J. Kommutative n-Gruppen. Diss. Hamburg, 1967.
2. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. 1 // Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.
3. Dudec W., Shahruari M. Representation theory of polyadic groups // Algebras and Representation Theory, 2010. DOI: 1007/S10468−010−9231−9.
4. Shahruari M. Representations of finite polyadic groups // arXiv. org e-Print archive, 2010. arXiv: 1011. 0954v1 [math. RT].
5. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры //М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. 272 с.
6. Glazek K., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polyadic groups // Contribution to General Algebra 3, 1985, p. 159−171.
7. Щучкин Н. А. Полуциклические n-арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. № 3(54). С. 186−194.
REFERENCES
1. Timm J. Kommutative n-Gruppen. Diss. Hamburg, 1967.
2. Gal’mak A. M. п-Ary groups. Part I. Gomel: GGU imeni F. Skoriny, 2003. 196 p. (in Russian).
3. Dudec W., Shahruari M. Representation theory of polyadic groups. Algebras and Representation Theory, 2010. DOI: 1007/S10468−010−9231−9.
4. Shahruari M. Representations of finite polyadic groups. arXiv. org e-Print archive, 2010. arXiv: 1011. 0954v1 [math. RT].
5. Kostrikin A. I. Introduction to algebra. Part III. Basic structure. Moskva: FIZMATLIT, 2004. 272 p. (in Russian).
6. Glazek K., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polyadic groups. Contribution to General Algebra 3, 1985, p. 159−171.
7. Shchuchkin A. M. Semicyclic п-ary groups. Izvestiya GGU imeni F. Skoriny, 2009. 3(54). p. 186−194. (in Russian).
Волгоградский государственный социально-педагогический университет. Поступило 14. 09. 2013

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой