Преобразование тензоров симметричных полилинейных скалярных функций и форм

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Коротков Анатолий Васильевич
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ И ФОРМ
В работе рассмотрены тензоры симметрических скалярных функций одного, двух, …, семи векторов, определенных в рамках семимерной векторной алгебры. Тензоры симметрических полилинейных скалярных функций являются функциями тензоров билинейных и линейных симметрических функций, в полной мере определяющих метрические свойства векторного пространства. В случае п& gt-7 (например, п=15) в линейных векторных пространствах L п возможно определение тензоров симметрических скалярных функций большего числа векторов. Адрес статьи: www. gramota. net/materials/1/2012/11 729. html
Статья опубликована в авторской редакции и отражает точку зрения автора (ов) по рассматриваемому вопросу.
Источник
Альманах современной науки и образования
Тамбов: Грамота, 2012. № 11 (66). C. 90−96. ISSN 1993−5552.
Адрес журнала: www. gramota. net/editions/lhtml
Содержание данного номера журнала: www. gramota. net/materials/1 /2012/11/
© Издательство & quot-Грамота"-
Информация о возможности публикации статей в журнале размещена на Интернет сайте издательства: www. gramota. net Вопросы, связанные с публикациями научных материалов, редакция просит направлять на адрес: almanaс@. gramota. net
УДК 512. 7
Физико-математические науки
В работе рассмотрены тензоры симметрических скалярных функций одного, двух, …, семи векторов, определенных в рамках семимерной векторной алгебры. Тензоры симметрических полилинейных скалярных функций являются функциями тензоров билинейных и линейных симметрических функций, в полной мере определяющих метрические свойства векторного пространства. В случае п& gt-7 (например, п=15) в линейных векторных пространствах V1 возможно определение тензоров симметрических скалярных функций большего числа векторов.
Ключевые слова и фразы: тензоры- симметрические, полилинейные скалярные функции- векторы- билинейные, линейные симметрические функции.
Анатолий Васильевич Коротков, к.т.н., д.ф. -м.н., доцент
Международный центр теоретической физики, г. Новочеркасск avkorotkov1945@yandex. ги
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ И ФОРМ (c)
1. Преобразование векторов двух базисов с общим началом
Пусть в некоторой точке выбраны два векторных базиса еь…, еп и е: ,…, еп. Любой из векторов первого базиса можно разложить по векторам второго базиса и наоборот. Обозначим через е11., е21.,…, еп1. (1=1,2,…, п) коэффициенты разложения вектора е1 по векторам базиса еь…, еп. Эти п2 величин называют коэффициентами прямого преобразования. Имеем
е/ =е11. е1+е21. ^е& quot- '-еп=?ек1, ек
е2'- =е: 2'-е1+е22'-е2+. +еП2'-еп=Хек2'-ек
еп'- =е: п'-е1+е2п'-е2+. +еПп'-вп=Хекп'-ек
или в общем виде е/^е^ек к=1,2,…, п
Аналогично, коэффициенты разложения вектора е1 по векторам е: ,…, еп обозначим через е1 «е (1=1,2,., п). Эти п2 величин называют коэффициентами обратного преобразования:
е/ =е: е/ '-+е2'-/ е2+. ^е^еп^^е1^ ек е2 =е: ^ '-+е22е2+.. +еп2еп'-=?ек2ек'-
2'-
еп =е: '-пе/ '-+е2'-пе2'-+.. +еп'-пеп'-=Хек'-пек'-
или в общем виде
е1=Хек'-1ек'- к=1,2,…, п
Между коэффициентами прямого и обратного преобразования существует связь. Подставив разложение каждого вектора ек из второй группы формул в первую, найдем
е1'-=е11 *1+е2!'- е2+.. +е"-'- е^е1 '-(е1'-^ '-+. +епеп'-)+… +еп1 '-(е1^ +. +еп'-пеп'-)=
=(е11'-е1+… +еп1 е1'-П)е/'-+… +(е:1 еп'-1+… +еп1'-еп'-п)еп'-=е1'-Хет1'-е1,т +… +еп'-Хет1 еп'-т=Хек'-!ет1 ек'-т к, т=1,2,…, п Аналогичным путем получим
е1 =е: е: '-+е2 е2 '-+.. +еп '-1еп'-=е1 (е1: '-е1+. +еп1 «п)+. +еп (е: пе+.. +еппеп)=
=(еГ1е11'-+… +еп'-1е1п'-)е1 +… +(е1'-1еп1+… +еп'-1епп'-)еп=е1Хет '-А '-+… +еп?ет '-епт'-=ХекХет'-ект'- к, т=1,2,…, п Таким образом, для каждого значения индекса 1 (1=1,2,…, п) имеют место 2п2 соотношений: Хет1 ек '-т=5к ¦ '-и^ет '-ект '-=5к1 равных 0 при # к и 1 при 1=к 2. Преобразование координат векторов при изменении базиса
Один и тот же вектор, а можно представить разложенным по векторам исходного и преобразованного базисов, т. е.
а=а1 е1 + а2е2+…+ апвп =а1 (е1 '-1е1 '-+е2 е2 '-+.. +еп еп'-)+.. +ап (е: '-пе1 '-+е2 '-пе2 '-+.. +еп '-пеп'-)=
=(а1е1,1+… +апе1'-п)е1+… +(а1еп'-1+… +апеп'-п)еп'-=а1 е1+а2'- е2 '-+… +ап '-еп'-
другими словами
аг= а1е1,1+а2е1,2+… +апе1,п
а2 '-= а1е2 +а2е2 2+… +апе2 «
ап'- = а1еп +а2еп2+… +апеп '-п или
а1'-=Хе1 '-как к=1,2,…, п Аналогично
а=а1 '-е1 '-+а2 '-е2 '-+…+ ап '-еп '-=а1 '-(е11 '-е1 +е21 «2+. +еп1 «п)+. +ап е1п е +е2п «2+. +епп «п)= =(а1 '-е11+. +ап '-е1п '-)е1+. +(а1 '-еп1+. +ап '-епп '-)еп=а1 е1 +а2е2+…+ апеп
еп
© Коротков А. В., 2012
другими словами
а1 =а! '-eV+а2 V2+… +апУП'- а2 =а1 '-e2i +а2 '-е22+. +ап '- e2n
ап=а: е& quot- ,+а2^,+… +ап '-епп
или а1=Хе1как'- к=1,2,…, п
3. Линейные функции и формы от одного переменного
Чтобы задать линейную функцию от одного переменного /(а), необходимо задать набор ее коэффициентов /(е1)=/1 (1=1,2,…, п), т. е. ее матрицу-строку L1=(/ь/2,…, /п).
Спрашивается: как при переходе от базиса е1,…, еп к новому базису е1 ,…, еп преобразуется матрица L1 линейной функции от одного переменного.
Пусть линейная функция от одного переменного /(а) записывается относительно базиса е1,…, еп в виде линейной формы от одного переменного /(а^ХАа1^^ при а=а1е1+… +апеп с матрицей L1=(/ь/2,…, /п), а относительно базиса е1,…, еп'- в виде линейной формы от одного переменного /(а)=Х/1а1 =Ь/А'- при а=а1, е1,+… +апеп'- с матрицей L1 =(/1 ,/2 '-… /п). При этом е^Хе^е и а-Хек У. к=1,…, п, что соответствует матрице преобразования координат векторов
H=
Л
e12'- e2.
eV e2^
e n
_ е 1- е 2'-
т. е. преобразованию А=НА'- Тогда имеем /(а)=Ь1А^1НА=Ь1,Аг. т. е. L1,= L1H
4. Линейные функции и формы от двух переменных
Чтобы задать линейную функцию от двух переменных /(а, Ь), достаточно задать набор ее коэффициентов /(е1, е^=/у (ц=1.2… п). т. е. ее матрицу
111 1 12 ¦¦¦ 11п
1 21 1 22 … 12
L2=
l n
l n
l n
e1 e2
2 2
e i'- e22
n n
e i'- e 2 '-
Спрашивается: как при переходе от базиса е1,…, еп к новому базису е/,…, еп'- преобразуется матрица L2 линейной функции от двух переменных.
Пусть линейная функция от двух переменных /(а, Ь) записывается относительно базиса е1,…, еп в виде линейной формы от двух переменных /(а. 1))=УУ/||а'-Ь'-=АтЬ-.В при а=а1е1+… +апеп, Ь=Ь1е1+… +Ьпеп с матрицей L2, а относительно базиса е1'-… еп'- в виде линейной формы от двух переменных /(а. Ь)=ХХ/у а^Ь1 ,=A, TL2, В '- при а=а1 е^. ^а^е^. Ь=Ь1 е^+. ^+Ь^еп с матрицей L2'-. При этом е1=Хек1, ек и а1=Хе1к, ак'-. к=1…п. что соответствует матрице преобразования координат векторов
H=
т. е. преобразованиям А=НА, и В=НВ ^ т. е. АТ=АТЕТ, ВТ=В, ТЕТ
Тогда имеем /(а. Ь)=А%В=АтЕ^2НВ ^А^Е^ЩВ ^А& quot-^ В '-. т. е. L2 =Е%Н
Линейная функция второй степени аргумента. определенная в V& quot- соответственно записывается относительно базиса е1… еп формой /(а^^ХХ/^а^А^А. а относительно базиса е/,…^ формой /(а, а)=ХХ/1 '-а^а1 = =А, ТL2 А. где L2 =Н%Н
5. Линейные функции и формы от трех переменных
Чтобы задать линейную функцию от трех переменных /(а. Ь, с)=1/3(/(а. Ь)/(с)+/(Ь. с)/(а)+/(с. а)/(Ь)). достаточно задать набор ее коэффициентов 1/3(/(е1. е1)/(ек)+/(е1. ек)/(е1)+/(ек. е1)/(е1))=1/3(/11/к+/1к/1+/к1/1)=/11к. т. е. тензор полилинейной формы от трех переменных Lз.
Спрашивается: как при переходе от базиса е1… еп к новому базису е1 … еп преобразуется тензор L3 линейной функции от трех переменных.
Пусть линейная функция от трех переменных /(а. Ь, с) записывается относительно базиса е1… еп в виде линейной формы от трех переменных /(а. Ь, с)=ХХХ/1. 1ка1Ь1ск=1/3(А1Ь2В^1С+В1Ь2С^1А+С1Ь2А^1В) при а=а1е1+… +апеп. Ь=Ь1е1+… +Ьпеп. с=с1е1+… +спеп с тензором L3, определяемым тензорами L2 и L1. а относительно базиса е1 … еп в виде линейной формы от трех переменных
/(а. Ь^ХХХ/цка1 Ь1 ск =1/3(А, т2, В '-^С +В'-ТL2 С'-•Ll'-А'-+С'-ТL2'-А'-•Ll'-В '-) при а=а1 '-el'-+… +an'-en'-. Ь=Ь1 '-el'-+… +bn'-en'-. с=с1 е1+… +сп е^ с тензором L3. определяемым тензорами L2, и L1'-.
При этом е1 =Хек1, ек и а1=Хе1к, ак. к=1…п. что соответствует матрице преобразования векторов
eV e12
2 2
H= e i'- e2
'-h e'-n2
… е п
т. е. преобразованиям А=НА ^ В=НВ ^ С=НС. т. е. АТ=А, ТЕТ. ВТ=В, ТЕТ. СТ=СТЕТ
e
n
2
e
n
n
n
2
n
Тогда имеем
/(а. Ь^Ш^^В^С+В^С^А+С^А^В^Ш^Е^НВ '-^НС'-+В '-TETL2HС '-^НА'-+С'-^^НА'-^ НВ '-)=1/3(А'-ТL2'-В '-^/С'-+В '-ТL2 '-С '-^'-А'-+С '-ТL2 '-А'-^/В '-). т. е. L2 '-=ETL2H и L1'-=L1H
Линейная функция третьей степени аргумента, определенная в V& quot- соответственно записывается относительно базиса е1,…, еп формой /(а, а, а)=УУУ/1|,. а1а|а|'-=АТЬ2А^Ь|А. определяемой тензорами L2 и L1, а относительно базиса е1 ,…, еп формой /(а, а, 2НА1НА. определяемой тензорами L2 и L1. причем L2НЪД, а L1'-=L1H.
6. Линейные функции и формы от четырех переменных Чтобы задать линейную функцию от четырех переменных
/(а. Ь, с^)=Ш (/(а. Ь)/(с^)+/(Ь. с)/(а^)+/(с. а)/ОМ)). достаточно задать набор ее коэффициентов 1/3(/(е1. е|)/(ек. е/)+/(е|. ек)/(е1. е/)+/(еке1)/(е|. е/))=1/3(/1_,/к/+/_, к/1/+/к1/_,/)=/1|, к/. т. е. тензор полилинейной формы от четырех переменных L4.
Спрашивается: как при переходе от базиса е1… еп к новому базису е1 … еп преобразуется тензор L4 линейной функции от четырех переменных.
Пусть линейная функция от четырех переменных /(а. Ь, сД) записывается относительно базиса е1,…, еп в виде линейной формы от четырех переменных
/(а. Ь, с^)=ХХХ?/1,к/а1Ь1с1У/=Ш (А%В • СТL2D+ВТL2С• А%Ъ+С%АВ%Ъ) при а=а1е/ +… +апеш Ь=Ъ1е1+… +Ъпеп, с=с1е1+… +спеп, d=d1e1+… +dnen с тензором L4, определяемым тензором L2. а относительно базиса е1 … еп в виде линейной формы от четырех переменных
/(а, Ь, с, а)=??Х?/|к/а1 '-У ск'-/= 1/3^%^ '-С%Ь '-+В '-ТЬ2'-С '-А%'-р '-+С %'-А'-В '-ТL2'-D '-)
еп'-, d=d1 '-е/+.п еп'- с тензором L4
тензором L2 '-.
1
при а=а1 е1'-+… +ап'-еп'-, Ь=Ъ1 '-е1'-+… +Ъп'-еп'-, с=с1 е1'-+… +сп'-еп'-, d=d1 '-е^. ^^'- с тензором L4'-. определяемым зором L2.
При этом е1 =Х^к1'-ек и а1=Х^1к, ак, к=1,…, п, что соответствует матрице преобразования векторов
е 1 '- е 2
2 2
Н= е г е2
Л'- еп2
п
е
е2п
т. е. преобразованиям А=НА'-, В=НВ '-, С=НС'-, D=HD '-, т. е. AT=A'-THT. ВT=В & quot-1НГ, СT=С '-THT. DT=D '-THT. Тогда имеем
/(а. Ь, с^)=1/3 (АТL2 В • СТL2D+ВТL2С• АТ^Р+СТ^, А^ВТ^, Ъ)=Ш (А ^Н^ЕВ '-С '-THTL2ЕD '-+В '-THTL2ЕС '-А '-THT L2ЕD '-+СтН^2ЕАВ '-THTL2ЕD & gt-1/3^% '-В '-С '-TL2 Ъ '-+В '-TL2'-С '-•А'-1^ Ъ '-+Ст^,'-АВ '-). т. е. L2'-=HTL2H Линейная функция четвертой степени аргумента. определенная в V& quot- соответственно записывается относительно базиса е1… еп формой /(а, а, а, а)= =У, У, У, уа1а'-ака-АТЬ2А^АТЬ2А. определяемой тензором L2. а относительно базиса е1 … еп формой /(а, а, а, а)=ХХХ?/цк/ а1 а1 ак, а =А L2 '-А'-•А '-ТL2 '-А '-. определяемой тензором L2. причем L2 '-^^Н.
6. Линейные функции и формы от пяти переменных Чтобы задать линейную функцию от пяти переменных
/(a.b.с.d. e)= 1/15((/(a. b)/(c. d)+/(b. c)/(a. d)+/(c. a)/(b. d))/(e)+(/(b. c)/(d. e)+/(c. d)/(b. e)+/(d. b)/(c. e))/(a)+ +(/(c. d)/(e. a)+/(d. e)/(c. a)+/(e. c)/(d. a))/(b)+(/(d. e)/(a. b)+/(e. a)/(d. b)+/(a. d)/(e. b))/(c)+ +(/(e. a)/(b. c)+/(a. b)/(e. c)+/(b. e)/(a. c))/(d)) достаточно задать набор ее коэффициентов
1/15((/(е1. е)(ек. е/)+/(е1. ек) Ке1. е/) + /(еьеО /(е,. е/)) /(ет)+(/(е1. ек)/(е/. ет)+/(ек, е/)/(е1. ет)+/(е/. е1) /(ек. ет))/(е1)+ +(/(ек. е/)/(ет. е1)+/(е/. ет)/(ек. е1)+/(ет. ек)/(е/. е1)) /(е1)+(/(е/. ет)/(е1. е1)+/(ет. е1)/(е/. е1) +/(еье/) /(ет. е,)) /(ек)+ +(/(ет. е1)/(е1. ек)+/(е1. е1)/(ет. ек)+/(е1. ет)/(е1. ек)) /(е/))=
= 1/15((/11/И+/1к/1/+/к1/1/)/т+(/|к//т+/к//|т+//1/кт)/1+(/к//т1+//т/к1+/тк//1)/|+(//т/ 11 +/т1//| +/1//т,)к +/11/тк+/1т/1к)//)=1/5(/11к/
/т+/Jk/m/1+/k/ml/J+//mlJ/k+/m1Jk//)=/1Jk/m. т. е. тензор полилинейной формы от пяти переменных L5. Спрашивается: как при переходе от базиса е1,…, еп к новому базису е1 … еп преобразуется тензор L5 линейной функции от пяти переменных.
Пусть линейная функция от пяти переменных /(а. Ь, с^, е) записывается относительно базиса е1,…, еп в виде линейной формы от пяти переменных
/(a.b.c.d. e)=XXXXX/lJk/ma1bJckd/em=1/15• (А%В • С%Ъ+В%С-А%Ъ+С%А-В%Ъ)^Е+ +(ВтЬ2СЪтЬ2Е+СтЬ2ЪВтЬ2Е+ЪтЬ2Б • СЬ^^А+^^ЪЕ^А+Ъ^Е^ С^А+Е^СЪ^А)^^ +(DТL2E•AТL2B+EТL2A•DТL2B+AТL2D•EТL2B)•L1C+(EТL2A•BТL2C+AТL2B•EТL2C+BТL2E•AТL2C)•L1D) при а=а1е1+… +апеп, b=b1e1+… +bnen. с=с1е1+… +спеп, d=d1e1+… +dnen. е=е1е1+… +епеп с тензором L5. определяемым тензорами L2 и L1. а относительно базиса е1 … еп в виде линейной формы от пяти переменных /(a.b.c.d. e)=XXXXX/1,k/m'-a1'-bJ'-ck'-d/em = 1/15•(А'-ТL2'-В '-•С % Ъ '-+В '-ТL2 '-С'-А% Ъ '-+С '-ТL2 А'-В '-ТL2 Ъ П/Е'-+ +(В '-ТL2'-C '-Ъ '-ТL2'-E'-+C '-В '-ТL2 '-Е '-+Ъ %'-В '-С '-^'-ЕН/АЧ-+(C'-ТL2'-D '-•Е % '-А'-+Ъ '-ТL2 '-Е'-С '-ТL2 '-А'-+Е'-^'-С '-Ъ '-^'-А'-^/В '-+ +(Ъ %'-Е '-А'-^В ЧЕ^'-А'-^ '-ТL2'-B '-+A'-ТL2 Ъ '-•Е '-ТL2 '-В '-)^/С '-+ +(Е% '-А'-В '-ТL2 '-C'-+A'-ТL2 '-В '-Е '-ТL2'-C '-+В '-ТL2 '-Е '-•А'-^ '-С'-)^1Ъ '-)
при а=а1'-е1'-+… +ап'-еп'-, b=b1'-e1'-+… +bnen'-. с=с1'-е1+… +сп'-еп'-, d=d1'-e1'-+… +dn'-en'-. е=е1е1'-+… +епеп'- с тензором L5'-, определяемым тензорами L2 и L1.
п
При этом е1 =Уек'-ек и а1=Х^1как, к=1,…, ш, что соответствует матрице преобразования векторов
H=
e i'- e2
2 2
e1 e2
n n
e1 e2
т. е. преобразованиям А=НА'-, В=НВ '-, С=НС'-, D=HD '-, Е=НЕ '-, т. е. АТ=А'-ТНТ, Вт=В '-тНт,
СТ=С '-THT,
DT=D'-THT,
ET=E'-THT
Тогда имеем
l (a, b, c, d, e)= 1/15(ATL2B-CTL2D+BTL2C-ATL2D+CTL2A-BTL2D)-L1E+
+(BTL2CDTL2E+CTL2DBTL2E+DTL2B • CTL2E)-L1A+(CTL2D-ETL2A+DTL2E- CTL2A+ETL2CDTL2A)L1B+ +(DTL2EATL2B+ETL2ADTL2B+ATL2DETL2B)L1C+(ETL2ABTL2C+ATL2BETL2C+BTL2EATL2C)L1D)=
= 1/15((A '-tHtL2HB '- • С '-tHtL2HD +В THTL2HC'-
A'-tHtL2HD +С '-tHtL2HA'- • В '-tHtL2HD '-) L1HE +(В '-tHtL2HC '- D '-t
HtL2HE '-+С '-tHtL2HD '-В '-tHtL2HE'-+D '-tHtL2HB '-С '-tHtL2HE'-)L1HA'-+(C'-tHtL2HD '-E'-tHtL2HA'-+D '-tHtL2HE '-• С '-thtL2HA'-+E'-tHtL2HC '-D '-THTL2HA'-)L1HB '-+
a'-thtl2hb '-+e '-thtl2ha'- d '-thtl2hb +a '-thtl2hd '-
+(D '-THTL2HE'-
+(e'-thtl2ha'-b '-thtl2hc '-+a'-thtl2hb '-e '-thtl2hc'-+b '-thtl2he
С '-TL2 '-D '-+В '-TL2 С '-
A'-TL2 '-D '-+С '-TL2 '-A'-B '-TL2 D) L1'-E '-+
e'-thtl2hb '-)^НС'-+
A '-THTL2HС)L1HD '-))=
+(B '-TL2 C '-D '-TL2 E '-+C '-TL2 '-D '-B '-TL2'-E'-+D '-TL2 '-B '-C'-TL2 E & gt-L1 A'-+ +(C '-TL2 '-D '-E'-TL2'-A'-+D '-TL2 '-E '-C '-TL2 '-A'-+E'-TL2'-C '-D '-TL2'-A'-)L/B '-+
A'-D '-TL2 '-B '-+A'-TL2 '-D '-E '-TL2 B'-)L1 C+
A'-TL2 '-C '-)L/D '-), т. е. L2 '-=HTL2H и L1'-=L1H
= 1/15(А 1L2 В
Ч'--ТЛ Тт '-СТ ТЛ '-. ТЭ^Т '-& quot-О _|_ТЛ '-ТТ •с L2
%
_/2 С +В L2 Е, А L2 с) D), !.е. L2 =Н L2H и L1 =L1 Линейная функция пятой степени аргумента, определенная в V1 соответственно записывается относительно базиса еь…, еп формой /(а, а, а, а, а)=УУУУУ,/^-та1а'-акагат=АТЕ2А- А^А^ А, определяемой тензорами L2 и Ll, а относительно базиса еь…, еп'- формой l (a, а, а, а, а)=УУУУУ/ijK/mlallajlaкlallaml=А'-ТL2 А •А'-ТL2 '-А '-•L1 '-А '-, определяемой тензорами L2 и L1, причем L2 =HTL2H и L1 =L1H. 7. Линейные функции и формы от шести переменных Чтобы задать линейную функцию от шести переменных
/(a, b, с, d, e, i)=1/15((/(a, b)/(c, d)+/(b, c)/(a, d)+/(c, a)/(b, d))/(e, f)+(/(b, c)/(d, e)+/(c, d)/(b, e)+/(d, b)/(c, e))/(a, f)+ +(/(c, d)/(e, a)+/(d, e)/(c, a)+/(e, c)/(d, a))/(b, f)+(/(d, e)/(a, b)+/(e, a)/(d, b)+/(a, d)/(e, b))/(c, i)+ +(/(e, a)/(b, c)+/(a, b)/(e, c)+/(b, e)/(a, c))/(d, i)) достаточно задать набор ее коэффициентов
Ш5((1(е1,^)1(ек, ег)+1(^, ек)1(е1,ег) + 1(ек, е1) l (ej, el)) l (em, en)+(l (ej, ek) l (e/, em)+l (ek, e/)l (ej, em)+l (e/, ej) 1(ек, ет))1(е1,еп)+ +(1(ек, е/)1(ет, е1)+1(е/, ет)1(ек, е1)+1(ет, ек)1(е/, е1)) l (ej, en)+(l (e/, em) l (el, ej)+l (em, el) l (e/, ej) +1(еьег) l (em, ej)) 1(ек, еп)+ +(l (em, el) l (ej, ek)+l (el, ej) l (em, ek)+l (ej, em) l (el, ek)) 1(е-, е»))=
= 1/15((l1jlk/+ljkl1/+lk1lj/)lmn+(ljkl/m+lk/ljm+l/jlkm)l1n+(lk/lm1+l/mlk1+lmkl/1)ljn+(l/ml1j+lm1l/j+l1/lmj)lkn+(lm1ljk+l1jlmk+ljml1k)l/n)=1/5
(1^11тп+^к1т11п+1к1т1п+11тц1кп+тк11п)=11ктп, т. е. тензор полилинейной формы от шести переменных L6. Спрашивается: как при переходе от базиса еь… ,^ к новому базису е1 ,…, сп преобразуется тензор L6 линейной функции от шести переменных.
Пусть линейная функция от шести переменных 1(а, Ь, с^, е,1) записывается относительно базиса еь… ,^ в виде линейной формы от шести переменных
l (a, b, c, d, e, f)=XXXXXXl1jklmna1b1ct: dlemfQ=1/15• (АТL2 В •
+(BТL2C•DТL2E+CТL2D•BТL2E+DТL2B • CТL2E)• ATL2F+(CТL2D•EТL2A+DТL2E• CТL2A+EТL2C•DТL2A)•BTL2F+ +(DТL2E•AТL2B+EТL2A•DТL2B+AТL2D•EТL2B) • CTL2F+(EТL2A•BТL2C+AТL2B ^^В^ЕА^О1^) при a=a1e1+… +anen, Ь^е^. +^е, c=c1e1+… +cnen, d=d1e1+… +dnen, е=е1е1+… +е11еш f=f1e1+… +inen с тензором L6, определяемым тензором L2, а относительно базиса е1 ,…, en в виде линейной формы от шести переменных
l (aAcAe, f)=yyyjyy-, Mmn
+(B '-TL2'-C '-D '-TL2'-E'-+C'-TL2'-D +(C'-TL2'-D '-E '-TL2 '-A'-+D '-TL2 '-E +(D '-TL2'-E'-
A'-TL2 '-B '-+E '-TL2'- A
a1b, ck'-dlemen=1/15(A'-1L2 В '-СХЪ +В '-TL2 С'-АХ D '-+С'-%
B '-TL2 '-E +D TL2B '-C '-TL2'-E'-)A'-TL2 F + C '-TL2 '-A'-+E'-TL2'-C '-D '-TL2A'-)B '-tl2'-F '-+ D TL2B '-+A'-TL2 '-D '-E '-TL2 '-B '-)C'-TL2'-F '-+
'- А '-B TL2D '-)E'-TL2'-F'-+
TL2 E
A'-TL2'-C'-)D '-TL2F)
+(Е 1L2 А В 1L2 C +А Х2 В •Е 1L2 C +В при a=a1'-e1+… +an'-en'-, Ь^'-е^. ^Ь11^, c=c1e1+… +cnen'-, d=d1e1+… +dnen'-, e=e1'-e1'-+… +en'-en'-, f=f1e1+… +fV с тензором L6, определяемым тензором L2.
При этом е1 =Уек1ек и a1=Уe1k'-ak, к=1,…, ш, что соответствует матрице преобразования векторов
H=
т. е. преобразованиям А=НА'-, В=НВ '-, С=НС'-, D=HD '-, Е=НЕ '-, F=HF '-, т. е. АТ=А'-ТНТ, Вт=В '-тНт, Ст=С '-тНт, DT=D '-ТНТ, ЕТ=Е '-ТНТ, FT=F '-ТНТ. Тогда имеем
l (a, b, c, d, e, f)=1/15(АТL2В•СТL2D+ВТL2С•AТL2D+СТL2А•BТL2D)•ETL2F+
+(BТL2C•DТL2E+CТL2D•BТL2E+DТL2B • CТL2E)• ATL2F+(CТL2D•EТL2A+DТL2E• CТL2A+EТL2C•DТL2A)•BTL2F+
e1 e2
2 2
e1 e2
n n
e1 e2
n
2
n
n
n
2
n
n
+(DТL2E•AТL2B+EТL2A•DТL2B+AТL2D•EТL2B)•CTL2F+(EТL2A•BТL2C+AТL2B•EТL2C+BТL2E•AТL2C)•DTL2F)=
= 1/15((A'-THTL2HВ'-•С'-THTL2HD'-+В'-THTL2HС'-•A'-THTL2HD'-+С'-THTL2HА'-•В'-THTL2HD'-)•E'-THTL2HF'-+
+(В'-THTL2HС'-•D'-THTL2HE'-+С'-THTL2HD'-•В'-THTL2HE'-+D'-THTL2HВ'-•С'-THTL2HE'-)•A'-THTL2HF'-+
+(С'-THTL2HD'-•E'-THTL2HА'-+D'-THTL2HE'-•С'-THTL2HА'-+E'-THTL2HС'-•D'-THTL2HА'-)•B'-THTL2HF'-+
+(D'-THTL2HE'-•A'-THTL2HВ'-+E'-THTL2HА'-•D'-THTL2HВ'-+A'-THTL2HD'-•E'-THTL2HВ'-)•C'-THTL2HF'-+
+(E'-THTL2HА'-•В'-THTL2HС'-+A'-THTL2HВ'-•E'-THTL2HС'-+В'-THTL2HE'-•A'-THTL2HС'-)•E'-THTL2HF'-))=
= 1/15•(А'-ТL2'-в'-•С'-ТL2'-D'-+В'-ТL2'-С'-•A'-ТL2'-D'-+С'-ТL2'-А'-•B'-ТL2'-D'-)•E'-TL2'-F'-+
+(B'-ТL2'-C'-•D'-ТL2'-E'-+C'-ТL2'-D'-•B'-ТL2'-E'-+D'-ТL2'-B'-•C'-ТL2'-E'-)•A'-TL2'-F'-+
+(C'-ТL2'-D'-•E'-ТL2'-A'-+D'-ТL2'-E'-•C'-ТL2'-A'-+E'-ТL2'-C'-•D'-ТL2'-A'-)•B'-TL2'-F'-+
+(D'-ТL2'-E'-•A'-ТL2'-B'-+E'-ТL2'-A'-•D'-ТL2'-B'-+A'-ТL2'-D'-•E'-ТL2'-B'-)•C'-TL2'-F'-+
+(E'-ТL2'-A'-•B'-ТL2'-C'-+A'-ТL2'-B'-•E'-ТL2'-C'-+B'-ТL2'-E'-•A'-ТL2'-C'-)•D'-TL2'-F'-), т. е. L2=HTL2H
Линейная функция шестой степени аргумента, определенная в V1 соответственно записывается относительно базиса еь…, еп формой /(а^АаАа^ХХХХХХ/^^а^а'-Уа^^А^А^А^А^А^А, определяемой тензором L2, а относительно базиса е! ,…, еп формой
/(a, а, а, а, а, а)=У, УУ, УУ, У,/1jK-mnlallajlaкlaгlamlanl=А'-ТL2'-А'-•А'-ТL2'-А'-•А'-ТL2'-А'-, определяемой тензором L2, причем L2=HTL2H
8. Линейные функции и формы от семи переменных Чтобы задать линейную функцию от семи переменных
1(а, Ь, сДе, ад= 1/105((1(а, Ь)1(с, а)1(е,?)+1(Ь, с)1(а, е)1(а,?)+1(с, а)1(е, а)1(Ь,?)+1(а, е)1(а, Ь)1(с,?)+1(е, а)1(Ъ, с)1(а,?)+ + 1(Ъ, с)1(а,& lt-1)1(е, Г)+1(с,<-1)1(Ъ, е)1(а, Г)+1(<-1,е)1(с, а)1(Ъ, Г)+1(е, а)1(<-1,Ь)1(с, Г)+1(а, Ь)1(е, с)1(<-1,Г)+ + 1(с, а)1(Ь,& lt-)1(е,?)+1(<-, Ь)1(с, е)1(а,?)+1(е, с)1(<-, а)1(Ъ,?)+1(а,<-)1(е, Ь)1(с,?)+1(Ь, е)1(а, с)1(<-,?))1(я)+ + (l (Ь, c) l (d, e) l (f, g)+l (c, d) l (e, f) l (Ь, g)+l (d, e) l (f, Ь) l (c, g)+l (e, f) l (Ь, c) l (d, g)+l (f, Ь) l (c, d) l (e, g)+ + l (c, d) l (Ь, e) l (f, g)+l (d, e) l (c, f) l (Ь, g)+l (e, f) l (d, Ь) l (c, g)+l (f, Ь) l (e, c) l (d, g)+l (Ь, c) l (f, d) l (e, g)+ + l (d, Ь) l (c, e) l (f, g)+l (e, c) l (d, f) l (Ь, g)+l (f, d) l (e, Ь) l (c, g)+l (Ь, e) l (f, c) l (d, g)+l (c, f) l (Ь, d) l (e, g))l (a)+ + (l (c, d) l (e, f) l (g, a)+l (d, e) l (f, g) l (c, a)+l (e, f) l (g, c) l (d, a)+l (f, g) l (c, d) l (e, a)+l (g, c) l (d, e) l (f, a)+ + l (d, e) l (c, f) l (g, a)+l (e, f) l (d, g) l (c, a)+l (f, g) l (e, c) l (d, a)+l (g, c) l (f, d) l (e, a)+l (c, d) l (g, e) l (f, a)+ + l (e, c) l (d, f) l (g, a)+l (f, d) l (e, g) l (c, a)+l (g, e) l (f, c) l (d, a)+l (c, f) l (g, d) l (e, a)+l (d, g) l (c, e) l (f, a))l (Ь)+ + (l (d, e) l (f, g) l (a, Ь)+l (e, f) l (g, a) l (d, Ь)+l (f, g) l (a, d) l (e, Ь)+l (g, a) l (d, e) l (f, Ь)+l (a, d) l (e, f) l (g, Ь)+ + l (e, f) l (d, g) l (a, Ь)+l (f, g) l (e, a) l (d, Ь)+l (g, a) l (f, d) l (e, Ь)+l (a, d) l (g, e) l (f, Ь)+l (d, e) l (a, f) l (g, Ь)+ + l (f, d) l (e, g) l (a, Ь)+l (g, e) l (f, a) l (d, Ь)+l (a, f) l (g, d) l (e, Ь)+l (d, g) l (a, e) l (f, Ь)+l (e, a) l (d, f) l (g, Ь))l (c)+ + (l (e, f) l (g, a) l (Ь, c)+l (f, g) l (a, Ь) l (e, c)+l (g, a) l (Ь, e) l (f, c)+l (a, Ь) l (e, f) l (g, c)+l (Ь, e) l (f, g) l (a, c)+ + l (f, g) l (e, a) l (Ь, c)+l (g, a) l (f, Ь) l (e, c)+l (a, Ь) l (g, e) l (f, c)+l (Ь, e) l (a, f) l (g, c)+l (e, f) l (Ь, g) l (a, c)+ + l (g, e) l (f, a) l (Ь, c)+l (a, f) l (g, Ь) l (e, c)+l (Ь, g) l (a, e) l (f, c)+l (e, a) l (Ь, f) l (g, c)+l (f, Ь) l (e, g) l (a, c))l (d)+ + (l (f, g) l (a, Ь) l (c, d)+l (g, a) l (Ь, c) l (f, d)+l (a, Ь) l (c, f) l (g, d)+l (Ь, c) l (f, g) l (a, d)+l (c, f) l (g, a) l (Ь, d)+ + l (g, a) l (f, Ь) l (c, d)+l (a, Ь) l (g, c) l (f, d)+l (Ь, c) l (a, f) l (g, d)+l (c, f) l (Ь, g) l (a, d)+l (f, g) l (c, a) l (Ь, d)+ + l (a, f) l (g, Ь) l (c, d)+l (Ь, g) l (a, c) l (f, d)+l (c, a) l (Ь, f) l (g, d)+l (f, Ь) l (c, g) l (a, d)+l (g, c) l (f, a) l (Ь, d))l (e)+ + (l (g, a) l (Ь, c) l (d, e)+l (a, Ь) l (c, d) l (g, e)+l (Ь, c) l (d, g) l (a, e)+l (c, d) l (g, a) l (Ь, e)+l (d, g) l (a, Ь) l (c, e)+ + l (a, Ь) l (g, c) l (d, e)+l (Ь, c) l (a, d) l (g, e)+l (c, d) l (Ь, g) l (a, e)+l (d, g) l (c, a) l (Ь, e)+l (g, a) l (d, Ь) l (c, e)+ + l (Ь, g) l (a, c) l (d, e)+l (c, a) l (Ь, d) l (g, e)+l (d, Ь) l (c, g) l (a, e)+l (g, c) l (d, a) l (Ь, e)+l (a, d) l (g, Ь) l (c, e))l (f)) достаточно задать набор ее коэффициентов
т05(((1(еъ^)1(ек, ег)+1(^, ек)1(еъег) +/^0 /(ej, e^)) l (em, eп)+(l (ej, ek) l (e/, em)+l (ek, e/)l (ej, em)+l (e/, ej) 1(ек, ет))1(е1,е») + +(1(ек, ег)1(ет, е1)+1(ег, ет)1(ек, е1)+1(ет, ек)1(ег, е1)) /(ej, eп)+(/(e/, em)/(el, ej)+/(em, el)/(e/, ej) +/(е1,е/) /(em, ej)) /(еьеп)+ +(/(em, el)/(ej, ek)+/(el, ej)/(em, ek)+/(ej, em)/(el, ek)) /(e/, ea))/(e0)+((/(ej, ek)/(e/, em)+/(ek, e/) /(ej, em)+/(e/, ej) Дек^"/^^^ +№^1)/^^+/^/^) /(ek, eп)+/(em, ek)/(e/, em))/(ej, eo)+(/(e/, em)/(en, ej) +/(em, eП)/(e/, ej) +/^0 /(em, ej)) 1^^)+ +(/(em, eП)/(ej, ek)+/(em, ej) /(en, ek)+/(ej, em)/(en, ek)) /(e/, eo)+(/(en, ej) /(ek, e/)+/(ej, ek) АЪпА) +/(eьen)/(ej, e/)) /(em, eo))/(ei)+ +((/(ek, e/) /(em, eП)+/(e/, em)/(ek, eП) +/^^1-)/^/^) /(eoei)+(/(e/, eIn)/(en, eo) +/(em, eП)/(e/, eo) +/(en, e/) /(em, eo))/(ek, ei)+ +(/(em, eП)/(eo, ek)+/(en, eo) /(em, ek)+/(eo, em)/(en, ek))/(e/, ei)+(/(en, eo)/(ek, e/) +/(eo, ek) /(en, e/) +/(eьen)/(eo, e/)) +(/(eo, ek)/(e/, em)+/(ek, e/) /(eo, em)+/(e/, eo) /(ek, em))/(en, ei))/(ej)+((/(e/, em) /(en, eo)+/(em, eП)/(e/, eo)+ /(eI1,e/)/(em, eo))/(eiej)+ +(/(em, en)/(eo, ei) +/(eo)/(em, ei)+/(eo, em)/(en, ei))/(e/, ej)+(/(en, eo) /(el, e/) +/(eo, ei) /(en, e/) +/(el, en) /(eo, e/))/(em, ej)+ +(/^0 /(e/, em)+/(el, e/) /(eo, em)+/(e/, eo) /(el, eIn))/(en, ej)+(/(el, e/) /(em, en)+/(e/, em)/(el, en) +/(em, ei)/(e/, en))/(eo, ej))/(ek)+ +((/(em, en)/(eo, el)+/(en, eo)/(em, el)+/(eo, em)/(en, el))/(ej, ek)+(/(en, eo)/(el, ej) +/(eo, ei) А^) +/(el, en) /(eo, ej))/(em, ek)+ +(/(eo, ei) /(ej, em)+/(el, ej) /(eo, em)+/(ej, eo) /(el, em))/(en, ek)+(/(el, ej) +/(em, ei)/(ej, en)) /(eo, ek)+
+(/(ej, em)/(en, eo)+/(em, en)/(ej, eo) +/(en, ej)/(em, eo))/(el, ek))/(e/)+((/(en, eo)/(el, ej)+/(eo, ei) /(en, ej)+/(el, en)/(eo, ej))/(ek, e/)+ +(/(eo, ei)/(ej, ek)+/(el, ej) /(eo, ek)+/(ej, eo)/(el, ek))/(en, e/)+(/(el, ej) /(ek, en)+/(ej, ek)/(el, en)+/(ek, ei)/(ej, en))/(eo, e/)+ +(/(ej, ek)/(en, eo)+/(ek, en)/(ej, eo)+/(en, ej)/(ek, eo))/(el, e/)+(/(ek, en)/(eo, el)+/(en, eo)/(ek, el)+/(eo, ek)/(en, el))/(ej, e/))/(em)+ +((/(eo, ei)/(ej, ek)+/(el, ej)/(eo, ek)+/(ej, eo)/(el, ek))/(e/, em)+(/(el, ej)/(ek, e/)+/(ej, ek)/(el, e/) +/(ek, el)/(ej, e/)) /(eo, em)+ +(/(ej, ek)/(e/, eo)+/(ek, e/)/(ej, eo)+/(e/, ej) /(ek, eo))/(el, em)+(/(ek, e/)/(eo, ei)+/(e/, eo)/(ek, ei)+/(eo, ek)/(e/, ei)) /(ej, em)+ +(/(e/, eo)/(el, ej)+/(eo, ei)/(e/, ej) +/(el, e/) /(eo, ej)) /(ek, em))/(en))=
=т05(((уи +у 1/ +/к/ mn+(/jk//m +/k//jm +//j/km) / т+(/к/ ш1 +//m/k шк^й) /кп+
+(/m1/jk+/ij/mk +/jm/ik) //п) /o+
+((/jk//m+/k//jm +//j/km)/no+(/k//mn+//m/kn +/mk//n)/jo+(//m/nj +/mn//j +/nl/mj) /кэ +(/mn/jk+/nj/mk+/jm/nk)//o+(/nj/k/ +^к/л/ +/kn/j/) /mo)/1 + +((/k//mn+//m/kn+/mk//n)/o1+(//m/no+/mn//o+/n//mo)/k1+(/mn/ok+/no/mk+/om/nk)//1 +(/no/k/ +/ok/nl +/kn/o/)/m1+(/ok//m+/k//om+//o/km)/ni) ^ + +((//m/no+/mn//o+/nl/mo)/ij+(/mn/o1 +/no/m1+/om/ni)//j +(/no/1/ +/o1/nl +/1n/o/) /mj +(/o1//m +/1//om +//o/im)/nj +(/1//mn +//m/in+/m1//n) /к +
+((lmnloi+lnolmi+lomlm)ljk+(lnolij +loilnj +linloj) lmk+(loiljm +lijlom +ljolim) lnk+(lijlmn +ljmlin +lmiljn)lok+(ljmlno+lmnljo+lnjlmo)lik:) ll + +((lnolij +loilnj +linloj) lkl+(loiljk +lijlok +ljolik) lnl +(lijlkn +ljklin +lkiljJ lol+(ljklno +lknljo +lnjlko)lil +(lknloi +lnolki +loklni) ljl) lm+ +((loiljk +lijlok+ljolik) llm+(lijlkl +ljklil +lkiljl) lom +(ljkllo +lklljo +lljlko) lim+(lklloi +llolki +loklli) ljm+(llolij +loillj +lilloj) lkm) ln)=
1/15((lijkl lmn+ljklmlin +lklmi ljn +llmij lkn +lmijk lln) lo +(ljklm lno+lklmnljo +llmnj lko+lmnjkllo +lnjkl lmo) li + +(lklmnloi +llmnolki +lmnoklli +lnokl lmi+loklmlni) lj +(llmnolij +lmnoillj +lnoil lmj+loilm lnj +lilmn loj) lk + +(lmnoiljk +lnoij lmk+loijm lnk+lijmnlok+ljmno lik) ll +(lnoij lkl +loijk lnl +lijkn lol +ljkno lil +lknoi ljl) lm+
+(loijk llm+lijkl lom+ljklo lim+lkloi ljm+lloij lkm) ln) 1/15(lijklmnlo+ljkmnoli+lklmnoilj+llmnoijlk+lmnoijkll+lnoijkllm+loijklmln) loijklmn
т. е. тензор полилинейной формы от семи переменных L7.
Спрашивается: как при переходе от базиса ei,…, en к новому базису ei ,…, en преобразуется тензор L7 линейной функции от семи переменных.
Пусть линейная функция от семи переменных l (a, b, c, d, e, f, g) записывается относительно базиса e1,…, en в
виде линейной формы от семи переменных /(а, Ь, сДе,^)=7УТУУУУ/,|к-тпоаЬ1с d emfngo=1/105 • (((АТL2В•СТL2D+ВТL2С•AТL2D+СТL2А•BТL2D)•ETL2F+ +(BТL2C•DТL2E+CТL2D•BТL2E+DТL2B • CТL2E)• ATL2 °F + +(CТL2D•EТL2A+DТL2E•CТL2A+EТL2C•DТL2A)•BTL2F+ +(DТL2E•AТL2B+EТL2A•DТL2B+AТL2D•EТL2B) • CTL2F+ +(EТL2A•BТL2C+AТL2B •EТL2C+BТL2E•AТL2C)•DTL2F)•L1 G+
+(GТL2A•BТL2C+AТL2B•GТL2C+BТL2G•AТL2C)•DTL2E+ +(AТL2B•CТL2D+BТL2C•AТL2D+CТL2A•BТL2D) • GTL2E+ +(BТL2C•DТL2G+CТL2D•BТL2G+DТL2B • СЬ^А^^ +(CТL2D• GТL2A+DТL2G• CТL2A+GТL2C•DТL2A)•BTL2E+ +(DТL2G•AТL2B+GТL2A•DТL2B+AТL2D• GТL2B) • СЬ2Е) Ь^)
при а=а1е1+… +апеп, Ь=Ь1е1+… +Ьпеп, с=с1е1+… +спеп, d=d1e1+… +dnen, е=е1е1+… +епеп, f=f1e1+… +fnen, g=g1e1+… +gnen с тензором Ь7, определяемым тензорами L2 и L1, а относительно базиса е1 ,…, еп в виде линейной формы от семи переменных
________1ук/тпоа _
(((А'-^Ъ '-•С'-ТL2'-D'-+B '-ТЬ2'-С'-^ А'-ТL2D '-+С'-ТЬ2А_'- •B'-ТL2'-D'-)•E'-TL2'-F'-+ +(Б '-^'-С'-^'-^'-Е'-+С1^^ B '-ТL2'-E'-+D'-ТL2'-B '-•С'-ТЬ2'-Е'-У А'-TL2'-F'-+
/(a, b, c, d, e, f, g)=yjJJJJJ,/llk/mnoa1Vck, d? em, f& quot-go=1/105 •
+(С'-ТL2'-D'-•E'-ТL2'-А'-+D'-ТL2'-E'-•С'-ТL2'-А'-+E'-ТL2'-С'-•D'-ТL2'-А'-)•B'-TL2'-F'-+ +(D'-ТL2'-E'-• А'-ТL2'-B Ч-Е'-^'-А'-^Ь-'-Б '-+А'-ТL2'-D '-•Е'-ТЬ2'-Б '-)• С'-^ТЧ-+(E'-ТL2'-А'-•B'-ТL2'-С'-+А'-ТL2'-B '-• E'-ТL2'-С'-+B '-^'-Е'-А'-^'-С'-)^'-1^'-)^
+(G'-ТL2'-А'-•B'-ТL2'-С'-+А'-ТL2'-B '-• G'-ТL2'-С'-+B '-ТL2'-G'-• А'-^'-С'-^'-^'-ЕЧ-+(А'-ТL2'-B '-• С'-ТL2'-D '-+B '-ТL2'-С'-•А'-ТL2'-D'-+С'-ТL2'-А'-•B'-ТL2'-D'-)• G'-TL2'-E'-+ +(B'-ТL2'-С'-•D'-ТL2'-G'-+С'-ТL2'-D'-•B'-ТL2'-G'-+D'-ТL2'-B'-•С'-ТL2'-G'-)•А'-TL2'-E'-+ +(С'-ТL2'-D'-•G'-ТL2'-А'-+D'-ТL2'-G'-•С'-ТL2'-А'-+G'-ТL2'-С'-•D'-ТL2'-А'-)•B'-TL2'-E'-+ +(D'-ТL2'-G'-•А'-ТL2'-B'-+G'-ТL2'-А'-•D'-ТL2'-B'-+А'-ТL2'-D'-•G'-ТL2'-B'-)•С'-TL2'-E'-)•L1'-F'-)
при а=а1е1,+… +апеп'-, Ь=Ь1е1'-+… +Ьпеп'-, с=с1'-е1,+… +сп, еп'-, d=d1'-el+… +dn'-en'-, е=е1'-е1+… +еп'-еп'-, 1=Г1'-е1+… +1п'-еп g=g1 е1 +… +gn еп с тензором Ь7, определяемым тензорами Ь2 и Ь1.
При этом е, =Х^к, ек и а,=?е1как, к=1,…, п, что соответствует матрице преобразования векторов
«1
H=
e i'- e 2'-
2 2
e i'- e 2'-
n n
e i'- e 2'-
e
n'-
e2n
т. е. преобразованиям А=НА'-, В=НВ'-, С=НС'-, D=HD'-, E=HE'-, F=HF'-, G=HG'-, т. е. AT=A'-THT, Bt=B'-tHt, CT=C'-THT, DT=D'-THT, ET=E'-THT, FT=F'-THT, GT=G'-THT. Тогда имеем
l (a, b, c, d, e, f, g)= 1/105((ATL2BCTL2D+BTL2CATL2D+CTL2ABTL2D)ETL2F+
+(BTL2C-DTL2E+CTL2D-BTL2E+DTL2B • CTL2E)^ ATL2F+(CrL2D-ETL2A+DTL2E- CTL2A+ETL2CDTL2A)BTL2F+ +(DTL2EATL2B+ETL2ADTL2B+ATL2DETL2B)CTL2F+(ETL2ABTL2C+ATL2BETL2C+BTL2EATL2C)DTL2F) L1G+
+(GtL2ABtL2C+AtL2BGtL2C+BtL2GAtL2C)DtL2E+(AtL2BCtL2D+BtL2CAtL2D+CtL2ABtL2D)GtL2E+ +(BtL2CDtL2G+CtL2DBtL2G+DtL2BCtL2G)AtL2E+(CtL2DGtL2A+DtL2GCtL2A+GtL2CDtL2A)BtL2E+ +(dtl2gatl2b+gtl2adtl2b+atl2dgtl2b)ctl2e)l1f)=1/105^
(((a'-thtl2hb'-c'-thtl2hd'-+b'-thtl2hc'-a'-thtl2hd'-+c'-thtl2ha'-b'-thtl2hd'-)e'-thtl2hf'-+(b'-thtl2hc'-d '-thtl2he'-+c'-thtl2hd'-b'-thtl2he'-+d'-thtl2hb'-c'-thtl2he'-)a'-thtl2hf'-+(c'-thtl2hd'-e'-thtl2ha'-+d'-tht l2he'-c'-thtl2ha'-+e'-thtl2hc'-d'-thtl2ha'-)b'-thtl2hf'-+
+(d'-thtl2he'-a'-thtl2hb'-+e'-thtl2ha'-d'-thtl2hb'-+a'-thtl2hd'-e'-thtl2hb'-)c'-thtl2hf'-+ +(e'-thtl2ha'-b'-thtl2hc'-+a'-thtl2hb'-e'-thtl2hc'-+b'-thtl2he'-a'-thtl2hc'-)e'-thtl2hf'-)l1hg'-+
n
+(g'-thtl2ha'- b '-thtl2hc'-+a'-thtl2hb '- g'-thtl2hc'-+b '-thtl2hg'- a'-thtl2hc'-) d '-thtl2he'-+
+(А'-тН1Ь2НВ '-С'-тН%НЪ '-+В '-THTL2HC '-А'-тН%НЪ '-+С '-^Н^НА '-•В '-THTL2HD '-^^Н^НЕЧ-
+(В '-тН^2НС '-Ъ '-тН^^'-+С'-тН%НЪ '-•В '-тН%НВ '-С ^Н^^У^Н^НЕ^
+(C'-THTL2HD '-^'-тН%НА'-+Ъ '-тН^ДО'-С'-тН%НА^'-тН%НС '-Ъ '-^^НАУВ '-THTL2HE '-+
+(Ъ '-тН^ДО'-А'-тН%НВ ^'-тН%НА'-Ъ '-THTL2HB '-+А'-тНт^& gt-НБ '-^'-тН%НВ '-)С '-THTL2HE '-^ОТ '-)=
= 1/105(((А'-1Ь2 '-В '-С '-ТL2 Ъ +В '-ТL2 '-С '-•А'-^ Ъ ^С^'-А^В '-ТL2 Ъ & gt-Е'-т^>- Е '-+
+(В '-ТL2'-C '-•Ъ '-ТL2'-E'-+C'-ТL2'-D '-•В '-ТL2 '-Е '-+Ъ '-ТL2'-B '-С '-^2'-Е& gt-А'-т^>- Е '-+
+(C'-ТL2'-D '-Е '-ТL2 '-А'-+Ъ '-ТL2 '-Е'-С % '-А'-+Е'-^'-С '-Ъ '-^'-АУВ '-TL2'-F '-+
+(Ъ '-ТL2'-E '-А'-^В '-+Е '-ТЪ2 '-А '-•Ъ '-ТL2'-B '-+A'-ТL2 Ъ '-•Е '-ТL2 '-В '-+
+(Е% '-А'-В '-ТL2 '-C'-+A'-ТL2 '-В '-Е '-ТL2'-C '-+В '-ТL2 '-Е '-•А'-^ '-С'-)Ъ '-TL2 Е
+(А'-ТL2'-B '-• С'-ТL2'-D '-+В %'-С'-А%'-Ъ'-+С%'-А'-В%'-Ъ& gt- G'-TL2'-E'-+ +(B'-ТL2'-С'-•D'-ТL2'-G'-+С'-ТL2'-D'-•B'-ТL2'-G'-+D'-ТL2'-B'-•С'-ТL2'-G'-)•А'-TL2'-E'-+ +(С'-ТL2'-D'-•G'-ТL2'-А'-+D'-ТL2'-G'-•С'-ТL2'-А'-+G'-ТL2'-С'-•D'-ТL2'-А'-)•B'-TL2'-E'-+ +(D'-ТL2'-G'-•А'-ТL2'-B'-+G'-ТL2'-А'-•D'-ТL2'-B'-+А'-ТL2'-D'-•G'-ТL2'-B'-)•С'-TL2'-E'-)•L1'-F'-) т. е. L2 '-=HTL2H и L1'-=L1H
Линейная функция седьмой степени аргумента, определенная в V1 соответственно записывается относительно базиса е1,…, еп формой /(адаАаАа^ХХХХХХХ/ук/ш^а'-а^а^а^^А^АА^АА^А^А, определяемой тензорами L2 и L1, а относительно базиса е1 ,…, еп формой
/(a, а, а, а, а, а, а)=XZZZZZZ^l. jк/mno, a1, aj, aк, aг, am, an, ao,=А, ТL2, А,•А, ТL2, А,•А, ТL2, А,•L1,А, определяемой тензорами L2, и L1'-, причем L2'-=HTL2H и L1'-=L1H.
Отметим, что тензоры симметрических полилинейных скалярных функций являются функциями тензоров билинейных и линейных симметрических функций, в полной мере определяющих метрические свойства векторного пространства. В работе рассмотрены тензоры симметрических скалярных функций одного, двух, …, семи векторов, определенных в рамках семимерной векторной алгебры. В случае п& gt-7 в линейных векторных пространствах V1 возможно определение тензоров симметрических скалярных функций большего числа векторов.
Список литературы
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука (Главная редакция физико-математической литературы), 1979. 512 с.
УДК 512. 7
Физико-математические науки
В работе рассмотрены вопросы построения семипараметровых унитарных унимодулярных SVв-преобразований (6×6) по отношению к 7-спинорам первого ранга для фундаментального набора из шести компонент, являющихся подгруппой SU6-группы. Найдены генераторы бесконечно малых преобразований и отдельные соотношения связи между ними. Эти операторы дают при серьёзной близости свойств SUз-симметрии существенные отличия.
Ключевые слова и фразы: семипараметровые операторы вращения- семимерные операторы вращения- унитарные преобразования- унимодулярные преобразования- 7-спиноры первого ранга- группы симметрии.
Анатолий Васильевич Коротков, к.т.н., д.ф. -м.н., доцент
Международный центр теоретической физики, г. Новочеркасск avkorotkovl945@yandex. ги
СЕМИМЕРНЫЕ СПИНОРНЫЕ АЛГЕБРЫ (c)
Волновая функция мультиплета частиц в спинорном представлении определяется совокупностью двух шестикомпонентных 8-спиноров 1-го ранга уа и фв, а операторный 8-спинор 2-го ранга рав имеет вид
раР=
рб+1р: 0 0 р2+1р5 р3+1р4 -р0+р7
0 -р2+1р5 у+ф1 0 р0+р7 -р3+1р4
0 -р6+1р'- -р3+1р4 р0+р7 0 -р2+1р5
р2+1р5 0 -р0+р7 р3+1р4 р6+1р: 0
р3+1р4 -р0+р7 0 р6+1р: р2+1р5 0
р0+р7 -р3+1р4 -р2+1р5 0 0 у+ф1
© Коротков А. В., 2012

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой