Дифференциальные алгебраические уравнения динамики управляемых систем

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Был проведен анализ поведения системы при фиксированном векторе b є B и для каждого потока П, были доказаны утверждения, приведенные ниже. Полное доказательство утверждений представлено в работах [4 — 6].
Введем обозначения:
Р ({Г = Г (s), ж, i = x, & amp-, i — 1 = y}) = Q, i (Г (s) — x- y) —
Y (j) = Г {Г (2j) Г (2j + 1) Г (2j+2)}'- Г (/) = Г {Г (2j) Г (2j + 1)}'-
Ej (Г (s)) = {(Г (s), x, 0): x є Х}, Г (s) є F (j) —
Ej (Г (2j)) = {(Г (2j), x, /,): x є Х} U {(Г (2j), 0, y): y = 0, lj -1}-
Ej (Г (2j + 1)) = {(Г (2j + 1), x, i'-j): x є Х} U {(Г (2j + 1), 0, y): y = 0, l'-j -1}.
Лемма 1. При заданном распределении трехмерного начального вектора (Г0, ж, 0, & amp-, ^) управляемая случайная векторная последовательность {(Гj, ж, i, & amp- i _ Д- i & gt- 0} является марковской.
Лемма 2. Пространство состояний случайной векторной последовательности {(Гь ж, i, & amp-, i _ Д- i & gt- 0} разбивается на незамкнутое подмножество {(Г (s), x, y): Г (s) є Г'-(/'-), x є Х, y = 1, l, } U {(Г (2j), x, y): (Г (2j + 1), x, y): x є Х,
y = l [¦ +1, l,} U {(Г (2j + 1), x, y): x є Х {0}, y = 0, l'-, — 1} несущественных состояний и на замкнутое подмножество
J ' J
r) ^
2 т ()
U E, (ГГ) существенных периодических состояний с периодом 2 т. r = 1
Автором были получены рекуррентные по i соотношения для одномерных распределений {Qj, i (Г (і) — x- y): Г (s) є Г, x є Х, y є Yj} последовательности {(Гь ж, i, & amp-, i_ Д- i & gt- 0}. Кроме этого, найденої рекуррентные соотношения для производящих функций
Ф, i (Г (s) — y- z) = I Q, j (Г (s) — x- y) zx за один такт работы системы и для производящих функций
x = 0
2m
Ф, 2ті(Г (5) — y-z) = I Qj, 2mi x- y) zx за пер
x = 0 r = 1
Данные соотношения использовались при доказательстве предельной теоремы.
T = I Tr, где i = 0, 1, …, Г® є Г, y є Yj, I z | & lt- 1.
Теорема. Для существования стационарного распределения последовательности {(Гі, ж, i, & amp-, i _ Д- i & gt- 0} необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства XJT -1j — l'-j & lt- 0.
Установлено, что в циклической системе обслуживания возможно существование стационарного распределения как для отдельного потока П, J = 1, т, так и для всей системы, в зависимости от выполнения либо только одного неравенства XjT — l, —
l'-j & lt- 0 при некотором J, или же т неравенств вида j-1, — l'-j & lt- 0, J = 1, m.
Литература
1. Федоткин М. А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики.- М.: Наука, 1996. — Вып. 6 — С. 51−70.
2. Федоткин М. А. Нелокальный способ задания управляемых случайных процессов // Математические вопросы кибернетики. — М.: Наука, 1998. — Вып. 7. — С. 3з3−344.
3. Ляпунов А. А., Яблонский С. В. Теоретические проблемы кибернетики // Проблемы кибернетики. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 5−22.
4. Нелокальное описание выходных потоков в системе с циклическим обслуживанием и переналадками, Е. В. Пройдакова, М. А. Федоткин, ННГУ, Нижний Новгород, 2004−27с. / Деп. в ВИНИТИ, № 1856 — В2004.
5. Анализ свойств выходных потоков в системе с циклическим обслуживанием и переналадками Е. В. Пройдакова, М. А. Федоткин, ННГУ, Нижний Новгород, 2005 — 32 с. / Деп. в ВИНИТИ, № 442 — В2005.
6. Пройдакова Е. В., Федоткин М. А. Управление выходными потоками в системе с циклическим обслуживанием и переналадками // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 06 — С. 96−107.
Шемелова О. В.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Аннотация
В работе рассматривается задача построения уравнений динамики управляемых систем различной физической природы с голономными и неголономными связями. В работе уравнения динамики составляются в форме уравнений Лагранжа.
Ключевые слова: дифференциальные алгебраические уравнения.
Keywords: differential algebraic equations.
Физическая система, дифференциальные уравнения, динамика.
Задача управления динамикой систем различной физической природы может описываться уравнениями Лагранжа второго
рода:
q = f.
d_ L -dL ЄЮ_ dt df dq df
+ф q K+^& gt-=q.
17
Здесь q — (q^,…, qn) — обобщенные координатні, L — T — V — функция Лагранжа, T — кинетическая коэнергия, V
потенциальная энергия,
D — диссипативная функция, Ф q —
'-& quot-эф ^
д% і
=
ґд%л
f і
Ф,(q, t) — 0, i — 1,…, m" -
уравнения голономных связей, (f, q, t) — 0, i — 1,…, m2 , — уравнения неголономных связей, j — 1,…, П, К, Ц —
соответствующие векторы множителей Кі,. ., К, Ці,…, Ц Лагранжа, Q — вектор обобщенных сил. Неопределенные
множители К и Ц подбираются таким образом, чтобы уравнения связей, наложенных на обобщенные координаты и скорости
системы, составляли её первые интегралы.
Уравнение Лагранжа второго рода преобразовывается к виду, разрешаемому относительно старших производных. Представление системы уравнений связей и уравнений Лагранжа второго рода в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с известными частными интегралами позволяет использовать стандартные численные методы для решения уравнений движения [1]. В работе рассматривается задача построения уравнений динамики систем различной физической природы с голономными связями и неголономными связями.
Среди разнообразных явлений различной физической природы нередко можно встретить похожие явления, обнаруживающие одинаковые признаки и закономерности. В таких случаях говорят о физических аналогиях, или аналогичных системах. Физические аналогии, существующие между электрическими, механическими, акустическими и другими системами, давно с успехом используются при исследованиях и расчетах. Методы, основанные на применении аналогий, в ряде случаев оказываются весьма плодотворными при решении задач. Они позволяют сводить решения некоторых задач к решениям других (уже известных) задач (зачастую из другого раздела физики).
В работах [2, 3, 4, 5] предлагается обобщение и унификация множества переменных, которые описывают динамику физической системы. Некоторую классификацию возможно также провести среди величин, характеризующих динамическое поведение систем различной физической природы.
В [2, 5] определяется унифицированное множество переменных, которое включает следующие известные величины: усилие, расход импульс и перемещение. Данное унифицированное множество может быть использовано для получения уравнений динамики механической системы. В [1, 2, 4] показано, что использование динамических аналогий позволяет строить уравнения динамики для систем различной физической природы.
Соответствующие физические величины можно представить унифицированным множеством в виде таблицы 1.
Таблица 1 — Унифицированные множества переменных для физических систем
Система Усилие e Расход f Перемещение q Импульс р
Механическая поступательная Сила F Скорость V Положение х Количество движения p
Механическая вращательная Вращающий момент X Угловая скорость ю Угол 0 Момент количества движения Н
Электрическая Электродвижущая сила е Сила тока i Заряд q Магнитный поток X
Акустическая Давление Р Скорость течения материала Q Объем у Давление импульса рр
Данная таблица позволяет сопоставить величины, аналогичные в каждой из четырех систем. Они указывают на динамическую аналогию, существующую между этими четырьмя системами.
Исследование всех систем различной физической природы может быть разделено на две части: на составление дифференциального уравнения, исходя из постановки задачи и физических законов, и на решение дифференциального уравнения.
Для построения уравнений динамики рассматриваются величины, которые характеризуют динамическое поведение систем различной физической природы. А так как уравнения динамики системы могут быть составлены в форме уравнений Лагранжа или в форме уравнений Гамильтона, среди динамических величин проводится некоторая классификация [5].
Уравнения динамики физической системы в форме Лагранжа получаются из общего уравнения динамики свободной
системы
[2, 6] в силу независимости обобщенных координат q^…, qn.
d дТ* дТ* dV dD «
---------------+ - + - - Qi,
dt dqj dqj dqj dq j j
j — 1,…, n,
(1)
где q1,…, qn — координаты перемещений, q^…, qn — координаты расходов, T — кинетическая коэнергия системы любой
физической природы [5], V — потенциальная энергия, D — диссипативная функция, Q — обобщенные силы.
Уравнение (1) соответствует системе n обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с n
неизвестными q1,…, qn. Основным условием вывода ОДУ Лагранжа (1) является независимость обобщенных координат
18
системы. Допустим, что на координаты перемещения и расходы наложены ограничения, удовлетворяющие m1 голономным и
m2 неголономным связям:
ф, (q, t) = о,
% (q, q, t) = 0,
i = 1,-, mj, i = 1,…, m.
(2)
(3)
Ф =
q
ґдФ гЛ
dq
%. =
q
Гд%, Л
V
dq
j = 1,…, n,
(4)
V Jj У
Для стабилизации связей (2), (3) вводятся уравнения программных связей [1]
Ф (., t) = y (t), (5)
% (q, q, t) = z (t). (6)
Правые части y (t), Z (t) равенств (5), (6) определяются как решения дифференциальных уравнений
У = g (У, У, z, q, q, t), Z = h (y, y, z, q, q, t), (7)
g (0, 0, 0, q, q, t)= 0, h (0, 0, 0, q, q, t)= 0.
Уравнения (7) должны быть рассмотрены совместно с уравнениями динамики и начальными условиями
q (t0)=9°. q (t0)=9°
q (t0)= Ф 0, y (t 0) = Ф0, z (t 0)=%0
, 0,= Ф0, Ж) = Ф0, zk'--& quot-10
Равенства (5), (6) составляют уравнения программных связей. Уравнения (7) являются уравнениями возмущений связей [1]. Уравнения программных связей (5), (6), как и уравнения обычных связей, накладывают ограничения на обобщенные координаты перемещения и координаты расхода точек системы.
Тогда ОДУ Лагранжа, с учетом уравнений (5), (6), приводятся к виду
d dT* dT* dV dD T, TlT
±----+ - + Ф q K + %9 Ц = б. (8)
dt d^/ dq dq dq
Движение, описываемое уравнением (8), должно удовлетворять также уравнениям программных связей (5) — (6). Таким образом, кинематические уравнения связей (5) — (6) добавляются к уравнениям движения (8) для получения векторов неизвестных множителей К и Ц.
Система (5), (6), (8) представляет собой систему дифференциальных уравнений динамики Лагранжа, которая содержит в себе П неявных относительно q ОДУ второго порядка, m1 + m2 уравнений связей (m1 голономных и m2 неголономных связей).
d dT *
Продифференцировав по времени слагаемое------, уравнение (8) можно представить в виде, допускающем решение
dt dq
относительно старших производных:
Mq + Ф T к+%Г ц = S
(9)
, d 2T _ d 2T. d 2T dT dV dD
где M (q, q, t) =------, S (q, q, t) = б---------q--------±-------------------.
dq dqdq dqdt dq dq dq
Это уравнение вместе с алгебраическими уравнениями связей (5), (6) составляет ДАУ в форме Лагранжа. А, вводя вектор координат расхода f=q, множество ДАУ Лагранжа из П ОДУ второго порядка преобразовывается к системе ОДУ первого порядка. Итак, система ДАУ имеет вид:
q = f,
Mf + Ф. к + %}ц = S, (10)
Ф = y, % = z.
Выполнение соответствующих преобразований для уравнений (10), которое включает исключение множителей К и Ц, а
также построение уравнений возмущений связей для учета стабилизации связей, позволяет получить следующую систему 2п уравнений первого порядка:
q=f,
а также
19

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой