Дифференцируемое отображение аффинного q m и проективного p n пространств (m

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 514. 757. 2
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО Qm И ПРОЕКТИВНОГО Pn ПРОСТРАНСТВ (m& lt-n)
Е. Т. Ивлев, М.А. Аль-Хассани, А.А. Лучинин
Томский политехнический университет E-mail: eam@tpu. ru
Доказывается, что с отображением аффинного и проективного пространств инвариантным образом определяются отображения аффинного пространства в многообразия вырожденных и невырожденных нуль-пар проективного пространства.
Ключевые слова:
Дифференцируемое отображение, многомерные аффинные и проективные пространства.
Key words:
Differentiable mapping, multidimensional affine and projective spaces.
Введение
Данная статья является продолжением статьи [1] и посвящена изучению дифференцируемого отображения аффинного ^ и проективного Рп пространств при т& lt-п.
В данной статье, как и в [1], решается задача об инвариантном определении отображений аффинного пространства ^ в многообразия М2п-1 вырожденных и М2п невырожденных нуль-пар проективного пространства Рп.
Статья состоит из трех разделов. В первом разделе приводится аналитический аппарат, связанный с определением отображения Утп: Ол^Рп (т<-п). Во втором разделе доказываются теоремы об инвариантном определении дифференцируемых отображений /т2п-1: 0м^М2п1 и /т2п: 0т^М2п (т<-п) с заданной в текущей точке оснащающей (п-т)-плоскости
Ьп_т^Рп к т-поверхности Бт в соответствующей при отображении Утп (т& lt-п) точке А0еРп. Третий раздел посвящен инвариантному определению оснащающей (п-т)-плоскости Ьп_т.
Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, а встречающиеся функции предполагаются функциями класса С& quot-. Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1−9].
1. Аналитический аппарат
1.1. Пусть задано т-мерное аффинное пространство, отнесенное к подвижному аффинному реперу Q={Б,'--a} с деривационными формулами и структурными уравнениями
йВ = 0аёа, йёа =вьа?ь, Бва =вь лвьа, БвЬ = вса лвЬ, (а, Ь, с = 1^). (1)
1.2. Рассмотрим п-мерное эквипроективное пространство Рп, отнесенное к подвижному экви-проективному реперу Р={Л1] с деривационными формулами и структурными уравнениями:
йА1 = ю/А/, Бю/ = ю/ ло/, (I,/, К, Ь = 0, п). (2)
Здесь предполагается, ч_то линейно независимые аналитические точки АкеРп удовлетворяют условию:
[А А,… Ап] =1, (3)
т. е. внешнее произведение аналитических точек Ак равно 1. Из (2) и (3) получаем
юК — ю°+ю! +… +&-п = о.
1.3. Будем рассматривать дифференцируемое отображение
V: О ^ Р (4)
т, п ^~-т п /
аффинного ^ и проективного Рп пространств. Реперы ^ и Р выбираются так, что дифференциальные уравнения отображения (4) принимают вид:
ю0 = Аа ва, (г,), к = 1, п). (5)
Здесь величины А’а с учетом (1) и (2) являются компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта первого порядка
г, = {а- }. (6)
отображения (5) в смысле Г. Ф. Лаптева [2, 3] и удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
йАЬ + А п) — АЬ вь = АЬь в,
П) = ю) -5Ую0, АаЬ ] = о. (7)
Заметим, что _геометрически отображение (4) направление и={Б,_а]и"е^ в точке Бе^ переводит в направление
х = (А, А) х'- = Vm пи (8)
пространства Рп в соответствующей точке А0еРп.
В данной статье в случае т& lt-п, как и в статье [1] в случае т=п, решается задача о нахождении полей геометрических образов, определяемых геометрическим объектом (6) и внутренним фундаментальным геометрическим объектом второго порядка
г2 = {а-, АЬь }, (9)
компоненты которого удовлетворяют дифференциальными уравнениям (7) и уравнениям
йАЬь + АЬЬ пу — АСь вс — Ас вс +
+а (а- 8) + АЬ 8) К = Аьс вс,
Ааьс] = 0, (а, ь, с = 1, т- Ь,), 1 = 1, п). (10)
2. Случай отображения Vm,"(m& lt-n)
В этом разделе будет использована следующая система индексов
а, ь, с, д = 1, т- Ь, у, к = 1, п- I,/, К = 0, п-
а, Р, у= 1, т- а, в, у = т +1, п. (11)
2.1. Заметим, что в рассматриваемом случае (т& lt-п) отображение (5) является инъективным отображением. При этом точкаА0еРп как образ точки БеОт описывает т-поверхность Бт в Рп, когда точка Б пробегает пространство От. Обозначим Ьт т-плоскость, касательную к Бт в точке А0, и канонизируем проективной репер Р пространства Рп так, чтобы
Ьт = (Л, А…, А,). ^ ^ (12)
Здесь и в дальнейшем символом Ь1=(Х0,Х1,., Х!.) обозначается 8-плоскость Ь8^Рп, проходящая через лин_ейно_ независимые аналитические точки ВД,…, Х8.
По аналогии с [4] с учетом (2), (5), (7)_(12) получаем
А = 0= 0, ю0 = а-ва, йА + Ап--Аввь=а:ь вь,
а: ю: = АаЪвъ, йАаь + Авь п — а вв — Ас вс + +(а: а+а- а: ю+Ав Ав ю" = Аьс вс,
А"ь] = 0, А^ьс] = 0. (13)
Отсюда следует, что с инъективным отображением (5) ассоциируется отображение
V: О ^ Ь. (14)
т, т ^~-т т /
Будем предполагать, что это отображение является невырожденным (биективным), т. е. det[Aа]^0. Тогда можно ввести в рассмотрение величины БI по формулам
ВаА-=8-, ВаАа = 8-.
а, а а ' а ь ь
йв- + вьав- - в-п- = в-в, (
В1 = - а-св-в- ,
— - ~: аь
=в- ю0,
ю: =а>-0 = А: ьв° ^ Ав =
=а1в: в- ^ аI- ]=0,
А: = 0 А: = А Аа А-
А[аьс] 0, Ааь Аав Аа Аь ,
А& amp- = авь, ^ + А--П" -- А^-. ^-ю^= А-Ю0, а--7 = а:" в-+а: ьв-г, а^ ] = 0.
ь П ь = а0, ь и Ь = р.
п-т 11 т п-т п
Проективный репер Р пространства Рп канонизируем так, чтобы
Ьп-т= ^ А + 1,•••, А). (17)
Из дифференциальных уравнений (2) с учетом (15)-(17) получаются дифференциальные уравне-
ния:
юа= аа
ю: = а: ю0 ^ А = А-, ва
а-
а-
йА:" + А1юа — Аа ю7а — аа"пв — 8 ю° = А. ю
а-
а- У
-- а
Аа: = 0.
а[ву ]
а-у
(18)
В соответствии с [6] и с учетом (17) заключаем, что аффинному пространству в соответствующем проективном пространстве отвечает многообразие Е (0-п-т-т), элемент которого состоит из точки А0, (п-т)-плоскости Ьп-т и т-плоскости Ьт. Поэтому с учетом (18), [5] и [6] заключаем, что каждой точке БеОт в проективном пространстве Рп отвечает (п-т-1)-плоскость Ьп-т1^Ьп-т, которая в терминах проективного репера Р определяется уравнениями
х- = 0, тх0 + А: х: = 0. (19)
аа 4 '-
В соответствии с определением 1 в [6] эта (п-т-1)-плоскость называется полярной (п-т-1)-плоскостью. Из (18) следует, что система величин А: а удовлетворяет дифференциальным уравнениям
— тю°- = А: а-Ю- (по, а суммировать). (20)
Проведем такую канонизацию проективного репера Р пространства Рп, при которой
а: = 0.
(21)
(15)
Из дифференциальных уравнений (20) с учетом (21) получаются следующие дифференциальные уравнения
Из дифференциальных уравнений (13) с учетом (15) получаем
ю- = А-ав, А: = - - А -.
а а- 0 а- т аа-
(22)
В соответствии с [7] из дифференциальных уравнений (22) заключаем, что канонизация репера Р типа (21) существует в точке БеОт. Геометрически эта канонизация с учетом (19) означает, что
Ьп-т-1 = (Ат + 1, А + 2, * * *, Ап). (23)
2.3.1. Заметим с учетом (14) и (17), что геометрически невырожденное_отображение Утт: Цт^Ьт каждое направление и={Б, _"}и" е переводит в направление хеРп:
х = (А0, Аа) х, а = {Утти и Ьп-т} п Ьт.
Поэтому в соответствии с [1] и с учетом (15) (16) можно ввести в рассмотрение величины
2.2. Обозначим Ьп_т (п& gt-т) оснащающую (нормальную) (п-т)-плоскость к т-поверхности Бт в точке А0еБт, соответствующую точке БеОт при отображении (14):
01- = Аъвав-, Са = о-, (24)
которые в силу (13) и (18) удовлетворяют диффе-ренциальыми уравнениям [1]:
IX
аа
dG: в+ G^Ql- GeQ- Gln- + ЩаЯ+818Гв)al = GY, свс,
G" = 0.
(З2)
й0а -па0-+ (т + 1) ю° = 0ав,
о- = -а^в- - ав-д в- -, (25)
Каждой точке БеОт в проективном пространстве Рп сопоставим гиперплоскость у, проходящую через (п-т)-плоскость Ьп_т, которую в терминах проективного репера Р с учетом (17) зададим уравнением:
лха = 0. (26)
Проведем для этой гиперплоскости рассуждения, аналогичные тем, которые проведены в [1] для гиперплоскости (17) и воспользуемся соотношениями (13)_(16). Тогда получим, что каждой гиперплоскости (26), проходящей через (п-т)-пло-скость Ьп_т и отвечающей точке Бе& lt-Ом в пространстве Рп, соответствует гиперконус кпч (у) с вершиной Ьп_т, определяемый уравнением
К"2−1(У) о Уу0а-хах- = 0х" = 0.
В силу (12) определяется нижеследующий конус
Кт- = п Ьт о уоI-хах- = 0.
Кт- = п Ьт о у701-хах- = 0. (27)
Точке БеОт в соответствующей _т-плоскости Ьт& lt-^Рп сопоставим точку Е-=2дА0+гаАа. Полярой этой точки относительно конуса К2т_еЬт в силу (27) является (т1)-плоскость у=Ьт1(у)еЬт, определяемая уравнениями:
У = Ьт-1(У) о У г 0га- ха z — = 0, (г- фиксированы). (28)
Таким образом, с учетом (15), (27) и (28) заключаем, что каждой точке БеОт отвечает центропроективное преобразование
«& quot- (29)
П (Z) = {z
Из (2б) с учетом (1), (22) и (32) получаются следующие дифференциальные уравнения:
а0 = лаава, лаа =
1
т +1
М — л. П13-л о — л. вь =-л0, вь. (33)
аа ра, а ар a: b, а ааЪ '- '-
Эти дифференциальные уравнения в соответствии с [Т] свидетельствуют о существовании канонизации проективного репера P типа (32). Геометрически _эта_кано_низация с учетом (31) означает, что Ln_l=(Al, A2,^, An). С помощью величинA: a, A% и G Ye с учетом (Зз), (1б), (24) и (32) в точке BєQж рассмотрим следующие величины
gab = 2 А (а 4», det[ gab ] * 0 g[аЪ] = 0 gabgbY=Sa ,
CPa= л: (алв)gab, с: = ^ C?. (34)
Из дифференциальных уравнений (2б), (33), (Т) и (16) получаются следующие дифференциальные уравнения в точке BєQm, которым удовлетворяют величины (34):
dg л —
¦gbc
rab + а-сЪва +
= gf вс ,
йС-+ С7П — С-П7 = С- ва, йс — с Пг = с в.
а, а у у, а а, а ' а у, а а а
Так же, как и в [1, (33)_(45)], где вместо индексов Ь, з, й надо иметь в виду индексы а, р, у=1,т, получаем в силу (17), что с системой величин ассоциируется в точке БеОт гиперплоскость *Ьп-1эА0, *Ь^Ьп-т, определяемая уравнением:
L,-Г с: x: = 0.
(Зб)
т-плоскости Ьт в себя с центром в точкеА0єРп, которое (т-І)-плоскость упЬт-1 переводит в (т-1)-плоскость уєЬт. Из (29) замечаем, что точке Вє^м в т-плоскости Ьт отвечает (т-І)-плоскость
= (2 єЬт |П (2) = 0} О
О z0 — а = 0,2″ = 0, (30)
которая в общем случае не проходит через точку А0.
Таким образом, с учетом (30) и (23) доказана следующая теорема.
Теорема 2.1. Каждой (п-т)-плоскости Ьп-т, соответствующей точке Вє^т, с отображением Ут, п: Ям^Рп (т<-п) инвариантным образом ассоциируется отображение /т2& quot--1:^т^И2"- аффинного пространства ^ в многообразие И2& quot- всех невырожденных нуль-пар {Ао,і& quot--іАгі"-ч}, где
I, = І, и І, О 20 — О 2а = 0. (31)
п-1 т-1 п-т-1 а V'--'--*-/
2.3.2. Проводится такая канонизация проективного репера Р пространства Рп в точке В є, при которой
Таким образом, с учетом (35) справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2. Каждой (п-т)-плоскости Ln-m в точке BeQm с отображением Vm/. QM^Pn (m<-n) инвариантным образом ассоциируется отображение /m2n-1: Qm^M2n-1 аффинного пространства Qn в многообразие M2n-1 всех вырожденных нуль-пар MofViK Ao?*Ln-iCpn.
3. Инвариантное оснащение
В этом пункте будет инвариантным образом определена оснащающая ^^^плоскость (17) в точке А0 е Sm& lt-^Pn, соответствующей точке B е Qm при отображении (14). ~
3.1. В соответствии с [5] с помощью величин Ар в (16) в точке A0eSm^Pn, отвечающей точке BeQm, рассмотрим следующие симметрические величины:
1 & quot-"- (36)
л: :2… :т _ л (:i & quot-"-:і '-лат
л = і л1[1 л1212 * *, л1т1т].
!
m!
Здесь, как обычно, символ () означает симметрирование, а символ [] _ альтернирование по соответствующим индексам, причем индексы «!, 02,. «т изменяются по закону:
ас Ъ
а 1, а 2,… а т = т +1,_, п.
Из (16) получаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины (36):
йЛа
+ Л
ааг… ат ґ& quot-а і
паі + Л
а і а, а з. а ,
па2 +… +
+Л «і^"т-і ««п"т = Л"щ2-«т ав
т + 2 & lt- п & lt-
2
(38)
3.2. С помощью величин (36) в точке про-
ведем такую канонизацию проективного репера Р пространства Рп, при которой [5]:
Л----р = 0, ф 0, Л ф 0, (а Фр). (39)
Здесь, А — определитель порядка (п-т)2, имеющий вид:
м_, мт:
Л =
м:
мп
м
мп.
иг-
мт-
мп.
мт-
мт-
, (40)
а
в = Лв
а'-
: Л. пв — Лв П. = Л. ав,
ау у уу, а аур 0
(а фр фу). (41)
Здесь явный вид величины, состоящих при (дЦ, для нас несущественный.
В соответствии с [7] дифференциальные уравнения (41) свидетельствуют о существовании канонизации репера Р типа (39).
3.3. Точке БеОт в соответствующем пространстве Рп сопоставим гиперплоскость ЬП-1(х)зЬт, определяемую в терминах проективного репера Р пространства Рп уравнением:
4−1(х) ^ х «= 0. (42)
Из (16), (2), (36) и (42) в соответствии с [5] получаем, что множество всех гиперплоскостей ЬП-1, содержащих Ьт и бесконечно близкие к Ьт первого порядка вдоль соответствующих фокальных [7, 8] направлений в точке А0е5т, определяет в Рп алгебраический гиперконус ФП-1 порядка т с вершиной Ьт. Этот гиперконус, в [9, 8] называемый фокальным, определяется уравнением
Ф^ о Ла
X- X- • аі а2
= 0.
(43)
Ч. (37)
Здесь явный вид величин, стоящих при д0 В, для нас несущественный. Заметим с учетом [5], что величины (36) определены при условии, если числа т и п удовлетворяют неравенствам
т (т + 3)
Заметим, что этот гиперконус определяется при всех т и п, удовлетворяющих с учетом (36) неравенствам (38).
3.4. Обозначим Жтч, т систему линейно независимых гиперплоскостей увуа, проходящих через Ьт и не принадлежащих гиперконусу Ф т-1. В соответствии с [5] эта система гиперплоскостей называется основной относительно ФП-1, если линейным полюсом (полюсом порядка т-1) каждой гиперплоскости ув относительно ФП-1 является (т+1)-пло-скость, проходящая через Ьт и принадлежащая всем остальным гиперплоскостям системы Wm-1. По аналогии с [5] из (43) получаем, что система WmnЛ будет основной тогда и только тогда, когда величины уа удовлетворяют системе алгебраических (п-т) уравнений
Л^.- у.. у- = 0, (Рфу).
(44)
¦¦¦ мп п 1 м
где Ма=|А"'-& quot-«вЦ, (афР, у) — (индекс, а фиксирован), а матрица Мв=|А"& quot-'- «|| состоит из одного ненулевого элемента, принадлежащего строке с номером в и столбцу с номером, а Заметим с учетом (39) и (41), что определитель, А в общем случае не равен нулю в точке Б е От. Поэтому в этой точке в силу (38) и (40) получаем с учетом (2) следующие дифференциальные уравнения
Как и в [5], показывается, что система (44) имеет в общем случае конечное число решений относительно уа. Геометрически это в силу (40) означает, что гиперплоскости Ь"П-1 и соответствующие им (т+1)-плоскости Ьт+1
4−1 «(Ьт, А + 1,_, Аа-1, Аа+1,_, А) ,
ЬП+1 «(4, А) (45)
образуют основную систему En_^еWm~}. При этом из рассмотрения исключается случай А=0, когда основные гиперплоскости Wn-1 определяются бесчисленным числом способов.
3.4.1. Точке БеОт сопоставим в соответствующем проективном пространстве Рп гиперплоскость
с- «(Ао, Д,_, А, А+2,_, А) «
«Ьт и С-2 и ••• и ь-1 (46)
(см. (45)). Из (46) и (45) в силу (2) и (41) следует,
что точка
X «х0 А0 + х, а Аа + ха Аа, (а Ф т +1),
отвечающая точке БеОт, описывает (п-т-1)-пло-
скость Ц
т-ш-і - характеристический элемент гипер-
плоскости Цт
т. е. совокупность касательных к
линиям, описываемым точкой X вдоль Бт, тогда и только тогда, когда х» и х"(- Фт+1) удовлетворяют системе линейных уравнений:
хт+1 = 0, Л™:1 Xв: х-л-+1 = 0, (- ф т: 1). (47)
ар аа 4 у
Проведем такую канонизацию проективного репера Р, при которой
Л: :2,а= 0,-, с1 = 0, *Л[л: -Ч Ф 0.
(48)
Из дифференциальных уравнений (41) и (2) в силу (48) получаются дифференциальные уравне-
ния
п-1
а» = а: ав •
: т+1 ат+ip О
аП+і = 4: +і, рав.
dA
: т+ів
+ А: о- Аа
а"± Y —
а
Pm+1P:: +1
— а: ав — 8ав а: = а: ю7
а т+іу р р, а а т+іву
cm -+m-і(а. A,+1… a).
(50)
При этом из рассмотрения исключается случай det[ALm^+1]=0, когда (п-т-1)-плоскость ЬП+Пч определяется бесчисленным числом способов.
3.4.2. Как и в случае гиперплоскости (46) в соответствии с (41) получаем, что характеристичес-ий элемент Ьпп-т-1 гиперплоскости Ьп-НЬтА^-Ач) определяется системой линейных уравнений:
хп = 0, хаЛП- + хапЛа- = 0, (а = т + 1, п — 1).
Отсюда с учетом (46) следует, что нижеследующая система линейных уравнений определяет прямую Ц — пересечение (я+1)-плоскости Ц-+≠(Цт Ат+і) с (п-я-1)-плоскостью Цпп-я-1:
хаЛПр+ хЛП+1-= 0, х™ :2 = = х = 0. (51)
Проводится такая канонизация проективного репера, при которой
л: +1,р = 0, аеі[Лр] Ф 0. (52)
Из дифференциальных уравнений (41) с учетом (2) и (52) получаются дифференциальные уравнения
dA: +i-+ап+ііО" — а: +і-а:+± - А°ав-$: ат+1=а: +
(а т+1, вт+1 «т + 2, п). (49)
Здесь явный вид величин, стоящих при а7, для нас несущественный.
Дифференциальные уравнения (49) свидетельствуют с учетом [7] о существование канонизации типа (48). Из (47) замечаем, что геометрически эта канонизация означает следующее:
^ в кх'-т + 1Ат + 1ву^'-. (53)
Здесь явный вид величин Ат+в для нас несущественный.
Дифференциальные уравнения (53) в соответствии с [7] свидетельствуют о существовании канонизации типа (52). Геометрически эта канонизация в силу (51) означает, что
Ь «(^, Ат+1). (54)
Из (50) и (54) следует, что оснащающая (п-т)-плоскость (17) в точке БеОт в соответствующем проективном пространстве теперь определяется инвариантным образом так, что Ьп-т=иЬт+"1−1. При этом дифференциальные уравнения (18) получаются из (49) и (53). Поэтому с учетом теорем 2.1 и 2.2 справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1. С отображением Утп: От^Рп в слу-
т (т + 3)
чае т & lt-п, т + 2 & lt-п<----------- инвариантным об-
разом ассоциируются конечным числом способов отображения
/Г: вт ^ м2п, М2п «{Ь-1, Ао}, Ао ип_-/Г-1: ^ М2п-М2п-1 «{Ьп-1, Ао}, Ао еЬЬп-1.
Заключение
Из теорем 2. 1, 2.2 и 3.1 следует, что для более глубокого изучения отображения Утп: Цм^Рп можно использовать с аналитической и геометрической точек зрения отображение аффинного пространства Qя в многообразия И2& quot--1 и Ы2п вырожденных и невырожденных нуль-пар проективного пространства Рп, соответственно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аль-Хассани М.А., Молдованова Е. А. Дифференцируемое отображение аффинного и проективного Рп пространств // Из-
вестия Томского политехнического университета. — 2013. -Т. 323. — № 2. — С. 28−32.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М.: ГИТТЛ, 1953. — Т. 2. — С. 275−382.
3. Лаптев Г. Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометрического семинара. Т.6. — М.: ВИНИТИ АНСССР, 1974. — С. 37−42.
4. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. Отображение аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. — 2010. — Т. 317. — № 2. — С. 8−14.
5. Ивлев Е. Т. О многообразии ?(Ц, Ця, Ця+1) в п-мерном проективном пространстве Рп (я& lt-п) // Сибирский математический журнал. — 1967. — Т. 8. — № 6. — С. 1307−1320.
6. Ивлев Е. Т. О многообразии E (0,n-m, m) в n-мерном проективном пространстве PJm& gt-2,n<-m (m+1)) // Сибирский математический журнал. — 1967. — Т. 5. — № 5. — С. 1143−1155.
7. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. Math pures et appl. (RNR). — 1962. -№ 2. — P. 231−240.
8. Акивис М. А. Фокальные образы поверхностей ранга r // Известия вузов. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9−19.
9. Акивис М. А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады А Н СССР. — 1962. — Т. 146. — № 3. -С. 515−518.
Поступила 03. 05. 2013 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой