Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 76−83 Механика
УДК 539. 3:534. 26
Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими
границами *
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное покрытие, плоский волновод.
Исследованию распространения звуковых волн в волноводах, содержащих упругие цилиндрические тела, посвящен ряд работ. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном изотропном упругом цилиндре в плоском слое жидкости с абсолютно мягкими границами изучена в [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [2]. В работах [3,4] найдены приближенные аналитические решения задач дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в плоских волноводах с акустически мягкими и жесткими стенками при произвольном расположении тела и произвольном распределении источников звука в волноводе. Дифракция звука на однородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами исследована в [5]. Дифракция звуковых волн на упругих цилиндрических телах с непрерывно-неоднородными покрытиями рассматривалась в работах [6,7]. Задача дифракции звуковых волн на сплошном упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами решена в [8].
В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13−01−97 514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1. 1333. 2014К).
Полагаем, что в плоский волновод с абсолютно жесткими границами помещен бесконечный однородный изотропный упругий цилиндр радиуса Го, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными А0 и ц0. Ось цилиндра параллельна плоским границам волновода. Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен Т. Плотность р и модули упругости А, ^ материала неоднородного покрытия являются функциями радиальной координаты. Волновод заполнен идеальной сжимаемой жидкостью. Ее плотность и скорость звука соответственно равны pi и с.
Систему прямоугольных координат x, y, z выберем так, чтобы ось x была направлена по нижней стенке волновода, ось y — перпендикулярно стенкам, ось z — параллельно оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости y = 0, верхняя — y = d, где d — ширина волновода. Положение оси цилиндра определяется уравнениями x = X0, y = Y0, -? & lt- z & lt- ?. Введем цилиндрическую систему координат т, ф, z так, чтобы координатная ось z являлась осью вращения цилиндра.
В волноводе вдоль оси x распространяется гармоническая звуковая волна давления p0 с круговой частотой -, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенном на расстоянии X0 от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель в-гш* будем опускать.
Определим акустическое поле в волноводе, а также найдем поля смещений в однородном упругом цилиндре и неоднородном покрытии.
Рассматриваемая задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.
В области x & gt- 0 давление первичного поля возмущений может быть представлено совокупностью распространяющихся в направлении оси x собственных волн волновода [1]
P0(x, y) = J2 Anelnx sin An y, (1)
n=0
где Yn = л/k2 — АП — An = -j — k = - - волновое число жидкости в волноводе- An — заданные амплитуды.
В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:
& lt-х
imф
Р0(т, ф)= am Jm (kT)eim
m=-oo
? (A
где am = imJ2 AneiYnXo sin (AnY0 — m arcsinj — Jm — цилиндрическая
k
n=0 k функция Бесселя порядка m.
Распространение малых возмущений в идеальной жидкости, заполняющей волновод, в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [9]
Ар + к2р = 0,
где р = ро + р3 — давление полного акустического поля в волноводе, р3 — давление рассеянного цилиндром акустического поля.
Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном цилиндре, в случае установившегося режима движения имеют вид [9]
АФ + к2Ф = 0, АФ + к2 Ф = 0, ё1уф = 0,
где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения- к = и/с — волновое число продольных упругих волн- кт = и/ст — волновое число поперечных упругих волн- с = л/(А0 + 20)/р0 и ст = л/ц0/р0 — скорости продольных и поперечных волн соответственно.
При этом вектор смещения частиц упругого изотропного однородного цилиндра и (0) = gradФ + го1Ф.
Так как Ф = Ф (т,^)ег, где ех — единичный вектор координатной оси г, то от векторного уравнения относительно потенциала Ф приходим к одному скалярному уравнению относительно функции Ф (т, ф):
АФ + к2тФ = 0.
Распространение упругих волн в неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды, которые для установившегося режима движения имеют вид [10]
до", 1, & amp-тт т
--1---я ±-= -и риг,
ОТ Т дф т
, 1, 2 т
±--+ -^ = -Штри^,
от т дф т
где иг, и& lt-р — компоненты вектора смещения и в неоднородном слое в цилиндрической системе координат- а^ - компоненты тензора напряжений.
Используя обобщенный закон Гука [10], последнюю систему уравнений запишем через компоненты вектора смещения и [11]:
и) d2ur + Л + V d2uv + д2Ur + Л, + 2, + dur +
дг2 r дгдф r2 дф2 r J дг
1 /. Л + 3и ди^ (Л Л + 2и 2
+ - [Л--^ ±--^ + u = 0,
r r J дф r r2)
д2uv Л + v д2ur Л + 2″ д
I / V дuv
V дr2 r дrдф r2 дф2 v r) дr
1 (, Л + 3и c) u, r (и! V 2
++ ^^) — + (- - - + ^p)^ -
(2)
г V г) дф V г г
Здесь и далее штрихами обозначено дифференцирование по аргументу.
При этом полагаем, что плотность материала неоднородного покрытия цилиндра р = р (г) описывается непрерывной функцией радиальной координаты г, а модули упругости Л = Л (г) и ц = ц (г) — дифференцируемыми функциями координаты г.
Искомые функции р3(г, ф), Ф (г, ф), Ф (г, ф), иг (г, ф), и^(г, ф), являющиеся решениями соответствующих дифференциальных уравнений, должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях неоднородного слоя.
Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости. Учитывая, что нормальная по отношению к границам волновода скорость частиц жид-1 др
кости уу = --, получаем следующую запись граничных условий:
грш ду
др (х, у) ду
° др (х, у)
= (3)
y=d
y=0 дУ
Граничные условия на внешней поверхности упругого покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения
r — r: -шщ — vr, orr — -р, arv — 0, (4)
1 др
где vr — -- - радиальная компонента вектора скорости частиц жид-
шр дr
кости.
На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения
r — r0 • ur — ur) uty — u[p) Orr — & amp-ГГ, — Ortp '- (5)
Кроме того, давление ps должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси x, а потенциалы Ф и Ф — условию ограниченности.
Граничные условия (4) и (5) запишем через компоненты вектора u и потенциалы Ф, Ф [8].
Давление рассеянного акустического поля ps будем искать в виде потенциала простого слоя:
p. s (x, y) = J vi (xo, yo) G (x, yxo, yo) dlo, (6)
Lo
где vi (xo, yo) — неизвестная функция, описывающая распределение источников поля ps на внешней поверхности неоднородного покрытия- G (x, yx0, y0) — функция Грина- L0 — окружность радиуса г1 с центром в точке (X0,Y0) — dl0 = rld0 — элемент контура интегрирования L0. Функция Грина является решением краевой задачи
AG + kjG = -S (x — x0) S (y — y0), (7)
д д
dyG (x, 0×0,y0) = -G (x, dx0, y0) = 0, (8)
lim — ikiG) = 0, (9)
dr)
где r = J (x — x0)2 + (y — y0)2 — расстояние между точкой наблюдения (x, y) и источником поля (x0,y0) на контуре L0- S — дельта-функция.
Краевые условия (8) для функции Грина вытекают из граничных условий (3) с учетом разложения (1). Условия (9) получаем из условий излучения на бесконечности для давления ps.
Решения задачи (7)-(9) получено в [4]. Функция Грина имеет вид
& lt-х
G (x, yx0, y0) =? d (1+ S) cos (Aray)cos (Aray0) eiYnlx-Xo1, (10)
n=0 d (1 + S0n) Yn
где S0n — символ Кронекера.
Вводя обозначение v (x0,y0) = rlvl (x0,y0) и переходя от декартовых координат x, y к полярным координатам r, ф, выражение (6) запишем в виде
2п
ps (r,& lt-p)= v (ip0)G (r, ipri,(p0)dp0- (11)
При этом функция плотности распределения источников V на внешней поверхности цилиндра зависит только от одной угловой координаты.
Благодаря представлению функции Грина в виде (10) функция р3, определенная формулой (11), удовлетворяет уравнению Гельмгольца, граничным условиям (3) и условиям излучения на бесконечности.
Таким образом, задача определения рассеянного поля р3 сводится к нахождению функции распределения источников V (фо), обеспечивающей выполнение граничных условий (4) и (5) на поверхностях неоднородного цилиндрического слоя.
Потенциалы Ф и Ф в однородной части тела, удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца, с учетом условия ограниченности будем искать в виде:
Ф (г, ф) =? ВтЗт^гУ™*, (12)
т=-те те
Ф (г, ф)=? СтЫКт) егт*. (13)
т-те
Вектор смещения и в неоднородном слое является периодической функцией ф с периодом 2^. Поэтому функции иг (г, ф) и и^(т, ф), удовлетворяющие системе уравнений (2), представим рядами Фурье:
те те
Пг (Г, ф)=? ЩтМе^, П1р (т, ф)= П2т (т)вгт^. (14)
т=-те т=-те
Подставляя выражения (14) в уравнения (2), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций п1т (г) и и2т (г) для каждого т (т = 0, ±1, ±2,…):
Атит + Втит + Стит =
0, (15)
где Ит = (П1т (г), П2т (г))Т- А m, Bm, Ст матрицы второго порядка [8].
Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье:
те
V (Ф)=? Ьтегт*. (16)
т= -те
Коэффициенты Вт, Ст, Ьт разложений (12), (13), (16) и четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (15) подлежат определению из семи граничных условий (4) и (5).
Из граничных условий находим коэффициенты Вт
и Ст, выраженные
через величины п1т (г0) и и2т (г0), и бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ьт, правые части которых выражены через величины и1т (г1) [8]:
Вт = [кг гот (кг Го) и1т (Го) + %тЗт (кг Го) П2т (Го)]го/Д, (17)
Ст = %тЗт (кго)п1т (го) — кгго3'-т (к1То)п2т (го)]го/Д, (18)
те
^ аптЬп = 1 т (т = 0, ±1, ±2,…). (19)
п=-те
Здесь
А — kikT rl. J'-m (ki ro) J'-m (kT ro) — m2Jm (hro)Jm (kT ro),
2n 2n
ri 2n2
о 0
anm — 5nm — -V M (ф, ф0
ri д fm ---[u2piuim (ri) — amkJ'-m (kri)] - M (ф, фо) — д-0^, vri, Po) •
П & lt-^r r=r
Кроме того, из граничных условий находим краевые условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (15) [8].
После решения каким-либо аналитическим или численным методом построенной краевой задачи по формулам (17) и (18) вычисляются коэффициенты Bm и Cm, а бесконечная система (19) решается методом усечения [12].
В результате получаем аналитические описания волновых полей в волноводе, в однородном цилиндре и его неоднородном покрытии.
Список литературы
1. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В. Е. Белов, С. М. Горский, А. Ю. Зиновьев, А. И. Хилько // Акуст. журн. 1994. Т. 40. Вып. 4. С. 548−560.
2. Толоконников Л. А., Садомов А. А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208−216.
3. Толоконников Л. А., Романов А. Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161−176.
4. Толоконников Л. А., Романов А. Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 1−2. С. 3−10.
5. Толоконников Л. А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154−163.
6. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265−274.
7. Иванов В. И., Скобельцын С. А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179−192.
8. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами //
Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 43−53.
9. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
10. Новацкий В. Теория упругости. Т.2. М.: Мир, 1975. 872 с.
11. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850−857.
12. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail. ru), д.ф. -м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with a non-uniform coating in a plane waveguide with absolutely rigid boundaries
L. A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical solution of the problem of the diffraction of sound waves by an elastic cylinder with a non-uniform coating in a plane waveguide with absolutely rigid boundaries is obtained.
Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, non-uniform coating, plane waveguide.
Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail. ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 18. 01. 2015

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой