Приближенное моделирование динамики системы трос тело в аэродинамической трубе

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Т о м VII 19 76 М³
УДК 629.7. 015. 4:533.6. 013. 43 629.7. 023
ПРИБЛИЖЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ТРОС — ТЕЛО В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
В. И. Валяев
Методом анализа уравнений возмущенного движения механической системы трос — тело, буксируемой в потоке несжимаемой жидкости, устанавливаются критерии построения модели для динамических испытаний в дозвуковой аэродинамической трубе.
Несмотря на большое число теоретических работ по динамикё троса с грузом на конце, буксируемого в несжимаемой жидкости, вопрос достоверного определения напряжений в сечении троса расчетным путем остается открытым. Это объясняется, главным образом, нелинейностью рассматриваемой системы трос — тело и влиянием большого числа факторов, от которых может зависеть характер ее поведения и роль которых заранее неизвестна.
Моделирование явления в аэродинамической трубе часто неосуществимо вследствие технологической невыполнимости требования геометрического подобия модели, являющегося следствием применения теории размерности к задаче о неустановившемся движении внутри жидкости [1]. Следует заметить, что для троса, находящегося в потоке несжимаемой жидкости, существует способ ослабления этого требования [2]. Он заключается в независимом выборе масштабов длин, измеряемых вдоль оси симметрии троса и в поперечном направлении. Благодаря независимости размерностей длины в различных направлениях получаемые на основании тс-теоремы безразмерные комплексы устраняют необходимость изготовления геометрически подобной модели. Однако при наличии концевого тела для этого требуются определенные физические предпосылки, которые, как правило, невыполнимы.
В данной работе устанавливаются критерии моделирования самовозбуждающихся колебаний троса с буксируемым телом в дозвуковой аэродинамической трубе. Они получены в результате анализа уравнения возмущенного движения и соответствующих граничных условий, выведенных в упрощенной двумерной постановке. Есть основания предполагать, что математическая модель
5-Ученые записки
65
схватывает суть явления, а необходимые поправки, вызванные влиянием неучтенных факторов, определятся в процессе эксперимента.
1. Рассмотрим динамическое поведение системы трос — тело в потоке несжимаемой жидкости. В зависимости от скоростного напора и числа Рейнольдса можно ожидать несколько типов движения. Это статическое отклонение системы под действием скоростного напора и силы тяжести, движение, обусловленное воздействием случайных вихрей и вихревой дорожки Кармана, а также
самовозбуждающиеся колебания, вызываемые взаимодействием системы с потоком. Зададимся целью моделирования самовозбуж-дающихся колебаний троса с телом в дозвуковой аэродинамической трубе, считая, что статическое отклонение системы нам известно и что оценка влияния воздействия случайных вихрей и дорожки Кармана, наряду с оценкой эффектов нелинейности, является целью планируемого эксперимента.
Для простоты изложения рассмотрим тело обтекаемой формы с осевой симметрией. Оно прикрепляется к свободному концу троса в точке пересечения оси симметрии с поверхностью тела {фиг. 1). Другой конец троса заделан. Трос имеет форму кругового цилиндра. Выпишем уравнение возмущенного движения системы относительно положения статического равновесия в двумерной постановке, считая, что движение троса и тела имеет место в плоскости, проходящей через вектор скорости потока и вектор ускорения свободного падения. Для этого воспользуемся схематизацией троса, описывающей его как гибкую нерастяжимую нить, находящуюся в дозвуковом потоке газа. Уравнение возмущенного движения такой нити для достаточно широкого диапазона чисел Рейнольдса имеет вид [3]
где т = т (х, ?) — вертикальное перемещение троса-
рт, ?), Т — соответственно погонная масса, диаметр и натяжение троса-
Фиг. 1

с (, сп — коэффициенты тангенциальной и нормальной составляющих аэродинамической силы- а — равновесный угол атаки,
^ - скоростной напор, ^ = р01/2/2- р0 — плотность газа-
V — скорость потока.
На фиг. 2 изображена система сил, действующих на элемент троса с11 (Гп, — нормальная и тангенциальная составляющие
аэродинамической силы, в — вес элемента). В заделке троса перемещение равно нулю: да (0, ?) = 0. На противоположном конце л = Ь выполняется условие свободного конца с грузом массой т, обтекаемым дозвуковым потоком газа. При этом предполагается, что угловая скорость тела мала по сравнению с величиной отношения скорости потока к характерной длине тела, а скорость возмущенного движения мала по сравнению со скоростью потока. Граничное условие в этом случае будем считать следствием уравнений движения центра тяжести буксируемого тела (см. фиг. 1) вида
Ма + Мт + Мт*=0, |
где Fg = nlg¦,
11 = ®--
Мг= [Т'Яц. т]-
мт = /& lt-*-
у = Ь) — ац. тР-
Р — угол поворота оси симметрии тела относительно оси Ох- ац. т — расстояние от точки крепления до центра тяжести- т, — масса тела-
Т — натяжение троса в месте крепления к телу, сх — коэффициент лобового сопротивления тела-
5 — площадь поперечного сечения тела-
_ _/ -момент инерции относительно центра тяжести-
Га, Ма — аэродинамическая сила и момент относительно центра тяжести.
Примем, что аэродинамическая сила и момент могут быть представлены в виде
Ра — сдБ- Ма = шг & lt-?5/,
где I — характерная длина тела-
с = съ 8 + e 8 -f- с''- у- mz = ml 8 + т 8 + т i'-
8 = a -j- Р-
Натяжение Т (х) в уравнении (1) зависит от аэродинамического сопротивления троса и тела и их весовых характеристик. Считая местный угол атаки, а неизменным по длине троса, можно записать: Т (х) — сх qS COS, а -± mg sin, а -f- (pm g sin, а + ctq D cos2 a) (L — x). (3)
2. Обезразмерим уравнение (1):
dw d^w., 9 ¦ n dw r,. — dw
T -^---------- + (ct cos2 a — cn Sin 2a) p ----2cn sin a p -- = 0,
dx dx j di2 dx dt
где
— w — x -г V t ~ Pn DL T
w = -, x = -, t --, p= ------------------, T =-----.
L L L V P m? mV 2
Учитывая соотношение (3), получим следующие безразмерные параметры, которые характеризуют явление, описываемое уравнением (1):
c^-^-cosa- mg sin я- sin a- ct p0 DL- eos2 a-
Pm Pm V2 V* ' ' Pm
Po DL, Po DL, r.
Cn™ Sin a- Cn--Sin 2a.
Pm Pm
Из последних двух отношений видно, что статический угол атаки a для натуры должен быть равен углу атаки модели. При выполнении этого условия явление будет определяться следующими пятью безразмерными комплексами:
«PoS mg gL ^ po DL „Po DL
'- * ' Л 1/9 * 1/9 * Л & gt-? ~ '-
Pm Pm * '- Pm Pm
Полагая коэффициенты cx, cn, ct модели равными соответствующим коэффициентам натуры, получим в результате четыре безразмерных комплекса, которые при наложенных выше требованиях к характеру обтекания модели и натуры служат в качестве критериев подобия-
PoS m gL S
Pm ' PmL ' V2 ' DL '- W
К этому списку необходимо добавить параметры, связанные с моделированием граничного условия на свободном конце троса.
Обезразмеривая уравнения (2) путем замены переменных 7 = ,
= получим безразмерные комплексы
Po SL po SIL2 р0 Saa TL2
С m ' m?:~ Т~ ' с 7 '
которые при условии геометрического и массового подобия, а также сохранения картины обтекания сводятся к двум:
PaSL rn. lL
Таким образом, безразмерные параметры, характеризующие математическую модель (1) и (2) при условии геометрического и массового подобия концевого тела, имеют вид:
p0d2 т gL dt mlL
' TF'- I '- u
Сделанное выше предположение относительно равенства местных статических углов атаки для натуры и модели является следствием выполнения условий подобия по параметрам (5). Действительно, представим систему, состоящую из большого числа шарнирно скрепленных между собой прямолинейных звеньев с длиной
fp = с“ t? jjs?n 2СХ-21-
Ct q/Д cos2к. z di
= cn qUsin 2oi1 di = ct %Д cos 2oc: d l
образующей di, которая при увеличении числа звеньев и уменьшении их длины стремится к длине рассматриваемого троса. Уравнения равновесия последнего звена такой системы запишутся следующим образом (фиг. 3):
— QJ — Fln cos -f- Fj sin otj 4- G1 = 0-
— Q + F sin „i + cos ®i =
QJ ^ cos aj — Q'- -y sin a! = 0.
Отсюда легко получить уравнение для определения статического угла атаки последнего звена? Xj
sin2 at __ рmg, g.
cos & lt-%! cn q D
и выражения для сил реакции Q* и QJ:
Q{ = Fln cos a, — FJ sin & lt-зл — G- ]
Q=-Flnsin a1--F cosaj. J
На основании этих соотношений можно выписать уравнения равновесия следующего звена, получить уравнение для определения его статического угла атаки, найти реакцию в точке подвеса и далее перейти к аналогичному описанию следующего звена. В результате для определения угла атаки k-vo звена будем иметь следующее уравнение:
2Q*& quot-1. I _ ,
(7)
где — силы реакции, определенные из решения уравне-
ний статического равновесия, описывающих систему из ?-1 звена.
Легко показать, что правая часть уравнения (6) является комбинацией первого, третьего и четвертого безразмерных комплексов в списке (5). Это означает, что при условии подобия по параметрам (5) выполняется равенство статических углов атаки последнего звена модели и натуры, схематизированной подобным образом. Аналогичный результат, если принять во внимание (6) и (7), следует из анализа уравнений (8). Таким образом, моделирование явления по параметрам (5) имеет в качестве следствия выполнение условия равенства местных статических углов атаки для троса. Наличие тела при х = /. сводится в рассмотренной выше системе к замене концевого звена динамически подобным телу элементом, и при условии подобия картины обтекания вывод о равенстве статических углов атаки модели и натуры остается в силе.
На основании равенства безразмерных параметров (5) для модели и натуры, принимая плотность воздуха р0 и ускорение свободного падения g для натуры и модели одинаковыми, после простых преобразований получаем следующие зависимости между масштабными коэффициентами:
Как видим, масштабные коэффициенты всех параметров математической модели (1) и (2) выражаются определенным образом через два независимых масштаба & amp- и Ад. Длина троса модели и его диаметр могут выбираться произвольным образом, что расширяет границы варьирования параметров модели и существенно упрощает ее изготовление.
В случае если применение списка безразмерных параметров (5) не снимает трудностей проектирования модели под заданные размеры рабочей части трубы, имеется неиспользованная возможность их преодоления, связанная с получением дополнительной информации о явлении на основании анализа общего решения уравнения (1). (Получение такого решения возможно благодаря упрощенной формулировке математической модели). Многочисленные исследования свидетельствуют о том, что в системах, подобных рассматриваемой, основную роль играют волновые движения типа „бегущей“ волны. Причем существует аналогия между колебаниями нити в дозвуковом потоке и вибрациями мембраны в сверхзвуковом потоке газа, указанная нам С. П. Стрелковым. Решение последней задачи в виде „бегущих“ волн подробно изучалось в работе [4] при условии постоянства натяжения в мембране.
На основании этого исследования следует, что возмущения, распространяющиеся по тросу в направлении вектора скорости, могут быть как затухающими, так и нарастающими в зависимости от величины отношения скорости потока к скорости распространения малых возмущений по тросу в пустоте. Отражаясь от свободного конца, возмущения всегда затухают, при этом отношение амплитуды бегущей волны в начальный момент времени Ь к амплитуде в момент ^ +равно:
— кько-, ?/ = (к, 1? о)3/2& gt- к1 — Ад.
где в нашем случае
Т (0) + T (L)
2
Для системы с достаточно длинным буксировочным тросом возмущения, отраженные от свободного конца, до заделки не доходят (область заделки является наиболее ответственным местом с точки зрения прочности). На основании этого вместо полной длины троса Ь можно ограничиться моделированием троса с некоторой меньшей характерной длиной. Характерная длина оценивается по соотношению (9) (если исходить, например, из условия, что амплитуда возмущения на этой длине должна уменьшиться в 20 раз). Сделанное добавление позволяет моделировать самовозбуждаю-щиеся колебания в достаточно широком классе систем трос-тело.
Автор приносит благодарность М. С. Галкину за участие в обсуждении результатов этой работы.
1. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.,. Наука“, 1967.
2. Huntley H. Е. Dimentionless analysis. London, 1953.
3. Anderson W. J. Dynamic instability of a cable in incompressible flow. AIAA Paper, N 73−395.
4. Г, а л к и н М. С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа. Статья в настоящем номере. Ученых записок ЦАГИ».
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 19/ХП 1974 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой