Приближенное решение в области аналитичности одного нелинейного дифференциального уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

В силу определения Ф матрица /ф диагональная: /ф = diag (Аф …, Ап). Построим матрицу /р по правилу /р = diag (|, к, 1п I). Тогда Г определится по формуле
р = 5 1/рБ. Поскольку справедливы соот-
2 * 2 2 ношения Ф2 = АА, Р = Ф, матрица Г и
является матрицей полярного разложения в силу своей положительной определенности.
Как было отмечено выше, матрица и находится по формуле
и = Г-1А.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зубов А. В. Динамическая безопасность управляемых систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов. СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. 172 с.
2. Зубов И. В. Анализ управляемых систем и равновесных движений / И. В. Зубов, Н. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб.: ВВМ, 2012. 322 с.
Поступила 15. 06. 2012.
УДК 517. 928. 4
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ В ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧНОСТИ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В. Н. Орлов, М. П. Гузь
В работе построено приближенное решение в области аналитичности для одного нелинейного дифференциального уравнения, с подвижными особыми точками, в общем случае не разрешимого в квадратурах. Улучшены оценки, полученные авторами ранее.
В работе [1] была рассмотрена задача Коши для нелинейного дифференциального м2 = таХ & lt- уравнения в нормальной форме.
Y '-(x) = Y 4(x) + r (x), (1)
Y (xo) = Yo. (2)
Для коэффициентов разложения реше-
r (n)
|Yo| - suPj
(x0)
— n = 0- 1−2- … -
которая в данной работе улучшена. Теорема 1. Пусть:
1) rix) е С& quot- в области K = {x: x -ния данной задачи в области аналитичности — х0| & lt- pi, pj & gt- О},
Y = I Cnl
0
была получена оценка
& quot-xo)П
2) 3 M1:
(n
Л
(x)
n!
& lt- M1- x e Kb
|C"| * 1 ¦ M-2
n
2n-1
(M + 1)
3n
где
где Mi = const, n = 0, 1, ….
Тогда решение задачи (2) — (3) является аналитической функцией
Y (x) = X C (x — xo) n (3)
o
© Орлов В. H., Гузь М. П., 2012
в области K-2 = {x: |x — x0 & lt- P2, P2 & gt- 0}, где
P2 = mm
r («)
(x0)
sup-
22 (M2 + 1)
, n = 0, 1, 2,
3 f, M2 = max
Yo
2 Cnn (x — x0) n 1 = 2 Cn (x — x0) n
1 V 0
+ 2 An (x — xo) n ¦ 0
Выполнив соответствующие операции, получим:
где
Z Cnn (x — x0)& quot- 1 = Z Dn (x — xo)& quot- +
1 0
+ Z An (x — x0) n & gt- 0
Dn = Z Cn-iCi, n = 0 1 2, ?=0
M2 = max
r (n)
|Yo| & gt- suPJ
(x0)
n!
Доказательство.
По условию теоремы имеем:
r (x) = Z Ai (x — x0) n. 0
Подставим данное выражение и ряд (3) в (1):
п = 0, 1, 2, … Предполагая оценку для Сп:
СП & lt- 1 ¦ М2 ¦ 22п-1 (М2 + 1) 3п, (8) п
методом математической индукции докажем ее справедливость. Из (8) имеем:
(п + 1) Си+1 = + Лг Из последнего с учетом оценки (8) и условия (1) теоремы 1 следует:
Сп+1 ^ -Ц (I Д + Лп) & lt- -Ц (I + |Лп) & lt-
п + 1 V I/ п + 1 М I !
(4)
n +1
Л
Z Dn-iDi + j^n v i=0
Cn+1 —
n +1
ЕС С ¦
^n-i-j^j
j
(f
Z ci-jcj j=0
(5) + Kl
n +1
?=0
n-i 1
Z (?-ij M2 & quot-
22(n-i-3)-1 ¦ (M2 + 1)3(n-i-j) 1. M2 ¦ 22 3−1 x
31
x (M2 + 1)33
2
Л /
У
Z ^ ¦ M2 ¦ 22(i-3)-1: j=0 (i — j)1
Dn* = Z Dn-iDi, n = 0, 1, 2, … ?=0
Равенство (5) обратится в тождество при условии:
n ¦ cn = DU + Л-1& gt- n = 1& gt- 2,
(M2 + 1)3(i-3) ¦ - ¦ M2 ¦ 223−1 ¦ (M2 + 1)33
Соотношение (6) позволяет однозначно определить все коэффициенты Сп.
Таким образом, получили формальное единственное представление решения задачи (1) — (2) в некоторой окрестности точки х0 в виде (3).
На втором этапе докажем сходимость ряда (3). Обозначим:
31
Л
(6) + M2
! + 1
M24 ¦ 22n-4 ¦ (M2 + 1)3n X
3n.
(/.
n f n-i л л
Z Z-1----
i=0 Vj=0(n -1 — j 1 j + 1
л л
* 1 1
X Z ---
j=0 (i — j)1 j1
+ 1
& lt- - ¦ М2 ¦ 22п+1 ¦ (М2 + 1)3п+3, п +1
при этом
(п — г — ] ^
71
1, если ] = п — г- г = 1- п — г — ], если / = 0, …, п — г — 1- г = 0, …, п — 1-
1, если / = 0- 7, если / = 0, …, г-
1, если / = п — г- г = 1- (г — Д = {(г — 7), если 7 = 0, …, п — г — 1- г = 0, …, г — 1. Рассмотрим ряд
1
У — ¦ М2 ¦ 2 1 ¦ (М2 + 1)3п ¦ х -х0Г, о п
являющийся мажорантой для ряда (3).
На основании признака Даламбера получаем сходимость этого ряда в области
х — Х0
1
22(М2 +1)
3
1
3N+3.
|У — Уп& lt-¦ М2 ¦ 22 1 ¦ (М2 + 1)3& quot- ¦ - X
п N +1 2 2
| X — Х01
N+1
1
1 — 22(М2 + 1)3 х — х0| & quot- х е К = {х: |х — х0 & lt- Р2, Р2 & gt- 0}, 1
где р2 = тт & lt-!р1,^-
22 ¦ (М2 + 1)3 '-'-
(п)
М'-2 = тах ¦& lt- У, sup —
| Т-•)(х0)|
г!
п = 0, 1, 2, …
Доказательство. С учетом оценок для коэффициентов Сп, полученных в теореме 1, имеем:
У — Уы & lt-
(r) п N п
2 Сп (х — х0) — 2 Сп (х — х0) & lt- 0 0
2 Сп (х — х0) п & lt- 2 — ¦ М'-2 ¦ 2
2п-1.
N+1
N+1 '-
, 2 N+1
Окончательно получаем сходимость ряда (3) в области
Iх — хо| & lt- Р2.
Таким образом, завершено доказательство теоремы 1.
Оценки, полученные в теореме 1 для коэффициентов Сп ряда (3), позволяют построить приближенное решение задачи Коши (1) — (2)
N
у = У Сп (х — х0) п. (9)
0
Теорема 2. Пусть выполняются пункты 1 и 2 теоремы 1, тогда для приближенного решения (9) задачи Коши (1) — (2) справедлива оценка погрешности
(М2 + 1)3п ¦ |х — х0 Г & lt--- ¦ М2 ¦ 2 N +1
X (М2 + 1)3Я+3 ¦ |х — х0|ы+1 X
1 — 22 ¦ (М2 + 1)3 ¦ х — х01
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения У'- (х) = У4 (х) + т (х), где
г (х) = 0, У (1) = 1. Задача Коши имеет точное решение
У = -
3х — 4
Вычислим радиус аналитичности с учетом начального условия задачи Коши.
= 1 Р2 = 22 ¦ (М2 + 1)3
0,560 039 177.
Выберем значение х = 0,12 в полученной области аналитичности.
Все расчеты представлены в табл. 1.
Таблица 1
X У У3 А А1 А2
0,1 0,12 0,6 500 791 007 0,6 500 791 026 0,19 0,109 049 371 0,14
Здесь У — точное значение решения уравнения- У3 — приближенное решение- Д — абсолютная погрешность- А^ - априорная погрешность, полученная по теореме 2- Д2 — апостериорная погрешность.
Теорема 2 позволяет решить обратную задачу теории погрешности, определить значение N по заданной точности приближенного решения е. Для случая е = 0,14 получаем значение N = 13. Фактически для N = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 получаем уточнения приближенного решения, которые в общей сумме не превышают требуемой точности е = 0,14.
Таким образом, мы можем ограничиться в структуре приближенного решения значением N = 3. При этом получаем величину Д2 апостериорной погрешности для приближенного решения У3, равную значению е = = 0,14.
При получении приближенного решения дифференциального уравнения часто приходится осуществлять аналитическое продолжение. Эта операция приводит к задаче: исследование влияния возмущения начальных условий задачи Коши на аналитическое приближенное решение рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения. При этом получает возмущенное начальное условие
П*о& gt- = УЬ. (10)
Возмущенное начальное условие (10) оказывает влияние на структуру аналитического приближенного решения (3), которое принимает следующий вид:
N
в области
где
AYn (x) & lt- At + Д2
x — X0 & lt- P4,
A1 & lt- -¦ M2 ¦ 2 +1 ¦ (M2 + 1)3N +3×1 N +1 2 2
X x — Xq'-
N+1
Д2 & lt- DM ¦
1 +
M-2 = max
1 — 22 ¦ (M2 + 1)3 x — x0|
2 ¦ (M2 + ДМ + 1)3 x — x0| 1 — 22 ¦ (M2 + DM + 1)3 x — x0
AM = A Y0, r (n) (xo)'-
Yo, sup-
n!
n = 0, 1, 2,
p4 = min (p2, Рз}
P2 = min {Pi
2
1
1.
22 ¦ (M2 + 1)3
P3
(11)
Yn (x) = ZCn (x — xg), 0
где Cn — возмущенные значения коэффициентов.
Теорема 3. Пусть:
1) r (x) е С& quot- в области K = {x: |x —
— x0 & lt- P1, P1 & gt- 0} -
r (n) (x)
2) 3 M1: -& lt- M1, где M, =
n! 1
= const, n = 0, 1, … -
3) известна оценка погрешности |Y0 —
— Y0 = ДУ0.
Тогда для аналитического приближенного решения (11) задачи Коши ((1), (10)) справедлива оценка погрешности
22 ¦ (M2 + AM + 1)3 '-
Доказательство. Используя классический подход, получаем:
DYn (x) = Y (x) — Yn (x) & lt- |Y (x) — Yn (x| + + Yn (x) — Yn (x)| & lt-
& quot- N
& lt- Z Cn (x — x0) n — Z Cn (x — x0) n 0 0
N & quot-
Z Cn (x — x0) — Z Cn (x — x0)
& lt- Z Cn (x — x0) n +
N +1
Z (Cn — Cn)(x — x0) n & lt- 0
ю N
& lt- Z Cn (x — xg) n + Z ACn x — Xg |n & lt- Ai + Д2,
N+1 0
где
I Сп Сп = АCn¦ Выражение для А^ следует из теоремы 2.
1
А-! & lt- -
N +1
N+1
¦ М2 ¦ 2Ш+1 ¦ (М2 + 1)^+3 х
X | X — Хо |
1
1 — 22 ¦ (М2 + 1)3 х — х0|
АСм+1 & lt-
¦ 22М+1 А М (М2 + А М + 1)
N +1
3М+3
где АМ — ЛС0 = АУо — возмущение начального условия задачи Коши.
Таким образом, для А2 получаем оценку
I (С
0
С») ¦ (х — Хо) п ^
& lt- I АСп ¦ |х — хоп = Д (5о +1ДСИ ¦ |х — хоп & lt- о 1
& lt- ДМ ¦
1 + -
2(М2 + ДМ + 1)3 |х — хо 1 — 22 ¦ (М2 + ДМ + 1)3 х — хо|
На основании рекуррентного соотношения для коэффициентов структуры приближенного решения (3), (6) имеем выражение:
Сп = Р3п+1 (с0, Ло& gt- А1, А2, ¦¦¦, А3п), где правая часть соотношения представляет собой полином степени 3п + 1 с положительными значениями элементов. При этом Со = = Уо — начальное условие (2), Ао, А1, А2, ¦¦., Азп — коэффициенты разложения функции г (х) уравнения (1) в ряд. Тогда для выражения АСп, учитывая закономерность образования коэффициентов Сп и их оценку (8), методом математической индукции получаем оценку
1
Оценка А2 справедлива для области
11= 1
IX — Хл I & lt- О о — -~-.
01 22 ¦ (М2 + АМ + 1)3
Окончательно выражение Аl/N (х) будет справедливо в области
X — Хо & lt- Р4,
где
р4 = min (Р2, Рз}, 1
Р2 = т1п & lt- Р1, & quot-2
22 ¦ (М2 + 1)3
Пример 2. Строим аналитическое продолжение для приближенного решения задачи Коши в примере 1.
Начальное условие задачи Коши Хо = = о, 12, У0 = о, 65оо77ооо. Величина возмущения не превышает значения е — 0,14.
Все расчеты представлены в табл. 2.
Таблица 2
хо X У Уз, А А* а2
о, 12 о, 143 о, 6 542 394 327 о, 6 542 373 178 о, ооооо21 о, о2 156 355 о, ооооо39
Здесь У — точное значение решения орная погрешность, полученная по теоре-уравнения- У3 — приближенное решение- ме 3- Л2 — апостериорная погреш-А — абсолютная погрешность- А* - апри- ность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Орлов В. Н. Теорема существования решения для одного нелинейного дифференциального уравнения / В. Н. Орлов, А. Я. Корнилов, М. П. Гузь // Вестн. РГСУ (Филиал г. Чебоксары) [Чебоксары]. 2о12. № 1. С. 128 131.
Поступила 06. 09. 2012.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой