Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных и нелинейных сингулярных и гиперсингулярных интегродифферен-циальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Обоснование приводится в пространствах Гельдера.
Ключевые слова: приближенные методы, сингулярные интегродифференциа-льные уравнения, гиперсингулярные интегродифференциальные уравнения.
Abstract. The authors suggest and substantiate approximate methods to solve linear and non-linear singular and hypersingular integro-differential equations in closed contours of integration. The substantiation is adduced in Helder space.
Key words: approximate methods, singular integro-differential equations,
hypersingular integro-differential equations.
Введение
Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений являются самостоятельным разделом вычислительной математики, активно развивающимся со второй половины двадцатого столетия. Этому направлению посвящены десятки монографий и сотни статей. Такое бурное развитие в первую очередь обусловлено многочисленными приложениями сингулярных интегральных уравнений в механике, аэродинамике, электродинамике.
По-видимому, первыми работами, непосредственно посвященными приближенным методам решения сингулярных интегродифференциальных уравнений, были статьи [1−4]. В работах [1−3] рассмотрен приближенный метод решения краевой задачи (1)-(2) и дано его обоснование сведением, с помощью представлений И. Н. Векуа и Ю. М. Крикунова, к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям. В работе [4] без доказательства дано приближенное решение краевой задачи для нелинейного сингулярного инте-гродифференциального уравнения. Представляет значительный интерес развитие метода, анонсированного в [4], так как он применим к обоснованию вычислительных схем для более общих классов уравнений, в частности, для обоснования приближенных методов решения полисингулярных интегро-дифференциальных уравнений.
1. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования
В данном разделе исследуются приближенные методы решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений
& amp-=^
k=0
/ч (k), ч, п 1 rx (k^т), 1 rhk (t, т) x (k)(т)
ak (t)x ()(t) + bk (t) — I----------dт + - -1-------------------dт
т — t Im* I /7-/1П
=f (t) (1)
при условиях
|х (ґ)ґ к 1С
1 = 0, к = 0,1,.т -1,
(2)
и краевой задачи
Кх = I
к=0
Ч (ґ) 4кV)+1 (¦4 ('-'-Т) Х ('-')(Т)
п: •& gt-
ё т
т -ґ
= / (ґ)
с граничными условиями
1 = 0, к = 0,1,., т -1.
Здесь у — единичная окружность с центром в начале координат. Предположим выполненными следующие условия:
а) а'- (ґ), Ь'- (ґ), /(ґ) є Иа, И'- (ґ, т) є Иа, а, 0 & lt- а & lt- 1-
б) а'-(ґ), Ь'-(ґ),/(ґ)є (5[0,2п], И'- є С[0,2гс]2-
в) а'-(ґ), Ь'-(ґ),/(ґ)є ГИа, И'-(ґ, т)є Жг, гИаа, к = 0,1,., т. Приближенное решение краевой задачи (1), (2) будем искать в виде
полинома
п -1
Л
хп (ґ) = ґт Іа'-ґ + ^ ак'-,
к=0 к=-п
коэффициенты которого определяются из системы уравнений
(3)
К х = Р
1^пЛ'-п-1п
I
'-=0
ґ з 1 /• х ('-) (т)
а'-(ґ)хп)(ґ) + Ь'-(ґ) — М----------------ёт +
2л^ т — ґ
±^ Р ик (ґ, тт, т) хп'-)(т
2п: л Ь
ё т
= Рп [ / (ґ)],
(4)
где Рп — оператор, отображающий пространство непрерывных функций на
™к
множество интерполяционных полиномов степени п по узлам ^ = е к, Sk = 2кп / (2п +1), к = 0,1,., 2п,
ё (ґ, т) =
т — ґ | п, если | а — 5 !& gt-•
2п 2п +1:
. 2п
: ------
е 2п+1 — 1|-п, если | а — 51& lt- -
2п +1
т = е: а, ґ = е:5.
Введем следующие пространства функций: X = Яр2 — пространство
функций, удовлетворяющих условию (2) и имеющих производную т порядка, входящую в класс Гельдера Нр, с нормой
=М (т)(х) + И (т)(х-в) = I тах| х (к)(ґ) | + 8ир
Г (т)(х.
(к)(
х (т)(ґ2) — х (т)(ґ1)
к=0 ГєУ
ґ2 *ґ1
ґ2 — ґ1|

У — пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера Яр
с нормой У у ||= М (0)(у) + Н (0)(у) — Хп с X — пространство функций вида хп (() — Уп с У — пространство полиномов степени не выше п.
Обоснование метода проводится при в & lt- а /2.
Представим уравнение (1) и вычислительную схему метода коллокации соответственно в следующем виде:
Кх = ат (ґ) х (т)(ґ) + Ьт (ґ) — Гх--------------- ё т + I
п: Л т — ґ «
т-1
п: •'- т — ґ
у
к=0
а, к (ґ) х (к)(ґ) +
… 1 г х (к) (т)
+Ьк (ґ) — I-----
п^ т — ґ
у
ё т
к=0
| т — ґ
(5)
и
К х = Р
^п^п ~ 1 п
ат (ґ) хпт) (ґ) + Ьт (ґ) — I%п (т) ё т п:
+Рп
+Рп
т-1
I
к=0
п: •'- т — ґ
У
а, к (ґ)хпк) (ґ) + Ь'- (ґ) -1хп (т) ёх
п: Л т — ґ
+
п: •'- т — ґ
У
+
т 1
1И (ґ, т т, т) х'- (т)ё т
к=0 2п: у
= Рп [ / (ґ)].
1 г х (т)
Введем функцию Ф (г) =-----------I-----ё т.
2п: ¦* т — г
У
Нетрудно видеть, что
ф
(к)(г) = _^ Гх ()(т) 2п: ^ т — г
ё т.
(6)
Воспользовавшись формулами Сохоцкого — Племеля [5]
х (т)(ґ) = ф (т)+ (ґ) — Ф (т) — (ґ),
— Г х (т)(т) й т = Ф (т)+ (() + Ф (т) — ((), т* т — (
L
уравнения (5) и (6) можно представить в следующем виде:
(ат (() + Ьт (())ф (т)+ (() + (Ьт (() — От (())Ф (т) — (() +
и
и
т-1
+2
к=0
ак (О х (к) (() + Ьк (0 — Г Х-- й т
т — (
У
1 ((, т) х (к)(т)
+
+
2- Г
?П7 Л
-й т = / (()
Рп
(От (() + Ьт (())Фпт)+ (() + (Ьт (0 — „т ((0 +
т-1
+2
к=0
+2
к=0
ак (0 х (к) (О + Ьк (0 — Г Х-- йх
ТС7 •& gt- т — (
+
2то- | т-(
У 1

= Рп [ / (()].
-1
Отметим, что
Ф (Т& gt-+ (() = 2ак {т+Т-1к. Ф (Т1-(0 = - 2 ак ^(т+^'-к-т.
к=0 к- к=-п (к 1) —
Уравнения (7) и (8) эквивалентны следующим:
Ф (т)+ (() + Ьт (() „т (() ф (т) — (() +
+ -
т-1
2
к=0
ат (() + Ьт (()
1 скк ((, т) х (к)(т)
ат (() + Ьт (()
ак (О х (к) (() + Ьк (0 — Гх-- йт
Л7 •& gt- т — (
+
+
к=0 т у |т-(|
1
ат (() + Ьт (()
/ (О
Рп
фпт)+ (()+Ьт (() ат (() фпт) — (()+
ат (() + Ьт (()
(7)
(8)
(9)
±
_1________
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
2
к=0
а, к (ґ)х& lt-пк)(ґ) + Ь'- (ґ) — Г хп (т) ёх
п: •& gt- т — ґ
п: •'- т — ґ
У
+
1 гИ'- (ґ, т) хп)(т)
ё т
к=0
| т — ґ |
= Рп
1
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(10)
Пусть функция G (i) = (Ьт (() — ат ())/(ат (() + Ьт (()) имеет индекс
X = т. Тогда функцию G (() можно представить в виде 0(() = imGo (i), где функция в0(() имеет индекс, равный нулю. Известно [5], что в этом случае
краевая задача Римана у+ (() = Go (()у (() имеет единственное решение, обращающееся в нуль на бесконечности.
Уравнения (9) и (10) можно представить в следующем виде:
Кх = у- (()ф (т)+ (() + (т у+ (()Ф (т) — (0 +
±
У+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
2
к=0
а, к (ґ)х (к)(ґ) + Ь'-(ґ)-1- Гх-(т)ёх п^ т — ґ
+I- Г
^ 2п: ¦& gt-
1 гИ'- (ґ, т) х (к)(т)
к=0
ё т
| т — ґ |
У
У+ (ґ)
+
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(11)
и
К х = Р
^п^п 2п
у& quot- (ґ)ф пт)+ (ґ) + ґту+ (ґ)Ф пот-“ (ґ) +
±
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
2
к=0
а'-(ґ)х^)(ґ) + Ь'-(ґ) — Гх (т) ёт
п^ т — ґ
У
+
+
I-Г
^ 2п: ¦& gt-
1 гИ'- (ґ, т) хпк)(т)
к=0
ё т
| т — ґ
= Рп
У+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(12)
Обозначим через уи (() и уи (() полиномы наилучшего равномерного приближения степени п к функциям у+ (() и у ((). Так как функция у+ (z) (у- (z)) — аналитическая внутри (вне) единичного круга с центром в начале
п
координат, то полиномы у+ (() и у — (() имеют вид у + (() = 2вк'-1'-.
к=0
-1
у- (()= 2 Рк (к.
к=-п
Замечание 1. Напомним [5], что через у+ (()(у- (()) обозначаются функции аналитические внутри (вне) единичной окружности у с центром в начале координат.
Замечание 2. Ищется решение задачи Римана у+ (() = Go (i)у- (()
с функцией у ((), удовлетворяющей условию у (^ = 0.
Аппроксимируем уравнения (11) и (12) следующими:
Ьх = уп (()Ф (т)+ (() + (т уп + (()Ф (т) — (() +
±
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
I
к=0
ак (ґ) х (к) (ґ) + Ь'- (ґ) -Л- Гх-(т ёт
п: •& gt- т — ґ
+
+I- Г
^ 2п: ¦& gt-
1 гИ'- (ґ, т) х (к)(т)
к=0
— ґ |П
ё т
| т -ґ
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(13)
и
+ -
їх = Р
±^пЛ'-п-1п
у + (ґ)
у- (ґ)Ф п (т)+ (ґ) + Г у / (ґ)Ф“ ^ - (ґ) +
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
I
к=0
а'- (ґ)хп ('-)(ґ) + Ь'- (ґ) — Гх--ёт п^ т — ґ
У
+
+
I-Г
2п: ¦& gt-
1 гИ'- (ґ, т) хп (к)(т)
к=0
ё т
| т -ґ |
= Рп
У+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(14)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий (а)
У у+ (ґ) — у + (ґ) ||& lt- сп-а+в,
У у- (ґ) — у- (ґ) ||& lt- сп-а+в. (15)
Так как оператор К є [X, У] непрерывно обратим, то из теоремы Банаха [6] следует, что оператор К є [X, У ] тоже непрерывно обратим. Отсюда и из
неравенств (15) следует, что при п таких, что q = сп а+в & lt-1, оператор ї є [X, У] непрерывно обратим.
Можно показать, что
Рп [уп (0Фпт)+ (о+ґту+ (ОФпт)-(0]=уп (ґ)опт)+ (о+ґту+(ґ)Фпт)-(о,
у+ (ґ)
т-1
-I
ат (ґ) + Ьт (ґ) кТ0
а'- (ґ) х (к)(ґ) + Ь'- (ґ)-Г х-- ё т п^ т — ґ
є И а
оператор
2п: ¦& gt-
И'- (ґ, т) х (к)(т) | т — ґ |п
ёт, к = 0,1,…, т, принадлежит [7] множеству
функций И^, где? = 1 при, а & gt- п, С = а + 1 — П при, а & lt- п и принадлежит классу функций Зигмунда при, а = п. Учитывая [8], что || Рп ||& lt- с 1пп из теоремы Банаха об обратном операторе [6], заключаем, что оператор
їх = у ~ (ґ)Ф (т)+ (ґ) + ґтуп+ (ґ)Ф (т) — (ґ) +
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
I
к=0
а'- (ґ)х (к) (ґ) + Ь'- (ґ) -1 Гх-- ёх п: J т — ґ
+
Ик (ґ, т) х (к)(т) | т — ґ |п
ёт
что
У
непрерывно обратим.
Из теоремы о левом обратном операторе [9] следует,
У Ьх ||у & gt- т У х | X. Следовательно, на подпространствах X и У Ьхп ||у & gt- т | | х |Х. Последнее неравенство эквивалентно следующему | | Ьпхп\у & gt- т| | хп |X. Из этого неравенства следует существование левого
п п
обратного оператора (Ьп)-1. Так как оператор Ьп — конечномерный, то из
существования левого обратного оператора (Ьп)-1 следует его обратимость.
Нетрудно видеть, что | | Кпхп — Ьпхп | |& lt- сп а+в 1пп. Следовательно, по
теореме Банаха об обратном операторе, при п таких, что ^ = сп-а+в 1п п & lt-1, уравнение (12) однозначно разрешимо. Так как уравнения (12) и (6) эквивалентны, то тем самым доказана однозначная разрешимость системы уравнений (6). Таким образом, доказано, что при п таких, что q = сп а+в 1п п & lt-1, метод коллокации (6) однозначно разрешим.
Переход от вычислительной схемы метода коллокации (6) к вычислительной схеме метода механических квадратур (4) проводится способом, подробно описанным в [7].
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции
& amp- (0 = (Ьт (0 — ат (0) / (ат (0 + К (0)
равен т. Тогда при п таких, что q = сп- 1пп & lt-1, ^ = тт (а-|3,1 -П-Р, Р), система уравнений (4) имеет единственное решение хп и справедлива оценка
II * *11 *
| |х (0-хп (0||& lt-сп Чпп, где х — решение краевой задачи (1), (2).
Рассмотрим изменения, которые нужно внести в обоснование метода в предположении, что индекс % функции 0(() % & gt- т.
Как и выше, краевая задача (1), (2) и система (6) метода коллокации сводятся к уравнениям (9) и (10). Так как функция О^) имеет индекс
% = т + т?1, то представим ее в виде О ^) = t % О*(^) = t %у+ ^)/ у*^), где
у* (t) — решение краевой задачи Римана у+ (t) = 0*^)у* (t).
Тогда уравнения (9) и (10) эквивалентны следующим:
у* (0ф (то)+(t) + ^ у+ (t)ф (т) — ^ +
+
у- (t)
Л (йт (t) + Ьт ^))
т-1 к=0
га'- •'- т -1
У
+
1 (•% (и т) х (к)(т)
к=0
I т-t |
у- (t)
(t) + Ьт ^))
-/ (t)
(16)
и
Рп
у- ^)Ф (т)+ (t)
т-1 к=0
+
+
1 (•% (t, т) х (к)(т)
к=0
ё т
I т-t |
= Рп
у- (t)
tml (am (t) + Ьт ^))
(17)
Обозначим через у+п ^) полином наилучшего равномерного
приближения степени п функции у+ (t), а через у-п-т ^) — полином наилучшего равномерного приближения степени (п — т^) функции у- (t).
у*--,^)фГ*и) т + (т)
---^(0ф!, т) (t)
Нетрудно видеть, что выражение
является тригонометрическим полиномом степени п. Поэтому к уравнениям (15), (16) можно применить рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1. В результате приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции
О») = (Ьт ^) — ат ^)) / (ат ^) + Ьт ^))
равен т + т1, т1& gt-0. Тогда при п таких, что q = сп- 1пп & lt-1,
^ = тт (а-Р, 1-п-Р, Р) система уравнений (4) имеет единственное решение
* * * -^ * хп и справедлива оценка | |х (t) — хп ^) 11& lt- сп1п п, где х — решение краевой задачи (1), (2).
t
г
Замечание 3. Утверждения теоремы остаются в силе, если вместо однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2) потребовать ее
разрешимость при любой правой части. В этом случае при обосновании достаточно воспользоваться общей теорией приближенных методов для обратимых справа операторов [7].
Рассмотрим теперь изменения, которые нужно внести в доказательство теоремы 1 в предположении, что индекс % функции О (0 меньше т.
Функцию О ^) можно представить в виде
0() = t %О^) = t % g+^)/g — ^),
где g± - решение краевой задачи g+(t) = 0l (t)g ^). Тогда уравнения (11), (12), рассуждениями, приведенными при доказательстве теоремы 1, преобразуются к уравнениям
^ g — (t)Ф (т)+ (t) — tmg + (t)Ф (т) — (t) +
+
'-(ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
I
к=0
а'- (ґ)х (к)(ґ) + Ь'- (ґ) -1 Гх-- ёх
пі •& gt- т — ґ
+
-I — Г
, «пі ¦& gt-
+ & gt- 2. ГИк (ґ, т) х (к)(т) ёт
к=0
| т — ґ |
ґт-Х & lt-¦
'-(ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ):
(18)
Рп [ґт-Х 8 — (ґ)Ф пт)+ (ґ) — ґmg + (ґ)Фпт) — (ґ) +
+
'-(ґ)
т-1
I
к=0
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т 1 гИ'- (ґ, т) хп)(т)
а'-(ґ)х& lt-пк)(ґ) + Ь'-(ґ) — Гхп (т) ёх
пі Л т — ґ
У
пі •'- т — ґ
+
+1 -1
пі
ё т
к=0
| т — ґ |
=Рп
-х ,
'-(0
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(19)
В случае, если функция g (I) ортогональна на единичной окружности полиномам t к, к = 1,2,., т -%, то выражение
т* g- (t)Фпт& gt-+ (t) — tmg+ и) Фпт) — (t)
является тригонометрическим полиномом порядка п. Здесь gn ^) — отрезок
ряда Лорана разложения функции g-(t) по степеням t-к, к = 1,2, ,., п-
gn (t) — наилучшее равномерное приближение функции g + (t) полиномами
п -го порядка по степеням, к = 0,1,., п.
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, приходим к следующему утверждению.
Теорема 3. Пусть краевая задача (1), (2) разрешима, выполнены условия (а) и индекс х функции О (ґ) = (Ьт (ґ) — ат (ґ)) / (ат (ґ) + Ьт (ґ)) меньше
т, функция 8 (ґ) ортогональна на единичной окружности полиномам ґ к,
к = 1,2,.- -х, Тогда при п таких, что q = сп- 1пп & lt-1, Ъ, = шіп (а — Р, 1 — п-Р, Р) система уравнений (4) имеет единственное решение
хп и справедлива оценка | |х (ґ) — хп (ґ) 11& lt- сп1п п, где х — решение краевой задачи (1), (2).
Рассмотрим линейные сингулярные интегродифференциальные уравнения
Кх = I
к=0
Ч (ґ) хп'-)(ґ)±17 Г ё т
п^ т — ґ
= / (ґ)
(20)
при граничных условиях
Гх (ґ)ґ к
1 = 0, к = 0,1,., т — 1.
(21)
Приближенное решение граничной задачи (20)-(21) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты {ак } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений:
К х = Р
¦?'--пЛп _ 1 п
т1 I'- (ґ) хп)(ґ)±Гр
к=0 піі
Ик (ґ, т) х (к)(т) т — ґ
ё т
= Рп [ / (ґ)]. (22)
Оператор Рп определен выше, а через Рп обозначен оператор проектирования на множество тригонометрических полиномов п порядка по узлам ґ, = ехр{/Т'- }, Т'- = (2к + 1) п/(2п +1), к = 0,1,., 2п.
Метод коллокации для уравнения (20) имеет вид
К х = Р
1^пЛ'-п-1п
Iак (ґ)4'-)(ґ) + - Г
, г. пі:
1 гИ'- (ґ, т) х (к)(т)
ё т
к=0
т
= Рп [ / (ґ)]. (23)
Для обоснования метода коллокации заметим, что уравнения (20) и (23) преобразуются к виду
Кх = I
к=0
/ч ('-)/ ч 7 / ч 1 сх (к)(тК 1 Ык (ґ, т) х (к)(т)
а, к (ґ)х ()(ґ) + И'-(ґ,ґ) — і----------------ёт + ^ Г
п/ л т — ґ пі ¦& gt-
У
ёт
пі ¦
| т — ґ |
= / (ґ) (24)
и
К х = Р
1^пл'-п-1п
I
к=0
(,) 1 с х (к)(т)
а,(ґ)х^п)(ґ) + И,(ґ,ґ) — М-ёт +
п^ т — 1
п/ •'- т — ґ
У
+
1 сёк (ґ, т) х (к)(т)
ё т
пі
У
| т — ґ
= Рп [/(ґ)].
(25)
Здесь (И,(ґ, т) — И'-(ґ,ґ))/ (т — ґ) = ё'-(ґ, т)/1 т — ґ |п, к = 0,1,., т.
Обоснование сходимости метода коллокации для задачи (24), (21) проведено при доказательстве теорем 1−3. Тем самым проведено доказательство сходимости метода коллокации для задачи (20), (21).
Переход от метода коллокации к методу механических квадратур проводится на основании рассуждений, подробно описанных в статье [10] и в разделе 2 главы 3 монографии [7], и здесь на этом не останавливаемся.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть краевая задача (20), (21) однозначно разрешима, выполненые условия (в) и индекс х функции
О (ґ) = (Ит (ґ,ґ) — ат (ґ)) / (Ит (ґ,ґ) + ат (ґ)) больше или равен т. Тогда при п таких, что q = сп-(г+а-в)1п п & lt-1, система
уравнений (22) имеет единственное решение хп и справедлива оценка
11 * п (г+а в) *
| |х (0 — хп (t) 11 & lt- сп К н-1п п, где х (^ - решение краевой задачи (20), (21).
В случае, если % & lt- т, приведенное утверждение справедливо при следующих дополнительных условиях:
1) функцию
О ^) = (Ит, t) — ат ^)) / (Ит, t) + От (t))
можно представить в виде О^) = tX0l (t) = tXg + (t)/ g ^), где g± - решение краевой задачи g+(t) = О^) g — (t) —
2) функция g (t) ортогональна на единичной окружности полиномам
Гк, к = 1,2,., т-%.
Рассмотрим нелинейное сингулярное интегродифференциальное урав-
нение
Кх = I
к=0
ак (ґ, х*)(ґ)) + ^ Г Ик (ґ • ^ х'-ІІ(т)) ё т
п^ т — ґ
= / (ґ)
при граничных условиях
Гх (ґ)ґ-к-1ёґ = 0, к = 0,1,., т — 1.
(26)
(27)
Приближенное решение граничной задачи (26)-(27) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты {ак } которого определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений
I
к=0
ак (ґ, х (к)(ґ)) + - Рп п/
Ик (ґ, т, хпк) (т))
ё т
= Рп [ / (ґ)]. (28)
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Будем считать выполненными следующие условия:
*
1) краевая задача (26), (27) имеет решение х ^), единственное в
*
некоторой сфере В (х, К) с радиусом К-
2) производная Фреше оператора К (х) непрерывно обратима в сфере
В (х*, К) —
3) функции ак (^и), к = 0,1,., т, удовлетворяют условию Гельдера по первой переменной и имеют производные, удовлетворяющие условию Гельдера по второй переменной-
4) функции Ик^, т, и), к = 0,1,., т, удовлетворяют условию Гельдера по первым двум переменным и имеют производные, удовлетворяющие условию Гельдера по третьей переменной.
Покажем, что при выполнении этих условий система уравнений (28)
*
имеет единственное решение хп и, если известно достаточно хорошее
*
начальное приближение хд к решению х, итерационный метод Ньютона -Канторовича
хп+1 а) = х1п ^) — [К'-п (х0)]-1 (Кп (х1п) — /п ^)), I = 0,1,. ,
*
сходится к решению хп ^) уравнения (28). Здесь Кп (х0) — производная Фреше оператора Кп (хп) на начальном элементе х0.
Доказательство этого утверждения состоит из следующих элементов:
1) доказательства обратимости оператора К'-п (х0) —
2) проверки выполнения условий теоремы 6.7 из первой главы монографии [7].
Существование обратного оператора [К'-п (х0)] 1 следует из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 4. Проверка условий теоремы 6.7 проводится по аналогии с рассуждениями, приведенными в главе 3 монографии [7].
3. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений
В этом разделе исследуются приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений вида
Кх = а ^)x,(t) + а0 (t)x (t) + Г х (Т)^Т
П7 * Т — t
+
т 1 т -1
т
+ МО Г МЩ + 2_ ГИ^, т) хТт = /(t) (29)
га — (т-t)2 2п7 ^
при граничном условии
: = 0. (30)
Г х (т)ё т =
Интегральные уравнения, в состав которых входят интегралы с сингулярными и гиперсингулярными ядрами, находят применение в теории антенн [10]. Аналитическое исследование таких уравнений при ряде ограничений проведено в [11], а численные методы рассмотрены в [12, 13].
Покажем, что для приближенного решения краевой задачи (29), (30) применимы методы, изложенные в предыдущем разделе.
Приближенное решения краевой задачи (29), (30) будем искать в виде полинома (3) (при т = 1), коэффициенты (а^} которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений
К х = Р
¦?'--пЛп _ 1 п
«1 (ґ) х'-п (ґ) + ао (ґ) Хп (ґ) + -П-) Г Хп (т)^ т +
— •& gt- т — і
+ Мґ) Г Хп (т)йт + __
'- (т — ґ)2 2го'-у
га
— Грп [(ґ, т) х (т)]Тт і •)
= Рп [/(ґ)].
(31)
Для обоснования сходимости вычислительной схемы (3), (31)
представим уравнение (29) в виде сингулярного интегродифференциального уравнения
«1 (ґ) х (ґ) + ао (ґ) х (ґ) + -1- Г пі З
-1 (ґ) г х (т)йт
+
±2(0 Гх (т)йт + 2_ ?Н (ґ, т) х (т)йт = /(ґ). Пі (т — ґ)2 2пі ^
Систему уравнений (31) представим в виде
К х = Р
¦?'--пЛп _ 1 п
«(ґ)хп (ґ) + ао (ґ)хп (ґ) + -Г т
Пі -1 т —
+
(32)
+ -ПО Г хп (т)й2т + 2_ГРп [, т) хп (Т)]йт Пі •& gt- (т — ґ)2 2га J
= Рп [/(0].
(33)
Обоснование вычислительной схемы (33) для краевой задачи (32), (30) проведено в предыдущем разделе. Нетрудно видеть, что полученные там результаты распространяются на вычислительную схему (31).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть краевая задача (29), (30) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции G (ґ) = (-2 (ґ) — а1 (ґ)) / (а1 (ґ) + -2 (ґ)) равен единице. Тогда при п таких, что
а = сп-% 1п п & lt-1,
% = тіп (а — Р, 1 — Л- Р, Р)
система уравнений (31) имеет единственное решение хп и справедлива
Замечание 4. Результаты, изложенные в работе, допускают распространение и на другие проекционные методы, в частности, на методы моментов и Бубнова — Галеркина. При этом нужно сделать следующие изменения в вычислительной схеме и доказательстве сходимости. Во-первых, предварительно перейти от краевой задачи (1)-(2) к краевой задаче (11), (2). Во-вторых, соответствующую вычислительную схему представить в виде
где Бп — оператор проектирования на соответствующее подпространство. В случае метода моментов этим подпространством является множество полиномов степени п и обоснование метода проводится в подпространстве пространства ?2.
Замечание 5. В случае, если коэффициенты и правые части уравнений удовлетворяют условию (б), необходимые изменения в обосновании вычислительных методов можно проследить, сравнивая приведенные выше выкладки, с рассуждениями, содержащимися в работе [14] (см. также книгу [7].)
В работе предложены вычислительные схемы методов коллокации и механических квадратур для приближенного решения сингулярных и гипер-сингулярных интегродифференциальных уравнений. Обоснование вычислительных схем проведено в пространствах Гельдера. Проведя аналогии между приведенными в данной статье доказательствами сходимости приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений в пространствах Гельдера и приведенными в главе 3 монографии [7] доказательствами сходимости решения сингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельдера и пространстве суммируемых функций, легко получить аналоги приведенных выше утверждений в пространствах суммируемых функций.
1. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Точные науки: сб. аспир. работ. -Казань: Изд-во КГУ, 1972. — С. 169−174.
2. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 1 [линейные уравнения] / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. — 1973. — Т. 9, № 8. — С. 1493−1502.
* *11 * оценка | |х (^) -хп (^) 1|& lt- сп Мпп, где х — решение краевой задачи (29), (30).
Бп у- (ґ)Фпт)+ (ґ) + ґту+ (ґ)Фпт) — (ґ) +
Заключение
Список литература
3. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференци-альных уравнений 2 / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. -1975. — Т. 11, № 3. — C. 562−571.
4. Бойков, И. В. Принцип компактной апроксимации в возмущенном методе Га-леркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. — 1974. — Т. 215, № 1. — C. 11−14.
5. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Наука, 1963. — 64О c.
6. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.: Наука, 1965. — 54О с.
7. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. — Пенза: Изд-во ПГУ, 2ОО4. — 316 с.
S. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. — М. — Л., 1949. — 6SS с.
9. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Наука, 1959. — 6S4 с.
10. Бойков, И. В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1972. — Т. 12, № 6. — С. Ш1−1З9О.
11. Лифанов, И. К. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн / И. К. Лифанов, А. С. Ненашев // Дифференциальные уравнения. -2ОО5. — Т. 41, № 1. — С. 121−137.
12. Лифанов, И. К. К решению составных особых интегральных уравнений / И. К. Лифанов // Успехи современной радиотехники. — 2ОО6. — № S. — С. 62−67.
13. Бойков, И. В. Приближенные методы решения составных особых интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: тр. II Между-нар. науч. -техн. конф. — Пенза, 2ОО7. — С. 31−36.
14. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Математические заметки. — 1972. — Т. 12, № 2. — С. 177−1S6.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
Е-шаП: math@pnzgu. ru
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
Е-шаЛ: math@pnzgu. ru
Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,
Penza State University
Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University
УДК 517. 392 Бойков, И. В.
Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингуляр-ных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2О12. — № 3 (23). — С. 99−113.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой