Приближенный аналитический метод расчета стационарного температурного поля цилиндрического резервуара с многослойными стенками

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Общетехнические и социальные проблемы
293
УДК 620. 9: 621. 3: 536. 24
Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА С МНОГОСЛОЙНЫМИ СТЕНКАМИ
Рассматривается осесимметричная задача о распределении температур в многослойных стенках резервуара в форме прямого кругового цилиндра. Получено приближенное аналитическое решение задачи. Построенные с его использованием численные данные сопоставлены с результатами применения численных методов.
Выведены и использованы новые приближенные формулы для поиска собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля.
теплота, круговой цилиндр, многослойные стенки, приближенные формулы.
Введение
Вопросам нахождения температурного поля в многослойных конструкциях посвящен ряд работ [1]-[3]. Актуальность таких работ продиктована потребностями различных областей техники, например производства полупроводниковых приборов, создания эффективного водонагревательного оборудования, строительства энергоэффективных зданий и сооружений. Подробный обзор работ по расчету тепловых полей в многослойных конструкциях приведен в [4].
Настоящая работа является продолжением работ авторов, начатых в [5]-[7].
1 Постановка задачи
Разыскивается температурное поле в стенках цилиндрического резервуара (рис. 1, а). Цилиндрическая стенка R0 & lt- r & lt- RM, |z| & lt- HM,
разделена поверхностями r = Rm (m = 1, 2, …, M — 1) на M слоев, Rm — 1 & lt- r & lt- Rm. Одинаковые плоские днища H0 & lt- |z| & lt- HM, r & lt- RM, в свою очередь разделены плоскостями |z| = Hm (m = 1, 2, …, M — 1) на M слоев, Hm _ 1 & lt- |z| & lt- Hm. Соседние слои заняты материалами с различными теплофизическими свойствами.
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
ОбЩетехнические и социальные проблемы
Рис. 1. Геометрия системы
Используются обозначения:
т т
3. =^+EV Я" = я0+?лу,
7=1 7=1
hm (m = 1, 2,. M) — толщина m-го слоя.
В силу симметричности конструкции далее рассматриваются только четные по переменной z процессы. Это ограничение непринципиально и используется во избежание громоздкости выкладок.
Температура в материале стенок T (r, z) удовлетворяет однородному уравнению Лапласа
Ar (r, z) = 0, (1)
неоднородным граничным условиям третьего рода на цилиндрических поверхностях
(2)
(3)
и на плоских вертикальных поверхностях
дг Хм j
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
Общетехнические и социальные проблемы
295
z=+Hо, r& lt-Ro
= ^/, —
У
(4)
(5)
Z=+HM, Г& lt-ЛМ
Здесь, А — оператор Лапласа в цилиндрических координатах- Ut, at -соответственно температуры среды и коэффициенты теплоотдачи внутренних (t = 1) и внешних (t = 2) поверхностей конструкции- U & gt- U2, Xm (m = 1, 2, …, M) — коэффициент теплопроводности m-го слоя. В (4), (5) и всюду далее символ «±» означает, что используются одновременно либо все верхние, либо все нижние знаки.
На поверхности контакта каждой пары соседних слоев, а также на конической поверхности контакта цилиндрической и плоских стенок выполняются условия сопряжения:
T (R-0,z)-T (R+0,z) = 0
X.
dT (r, z)
dr
-X
dT (r, z)
т+1
r=Rm~0
dr
= 0-
Г=Кт+ 0
г — Rq & gt- |z| - Hq, т = 1.2. / - 1:
T (r,±Нт-0)-Т (г, ±Н +0) = 0-
А.
dT (r, z)
dz
-X
dT (r, z)
m+1
z =# m-0
& amp-
= 0-
г =Я «,+0
r — Rq & lt- Ы —, m = l, 2, M-l-
T (r, z)|
r-RQ=z-H0−0
~T (r, z) I
r-_RQ=|z|-//0+0
= 0:

3
dz
r (r, z)
(r 9 sL 9
T (r, z)
W
г-_Ко=|г|-//о0
Rq & lt-r & lt- RM.
dr dz
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
= 0
r-RQ=z-H0 +0
(11)
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
Общетехнические и социальные проблемы
2 Аналитическое решение
Температурное поле Ts)(r, z) в стенках резервуара определяется раздельно в цилиндрической области ^ = [R0 & lt- r & lt- RM, r — R0 & gt- |z| - H0} (s = 1) и в плоской дисковой области2 = [H0 & lt- |z| & lt- HM, r — R0 & lt- |z| - Hq} (s = 2).
Решение поставленной задачи разыскивается в виде сумм:
T (s) (г, z) = T (sV) (г, z) + T (s2) (r, z), s = 1,2. (12)
Слагаемые в (12) являются кусочно-однородными функциями и выражаются своими зонными составляющими:
Tm (r, z)= T"'-r, z), R,"_l& lt-r<-Rll
т=1,2,…, М
, t = 1,2,
T (2,'-(r, z) = T'--2,(r, z), Hm,& lt-z<-H», r = 1,2
v? / m v? y? m-l m л Л 7
m=1,2,…, ти
Используются представления:
N
ТГ (г, 2) = ^Т^(г, гу,
(13)
п=О
T^r, z) = coshQjfz) J0 (рЦ'-г) + б*-, 1'-}- (р& lt-1:V)
Tla& gt-(r, z) = a^n (qr) + b{: r>--
m '
jV
TL2lr, z) = ^?T^r, zy,
(14)
(15)
n=0 /2)'-
rJ"f (r& gt-z) = /o (P®r) cos p®(|z|-tf0) +6'21& gt-sin Р®(|2|-яо) —
Ы06)
Jjyx), F^(x), I^(x) — функции Бесселя порядка ц- N — неотрицательное целое- единичный множитель q = 1/м имеет размерность, обратную длине. Величины N, с (} пока не определены.
Столбцы коэффициентов
т
Y (*i) _ nW h (si) nW) h (si)
л un & gt-un 5U2n & gt-u2n 5
a (sl) b (sl) '- s = 12
¦& gt-U'-Mn 5 uMn ' °
участвующих в разложениях (13), (15), являются (при каждом индексе n) решением алгебраических однородных систем линейных уравнений
L{sl)(p{ns))x{sl) =0.
(17)
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
Общетехнические и социальные проблемы
297
В матрице L (st)(p) размерами 2M х 2M отличны от нуля только следующие элементы:
0L
^p) = pZt (pE^)-^JpEyy,
К
ал
^р) = Р^(рЕУ)-^ЛрЕ^У
К
еУ1м{р) = -4^i (/o=^(ре-: у
е (?2Лр) = -Е (?2т+2(р) =t (pE (: y) —
T (st)
^2т+, 2т-
Ар)=ЖАреА А
2т+, 2т+
(р) = -К+ААрАуУ
T (st)
2т+, 2т
(р) = К А, (рЕг) — УЖ.2 (р) = Ж А, А: ') —
т-1, 2,…, М-1-
4JU-, О") = /С WС, (рЗ,& quot-) —
(*)'-
а.
ЧЧч
А,
'-М
А?, м (р) = р? АрАу)+т2-^Арем)'
х
'-М
причем ^(x) = Jo (4 5n (x) = 70(х),lM = cos (x),i (x) = sin (x) — здесь Е^ = Rm, = Нт. Фактор p (ns) следует рассматривать как
корень уравнения, которое является условием существования нетривиального решения однородной системы (17):
detL (5l)Cp) = 0. (18)
Уравнение (18) имеет для каждого значения индекса s свое счетное множество решений, нумеруемых индексом n (n = 0, 1, 2, …). Это множество составляет набор собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля для многослойного полого цилиндра (s = 1) либо многослойной пластины (S = 2).
В работе [3] отмечено, что среди факторов p{ns} решающее влияние на
точность получаемого решения оказывают те из них, для которых n = 0. Поэтому представляется полезным применить приближенный метод
поиска p, основанный на разложении по степеням малого параметра 8 = max (a1?a2)x max hm/Xm самой величины p в уравнении (15) и
1 & lt-т<-М
затем левой части этого уравнения:
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
?98Щетехнические и социальные проблемы
«(1) ~ й (1)-Ро ~ Ро & gt- 8-& gt-0 (19)
п (2) „й (2) Ро ~пРо ¦ ?-& gt-0 (20)
Используются обозначения:
а, + а
Ро=-: р1=Ёи±%±р!1- у = -
У Ум
М У „. 2
3
01. =-?#*7
М-1 м
Р.2 = -? ?
/'-=1 у=/+1
/= 1
У у
Щк}
V
ОЦ — ОЦСХ^ „Ь сх, 2 оц — ОС2.
1 А, —
л
+ ¦
2 Ro
су (су — а2) Х. +
аХ{. За1Х/ -a2{Xi + 2?.)
(21)
лл
/ г.
Щ
а2(а2 — су) А,. +Л,
^оу2?. За2Х. — оу (X. + 2? .)Л
ММ МЧ М^
Р. з=-?? ?
г=1. /=7+1 k=j+1
aX^jK ОуОС 2^iK ,
оуА-^ Х-г- + 2?^ + ос2) у 2А, у + ?
а
(23)
Суммы в (22), (23) следует считать равными нулю в случаях, когда верхний предел индекса суммирования меньше нижнего.
Величина р (02) получается из р]] предельным переходом при
R0 ^ +да, то есть удалением из (21)-(23) всех слагаемых, содержащих R0 в знаменателе.
При поиске элементов столбца x (s 1 соответствующих найденному рп, можно положить ап = 1, а прочие его элементы отыскивать с
помощью системы (17), из которой при этом следует исключить одно из уравнений, например первое.
Для разложений (14), (16) системы уравнений относительно наборов коэффициентов x (i2) = a[s2b[s2a^2b^s2 … ^a^2b2), 5=1,2,
принимают вид:
L (s2q)x (s2) =Z (S (24)
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
Общетехнические и социальные проблемы
299
причем? и (х) = ln (x),п (х) = 1, ^(х) — |х|, ^(x) = 1, а в столбце Z (s) размером 2M х 1 отличны от нуля только два элемента:
7О) -ТТ 7О)
1 U1. '2 М
Система (24) для s — 1, 2 имеет единственное решение.
Таким образом, предложенные в (12) выражения точно удовлетворяют требованиям (1)-(9). Условия (10), (11) будут выполнены приближенно- это будет сделано двумя способами.
Первый, облегченный способ построения приближенного решения,
при котором N — 0, сводится к отысканию c (1), Cq2) с помощью системы двух линейных уравнений
Л с (1) — А с (2) = Z ¦
7'-Т1С0 1V2^Q ^1'
A c (l) — A c (Z) = Z yv21c0 lv22v0 *-'2-'
,(2)
(25)
которая получается, если приравнять средние интегральные температуры, а также средние интегральные потоки теплоты для полей T^(r, z), Tl)(r, z) по поверхности „контакта“ о — {r — R0 — |z| - H0, R0 & lt- r & lt- RM} (рис. 1, б):
м
а"=(-1Г?^Л) —
m= 1
М 2

m=1 5=1
4'-4"1. ¦r2) = |C'(r& gt- +H0)dr
4, i"(rit2) = jf
dr:
z=r-Ro+H0
r2
B? ri, r2)=lT?r, r-R0+H0)dr-
ЙГ“, Т2)=}[(|--?УГ)“, Л
& lt-ir
z=r~Ro+H0
r2
При втором способе построения приближенного решения средние интегральные температуры и средние интегральные потоки теплоты приравниваются не по всей поверхности контакта о, а по каждому из участков некоторого ее разбиения. Каждый слой стенок условно подразделяется на несколько подслоев. Вводится набор целых чисел
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
$Ш0Щетехнические и социальные проблемы
О — Р0 & lt- Р & lt- … & lt- Рм- N + 1, набор значений (к= 0, 1, Рм) таких, что Д,=рР & lt-рр +1& lt-… <-рр =Rm при т= 1, 2, М, а также
m 1 1 т-1 Jm-1T1 m m
ступенчатая функция р (к) такая, что р (к) = m при Pm — i & lt- к & lt- Pm, р (0) = 0.
Я6 Л2) „(2)
^ ЛГ t (-'-Л t
Набор коэффициентов с = с®, с®, …, ^ ,
отыскивается с помощью системы из 2N + 2 линейных уравнений
Ас = Z-
^+(Х+1)(г-1),(и+1)+(Х+1)(5−1) =
к -1, 2,…, А + 1, „= 0,1,…, А& quot-, / = 1,2, s = l, 2-
с (2)
(26)
Я+(Х+1)(г-1)
-Х (-1Г& lt-У (р“, рЭ
5=1
к — 1, 2,…, А +1, / - 1,2.
Тепловое сопротивление резервуара исчисляется как разность средних интегральных температур его внешней и внутренней поверхностей, деленная на суммарный поток теплоты через его стенки:
R — TQ Тм / S0-
Т =---------
& quot- 2 R_H_ + R2
(Я“
R“
R» P& quot-(Rm, z) dz + Tm (r, HJrdr
'-mm m 0
г я
m = 0, А/-
S0 — -2nXl
M
dT (l)(r, z)
dr
Я
dz+ J
STm (r, z)
r=Ro
Л

'-M
r HM
RM j
HM-dTil)(r, z) dr
RM
dz+ |
& amp-
5r (2)(r, z)
rdr
Z=H0 J
r=Ri
dz
LM

rdr
z=hm)
Тождествоo = & lt-$М может быть применено для контроля точности получаемых результатов.
3 Численные результаты
При проведении вычислений принято а1 = а2 = 10 Вт / (м • А), М = 3,0 = 0,3 м. Материал среднего слоя (m = 2) — железо, прочих слоев (m = 1, 3) — цинк. На рис. 2 показаны зависимости теплового
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
Общетехнические и социальные проблемы
301
сопротивления стенок резервуара от суммарной толщины стенок ho = hi + hj + … + Нм. Толщины слоев подчиняются пропорции hi: hi: h3 = 1: 2: 1. Части (а) и (б) соответствуют случаям H0 / R0 = 1,5 и H0 / R0 = 1. Первое (при N = 0) и второе (при N = 2, Pm = m, m = 1, 2, 3) приближенные решения (25) и (26) представлены штрихпунктирными и пунктирными линиями соответственно. Сплошные линии выражают результат применения связки двух численных методов: метода конечных разностей и метода конечных элементов. Измельчение одинаковых для двух методов рабочих сеток продолжалось то тех пор, пока относительные расхождения во всех парах эквивалентных узловых точек не становилось меньше 0,2%.
Численные методы, характеризующиеся большой длительностью выполнения, применены здесь лишь в качестве эталона для контроля верности аналитических методов. Приближенные решения (25) и (26) дают относительные отклонения от эталонных результатов менее 1% соответственно для h0 / R0 & lt- 0, 15 (тонкие стенки) и для h0 / R0 & lt- 2 (скорее, толстые стенки).
а) б)
Рис. 2. Зависимость теплового сопротивления стенок резервуара от суммарной толщины стенок
Заключение
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2
ЕШцетехнические и социальные проблемы
Построено и численно испытано приближенное аналитическое решение задачи о распределении температурного поля в многослойных стенках цилиндрического резервуара.
Сравнение результатов применения численного и аналитического методов показывает, что последний обеспечивает достаточную для практических расчетов точность даже при относительно больших толщинах стенок резервуара.
Библиографический список
1. Теплообмен и тепловое воспламенение в многослойных конструкциях /
B. А. Кудинов, В. В. Калашников, Н. И. Лаптев, В. В. Гнеденко. — Самара: СамГТУ, 1996. — 280 с.
2. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел / В. А. Кудинов // Инженерно-физический журнал. — 1986. — Т. 50, № 2. — С. 162−163.
3. Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности / В. А. Кудинов, В. В. Диноп, Р. Ж. Габдушев, Д. В. Левин,
C. А. Стефанюк // Известия РАН. Энергетика. — 2002. — № 4. — С. 112−117.
4. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций / В. А. Кудинов // Известия РАН. Энергетика. — 1999. — № 5. — С. 85- 106.
5. Стационарное тепловое поле кусочно-однородного прямоугольного бруса / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. — 2005. — № 2. — С. 129−137.
6. О тепловом поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. — 2009. — № 2. — С. 77- 82.
7. Термомеханическое поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Вестник Санкт-Петербургского университета. — 2009. — Сер. 1. — Вып. 2. — С. 122- 128.
Статья поступила в редакцию 05. 04. 2010-
представлена к публикации членом редколлегии И. Г. Киселёвым.
УДК 656. 225. 073. 8
Ж. Р. Кобулов
ИССЛЕДОВАНИЕ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ОХЛАЖДЕНИЯ ПЛОДООВОЩЕЙ В РЕФРИЖЕРАТОРНОМ ПОДВИЖНОМ СОСТАВЕ
При перевозке плодоовощей в рефрижераторном подвижном составе (РПС) на скорость охлаждения грузов влияет множество факторов. В статье проанализировано влияние факторов окружающей среды, разработан алгоритм расчета
ISSN 1815−588 Х. Известия ПГУПС
2010/2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой