Общие приближенные решения основных задач пространственной нелинейной теории упругости в аналитических многомерных функциях матричной переменной

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ
УДК 539. 3
ОБЩИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В АНАЛИТИЧЕСКИХ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЯХ МАТРИЧНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Канд. физ. -мат. наук, доц. НИФАГИНВ. А., асп. СЕВРУКА. Б.
Белорусский национальный технический университет
Широко применяемая методика решения плоских задач линейной теории упругости, базирующаяся на физически ясно интерпретируемых представлениях компонент вектора перемещений и тензора напряжений через аналитические функции комплексной переменной и их производные [1−3], позволяет построить эффективный математический аппарат для нахождения замкнутых решений основных краевых задач, включая смешанные задачи. Дальнейшее развитие этот аппарат получил в теории интегралов типа Коши и сингулярных интегральных уравнений, которые использовались для решения многих важных в теоретическом и прикладном аспектах задач [4, 5]. Сочетание этих подходов с различными вариантами метода возмущений [6, 7] дало возможность распространить указанную методологию на краевые задачи механики упругих сред с нелинейными законами деформирования, а также упругопластические задачи.
В то же время попытки найти аналитические решения (точные и приближенные) пространственных задач теории упругости [8−10] не получили дальнейшего развития, что, на наш взгляд, объясняется недостаточной проработанностью методов теории функций многих комплексных переменных для решения конкретных задач. В [11, 12] построен компактизи-рующий изоморфизм между евклидовым пространством Е3 и комплексным пространством С, введена новая структура матричной комплексной переменной Гамильтона — Кели, пространственные аналитические функции этой
переменной (так называемые многомерные комплексные потенциалы), а также дифференциальные операторы в С. В данной работе получены общие решения основных трехмерных задач физически нелинейной теории упругости в представлениях матричных комплексных потенциалов матричной переменной, которые используются для формулировки краевых задач в перемещениях и напряжениях.
Рассмотрим элемент пространства С2 в виде комплексной матрицы
A = I
,=1
a e = d (2) p p
D к2'-(a,)& quot-
a1 + ia2
a3 + ia4

y-a3 + ia4 a1 — ia2
. (1)
Сопряжение введем по формуле
A = '-I a, = D к (a ,) = D (к2) (a1, -a2, -a3, -a4), (2)
,=1
где a, — скаляры пространства En (n = 2,3, 4) — e- матрицы Гамильтона — Кели- e'- - комплексно-сопряженные матрицы. Таким же образом получим к = D к2)(x ,) — независимую матричную переменную Гамильтона- Дк) = = D к2)(fq (x,)),, q = 1, n — матричную функ-
д (л, А цию переменной Гамильтона- n- = D^
дк
, дх
Р J
оператор матричной производной и комплексные матричные образы дифференциальных
операторов- V = В (к2)
дх
V р /
матричныи ком-
д2
плексныИ оператор Г амильтона- Акк = _
дк дк
матричныИ комплексный оператор Лапласа-
д 4
А кк =
«-г — матричный комплексный би-
дк2 дк2
гармонический оператор- div () =
3 (д д ^
3 -(•) + (•) —
дк дк
матричный комплексный оператор дивергенции.
Отметим, что в силу некоммутативности операции матричного умножения для функций и операторов из (1) следует, что АВ = В А. Всего можно сформировать восемь различных произведений, однако их количество сокращается за счет операции сопряжения (2). В силу указанного различаются дифференцированные слева и справа:
-/(к) =
дк v '
(
д (к)
дк
Л-
В то же время далее за основу примем левые производные
-/(к) — - / (к) — -/(к) — -/(к), дк '- ' дк ' дк ^ ' дк '
учитывая, что — Т (к) = /& quot- (к)-.
дк '-«'-дк
Кроме того, структура матричной переменной, функции и оператора в С выбирается так, что круговым перестановкам индексов координат — х — х2 — х3 — х4 — в Е4 соответствуют круговые перестановки элементов — к! -
в C2, где кр = В к2)(хр, хр
--к
к
к
р+1 '
Хр+ 2, Хр+3
), р, р + т = 1,4. Отсюда вытекает,
что круговым перестановкам при вырождении
к,
= В к2)(^ Х2, Х3, С)
— к — к2 — к3 — к4 —
/^2
в С соответствуют круговые перестановки координат — х1 — х2 — х3 — 0 — в пространстве Е3. Для того чтобы упорядочить последовательности аргументов и функций, примем обозначения
Л (кр) = О К2) (/р (кр), /р+1 (кр),
Л+2 (кр), /р+3 (кр)). (3)
Транслируя известные условия сопряжения гармонических функций — условия Моисила -Теодореску [13] из областей действительного пространства Е3 в С2, получим условие
-/(к) = 0. дк
(4)
которое принимается за условие аналитичности функции /(к) в О с С2. Тогда аналитическую в области О функцию будем называть многомерным С2-потенциалом. Для получения общих решений основных пространственных задач физически нелинейной теории упругости обобщим эти уравнения на случай Е4. В векторной записи с учетом расслоения базиса е±, р = 1,4 для смещений (/ = 1,4) уравнения Навье запишутся в тензорной форме
1
г,]] 1 — 2у
Тензор деформаций
в, і = 0, і, і = 1,4.
(5)
ві =
І, І = 1,4. (6)
Уравнения совместности деформаций Сен-Венана
ЛА (в,) = 0, /,, = 14, (7)
где Л11 (в,) — первый инвариант тензора деформаций.
Аналогично можно записать пару систем уравнений в напряжениях — уравнения равновесия Коши и совместности Бельтрами. Связь между основными уравнениями задач теории упругости осуществляется с помощью закона Гука. Следуя гипотезе о существовании упругого потенциала [14], примем закон связи между напряжениями и деформациями:
(8)
где в, — тензор деформаций- с — шаровой тензор- Sii — девиатор напряжений- к (с0) — функция среднего напряжения с0- g (Т02) — функция
интенсивности касательных напряжений Т0, характеризующая отклонение от закона Гука- К, О — модуль объемного сжатия и модуль сдвига.
Таким образом, оставаясь в рамках малых деформаций (6), для ряда материалов наблюдается нелинейный характер диаграммы зависимости между деформациями и напряжениями (8), так называемая физическая нелинейность. При этом для большинства сред соблюдается пропорциональность между средним напряжением с0 и средним удлинением в0. Поэтому функцию среднего напряжения можно положить к (с0) = 1. Разлагая функцию интенсивности касательных напряжений в ряд по четным степеням Т0 и ограничиваясь для определенности первыми двумя членами ряда, получим квадратичный закон упругости (8) при
г (?02) = 1 + Я 2 То2.
(9)
Здесь постоянная g2, характеризующая физическую нелинейность материала, определяется экспериментально. Решение пространственной статической задачи физически нелинейной теории упругости заключается в совместном интегрировании уравнений равновесия (5) и совместности деформаций (7) при соответствующем законе упругости (8).
Применим к соотношениям (5)-(9) приближенный аналитический метод решения, который, следуя [6], назовем методом разложения по параметру нагружения.
Введем малый безразмерный параметр
Ч Я 1
л = - & lt- 1, где, а — интенсивность внешнего
О
сжимающего усилия. Будем искать решение сформулированной выше задачи в виде рядов по положительным степеням параметра Л:
и, = ?и& lt-п>-Лп- в, =?б& lt-->-Г- с, = 1^. (1°)
Тогда уравнения равновесия в произвольном приближении будут с учетом круговой перестановки ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^
1 -V дв
(«+1)
'- ю
(«+1)
(п+1)
1 — 2v д х
д Хг,
д Хо
іV (и+1)
+ К________ = - р (и-1)
20 1 '
(11)
где К,(п+Г) — компоненты вектора объемных сил К («+:) — Р, 1 — составляющие фиктивных объемных сил Р («+1)(/'- = 1, 2, 3) —
(и-1) = дп1г+1 дл1г+1 дп
13
0Х1 2 дх2 2 0Х3
Р (0)= 0, К1(І) = 0, I & gt- 2.
(12)
Здесь
(п-1)
П і -- Я
№-|,)!
В Г'-3 8Ів (& quot--1'I- (13)
(^ІГ1)2 = у V -3 (в1 !-, 2 + в2& quot-:-,'- + В (3Г1

(п-1)в (п-1) (п-1)в (п-1)
(14)
В («-1) +В (яЧ) +В (я-)' 12 _гь13 23
Итак, правые части (11) на каждом этапе являются известными функциями, вполне определенными на предыдущих шагах. Таким образом, напряженно-деформированное состояние при п & gt- 0 представляет сумму
с («)= с0 («) іі ІІ
-с* (п). (15)
и& gt-0
и& gt-0
и& gt-0
При этом первые слагаемые справа в (15) соответствуют общему решению однородной системы дифференциальных уравнений равновесия линейной теории упругости и поэтому могут быть выражены в виде гармонических и бигармонических функций, на основе известных представлений для задачи в перемещениях в форме Буссинеска — Галеркина. Вторые слагаемые представляют собой частное решение неоднородной системы (11) с правой частью (12). Для их определения в качестве исходного этапа можно взять обобщение формулы Гурса — Аль-манси [11] для бигармонических функций через комплексные аналитические матричные функции
0 1 (^ Х2, Х3)= 0 к 1(0 к10 Ф 1 (0 к1)) +
(16)
+ (0 Ф1 (0 к)0 к)0 к + 0 X (0 к)+ 0 Х1 (0 к1).
Еще два соотношения получатся с учетом щений находятся по известным величинам ди-
круговой перестановки. Затем строятся выра- вергенции и ротора.
жения для компонент напряжений, деформаций Без учета индексных перестановок выпи-
и поворотов. Составляющие вектора переме- шем представления для компонент с через
комплексные С2-потенциалы:
В к)(с 2?-с «с (2), с 2'-3), с (п)) = 0к10 ф ('-«'-(к1) + 0X ('- (к) + 00О В & lt-2)(с ?-с «с & lt-"-), с (3'-), с М) = 0 к20 ФІ& quot-Г+Х 2»)'-+ (Р
которые совместно с
Є1с 1 0 Ф (П)(0 к1) + 0 Ф 1(«)(0 к1) ^ 0 Ф (2И)(0 к2) + 0 Ф 2(«)(0 к2)) +
+2(0к/ф ('- (0к1) + 0Ф 1(п)(0к1)•0к1 V V ^ (17)
-^ 0 к 2 • 0 Ф 2 (0 к 2) + 0 Ф 2(«Г (0 к2) • 0 к 2 1 + +2 |0 х («^ (0 к1) + 0 х (п Г (0 к1) ]-(0×2п Г (0 к2) + 0×2"Г (0 ^) ]] + 0 Я (: -2)
21 0 к/ Ф (П) (0 к1) — 0 Ф '- (0 ^1)0 к1 |-| 0 V Ф 2») (0 к2) — 0 ф2П) (0 к 2) 0 к 2 1 +
+2 0XК (0к1) + 0X ((0к1)У0×2"Г (0к2) + 0Х (2иГ (01
у V
0 я (п-2Х
Л 12 5
1
чК-с») = 31| 0 к1 • 0 Ф («) (0 к1) + 0 Ф (п) (0 к1).0 к1 |-| 0 к • 0 ф2») (0 к,) + 0 Ф» (0 к,) • 0 к2 I-
— 0X!"Г (0к1) + 0X (& quot-Г (0к1)|+ 00'-& quot--!)
0 Ф1»)(0 к1) + 0 Ф («) (0 к1) |+| 0 ф2»)(0 к2) + 0 ф2») (0 к2)
0,» («) Ґ 0.

полностью решают задачу в напряжениях.
Заметим, что в последних формулах верхние правые индексы в скобках указывают на порядок приближения, левые — на характер вырождения. Добавочные члены с индексами п — 2
определяются через решения на предыдущих этапах и интерпретируются как известные.
Переведя действительное решение для перемещений из Е3 в С на основе (16), (17), получим
7 — 8 V
0ф (п)(0к) — 0ф^'- (0к)0к- 0×1 п)'- (0к)+ 0B1n-2'
(18)
Или каждую координату вектора перемещений выразим через свои комплексные потенциалы:
т («) т& gt- (7 — 8v 0 1п V 0 0 1п У (0- 0 1п У (0-, 0 т, (п-
2 ц и 1 ' е1 = ке |- ф (к) — ф1 — (к) к- х (к) + В1
о (п) ті7 8V 0 (п
2 ц и 2 е1 = 1 т | --- ф
3
7 — 8 V 0
! 0 0 (п) (0- 0 (п) I 0-, 0 Г,
(к) — Ф1 — (к) к- Xі - (к)+ В:
ф1 п)(0 к)-0 ф (п)'-(0 к) к-0 у1 п)'-(0 к)+ 0 В.
что полностью решает задачу нелинейной теории упругости в перемещениях. Здесь введены обозначения:
0х 1n''-(()к)= 0х (пг 10т~-
А т V т Л. і
8 О -V)
0Ф (, п& gt-'-(0кт) —
(19)
Ф
(0к) = -ддг10Ф110к1) +0Ф2-(0к-)) — 0х!0к) = -дгг!0X1 (0к1)+0Ь (0-)) —
д0 к
0 ф (0 к) = -ддг°Ф3 (0 к=) — 0 *(0 к) = -^°Ь (0 к).
Используем (6) для нахождения комплексных представлений для деформаций и поворотов:
ц (в (п)+ в в 33) е1 =2 (1 -2 V) Яе (0 ф1п) (0 к) + 0 В1п-1)
2 ц (в (1l'-в (2n2'-в33') е1
= Яе
°Ф (п) (0к)-6Яе| & quot-к^ ГФ
0» д 1 0____________(п)
д0 к
'-(0 к) — 30 х (п)& quot-(0 к) + В
п-2)
4 Й1 е4 =-3- (0 к°ф1п)'-(0 к) — °ф1п (0 к)0 к+ 0 В 3п-2)
4 цв11 е1 = Яе ((5 — 8v)0ф1 п) (0 к)-20 к°ф (п) (0 к)-30 х (п) (0 к) —
0 в (п-1) 11
Полученные общие решения основных пространственных задач физически нелинейной теории упругости необходимы для формулировки и решения краевых задач. Использование квазиконформного отображения позволит обобщить их для трехмерных областей с регулярной граничной поверхностью и произвести оценку напряженно-деформированного состояния конструкций с концентраторами напряжений.
с (0)=
(г 3 & gt-
— «Г +1 г
V /
(, 3 1
В качестве модельной задачи рассмотрим напряженное состояние изотропного физически нелинейного пространства с шаровой полостью радиуса г0 при воздействии всестороннего растяжения усилиями интенсивности а. Переходя к сферическим координатам (г, 0, ф), на основе представлений (17) получим для задачи в напряжениях при двух членах разложения:
9 «3 2
с №= (2||2| -----------------
(1)= г0 я2 д (1+v) +(1+v)г0 д я2-
гг 1802г3(-1 + V) 1802(1 -v)г9'
с (1)=-4г3 + я2 д3(1+v) — г09 д3Я22
— 99 9 г3 16 О2 г3(1 -V) 2О2(1 -V)г9'-
3
Решение совпадает с уже известным [15] при соответствующем выборе параметра нагружения.
В Ы В О Д
Разработка современных математических методов в механике сплошных сред со сложной реологией может служить теоретической основой создания эффективных алгоритмов и пакетов прикладных программ как важной составляющей математического обеспечения систем автоматизированного проектирования для отраслей машиностроения, приборостроения и др.
Л И Т Е Р, А Т У Р А
1. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. — 5-е изд. — М.: Наука, 1966.
2. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. — М.: Наука, 1970.
3. Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. — 3-е изд. — М.: Наука, 1984.
4. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — 3-е изд. — М.: Наука,
1968.
5. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Физматизд, 1963.
6. Клюшников, В. Д. Математическая теория пластичности / В. Д. Клюшников. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
7. Савин, Г. Н. Метод возмущения упругих свойств в механике твердых деформируемых тел / Г. Н. Савин, Ю. Н. Немиш // ДАН СССР. — 1974. — Т. 216, № 1. -
C. 53−55.
8. Александров, Л. Я. Пространственные задачи теории упругости / Л. Я. Александров, Ю. И. Соловьев. -М.: Наука, 1978.
9. Александрович, А. И. Применение теории функций двух комплексных переменных в теории упругости / А. И. Александрович. // ДАН СССР. — 1977. — Т. 232, № 3. — С. 542−544.
10. Мельниченко, И. П. Кватернионные переменные и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной среды / И. П. Мельниченко, Е. М. Пик // Прикладная механика. — 1973. — Т. 9, вып. 4. — С. 45−50.
11. Богачев, Ф. А. Описание решений пространственных задач теории упругости через бигармонические функции / Ф. А. Богачев // Проблемы прочности и пластичности / Изд-во Новгородского ун-та. — 1996. — Вып. 45. — С. 63−71.
12. Penrod, D. D. Analogue of complex formulas of for three-dimensional problems of the theory of elasticity /
D. D. Penrod // Quart. Appl. Math. — 1966. — V. 23, № 4. -P. 312−322.
13. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, Х. Росси. — М.: Мир,
1969.
14. Каудерер, Г. Нелинейная механика / Г. Кауде-рер. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
15. Левчук, О. И. О влиянии физической нелинейности материала на напряженное состояние среды с упругим сферическим включением при равномерном нагружении / О. И. Левчук // Прикладная механика. — 1989. — Т. 34, вып. 11. — С. 46−51.
Поступила 13. 01. 2006

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой