Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве функций, аналитических в неограниченной кратнокруговой области

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

4. Chuu D.S., Hsiao C.M., Mei W.N. // Phys. Rev. 1992. V. 46. P. 3898.
5. Mailhiot C., Chang Y. -C. // Phys. Rev. 1982. V. 26. P. 4449.
6. Green R.L., Bajaj K.K. // Phys. Rev. 1986. V. 34. P. 961.
7. Hasselink W.T., Chang Y. -C. // Phys. Rev. 1985. V. 32. P. 5190.
8. Fraizzoli S., Pasquarello A. // Phys. Rev. 1991. V. 44. P. 1118.
9. Wilson D.W., Glytsis E.N., Gaylord T.K. // J. Appl. Phys. 1993. V. 73. P. 3352−3366.
10. Kaji R., Koshiba H. // IEEE Jour. of Quant. Electr. 1994. V. 30. № 4. P. 1036−1043.
11. Бычков Ю. А., Рашба Э. Н. // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. №.2. С. 66−69.
12. Оптическая ориентация / Ред. Б. Захарченко. Л.: Наука, 1989.
13. Кревчик В. Д., Калинин Е. Н. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2004. № 5. С. 108−121.
14. Кревчик В. Д., Калинин Е. Н., Грунин А. Б. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2003. № 6. С. 66.
УДК 517. 55
общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве Функций, аналитических в неограниченной крАтно-круговой области
о. г. НИКИТИНА
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа
В статье устанавливается общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве функций, аналитических в неограниченной полной кратно-круговой области G пространства С2 с центром в точке (0,0). Причем сопряженное пространство описано как в терминах характеристической функции области голоморфности G, так и с использованием обобщенной производной Гельфонда-Леонтьева, порожденной целой функцией, тейлоровские коэффициенты которой связаны с характеристической функцией области G.
Пусть G с C2 — полная неограниченная кратно-круговая область голоморфности с цент-
2
ром в точке (0, 0). Определим характеристическую функцию области G, отличной от С, положив K (X) = lim & quot-1+"-2 dnn (G), 0 & lt- X & lt-да, где d (G) = sup & quot- • |z2| & quot-2.
«i+"2 V 1 2 12 (z1,z2)eG
n2
Отметим, что аналогичная функция K (X) в других терминах вводилась ранее в работе С. Д. Окуня [2]. Функция K (X) оказалась полезной при изучении некоторых многомерных задач, особенно в случае неограниченной области. В частности, она удачно выступает в роли обобщенного & quot-радиуса"- сходимости кратного ряда. Приведем пример функции K (X). Так, для области G = |Zi, 22) е C2: |zj + |z^ & lt- l|
K (А) = /(l + A) (0 & lt-Л<- да), где K (0) = lim K (A) = 1, K (да) = lim K (A) = 1.
Л0+ Л^х
Обозначим через H (G) пространство функций, аналитических в области G с топологией равномерной сходимости на компактах. Имеют место следующие теоремы. ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы функция
да
F (Z1, Z2)= I С& quot-1"-2 z& quot-1 z& quot-2 (1)
& quot-1,"-2 =0
принадлежала пространству H (G), необходимо и достаточно, чтобы для каждого X (0 & lt- X & lt- да) выполнялось условие
тк (2)
и1+и2 ^-да,^/& quot-2л «'- 1 K (А)
(здесь и всюду ниже полагаем 1/ да = 0).
Прежде, чем перейти к доказательству теоремы, введем следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность пар индексов {(m, s)}, у которой существует lim — = X, будем называть X -последовательностью.
Отметим, что во всяком бесконечном множестве пар индексов существует хотя бы одна X -последовательность.
Доказательство. Достаточность. Пусть для данной функции (1) и каждой X -последовательности (0 & lt- X & lt- ж) выполняется неравенство (2). Возьмем какую-нибудь точку (z1- Z2) е G. Всегда найдется (1, r2) е dG такая, что
zA & lt- rj, |z2I & lt- r2. Вычислим P = lim & quot-1+"-2 cnn • r& quot-1 ¦ r& quot-2. Пусть, n2'-)} такая последовательность,
n1+n2 VI 1 2I
что P = lim ni +»
& quot-l'- +& quot-2'- ^ж
2^|cn '- n '-|'- r& quot-1 '- r& quot-2. Из {(& quot-i'-, n2'-)} выделим X -последовательность {(m, 5)}. Тогда,
учитывая определение функции K (X), получим P = lim m±v|cms| • r{& quot- • r2 ^ 1. Из этого неравенства
m+s^ж, m/s^Я
следует, что ряд (1) сходится внутри G абсолютно, а на любом компакте K с G равномерно. Поэтому
F (Z1, z2) е H (G)
Необходимость. Пусть F (Z1, Z2) е H (G) представляется в G рядом (1). Докажем сначала выполнимость неравенства (2) для тех X, для которых K (X) Ф ж. По определению K (X) найдется точка (1, r2) е d|G|, такая что K (X) = r^ 1+X • r^^1+X. Так как F (Z1, z2) е H (G), то для любой фиксиро-
ванной точки (1, r2) е dl Gl справедливо неравенство lim n1+n2cnn • r1n1 • r& quot-2 & lt- 1. Следовательно,
n1+n2 VI 1 2I
lim ^J• dnm2(G) = lim n1+nVk& quot-1nj '-
n1+n2 ^-ж,^/n2A & quot- 1 12 n1+n2 ^-ж,^/ n2A 121
• lim *1+n2d& quot-1"-2 (G) = lm *1+n?j • K (!) =
n1+n2 n2Л * n1+n2 ^-ж,^/n2A & quot- 1
=rf+x. im & quot-1+п$ПП2 * lim & lt- 1.
n1+n2 ^-ж,^/n2A & quot- 1 n1+n2 Отсюда имеем lim n1+ni/|cn n I & lt--^----r-- =-. Таким образом, для тех X, для которых
n1+n2^¦& lt-x, n1/n2Vi 1 2i rM1+A. rV1+x K (2)
K (X) Ф ж, неравенство (2) доказано.
Докажем теперь выполнение условия (2) в случае, когда K (X) = ж, то есть надо доказать, что для тех X, для
которых K (X) = ж, lim n1+n2/|cn n I = 0.
n1+n2 ^-ж,^/n2X VI 1 2I
Предположим противное: lim n1+n2l c = p & gt- 0.
n1+n2^ж,^/n2X '-I n1& quot-2 I
Пусть Gm = G n Em, где Em = |zb z2) e C2: & lt- m, |z2| & lt- m) Тогда dn1n2(G) = ^^^n^^m) и tf (2) = lim & quot-1+"-2 d (G) = lim =
и1+и2 n2 * П1+П2 П2Л vm^®
= lim (lim n1+n2dn1n2(Gm)), «o *№ = «& gt-.
т^ж П1+П2^ж, п1/П2*
Следовательно, найдется такое m0, что lim n1+n2/dn n (Gm) = Kg (X) & gt- -. Тогда
0 n1+n2ж, щ/& quot-2X V 1 2 0 m0 p
& quot-1+"-2сщщ d"n2 (Gmo) & gt- 1. То есть ряд (1) не сходится в области Gmq с G. Это противоречит
lim
и1+и2 п2 ^^. _
тому, что F (Z1,Z2) е H (G). Следовательно, наше предположение неверно и lim n1+n2(cnn = 0.
n1+n2^ж VI 1 2 I
X, K (X)=ж
n2
Тем самым теорема доказана полностью.
ТЕОРЕМА 2. Любой линейный непрерывный функционал 5(р) на пространстве Н (О) представляется в
да
виде 5 (р) = У И, п,, (3)
S (F) = Z Й"1"2 C"l"2'- =0
где F (zbz2)= Xc"1"2^z22 е H (G),
{Ья1я2 } последователЬностЬ комплексных чисел, удовлетворяющая ус
«1,"2 =0
ловию й (2) = lim & quot-1+П2Кщ & lt- ^ W (4)
n1+n2 n2 iX 121
(функция й (А,) = й (А, S) ограничена).
Доказательство. Докажем, что ряд (3) с условием (4) определяет некоторый линейный функционал на пространстве H (G). Возьмем любую функцию F (Z1, z2) е H (G). Для нее в силу теоремы 1
lim & quot-1+"-llic~J (0 & lt-Л<- & lt-ю).
I VI к (!) V у
«1+"2 ^^ 1 — (Л.)
Отсюда с учетом условия (4) имеем
& quot-1+Ц с «А • М ^ 1 (0
щ+п2 «2 '- 1 1 1 1
То есть ряд (3) с условием (4) сходится абсолютно для любой функции р (г2) е Н (О). Значит, он определяет
некоторый функционал на пространстве Н (О). Очевидно, что этот функционал линейный. Докажем, что если
условие (4) выполняется, то функционал (3) непрерывен. Рассмотрим последовательность компактно вложенных
друг в друга областей Gl с О2 с… с От с…, От с От+1, таких, чтоОт = О. С помощью этой последовать
тельности определим систему норм ||р|| = ша^ |р, г2) в пространстве Н (О). Эти нормы задают локально
(г1,г2)От
выпуклую топологию на пространстве Н (О), которая совпадает с естественной топологией этого пространства -топологией равномерной сходимости на компактах.
I | ||Р||_
Для тейлоровских коэффициентов спп функции р (г 2) справедлива оценка с… 1& lt-
«1"2 '- d (G)
u n1n2Jm)
ю ю b
Следовательно, имеем S (F)& lt- Z I jcn1n21 & lt-|Fm '- Z 1П2
m ^ d (G)
n1, n2 =0 n1, n2=0 n1n2u mj
ю b
n1n2 I
d (G^ сходится. Из того, что lim dn n (Gm) = dnn (G) имеем
nbn2 =0 dn1n2 V^m) m-ю 12 12
к (X) = lim 1 n1+n2dnin2(G) = lim ^ W lim d^& amp-m) =
n1+n2 -& gt-ю, щ/n2 -& gt-X v n1+n2 -& gt-ю, п1/n2-«X miю (5)
= lim (lim n1+n2dn1n2(Gm))
m-ю n1+n2 -& gt-ю, и^/n2 -«X
Рассмотрим сначала те значения X, для которых K (X) Ф ю. Из условия (4) следует, что существует число q & lt- 1 такое, что b (X) = lim n1+n2bnn & lt- qK (2).
S0 =
inf (к (X) — qK (A)), s0 & gt- 0.
n1+n2 n2Л V'- 1 2'- a (K (лу& lt-я)
Тогда для всякого сколь угодно малого положительного е & lt- е0 имеем s & lt- K{X) — qK{X) или K (X) — s & gt- qK (X).
Из условия (5) следует, что Ve & gt- 0 3m0: Vm & gt- m0 lim n1+n2dnn (G) & gt- K (X) — е.
n1+n2 -& gt-ю, щ/П2 i-X V
Тогда Ve, 0 & lt-s & lt- so 3mo: Vm & gt- mo
lim & quot-
& quot-l+"-2 & quot-2
& quot-2dnin2 (G) & gt- K (л)-? & gt- qK (. Я). Следовательно
Vm & gt- mo
lim
& quot-l+"-2 ¦
& quot-!+"-2 ^,& quot-i/n2Л Vd (Gm) K (& amp-) —
qK (/-): 1
для любого значения X, при котором K (X) Ф да.
Теперь рассмотрим значения X, для которых K (X) = да. По условию функция b (X) = b (X, 5& quot-) ограничена. Положим b0 = sup {b (X)} Из условия (5) имеем
X (K (X)=да)
3m'-o: Vm & gt- m'-o
lim x & quot-i+"-2d (G) & gt- bo (K (X)=да)
& quot-i+"-2да, щ/ n2X *
Следовательно, Vm & gt- m'-o
lim
n1n2
& quot-i^"-!^^ V d», n7 (Gm)
& lt- 1.
Таким образом, Vm & gt- max{mo, m'-o } lim & quot-1+"-2|
& quot-i+"-2n2у d (Gm)
& lt- 1 (o & lt-Л<-ж).
То есть номер т всегда можно выбрать столь большим, чтобы ряд ^
да b
_ сходился. Пусть Р его сум-
пх, п2 =0п1п2 (рт)
ма. Тогда |5(р) & lt- Р • ||р||. Таким образом, получили, что функционал (3) при выполнении условия (4) ограничен, а следовательно и непрерывен.
Докажем теперь обратное утверждение: любой линейный непрерывный функционал 5& quot- е Н * (О) можно представить в виде (3), где последовательность ЬпП2) удовлетворяет условию (4). С этой целью возьмем про-
да
извольную функцию р (^1, ^2)=спп г1 гП2 е Н (О) и подействуем на нее функционалом 5. В результате
ni, n2 =o
получим:
S (F) = S
I
& quot-i,"-2=o
cn1n2 zl1 z22
да / да
X C& quot-i"-2 '- SlZini Zn / = X C& quot-I"-2 bnn2:
c
ni, n2 =o
ni, n2 =o
где обозначили S (z& quot- • zn& quot-) = b
& quot-1"-2 *
Покажем выполнимость условия (4). Предположим, что для некоторого Xo
lim ni+n2bn * KWo).
ni+n2 ^x,& quot-,/ n2 ^-Ao
Тогда найдется такая подпоследовательность n)} что lim & quot-1+bn^n'- | - K (X0) и все
n l+n'- 2 ^да,& quot-'- ll& quot-'- 2
bn'- n. отличны от нуля. Введем вспомогательную функцию
P (z1, z2)= ?cn, n2 zini z2, cn, n2 =
& quot-l,"-2 =o
bn
,& quot-l = & quot- 1, & quot-2 = & quot- 2.
o, & quot-i * n'- 1 или & quot-2 * & quot-'-2.
Так как
lim
& quot-l+"-2 & quot-2 ^Ao
& quot-i+njcnj, а при X * Xo lim = o. mo p (zbz2)e H{G).
MI& quot-1"-2! K (2o) ^ Vl 121
и1+и2
b
nn
1& quot-2

b
nn
1& quot-2
1
И 2
n
2
Действуя на г2) функционалом 5, получим 5& quot-(Р)= = да. Пришли к противоречию, что и доказывает выполнимость условия (4). Теорема доказана. т 1
да
Пусть у)=я /И1. ?& quot-2 целая функция, удовлетворяющая условию «1,"2=0
1 а»
lim и1+и?/|а |= -^, где -^ = ann Ф 0, и, n2 = 0,1,2,. «1+"2^да Vi n, n2 K (X) n1l-n2! n, n2 12
n, / n2 ^-X
Рассмотрим оператор DnF (z, z2)= ^ n,+kl, n2 +k2. a^^ • zk • zk2. Он называется обобщенной производ-
k,+k2 & gt-0 an1+k1,n2 +k2
ной Гельфонда-Леонтьева порядка n = (n, n2), порожденной функцией f [1]. Непосредственно проверяется, что D[F ] линейный оператор, определенный на H (G) и обладающий следующим свойством:
Dn f (Azi,^2)] = Г1? un2 f (Azi, ^2), (А e С2. СЛЕДСТВИЕ. Любой линейный непрерывный функционал на пространстве H (G) может быть записан в виде
S (F)= I
д
n1n2 тл n
Dn [F (0,0)],
где О& quot- (0,0)] значение в нуле обобщенной производной Гельфонда-Леонтьева, порожденной функцией у, а Рщ"2) последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию
в (X)& lt- 1 длятех X, для которых К (Xда-
lim ni+n2|? n,+n2 ^^ щ! n2 ^X
n1n2
0 и lim ni+n2
щ! n2
n1n2

: да длятех X, для которых K (X)= да.
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельфонд А. О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 1951. Т. 29 (71). № 3. С. 477−500.
2. Окунь С. Д. Общий вид линейного функционала в пространстве функций двух переменных, аналитических в двоя-кокруговой области // Тр. Новочеркасск. политехн. ин-та. 1959. Т. 99. С. 3−27.
1& quot-2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой