Обтекание продольных канавок потоком вязкого газа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И Том X 19 7 9
№ 2
УДК 533.6. 011. 55:532. 582. 33
ОБТЕКАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КАНАВОК ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА
О. В. Денисенко
Рассмотрено влияние узкой (по сравнению с толщиной пограничного слоя) канавки, расположенной по потоку на течение в пограничном слое. Найдено распределение коэффициента теплопередачи. Показано, что если канавка расположена под углом порядка единицы к набегающему потоку, то решение задачи сводится к задаче о поперечном обтекании канавки.
Задача обтекания потоком вязкого газа двумерного или осесимметричного тела, на поверхности которого имеются расположенные вдоль по потоку узкие и неглубокие (по сравнению с толщиной пограничного слоя) канавки, рассмотрена в работе [1]. Как показано, форма профиля канавки оказывает существенное влияние на распределение тепловых потоков, которые могут достигать больших значений в окрестностях угловых точек. В данной работе при тех же предположениях, что и в [1], исследуется случай, когда глубина канавки по порядку величины больше ее ширины. Методом сращиваемых асимптотических разложений получено решение задачи в первом приближении и найдено распределение значений коэффициентов теплопередачи и трения. При этом получено, что существенное изменение характеристик локализовано в окрестностях угловых точек на длинах порядка ширины канавки. По мере продвижения в глубь канавки напряжение трения и тепловой поток экспоненциально уменьшаются и близки к нулю на глубинах больше, чем ширина канавки. Показано, что если канавка расположена под углом порядка единицы к набегающему потоку, то решение задачи сводится к рассмотренной в работе [2] задаче о поперечном обтекании канавки.
1. Пусть L — характерная длина в продольном направлении, к которой отнесены все линейные размеры. Система координат х, у, г — прямоугольная: х-расстояние от передней кромки пластины вдоль по потоку, у- расстояние по нормали к пластине, г — поперечная координата. Пусть ии00, vuто, wu^ - компоненты скорости вдоль осей Ох, Оу и Ог соответственно- рр^, — плотность- ЯРоо давление- - энтальпия (Н — h -) — (и- + v'-? -f- w3)?2) — - коэффициент
динамической вязкости, причем предполагаем, что вязкость зависит только от температуры, т. е. ?а = ц (Л) (|а0- коэффициент вязкости при Л = ½). Индексом. со" обозначены параметры в набегающем потоке. Если параметр R, = рж Z. /fi0 1, то вблизи пластины имеется пограничный слой (для пластины с острой передней кромкой при je — 0(1)), течение в котором описывается уравнениями Прандтля. Для толщины пограничного слоя 5, если рассматривать течения в широком диапазоне чисел Мю набегающего потока, удобно использовать оценку 3 =
= (Яо гр) 1,2 & gt- гДе 'р — порядок давления в пограничном слое. (Например: гр1 при Ер ~82 -тонкое тело, гиперзвуковой режим сильного вязкого вза-
имодействия- вр М"2 — тонкое тело, гиперзвуковой режим слабого вязкого взаимодействия).
Далее, пусть на поверхности пластины имеется узкая (по сравнению с толщиной пограничного слоя о) канавка, расположенная вдоль по потоку. В выбранной системе координат поверхность тела представим в виде
ут= йа [~(Г'- х) '? -*¦ 0 при -у -*¦ ± ОО. (1. 1)
Величины Ь. Ь и й/й будем считать малыми параметрами задачи, и функция чр (г/6, л:) является непрерывно дифференцируемой по 2 = г/6 при —
2. Для определения влияния канавки на течение рассмотрим область с характерными размерами х ~ 1, у — Ь, г~Ь, которую ниже будем называть областью 2. (Схема течения в поперечном сечении изображена на рис. 1). Ясно,
Рис. 1
что при 6/5 0 течение в пограничном слое соответствует внешнему решению
в первом приближении для решения в области 2. На основании принципа сращивания с внешним сдвиговым течением в области 2 вводим следующие асимптотические разложения для функций:
у — Ь У, г — /& gt-Й, и = - И] (У, И, х)
•Л, (К, О, х) +
Р = -рРо{х)
Ь-
¦ Р1
) Р = грРо +
Р1
(2. 1)
Подставив соотношения (2. 1) в уравнения Навье — Стокса, отбросив члены более высокого порядка, получим распределение продольного компонента скорости и температуры в первом приближении, описывающимися уравнениями Лапласа:
дг Ы1 д- и, «д2 Й1 «'-
ТУ? + ?0? = ?у» — ?й? = °. (2−2)
т. е. в области 2 силы инерции и градиент давления по порядку величины меньше, чем силы вязкости. Вследствие того что ?& gt-6, в координатах)', 2 профиль
канавки вида (1. 1) будет иметь вид прямоугольной щели бесконечной глубины (рис. 2). Сращивание решений в области 2 ив пограничном слое дает граничные условия для уравнений (2. 2)
С/г л С и о [2 4 ос,
«і -* ~~~ У- /г, • У при 1 ' (2. 3)
г1-«- гш У -* х.
Кроме того, и, -Л]= 0 на поверхности тела, Сро и Сно — соответственно значения коэффициента трения и теплопередачи в невозмущенном пограничном слое. Для решения уравнений (2. 2) применим теорию аналитических функций. Обозначим через V? плоскость переменных У и Й. Пусть 2- V + Н комплексная переменная и аналитическая функция ?(г) осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости плоскости 2 на область на рис. 2. Причем
ТГ7Т7ТТГГГГ77 'ПГГТ
7Т77~ГГГТГГ77~
IV Й
?
Рис. 2
точка Z — 0 соответствует точке А2, точка Z=-точке, А и точка Z = -f- ос — точке А1 (единственность отображения следует из [3]). Пусть U (W) — аналитическая функция, причем Re U — и,. Для аналитической функции U* (Z) — U (ty (Z)J после простых преобразований получим Rei/* = 0 при & lt- = 0 и
д Re U* Ср о dii
lim -зг------------ = С,-, если lim Re -г- = С{. (2. 4)
]Z-*x ot [Zl-ao az
Так как реальная и мнимая части функции U*{Z) удовлетворяют уравнению Лапласа, то функция U*, с учетом условий (2. 4), имеет вид: U* (Z) = - iQ CF 0 Zfoiw. Тогда для функции ц, и аналогично для Л,
С. С
«1 = С, 1тф-1 (V) Л, = Ci ~~~ Im ф-1 (В7) — (2. 5)
rw г (c)
здесь функция ф-1 (W'-) — обратная функция к 4 (Z).
Поскольку область на рис. 2 является четырехугольником, то с помощью интеграла Шварца — Кристоффеля получаем
Ф (Z) — arctg Vz^l) 4−1- С, — • (2. 6)
Таким образом, поля продольной составляющей скорости и температуры в окрестности канавки полностью определяются значениями потока импульса и энергии в невозмущенном пограничном слое и функцией конформного отображения области на рис. 2 на верхнюю полуплоскость. При заданном значении х распределения локальных значений коэффициента трения CF и теплопередачи Сн, отнесенные к соответствующим значениям в аевозмущенном пограничном слое при сделанных выше предположениях (/?0 «Г, Ь & lt- о, b & lt- d) являются универсальными функциями, г. е. не зависят от условий в набегающем потоке, на внешней границе пограничного сдоя или от вида профиля канавки.
Асимптотика поведения решений при У -& gt- - оо (j Q | & lt- 1) следует из (2. 6)
U P'-ti»1 Pw ^ Л О *2
-----= «=----------Чё sln---------------* я
е
(2. 7)
°//о
Итак, при К -* - оо тепловые потоки и напряжения трения уменьшаются экспоненциально.
3. Рассмотрим течение в области 3, в которой у — й, г ~ 6, х ~ 1. Исходя из вида решения в области 2 при К -& gt- - эо, искомые функции представим следующим образом:
и =
«з Н-Ц) '-F О
Ио — g С2 Sin
je (Qg — Q) -- _1
Q2 — O, ' !ti
«w + r
LH0
u: v
& lt-Ka)
«& amp- V2(K2Q, Jt) —
(3. 1)
b~ do. ,
W = -у- е ~ь (Ks) w2 (К3. Q. JC) — z = 6Й- у = d К2- л: = ж.
Разложения для давления и плотности имеют такой же вид, как и в (2. 1), Функции Й2(К) и (Уз) — координаты пересечения линии У2 = const с функцией ?(й, х). (Предполагается, что й& gt-(0) — 1 и fij (0) = - 1 и прямая К2 = const пересекает профиль канавки не болёе двух раз). Подставив соотношения (3. 1) в уравнения Навье — Стокса, получим
Г dY
oyJ — (Q"-Q,)» ИЛИ! Р2-г^ Q2_Q,
'- '- u n
(3. 2)
Сращивание решений в областях 2 и 3 следует непосредственно из выбранного вида разложения (3. 1) и условия, что
О (К2) при Y--
0.
V? — 2 *: — ^ 1 & lt- 2-
Таким образом, непосредственно в канавке значения скорости, температуры и, следовательно, напряжения трения, теплового потока трансцендентально малы по сравнению с их значениями в области 2 или в пограничном слое. Можно сделать вывод, что отличные от нуля тепловые потоки локализованы на глубинах порядка ширины канавки. В окрестности дна канавки решение задачи сводится к решению задачи в области 2. Но ввиду малости тепловых потоков это решение интереса не представляет.
4. Пусть канавка расположена под углом, а к набегающему потоку (рис. 3, вид сверху). Система координат выбрана следующим образом: ось х направлена вдоль канавки- ось г — поперек, ось у- по нормали к пластине. В окрестности канавки вводим разложения для функций:
Рис. 3
х — л: — у — 6 Y- z — bQ-
h — hw -f-
_6
5
_6_
o
— sin a®, (Y, Q, x)
Ai (Y& gt- 2, ji) +.. -
и = -y- eos aiij (Y, Q, x) -b
V = -7Г-0
Po +
Sinau, (K.)+
¦*) +
P — гр Po
(4. 1)
Вид разложения (4. 1) для а, ио и Л обусловлен сращиванием решений в области 2 с течением в пограничном слое, при этом граничные условия будут иметь
вид (2. 3). Подставив соотношения (4,1) в уравнения Навье… Стокса, получим,
что в уравнениях неразрывности, энергии и импульса для поперечной состав-
ляющей скорости, члены с компонентом скорости ил меньше основных по порядку величины. Следовательно, течение в области 2 разделяется на пеперечное и продольное, причем определение температуры и составляющих скорости да и V сводится к решению двумерных уравнений в поперечной плоскости. Задача же о поперечном обтекании малых неровностей подробно рассмотрена в работе [2]. Ниже отметим случай, когда
Ь «83'-5 /(в!п а)1^. (4. 2)
Тогда, как это следует из уравнений Навье — Стокса, вязкие силы больше но
порядку величины инерционных сил и задача о поперечном обтекании канавки
сводится к решению уравнений Стокса для составляющих скорости и V[ и к уравнению Лапласа. При этом локальное распределение коэффициента теплопередачи определяется из соотношений (2. 5) и (2. 6) и не зависит от угла наклона канавки а.
Условие (4. 2) дает оценку применимости полученных в п. 2 результатов при наличии угла наклона. А именно, результаты остаются верными при
а & lt- Ъ3'-Ь2. (4. 3)
5. На рис. 4 представлено распределение коэффициента теплопередачи, отнесенное к его значению для невозмущенного пограничного слоя. Полуширина канавки принята за единицу и вершина угла соответствует точке, А Видно, что на боковой поверхности пластины на расстояниях больших, чем ширина канавки, теплопередача отличается от единицы не более чем на 0,02%. На вертикальной стенке канавки, на расстояниях от вершины угла больших, чем ширина канавки, отнормированная величина теплового потока менее 0,04%. В окрестности угловой точки тепловой поток быстро возрастает и может достигать больших значений по сравнению с его величиной в невозмущенном пограничном
Рис. 4
слое. Качественно полученные результаты согласуются с данными работы [4]. (Точки на рис. 4). Количественное объяснить тем, что в работе [4] ширина канавки больше ничного слоя.
Зависимость максимального ния можно получить с помощью
экспериментальными несовпадение можно чем толщина погра-
ражениях [3]. Это дает результат:
теплового потока от малого радиуса скругле-теории скруглення углов в конформных отоб-
— 1,3
Сн = 2 (3 -я)
& quot-шах
где Я — радиус скруглення, отнесенный к полуширине канавки. В частности, С#шах при /? = 0,1 и С//ша ~ 5 при Я = 0,01. Согласно работе [I], результаты,
полученные в п. 2 и 3, допускают простое обобщение на двумерные, осесимметричные течения или на течения в окрестности точки торможения.
В заключение автор выражает признательность В. В. Михайлову и А. В. Зубцову за внимание к работе и весьма полезное и ценное обсуждение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Денисенко О. В. Обтекание продольных канавок потоком вязкого газа.. Ученые записки ЦАГИ», т. 9, № 4, 1978.
2. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.
3. Л, а в р е н т ь е в М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., «Наука*, 1965.
4. Скуратов А. С. Экспериментальное исследование теплообмена на поверхности затупленного клина, обтекаемого гиперзвуко-вым потоком, при наличии продольной канавки на передней кромке и боковой поверхности. Труды ЦАГИ, вып. 2003, 1979.
Рукопись поступила 1611 1978
. Ученые записки» & gt-6 2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой