Обтекание плоской стенки со струей при различных числах Бернулли

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И Т о м XII «19 8 1
№ 6
УДК 633.6. 011. 32
ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ СО СТРУЕЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ БЕРНУЛЛИ
С. В. Кузьмин
Рассмотрена одна из возможных схем течения задачи о затопленной струе, когда за струей образуется зона постоянного давления бесконечной протяженности. Представлены результаты численного расчета системы уравнений рассматриваемой задачи обтекания при различных числах Бернулли и различных углах выдува струи.
В [ 1 ] дана общая постановка задачи плоского установившегося безвихревого обтекания несжимаемой невесомой жидкостью полигональных тел со струями при различных константах Бернулли в струях и набегающем потоке.
Там же изложен подробный вывод системы уравнений задачи о затопленной струе для одной из возможных схем течения [2]. Эрих [3] получил аналитическое решение задачи обтекания плоской стенки со струей, когда константа Бернулли струи равна константе Бернулли набегающего потока. Лю Тинг и Руджер [4] предприняли попытку численного решения рассматриваемой задачи при различных константах Бернулли в струе и набегающем потоке, которая не увенчалась успехом. Было показано [5], что решать задачу при малых чис-лах Ве методом малых возмущений относительно известного решения при числе Ве = 0 нельзя, так как непрерывность функции угла наклона скорости для малых Ве не сохраняется при переходе через Ве=0. (Ве — число Бернулли, равное разности констант Бернулли струи и набегающего потока, отнесенное к скоростному напору набегающего потока на бесконечности).
В настоящей работе предложен итерационный процесс для решения системы уравнений задачи обтекания плоской стенки со струей при различных числах Ве& gt- 0. Выбран способ аппроксимации функций и схема численного расчета уравнений, входящих в систему, а также предложен метод непрерывного продолжения решения по числу Бернулли.
Пусть над плоской стенкой течет поток жидкости с константой Бернулли
1 йр*
В* = Я* -) — р V*2, комплексная скорость которого в бесконечно удален-
ной точке А* равна (рис. 1). По каналу с параллельными границами и бесконечно удаленной точкой Л2 вытекает под углом ас к плоской стенке струя жидкости шириной Л с константой Бернулли В = Р -}-Л- р V2 и объемным расходом
~ а Г'- ~ ~
ф-, комплексная скорость которой — в бесконечно удаленной точке А1 равна Усе
Лг
Положим, что число Бернулли Ве = (В — В*) ^ р& gt- 0, угол выдува струи
0& lt-!ас<-С71- угловая точка является точкой встречи двух потоков- за струей образуется зона постоянного давления Р = РСО — РСО бесконечной протяженности.
Рассмотрим функции Жуковского:
~ ~ V _ ~ ~ V*
/ № = 1п -«(/)¦-¦ г'-У (0, /* «*) = 1п — «= а* (**) + IV* (*•)
йр/йг 1аг
в верхних полуплоскостях И-. & gt- ?) конформно отображаемых функциями
г (?), г* ^*) на. области течений с константами Бернулли В, В* при следующем ¦соответствии точек: (А2, Аи чг) и Ц~ = со, = тц & lt-С- 1, ^ = -1» & lt-(1 =
= + 1) — (?, Аг) и (?? = оо, = - 1, ^л* = + 1), где Е — произвольная точка,
лежащая на плоской стенке (см. рис. 1). Линии тенгенциального разрыва скорости Ь* в верхних полуплоскостях ?& gt-~, соответствуют отрезки действительных осей [-1, +1]. При выбранном соответствии точек комплексные потенциалы ?(?) и Р* (?*) имеют вид
«ь + 1 ** - 1
где /-'-^-значение комплексного потенциала в точке Е, Р*Е& lt-^ 0.
Положим
/* (П =/* (?*) + /г. (?) = И*(^1 + IV* (п + а (Р) + I ?2* (Г*).
Функцию/! (?) выберем так же, как и в [1]:
/х (& lt-) = и (оо) + г№хС1 гг: (^) = а (оо), Ух (?) = ттас,
где ас = ас/те.
Функцию /* (?*) выберем так, чтобы первый член разложения ее в окрестности точки С* = 1 совпал с первым членом разложения функции Жуковского при числе Ве = 0
/•(,"& gt- _ 2--1-т (1-к — и ук)+'
-1п (1-^-2//^)
На отрезках [-1, +1] действительных осей Ь, **, запишем систему для определения неизвестных функций и2 (?), У2(1), и*2Ц*), У2У*), состоящую из следующих уравнений:
уравнения равенства длин дуг вдоль линии Ь* с двух сторон от нее, определяющего функциональную связь 1) = ^ (•& gt-)*):
~ = -5. <- (О
пУ^ 1 + (А У^ I1 Iх & gt-
уравнения непрерывности статического давления при пересечении линии Ь*:
«2 (?) — «2 (~ 1) = 4−1п---------^: (2)
2 -2(в (ч*)+а, ч*))
Ве + е 1 2
уравнения для определения функции У2 (т)), которое согласно [5] всюду на [-1, +1], за исключением быть может концов, запишется в виде:
________________ +1
У2 & quot-)[_(1 ~ '& gt-1) (11 Уд) V. Р. | 0х) Ц2 (1) йу1. (3)
-1 & gt-А (1 -!?)(?-^2) ?-? '
на концах же отрезка
V'-, 2 (+ 1) = 0, Кз (-1) — %аС ~
+1
. У'-*2 (- 1 — ^2) Пт V Р. (* ^ ^ ^ ^ ^
+ 1
!limV.P. Г
ч-& gt-+о (1-Н-) (f- '
уравнения равенства углов наклона скорости на линии L*
V (?) = V* (7)*), У2 ft*) = У, (?) + У2 (?) — V* (г?) (5)
и уравнения для определения функции и2 С»)*), которое согласно формуле Шварца имеет вид
1 ¦ +1 у* /"*1
a2V) = V.P. -L С -2}Ц da* - С*, (6)
-1
где
С* = lira V.P. -Lj2 (Iх*) du*.
-i
Рассмотрим первое уравнение системы (1) -(6), записав его с учетом уравнения (2) следующим образом:
Ф _ 2крЕ00 рИ* (!». *) 1 /~ Ве + е 2"* & lt->-'-•*>- d^).* (7& gt-
1 +? К& gt- У 1 +Ве (1~^)2 '-
Пользуясь определенным произволом в положении точки Е и выбирая зна-
У*х
чение параметра Р*в в соответствии с формулой /7^= - -4?-------------------- • гДе & amp-]>-0-про-
71 У ^
у 00
извольный действительный параметр, запишем уравнение (7) в виде
. 2
ifj = - 1 + 2 expi
2 К Л+Ве е2а*^' ф* 1 k J у 1 + Ве (1-ц*) /¦ -1
С учетом выписанных соотношений сделаем замену переменных
г
?= - 1 + 2 ехр {/(?)}. (Т (?) =
711 + 1
Тогда уравнения (1), (3) запишем следующим образом:
ч& quot-«
г, ~ % - 1 2
IЫ = = - -г
Г]1 + 1 Й
Г 1 / 1 + Ве е2ц*^*& gt-
) у 1 + Ве (1-р. *)2 '
-1
УА-ч
~) = _ -- у (1 _ е''-(%)) у. р. х
ТС
•_ Л + 1
X
I
«2 (Й — «2 (~1) е' Ы Ф
1 К (1 — е' (й) (е7® +7) (е' (|1)-е/('& gt-1))(1 г& quot-?)2
(9)
где 7= - 1.
Численное решение системы уравнений (1) -(6) проводилось при фиксированном разбиении интервала [-1, +1] расчетными точками т) г. В данном случае
т|* = + 1 ± (1 ± ?/)2, ?*=-1, ?*"==?*+ 001, ?201 = *& gt- верхний знак при |*& lt-0, нижний знак при ?*& gt-0. Соответствующие значения расчетных точек % г определялись из уравнения (8).
Обозначим
ам-мй-м-пу^ слг, д- УЗ'-& amp-гЗ».
(1+у.)2 V (- е'-№) {е'^+ с) е1М_е1Ы
°1 (?. ?) =, 5о (?!, ?) = (%, ?) = - +2Г, 1~ ¦
р1 (I1) _ р1 Ы
Тогда уравнение (9) можно записать в виде
+1
= - -1^(1 —) (е~(?Ч-с} У.Р. Г______, Ц2(Й -Ц2(-1) у
^ У (1_ еЩ) (в/(7) + с)
х — 6 -------- = - - ^ (1 — е/(т^) (7 (т^+с) X
. («пю _/(%& gt-) (1+|1)& gt-
+1 _ +1
х1
Г б (|х) Ф -----------------------------Г 8 ((Л) — О (7)0
I --------------- +0 (7)1, т)]) I ,-------------------------- _ _ +
J у I — Р2 } У I — [I2 [М -7]1
41
ч-
41 ~ _ Г* ОМ во %) — О0 (?!. ?,), +1 Г ой О] 0*& gt- %) — б] Он» 11) ,~1
)У. и — а1 + 111 } г — (А2 ¦ ~ ~ «, и-} н — ^1)
Уравнение (6), определяющее значение «2(т]*), представим следующим образом:
+ 1
1 С К (|**)
Г. Р. _ 2^Г '- ф* =
~ 3 (А*-Т1*
-1
±1
= _!_ 111 '- '-________1 — г_______!_ф* - с*. (И)
51 J VI — V-*2 (и-*--Л*)
-1
Функции в (р.), О0 ([Л 1)1), 61 Й%), (|а*) У{ - (л'г- 2, входящие в уравнения
& lt-(10), (11), при численном расчете интерполировались линейной функцией на каждом из расчетных интервалов [(лг-, |л ^ ].
Можно показать, что если функция и2 (т],) — н2 (-1) удовлетворяет условию Гельдера в окрестности точки т]! =-1,то предел главного значения интеграла, стоящего в правой части (10), равен
+1 ______ ^ ~ ^
Щ (^) — «2 (- 1) е1М ф
Ига V. Р. г. -----------_------- - ~~
Г-1+о У (1-. еПЙ)(^) + 7) (е/Ы -*'-Ы) (1 +Юг
+ 1
_ ит Г ____________________"2 «2 (~ 1) Лр______________ _
& quot-1+0Х. «еГ (|Г)) (/Й+с) (1 +'-?)3
*
. /=
Из аналитического решения рассматриваемой задачи при числе Ве = 0 известно, что первый член разложения действительной части функции Жуковского В окрестности ТОЧКИ у* = + 1 имеет ВИД Ы* (Г)*) = а* (1 — Т]*)3/2 + ….
Тогда из уравнений (8), (2) следует, что первый член разложения функции «2(130 — «2 (- 1) В окрестности ТОЧКИ К)! = - 1 имеет вид, а (1 + ¦'-и)3у2, и предел главного значения интеграла, стоящего в левой части уравнения (12), равен
Нт
%
ъ
+ 1 _________ ____ ¦ ^ +1 _____________________________________________ ^ ^ ^
Ц2(р.) -ы2 (- 1)
-т Г и2([х) — и2 (-1) Ф = Г -1+о- /лх/цаз & lt-1 + ^)2 ^
V (1 +/ (c)) (е 1 & amp->-+ 7) (1 + ^)2 ^ У (1 — е! & lt-~>-) {еГ!& gt-1) + с)
(1-(А)3
Система уравнений (1) — (6) решается методом итераций. Для начала итерационного процесса необходимо задать начальное приближение функции «20 (т]*) — Так как функция /*(& lt-*) была выбрана так, чтобы первый член разложения ее действительной части и* (?*) в окрестности точки ?*=+ 1 имел вид а* (1-т]*)3/2, то в нулевом приближении можно положить и*о (**) = 0.
При заданной функции «,(?*) и ?-м приближении для функции «2 (*]*) условие (4) может не выполняться. Чтобы обеспечить выполнение (4) на любой итерации, итерационный процесс строим следующим образом.
При заданных значениях величин параметров Ве& gt-0, 0& lt-ас<-тс, & lt--1, й& gt-0 и заданном нулевом приближении для функции «20 (т)*) = 0 из уравнений (8), (2) вычисляем начальные приближения для функций % = % (^*) и и2(Т11) —
— «2 (-1). Затем с учетом (13) вычисляем величину правой части (4). Если условие (4) не выполняется, то величину параметра К подбираем таким образом, чтобы (4) было справедливо. Далее последовательно решаем уравнения (9)-(11), определяем первое приближение для функции «2(т]*) и т. д., причем на каждой
-1 I_____________________________I__| _1
О 5 Я
Рис. 3
Рис. 2
Рис. 4
итерации величина параметра К определяется из условия (4). Если итерационный процесс сошелся, то получаем значения функций «2(^1). (г11)& gt- и^(у*) ^2
711 = 111 (71*) и величину параметра К- Теперь параметру К можно вернуть его первоначальный смысл и получить решение при любом К. Для построения решения при другом числе Ве! ф Ве0 использовался метод непрерывного про-
¦ ¦¦ _. -у.г '- ¦ д *'
должения решения, т. е. за начальное приближение для функции *4С*)*) при
числе Ве! выбиралось решение, полученное для функции и7!*) при числе Ве0.
Решение прямой задачи, когда задан угол среза сопла Хс. строится аналогичным образом, а значение параметра ^ определяется из уравнения для угла
Г р %(1/й ~
среза сопла я ^ хс = - V. Р. I -____ d^^.
і ?(1+Й '-
Щч, ¦ [ '-& lt-
Как показали численные расчеты, предложенный итерационный процесс при начальном приближении функции «20(& quot-П*) = 0 сходится для чисел Ве & gt- 1 и не дает решения для чисел Ве& lt- 1. На примере функции (рис. 2)
Рис. 5
и параметра К (рис. 3) показана сходимость итерационного процесса по числу итераций N при числе Ве = 10, ас = Хс = 45°, ifjVa = - 10 833, и20(т)*) = 0. Видно, что итерационный процесс сходится уже при 5−10 итерациях. Чтобы получить решение при числах Ве& lt-1, был применен метод непрерывного продолжения решения по числу Бернулли, который позволил решить задачу практически во всем диапазоне изменений чисел Ве^& gt-0 и для любых углов выдува струи 0& lt-ас<-я. На рис. 4 и 5 показаны линии тангенциального разрыва скорости (верхняя кривая при Be = const) и границы зон постоянного давления (нижняя кривая при Be = const) вблизи среза сопла (x = xjd, у — у/d, d — ширина канала), при различных числах Ве& gt-0 и двух углах выдува струи ас = 45» и 90°, причем ас = Хс- На рис. 5 штриховой линией показано решение, полученное Эрихом [3] для границы зоны постоянного давления при Ве = 0. На больших расстояниях от среза/сопла струя уходит в бесконечность,. *:с-г-со, ус-*-оо, а угол наклона скорости стремится к нулю.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., «Машиностроение», 1977. V
2. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М., «Наука& quot-, 1973. '-
3. Ehrich F. F. Penetration and deflection of jets oblique to a general, stream., J. of the Aeronautical Sciences& quot-, vol. 20, N 2, 1953.
4. Лю Тин г, Руджер. Вдув струи под углом к основному потоку. «Ракетная техника и космонавтика,* т. 3, № 3, 1965.
5. Келдыш М. В., Седов Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций. ДАН СССР, т. XVI, № 1, 1937.
Рукопись поступила Ilf XII 1979 Переработанный вариант поступил 23IV 1981

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой