Динамика кварков в метрике барионов и структура ядра

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 531. 9+539. 12. 01
UDC 531. 9+539. 12. 01
ДИНАМИКА КВАРКОВ В МЕТРИКЕ БАРИОНОВ И СТРУКТУРА ЯДРА
DYNAMICS OF QUARKS IN THE BARYON METRIC AND THE STRUCTURE OF NUCLEI
Трунев Александр Петрович к.ф. -м.н., Ph.D.
Директор, A& amp-E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада
В работе рассмотрена система уравнений Дирака, описывающая динамику кварков в метрике адронов. Вычислен магнитный момент и энергия связи нуклонов в случае ядра дейтерия.
Alexander Trunev Cand. Phys. -Math. Sci., Ph.D.
Director, A& amp-E Trounev IT Consulting, Toronto, Canada
In this paper we consider a system of Dirac equations describing the dynamics of quarks in hadrons metric. The magnetic moment and the energy of the nucleons in the case of deuterium nuclei calculated.
Ключевые слова: ДЕЙТРОН, КВАРКИ, НЕЙТРОН, Keywords: BINDING ENERGY, QUARKS, МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ, МЕТРИКА, ПРОТОН, MAGNETIC MOMENT, METRIC, PROTON,
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ, ЯДРО. NEUTRON, NUCLEI.
Введение
Модели квантовой хромодинамики в плоской метрике широко используется для моделирования адронов и атомных ядер [1−5]. В работе [6] сформулирована модель метрики адронов, удовлетворяющая основным требованиям физики элементарных частиц и космологии. В работе [7] рассмотрена динамика кварков в метрике [6] с векторным полем Янга-Миллса. Получены результаты по магнитным моментам барионов, согласующиеся с экспериментом с высокой точностью. В настоящей работе рассмотрено применение модели динамики кварков к моделированию магнитных моментов и энергии связи нуклонов в ядре дейтерия в скалярном поле.
Основные уравнения модели метрики адронов
Рассмотрим центрально-симметричную метрику вида [6−8]
? = Г1у®г®] = _ dt2 + e 2vdr2 + dв2 + сг2(в^ф2
d2s (1)
= -KG
dd2
?1 = dt, ?2 = endr, ?i = dd, oW = sdj
Здесь Л г] =ЛЧ — метрический тензор пространства Минковского сигнатуры (- + + +), к = сот1- - гауссова кривизна квадратичной формы
dв2 +s2(в)dj2, Функция у=у (г, t) определяется путем решения уравнений Янга-Миллса [8]. Всюду, где не оговорено, используется система единиц, в которой с = Н = 1.
Среди всех решений уравнений Янга-Миллса, в случае метрики (1), есть такое, которое выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса [8]. В этом случае уравнения модели приводятся к виду [6]:
Л"= |(Л2 -г2), еУ = Л" г = t ± г + То
А = З/ВДг/^Й- 2 2, ^з), (2)
Здесь обозначено: g2'gз- инварианты функции Вейерштрасса, причем g 2 = К — свободный параметр, связанный с выбором начал
координат- bij + bji — 2(hbij)ly = Tij — тензор энергии-импульса материи. Отметим, что в этих обозначениях уравнения Эйнштейна имеют вид
bij + bji + bhj = Rij (3)
b = hbij — Rij — тензор Риччи.
Положим g2 = 3/12, g3 = 1, тогда полупериоды функции Вейерштрасса
определяются в виде W = 1. 33 003, w2 = 0. 66 501 + 1. 61260i. Отметим, что вычисление полупериодов и построение 3D изображений осуществлялось с использованием системы Wolfram Mathematica 9.0 [9].
В метрике (2) можно определить дефект решетки типа пузыря. В области пузыря считаем, что Л2 = к2, а во внешней области решение зададим в виде (2), имеем
2 *_2 «V
_ = О, 1 & lt- t0
(4)
A = k, eV = 0, ti & lt- t0
& gt-t
A = 3/l2pt/VI2,gi, g2), eV = A»
На границах пузыря непрерывна функция A и ее первая производная,
k = 4Hp (Tj4H, gi, g 2), AT= 0, t = t (5)
В частном случае решетки с инвариантами заданными в виде g2 = л/Т2″, g3 = 1, находим первый ноль и соответствующее значение
параметра метрики =3 449 983, к = 2Л°38 034. Отметим, что
метрика во внутренней области пузыря является трехмерной, поскольку не содержит радиальной координаты. Действительно, используя уравнения (1) и (4), находим
Y = -dt2 + d92 + cos2 (Vkq + O0) dj2 (6)
Аналогично строится решение для других корней второго уравнения (5). Все эти решения отличаются только размером пузыря, тогда как значение параметра k не меняется.
Всякий пузырь можно вывернуть наизнанку, просто изменив на противоположные неравенства (4). В этом случае можно до определить метрику во внешней области пузыря, используя решение первого уравнения (2), так, чтобы метрика внешнего пространства совпала с метрикой нашей Вселенной [6]. Наконец, третий тип частиц можно составить как комбинацию двух первых, в результате возникает пузырь, ограниченный оболочкой конечной толщины.
Преобразуем метрику (6) к стандартному виду. Для этого умножим обе части выражения (6) на постоянное число — k и введем новые переменные, отличающиеся от старых переменных на постоянный
множитель Vk, в результате находим
Y ® Y1 = dt2 — dO2 — sin2 Odj2 (7)
Метрика (7) использовалась для моделирования структуры барионов [7], в том числе протона и нейтрона.
Динамика кварков
Для описания динамики кварков во внутренней области пузыря с метрикой вида (7) рассмотрим систему уравнений Дирака во внешнем поле Янга-Миллса. Отметим, что согласно (2) в метрике (7) тензор энергии импульса является постоянным. Следовательно, будем предполагать, что поле Янга-Миллса во внутренней области пузыря сводится к некоторой совокупности констант. В настоящей модели использованы три константы, а само поле описывается скалярным и векторным потенциалом
В = (ФЪ, Аьт)
Кроме того, будем учитывать электромагнитное поле, которое генерируют кварки. Используя результаты работы [10], преобразуем уравнение Дирака к криволинейным координатам (7). Имеем систему уравнений
1Г'-'(Ут+ 14*ьАІ У* = таь? «
(8)
Здесь обозначено 7 т, Чаъ, Лт, у а, таъ — матрицы Дирака, параметры взаимодействия, векторный потенциал, волновая функция и эффективная масса поля кварка, а входящего в состав частицы Ъ соответственно. Матрицы Дирака в метрике (7) имеют вид
У
Г1 0 0 0 & quot- '- 0 0 0 — їв9
0 1 0 0, у9 = 0 0 їв'-9 0
0 0 -1 0 0 їв -їф 0 0
, 0 0 0 -1 ч- їв'-9 0 0 0 ,
/ =
0
0
sin в
eip cos в
0
0
— e
-ip
cos в
sin в
— sin в ej cos в 0 0
— ip
cos в
sin в 0 0
В этих обозначениях оператор Дирака в метрике (7) можно представить в форме
gp
f’Nl?=f Э, +/дв+^-дг
sin в
Поскольку кварки обладают электрическим зарядом, они генерируют электромагнитное поле, посредством которого взаимодействуют друг с другом. Для описания этого взаимодействия используем уравнения квантовой электродинамики в форме
ЩлУУУа =(Э2 -N2)АЦ (9)
Здесь a = e2 /Не — постоянная тонкой структуры, Уа = ?+а7°,?+а -сопряженный (по Эрмиту) вектор. Таким образом, предполагаем, что токи и заряды кварков суммируются, создавая коллективное поле, с которым кварки взаимодействуют в соответствии с уравнениями (8).
Система уравнений (8)-(9) использовалась для моделирования динамики кварков в случае барионов [7]. В простейшем случае, в котором учитывается только одно электромагнитное поле, модель содержит 3×4+3=15 нелинейных уравнений в частных производных. Для понижения порядка системы представим решение уравнений (8)-(9) в форме
'- /1(в) Л
У, а = e
__ ~-iwt+iLp
ip
f2(в)e 3(в) vi/4(в)eip.
(10)
e
а
Здесь L, w _ проекция углового момента на выделенную ось и энергия системы соответственно. Система уравнений Дирака для случая представления решения в форме (10), приводится к виду,
fi = (L + qabAb sin в)(f1 COt в + f 2) + f 2 +
(mab + w — 4ab Ф b)(f3 Sin в~ /4 COS в)
/2'- = (L + qabAb Sin в)(f1 — f2 COt в) — f2 COt в —
(mab +W- 4ab Ф b)(f3 COS в + f4 SIn в)
= (m ab -W+ qabФ b)(f1 SIn в — f2 COS в) + ^
(L +abAb SIn в)(f3 COt в + /4) + f4
Л'- = -(mab -W+ 4abФ b)(f1 COS в + f2 Sin в) +
(L + qab Ab SIn в)(f3 — f4 COt в) — f4 COt в
Здесь предполагается, что Ль = Ле + Лгм, ф b = ф e + фгм.
Отметим, что масса и заряд являются индивидуальными для каждого кварка, а момент и энергия всей системы выбираются из условия образования стоячих волн вдоль меридиональной координаты. Вычисляя ток в левой части уравнения (9) и оператор набла в правой части, находим уравнения, описывающие электродинамическую часть потенциала
OqabYa/Va = Wb
(4 Л
(i /2)
V i=1)
= -Ф& quot-е — Ф'-е COt в ,
Л.
(12)
MlatVafVa = 2a? ai (. АУ1 — f& gt-. f3) a =- ЛГ — Л'-е TOt в + -
sin2 в ' WafWa = 0.
Здесь по индексу, а осуществляется суммирование по всех кваркам, входящим в систему. Таким образом, в случае нуклонов задача сводится к решению системы из 14 обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае дейтрона число уравнений в системе вырастает до 26.
Как известно, электромагнитные свойства элементарных частиц характеризуются электрическим зарядом и магнитным моментом. Поэтому
a
параметры поля Янга-Миллса, фигурирующие в уравнениях (11), должны быть связаны с величиной заряда и магнитного момента системы кварков, которые для данной системы определяются следующим образом
ж/2
Qb = J dVchbV аУУа = 4Ж J dqsin & amp-!"Ь Z f2
а. а
о V i=1
(13)
н /I / Z,
m = 2 J dV[r х j]z = 2p? q J de sin2 eqabyagpyi
а/ Ta
0
ж/2
2
4Pq J deSin2 eZ qab (fJt — fl f3) a
0 а
В качестве единицы измерения массы возьмем 1 МэВ, тогда параметры поля Янга-Миллса, векторный потенциал и энергия системы будут выражаться в единицах МэВ. Единицей магнитного момента в этом
случае является? q = eh /MeV = 2memB = 1. 21 9978mB, где? B — магнетон
Бора. Сомножителем здесь выступает удвоенная масса электрона, выраженная в принятых единицах массы.
Модель нуклонов
Влияние векторного потенциала на параметры барионов исследовалось в работе [7]. Было установлено, что масштаб изменения параметров векторного поля Янга-Миллса не превышает 1 МэВ. Следовательно, можно исключить это поле из рассмотрения, заменив его скалярным потенциалом, влияющим на эффективную массу кварков [11]. Решение системы уравнений (11)-(12) с нулевым векторным потенциалом Янга-Миллса можно получить в виде ряда по степеням параметра а. Для системы кварков основное состояние с нулевым моментом представляется в стандартном виде (10) с постоянными функциями f:
L = 0 f1 = /аЬ, f2 = 0 f3 = f4 = gob (14)
а
В случае (14) система уравнений (11) с нулевым векторным потенциалом приводится к виду:
2gab + (mab Wab) fab = 0 W
ab
-m
ab
(15)
Вычисляя компоненты 4-вектора тока, и используя первое условие нормировки (13), находим
•0 г2 — rt2 /л — 2 г2
J = fab + gab = (1 + mab) f ab ,
f = 2fabg ab Sin в = 2mabfab Sin в
4P0 = 1, fab =
1
(16)
4^(1 + таЬ)
Используем полученные результаты для вычисления магнитных моментов нейтрона и протона. Общие свойства исследуемых нуклонов и кварков представлены в таблицах 1−2.
Таблица 1. Свойства барионов
Symbol Spul Charss Mass Euy-M'lsiHiter GFactor Hypaehase Isciptn. QuaricCodtDBit
Р г 1 93 E. 272U3 1 5 j Si 694 713 1 г {{DoraiQuaric. UpQuarii UpQuaric}}
Р г -1 9 307 200 -1 5J Ei 694 713 -1 г [[DoxviiQuafkBai. UpQusrfcBsi. UpQoaitBar}}
Л г О 9395 6536 1 -3. S160S545 1 г [{DorsfiQuaric. DowiiQuaifc. UpQuafk] ]
г 0 93 936 536 -1 -3. B26QB545 -1 г [[DownQuafkBar. Dowr. QuakBsi. UpQoaricBar}}
Таблица 2. Свойства кварков
Symbol Spin Charge Mass BaiyonNumber Bottomness Chaim Hyperchaige Iso spin Strangeness Topness
и l 2 22 l 0 0 l 1 0 0
2 3 J J:
П 1 22 1 0 0 1 l 0 0
2 3 Г Г:
d 1 і 50 1 0 0 1 і 0 0
2 j J J:
d 1 і 5.0 1 0 0 1 і 0 0
2 Г 3 J:
Если предположить, что в составе протона кварки типа и имеют противоположно направленные спины, а в составе нейтрона кварки d имеют противоположно направленные спины, тогда магнитный момент протона зависит от эффективной массы d кварка, а магнитный момент
нейтрона зависит от эффективной массы и кварка. В этих предположениях находим
m /m =-, , b = n p- a = U, d. (17)
3(1 + mab)
В случае протона имеем mp / ?q = 1. 5 544 916 X10 3, соответственно уравнение (17) имеет два корня
шРр = 0. 69 9556MeV- 142. 948MeV. (18)
Для нейтрона? n / mq = -1. 6 479 466 X10 3, а эффективная масса и кварка имеет два значения:
mn = 0. 2 3958MeV- 417. 397MeV. (19)
Следовательно, в каждом случае имеем два корня уравнения (17). Один из них соответствует очень малой энергии кварков порядка нескольких кэВ.
Модель дейтрона
Как известно, нуклоны объединяются в атомные ядра под влиянием ядерных сил. Однако сами ядерные силы долгое время оставались загадкой, не смотря на многочисленные феноменологические модели, в которых ядерные силы моделировались гипотетическими потенциалами типа потенциала Юкава, Вудса-Саксона или квантового гармонического осциллятора, положенного в основу модели ядерных оболочек [12]. Заметный прогресс в моделировании ядерных сил связан с развитием квантовой хромодинамики [13−14] и численных моделей нуклонов и легких ядер [1−5].
Объединяя два пузыря, путем погружения одного пузыря в другой, приходим к метрике ядра дейтерия — рис. 1. В этом случае возможны две комбинации, когда нейтрон погружен в протон — структура D={n, p}, и когда протон погружен в нейтрон, D={p, n}.
Можно предположить, что нуклоны образуют атомные ядра в состоянии с низкой энергией кварков. Эффективная масса кварка связана с массой покоя и потенциалом скалярного поля линейным уравнением [11]
таЬ = та + КъФъ (20)
Здесь 1аЪ — параметр взаимодействия кварков с полем Янга-Миллса. Таким образом, если предположить, что в основном состоянии эффективная масса совпадает с минимальным корнем уравнения (17), то из уравнения (20) следует простая оценка
та «-?аъФь, а = и,- Ъ = П Р- (21)
Рис. 1. Модель метрики ядра дейтерия: слева протон погружен в нейтрон, в центре нейтрон погружен в протон, справа геометрия двух метрик типа (7).
Используя приведенную выше модель барионов, можно оценить магнитный момент и энергию связи нуклонов в ядре дейтерия. Будем предполагать, что спины нейтрона и протона параллельны. Тогда магнитный момент системы оценивается просто как сумма магнитных моментов протона и нейтрона, что составляет
mD «mn + mp = (2. 792 847 356 -1. 91 304 272)^ = 0. 87 9805mN
(22)
Здесь mN — ядерный магнетон. Экспериментальное значение магнитного момента дейтрона равно mD = 0. 85 743 823/uN, что отличается от величины в правой части (20) на 2. 6%.
Энергию связи можно оценить, используя гипотезу, что общая энергия связи складывается из разности потенциалов Янга-Миллса, тогда в случае системы D={p, n}, состоящей из протона в нейтроне — рис. 1, имеем с учетом (21)
Eb «mu = 2. 2MeV (23)
Полученная оценка лишь на 1% отличается от энергии связи дейтрона Eb = 2. 22 457 MeV. Детальный расчет магнитных моментов и энергии связи осуществляется в рамках численной модели, описанной в работе [7]. Объединенная модель дейтрона включает 26 обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решаются численными методами, реализованными в системе [9].
Возникает вопрос, почему в природе не реализуется комбинация нуклонов типа нейтрона вложенного в протон с энергией связи порядка массы d кварка? Можно предположить, что эта комбинация реализуется в ядре трития, которое состоит из двух нейтронов и одного протона — рис. 2. В этом случае полная энергия связи составляет 8. 4818 МэВ, что близко к величине суммарной массы u и d кварков.
Т ={и, р, п}
2
Рис. 2. Модель метрики ядра трития.
Можно предположить, что и в общем случае при любом числе нуклонов атомные ядра организованы по принципу вложенных оболочек. Эта гипотеза согласуется с теорией ядерных оболочек [12,15−16]. Отметим, что в [15−16] ядерные силы моделировались векторным потенциалом в пространстве пяти измерений на основе модифицированной теории Калуцы-Клейна. В рамках этой модели была вычислена энергия связи нуклонов для всех известных нуклидов.
Таким образом, развитая модель позволяет объяснить природу ядерных сил, которые обусловлены, главным образом, метрикой барионов и топологией атомных ядер. Сами ядра состоят из оболочек с метрикой типа (7) и остова, состоящего из глюонного конденсата. Такая модель позволяет описать свойства всех известных нуклидов [15−16] и адронов [17−18].
Наконец заметим, что результаты исследования свойств атомных ядер на основе сформулированной модели можно применить для решения
проблемы многих тел в квантовой теории, в частности, для описания свойств многоэлектронных атомов [15].
References
1. S. Durr, Z. Fodor, J. Frison et all. Ab Initio Determination of Light Hadron Masses// Science, 21 November 2008: Vol. 322, no. 5905 pp. 1224−1227.
2. R. G. Edwards (LHPC Collaboration), B. Joo (UKQCD Collaboration). The Chroma Software System for Lattice QCD// arXiv: hep-lat/409 003, Proceedings of the 22nd International Symposium for Lattice Field Theory (Lattice2004), Nucl. Phys B1 40 (Proc. Suppl) p832, 2005.
3. Doron Gazit, Sofia Quaglioni and Petr Navratil. Three-Nucleon Low-Energy Constants from the Consistency of Interactions and Currents in Chiral Effective Field Theory//arXiv: 0812. 4444v2 [nucl-th] 21 Sep 2009
4. S. Quaglioni, P. Navratil, R. Roth, and W. Horiuchi. From nucleons to nuclei to fusion reactions//arXiv: 1203. 0268 [nucl-th]
5. M. Hirai, H. Kawamura, S. Kumano, and K. Saito. Selected topics on parton distribution functions//arXiv: 1111. 0353v1 [hep-ph] 2 Nov 2011.
6. Трунев А. П. Моделирование метрики адронов на основе уравнений Янга-Миллса // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2012. — № 10(84). С. 874 — 887. -Режим доступа: http: //ej. kubagro. ru/2012/10/pdf/68. pdf, 0,875 у.п.л.
7. Трунев А. П. Динамика кварков в метрике адронов и структура барионов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2013. — № 01(85). С. 525 — 542. -Режим доступа: http: //ej. kubagro. ru/2013/01/pdf/42. pdf
8. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов. Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметричной метрики// Journal of Siberian Federal University, Mathematics & amp- Physics 2011, 4(3), 350−362.
9. Wolfram Mathematica 9. 0/ http: //www. wolfram. com/mathematica/
10. V. Dzhunushaliev. Canonical conjugated Dirac equation in a curved space// arXiv: 1202. 5100, Feb. 25, 2012.
11. J.J.J. Kokkedee. The Quark Model. — W.A. Benjamin Inc., NY-Amsterdam, 1969.
12. Maria Goeppert-Mayer. On Closed Shells in Nuclei/ DOE Technical Report, Phys. Rev. Vol. 74- 1948. II DOE Technical Report, Phys. Rev. Vol. 75- 1949
13. S. Weinberg, Physica 96A, 327 (1979) — Phys. Lett. B 251, 288 (1990) — Nucl. Phys. B363, 3 (1991) —
14. G. Gasser and H. Leutwyler, Ann. Phys. 158, 142 (1984).
15. Трунев А. П. Ядерные оболочки и периодический закон Д. И. Менделеева / А. П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2012. — № 05(79). С. 414 — 439. -Режим доступа: http: //ej. kubagro. ru/2012/05/pdf/29. pdf
16. Трунев А. П. Ядерные оболочки и периодический закон Д. И. Менделеева. Часть
2. / А. П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2012. — № 07(81). С. 491 — 514. — Режим доступа: http: //ej. kubagro. ru/2012/07/pdf/37. pdf
17. Трунев А. П. Моделирование массы адронов и энергии возбужденных состояний атомных ядер в модели глюонного конденсата // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2012. — № 07(81). С. 545 — 554. — Режим доступа: http: //ej. kubagro. ru/2012/07/pdf/40. pdf
18. Alexander Trunev. Hadrons mass spectrum and the gluon thermodynamics//Chaos and Correlation, Nov. 25, 2012, http: //chaosandcorrelation. org/Chaos/CR 2 11 2012. pdf

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой