Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИКА
УДК 532. 133/. 135
Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Аннотация. Рассматривается динамика двух дипольных частиц в вязкой жидкости в переменном внешнем магнитном поле. Получено численное решение системы уравнений движения частиц с учетом их магнитного и гидродинамического взаимодействия.
Ключевые слова: вязкая жидкость, сферы, нестационарное магнитное поле, взаимодействие.
Abstract. Dynamics of two magnetic spheres in viscous fluid and non-stationary magnetic field is considered. Hydrodynamic and magnetic interactions of particles are taken into account. The solution of problem was obtained by numerically.
Keywords: viscous flow, spheres, non-stationary magnetic field, interaction.
Введение
Процессы образования структур в жидкости (вихревые структуры, структурирование частиц в потоке) в последние годы представляют все больший интерес. Это связано как с теоретическими вопросами моделирования, так и с различными приложениями. Как известно, в двухфазных средах типа суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. В результате действия сил притяжения между частицами возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрегативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства всей системы в целом, что важно для практических приложений.
Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц. Например, в суспензии распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц. Следовательно, движение одной частицы влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в двухфазной среде.
Изучение агрегации частиц в магнитной жидкости в историческом плане является одним из первых исследований такого рода. Однако, несмотря на такую давнюю историю, проблема агрегирования частиц в магнитной жидкости по-прежнему является малоизученным явлением. Это связано как со сложностью самого явления, так и со сложностью строения магнитной жидкости. По крайней мере, имеется два фактора, существенно влияющие на этот процесс: диполь-дипольное и гидродинамическое взаимодействия частиц. В работах [1, 2] предложен метод аналитического решения задачи о гидроди-
намическом взаимодействии частиц в вязкой жидкости. Метод основан на представлении решения уравнений Лапласа и Пуассона в виде рядов по мультиполям с тензорными коэффициентами. Задача решалась в квазистационар-ном приближении при малых числах Рейнольдса. Уравнения движения жидкости при этом существенно упрощаются и становятся линейными (уравнения Стокса). Это означает, что движение происходит настолько медленно, что нестационарными членами уравнений можно пренебречь по сравнению с членами, учитывающими вязкость жидкости. Однако в магнитных жидкостях в быстропеременных магнитных полях возможно и быстрое изменение течения жидкости. Поэтому при определенных условиях нестационарные слагаемые в уравнениях движения жидкости становятся сравнимыми по порядку величины с вязкими членами. К изучению агрегации частиц в переменном магнитном поле этот случай имеет непосредственное отношение.
В силу сказанного выше представляет интерес рассмотрение задачи о взаимодействии двух магнитных частиц в нестационарном внешнем магнитном поле и исследование влияния как магнитного, так и гидродинамического взаимодействий на динамику самих частиц в результате взаимодействия в жидкости возможности образования устойчивой структуры из частиц.
1 Постановка задачи
Пусть две сферические частицы A и B одинакового радиуса a находятся в жидкости с вязкостью ^ постоянной магнитной проницаемостью. Считается, что частицы обладают постоянными магнитными моментами mA и тв. Положение произвольной точки среды относительно центров частиц A и B будем обозначать векторами XA и Xв. Для введенных векторов
имеем соотношение Xв = Xд ~ г, где г соединяет центры сфер A и B.
Энергия взаимодействия частиц, обладающих такими моментами, известна, и из нее определяются силы и моменты, действующие на частицы. Сила, действующая на каждую частицу, равна [3]
— - 3 15
?А = ~?Б = «Г[(тдг)тв + (твГ)тд + (тАтв)Г] --(тдг)(твГ)г. г г
Аналогично, моменты равны
— 3 1
НА =~т (твг)(тд хг) + -г (тв хтд) — г г
— 3 1
нв =^(тдг)(тв хг) + -т (тд хтв). г г
На систему действует внешнее однородное переменное магнитное поле
— - - 2
Н: Н (^) = Ноехр (-/ю^). Здесь / - мнимая единица, / =-1. Считается, что это среднее поле и рассматриваемые две частицы не искажают его. Распределение скорости V и давления р в жидкости описывается уравнениями (рассматривается случай малых чисел Рейнольдса, когда конвективным слагае-
мым в уравнении Навье — Стокса можно пренебречь, а нестационарный член в уравнении остается):
д? — -
р = -Ур + цАУ, & amp-уV = 0. (1)
дt
Скорость жидкости V представим в виде V = и + и, где и — возмущение скорости.
На поверхности частиц, А и В должны выполняться следующие граничные условия (/ = 1, 2, 3):
А _ п, т-Л «А і '- і и І
и і - VІ _ и І + ГІк%і
иі - У* _иі + ГВкхВ,
хА
хВ
— а,
— а. (2)
Далеко от частиц имеет место затухание возмущений:
и ^ 0, р ^ Ро Щте. (3)
А ~& quot-В
Здесь векторами V, V обозначены абсолютные линейные скорости сфер, А и В, приобретаемые ими в результате взаимодействия с потоком и между собой- Гд, Гд — тензоры угловых скоростей сфер- ро — невозмущенное давление в жидкости, удовлетворяющее соотношению
э и «
— _^Ро.
д t
Линейные и угловые скорости сфер есть неизвестные функции, зависящие от векторов и, г и параметров, а / г, ^ / рю. Для их определения не-
обходимо составить уравнения движения частиц:
а dVA = р | аВ = Р I
ёА--- = РА + РА, ё^~7~ = РВ + РВ, ш ш
!аЩг = ЙА + Ма, =в + Мв, (4)
ш ш
где РА, РВ — силы- Ма, Мв — моменты сил, действующие на частицы со
стороны жидкости- ёА, ёВ — массы- 1а, 1в — моменты инерции- йа, йв —
угловые скорости частиц, А и В соответственно. Причем связь между угловой скоростью частицы й и тензором Гд имеет следующий вид: й/ = в/МГ^,
где в/^ - тензор Леви — Чивита.
Так как магнитные моменты вморожены в частицы, то их изменение со временем описывается уравнениями
МтА — - ШтВ — -
-- = йа х/па, -- = йВ Хтв. ш М
Таким образом, для определения движения частиц необходимо решить гидродинамическую задачу. В силу линейности уравнений (1) и граничных условий (2), (3) решение задачи можно представить в виде суммы решений двух задач. Первая задача заключается в нахождении решения уравнений (1) со следующими граничными условиями:
и, = Vf — и,-, і і і'-

= а.
На бесконечности по-прежнему должны выполняться условия (3). Вторая задача заключается в нахождении решения уравнений (1) с граничными условиями для компонент скорости (/ = 1, 2, 3):
1 Л -ЛВ в '-
иІ 1 ікхі, х -к 1 = і и сз II х
= а.
На бесконечности также должны выполняться условия (3).
2 Метод решения первой задачи
Из первого уравнения системы (1) следует, что скорость и должна
(5)
иметь вид [4]
и = гоНО-//(/А — и)|.
Следуя работе [4], получаем уравнение для функции /:
Л 2 г 1® * г ^ Л
А2/ + -А/ = 0, ,
V р
где, А — оператор Лапласа.
Вводя обозначение А/ = ф, получим уравнение
л 1® п
Дф + -ф = 0.
V
Решение этого уравнения для одиночной частицы имеет вид [4]
ф = ??о ехр (гкх) —
Ь = -, к=111, 5 =. х 5 V ю
Необходимо учесть, что все частные производные от этого решения тоже есть решение. В общем случае уравнение для функции / записывается в виде
А/ = БЦо ехр (ікх) + Н81 Ь8 + ікЦ) — І ехр (ікх) + Н
Ь + ікЬ! — + х
+ ікЬ^-^ + ікЬо
Ьщх — х^
2 Т xqxs
— к 2 Ьо
ехр (ікх) + …
(6)
Здесь введены следующие обозначения: Ня, Н^ - неизвестные тензорные коэффициенты-, Ь3д — мультиполя, вычисляемые по правилу
((
ь
'-sqr… t
чЭ xq
((
ч д хг
Ч ч
1
//
Общее решение уравнения (6) записывается в виде
1 1 (х / = -2ехр (ікх)-2- I Ь + ікЦ) — Iехр (ікх) -… -ВЬд -С3Ь3 -…
к2 к Ч х
Все это проделано для одной частицы. Если имеем две частицы, то регА ХВ $
шение должно содержать мультиполя двух типов ЬА, ЬА, , 1?^. Поэтому
решение уравнения (6) для двух частиц имеет вид
/ = -Б (Ь ехр (ікхА) + Ьд ехр (ікхВ) — -- ъ2 I Ъ2
---
(хА Л
Ь ++ікЬ ()^^А
ехр (ікхА) —
(
В
ехр (ікх)
-… — В (4 + Ьв) — с, Ь — ьв)-.
В силу линейности уравнений и граничных условий решение должно быть линейным по вектору УЛ — и, а это уже учтено в виде решения (5), поэтому тензорные коэффициенты S, В, Ня, Н? д, Ся,… зависят только от вектора г. Эти тензорные коэффициенты можно записать в виде
Ня = гяН, Ся = гяС, Няд = гягдЕ +ядЕЛ.
Здесь Н, Е, ЕЛ, С, … — неизвестные скалярные коэффициенты, которые находятся из граничных условий. Знаки мультиполей в решении выбираются исходя из того, что скорость жидкости и должна быть четной функцией координат (это следует из граничных условий). Скорость и давление в жидкости находятся по формулам
и =
(Ь — и) У — + (УА — и) А/, р = циУ (™/ + А/| + Ро.
После подстановки полученных выражений для скорости в граничные условия находятся скалярные коэффициенты Н, Е, ЕЛ, С, … с использованием метода разложение по малому параметру, а / г.
3 Метод решения второй задачи
Аналогично рассмотренному выше методу решается вторая задача. В этом случае скорость представляется в виде
и = го1-(Л).
Вектор A определяется следующим образом:
A = rot (f й) + rotrot (VфxЙ).
Для функций f, ф получаем уравнения
. _ іЮ 2і іЮ
Af + - f = 0, A 2ф + -Aф = 0.
v
v
Решение полученных уравнений для одиночной частицы имеет такой же вид, как и в первой задаче:
/ = ТЬо ехр (ікх), Дф = КЬо ехр (ікх).
Для случая нескольких частиц процедура нахождения решения такая же, как и для двух частиц в первой задаче (используются мультиполя от нескольких частиц).
Давление в жидкости находится по формуле
По выражениям для скорости и давления в первой и второй задачах в работе [5] вычислены силы и моменты, действующие на частицы со стороны жидкости. В силу громоздкости выражений они в данной статье не приводятся. Таким образом, можно получить систему уравнений движения частиц (4) и исследовать их динамику с учетом сил инерции, а также возможность их агрегирования в нестационарном внешнем магнитном поле.
Найти аналитическое решение полученной системы не представляется возможным, поэтому она решалась численно при различных начальных условиях и параметрах жидкости и частиц. Полученные результаты представлены для двух случаев внешнего магнитного поля:
1. Одномерное внешнее магнитное поле. Магнитное поле изменяется вдоль одной оси по закону cosrat и имеет следующие координаты: Hx = Hq cos rat, Hy = 0. Аналогичные результаты получаются и при изменении магнитного поля по закону sin (Ш.
2. Вращающееся внешнее магнитное поле. Магнитное поле меняется в двух направлениях и имеет следующие координаты: Hx = HqCOS rat, Hy = Hq sin rat.
Результаты вычислений приводятся при следующих значениях параметров в системе СГС (сантиметр, грамм, секунда): р = 0,889 г/см3, п = 0,01 г/см-с, a = 0,001 см — сплошная линия, a = 0,002 см — пунктирная линия- a = 0,003 см -штрихпунктирная линия- га = 10 000 с-1, H = 100 э. Вычисления показывают, что вращение частиц (рис. 1, 2) не является периодическим, а имеет сложный характер в зависимости от их размеров (с размером частиц связан их дипольный момент). Здесь ф — угол между проекцией вектора дипольного момента частицы на плоскость XY и осью Х- 0 — угол между вектором момента и осью Z.
4 Динамика частиц в переменном магнитном поле
І
Рис. 1 Зависимость угла поворота ф частицы А
21
Во всех рассмотренных случаях частицы в результате взаимодействия удаляются друг от друга (рис. 3), что свидетельствует о том, что частицы не смогут образовать агрегаты. Такое поведение частиц в быстропеременном магнитном поле существенно отличается от результата по взаимодействию магнитных частиц в стационарных или квазистационарных магнитных полях [6], когда внешнее магнитное поле способствует агрегации частиц.
Заключение
Результаты вычислений позволяют предположить, что подбором частоты магнитного поля можно исследовать магнитные жидкости без образования агрегатов в них частицами определенного размера. Чем больше размер частиц, тем меньше частота поля.
В реальной жидкости мы имеем полидисперсные частицы. Поэтому, для того чтобы образование агрегатов было минимизировано внешним магнитным полем, необходимо определять характерный размер частиц в жидкости и уже по ним определять частоту, при которой магнитное поле не способствует их агрегированию.
Список литературы
1. Мартынов, С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 1998. — № 2. — С. 112−119.
2. Мартынов, С. И. Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С. И. Мартынов, А. О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2005. — № 4. — С. 3−14.
3. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М.: Наука, 1982. — 620 с.
4. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1986. — 736 с.
5. Коновалова, Н. И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Нелинейная динамика. — 2008. -Т. 4. — № 4. — С. 467−481.
6. Борискина, И. П. Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле / И. П. Борискина // Вестник МГУ. — 2003. — № 4. — С. 20−23.
Мартынов Сергей Иванович доктор физико-математических наук, профессор, кафедры прикладной математики и информатики в геологии и нефтегазовом деле, Института нефти и газа, Югорский государственный университет
E-mail: martynovsi@mail. ru
Martynov Sergey Ivanovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of applied mathematics and computer science in geology and oil and gas industry, Institute of Oil and Gas,
Yugra State University
Коновалова Наталья Ивановна
преподаватель, кафедра математики и теоретической механики, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)
Konovalova Natalya Ivanovna Lecturer, sub-department of mathematics and theoretical mechanics,
Mordovia State University named after N. P. Ogarev (Saransk)
E-mail: martynovsi@mail. ru
УДК 532. 133/. 135 Коновалова, Н. И.
Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2009. — № 3 (11). — С. 3−11.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой