Об учете конструктивных и технологических ограничений при проектировании силовых конструкций максимальной жесткости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Т о м VII 1 9 7 6 № 2
УДК 629. 735. 33. 018. 4
ОБ УЧЕТЕ КОНСТРУКТИВНЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ
Е. К. Липин
Сформулирована и решена задача оптимизации сложной силовой конструкции из условия минимума энергии деформации при удовлетворении требованиям прочности и жесткости с учетом конструктивных и технологических ограничений.
Задача оптимизации решена как классическая вариационная задача на условный экстремум при замене неравенств, ограничивающих величины геометрических параметров, равенствами по методу Валентайна.
Задача оптимального проектирования силовой конструкции состоит в распределении материала в ее элементах таким образом, чтобы удовлетворялись основные требования прочности этих элементов и жесткости конструкции в целом. Для расчета проекта силовой конструкции максимальной жесткости в настоящее время разработан ряд методов и алгоритмов минимизации энергии деформации сложных силовых конструкций, основное содержание которых изложено, например, в работах [1−3]. Данная статья посвящена изложению одного из, методов учета конструктивных и технологических ограничений при расчете проекта сложной силовой конструкции максимальной жесткости.
Согласно [3], сложная силовая конструкция состоит из совокупности элементов: Я-обшивки, Е- пояса, Т — стенки. Предполагая, что элементы конструкции не теряют устойчивости и работают в пределах линейной теории упругости, сформулируем задачу оптимизации конструкции следующим образом.
Найти функции распределения геометрических параметров в элементах конструкции /г, {/}, {/}, минимизирующие энергию деформации
и = |ш$йэ+? | /*и, к +X| ин (1)
5 * = 1 /д, 1−1 Б1
где и$, II/, ?Л, — удельные потенциалы элементов Н, Е, Т при «модифицированном11условии постоянства объема материала [3]
5 *=1 гА -=1 5-
и задании конструктивных и технологических ограничений на величины геометрических параметров Л, {/), {?} в виде неравенств
где ЛШщ, /к тш, итп--минимально допускаемые значения геометрических параметров в элементах типа Н, Г, Т.
В дальнейшем будем предполагать, что функционал энергии деформации относится к классу непрерывно дифференцируемых выпуклых функционалов.
Для исследования необходимых условий минимума функционала (1), при наличии условия (2) и ограничивающих неравенств (3), методами классического вариационного исчисления заменим неравенства (3) равенствами, введя новые переменные по методу Валентайна [4], в следующем виде:
Следовательно, задача оптимизации сложной силовой конструкции при замене ограничивающих неравенств (3) равенствами (4) будет заключаться в следующем: найти функции распределения геометрических параметров А, {/), {^} в элементах конструкции Н, /% Т, минимизирующие энергию деформации (1)
Произведя замену функций распределения геометрических параметров Л, {/}, {г1} через новые переменные /г, {/}, {?}, согласно условиям (5), получим следующие выражения функционала энергии деформации:
(3)
Л Лщт
=^л2& gt-о, Л--/*т1п = 4-Л2& gt-0, |
(4)
5 *=1 1к ¦ 1=1 5,
при наличии условий
| МЭ +? К) к | А йгк + V К { I, й51 — 1/0=0:
(5)
+ | Ьтт и8 (ЯБл /к шт У ^%к ^ ^(^)
и условия постоянства объема материала силовой конструкции
5 л=і ік г=і 5/
Ф § Ьт'-т (ІБ -) — К/к ^ //г шіп -) — ЛГ/- ^ Іі тіп =:1 0. (7)
*=1 и
1=1
. Условия минимума энергии деформации ?/ получим как следствие вариационной задачи на условный экстремум. Для этого составим функционал Лагранжа
Ь = и [Н, {/}, {?}- Нтіп {/шіп}, {^шіп}] 4+ К? У[Ь, {/}, {*} ї Атіп і {^тіп}) {^шіп}]*
(8)
Используя принцип суперпозиции операций с бесконечно малыми величинами [5], рассмотрим вариации функционала (8) по параметрам Ъ, {/}, {7} независимо друг от друга
гк I = [ А (?/* + /.) ШБ + [ (нтіп + 4-'-Л4) „/* +
5 5
+Ы (л+4-^2)84^+Х №п,іп+42)8^^=0“
*=ї „* '- '-=1 V ¦
V- ^ = 17 (^/, + & gt-¦*/,¦) 87, — ^ + •. = 0,
3 I.
}
і=і & lt-у<-“ + ХЧ& gt-й* ^+• • -="•
Согласно принципу минимума энергии деформации [6], имеем
I (йшіп + 4 Л2) 8?/Я & lt-*5+ X і (/. шіп + 4- 7*) 8?//й +
5 ?=1 I.
(9)
X 1* ^ішіп + -у- ^/) 8іУ^гі5, = 0,
(10)
г=і 5
а следовательно, по основной лемме вариационного исчисления при произвольных вариациях о_/, получим условия обращения вариаций функционала ой1, 8/- Ь, 81 в нуль в следующем виде:
Л
(^ 4- X) = О, /,. ({У/. + Х/ф = 0, ір (и (р + кКГ, -=
0.
(И)
Принимая во внимание связь новых переменных к, {/}, {^} с функциями распределения геометрических параметров Л, {/}, {?} в виде (4), получим следующие необходимые условия минимума потенциальной энергии деформации при условии (2) и ограничениях в виде неравенств (3):
[2 (И. -/1тт)['-1Ци5 + Ц ^ 0, [2(Л-/*"1″)Р (и/к+К}к1) = 0, 2(і1 — ^/ті»)]12(^ + 4& gt-.) = 0.
(12)
В свою очередь, необходимые условия минимума функционала энергии деформации в виде (12) при условии, что множитель Лагранжа по определению удельной энергии деформации величина положительная -X = с2, представляются в следующем виде-
Us = c2 (h & gt- hmin), h = hmin, (Us& lt-c3) —
Ufk = K c2 (A & gt-/* «!& quot-)>- A=Amin, (Ufk& lt-K2fkc'--y, U (t = K c2 (tt & gt- U min), min, (?//, & lt- Al, c2).
(13)
Следовательно, конструкция, составленная из элементов типа И, F, Т и выполненная из заданного количества материала 1/0, имеет минимальную энергию деформации, если удельная энергия деформации в элементах типа Н, F, Т принимает постоянное значение Us = c’l, Ufk-K/kc2, и ([ - К^с2 в области распределения геометрических параметров h^& gt-hma.
fk& gt-fk min * ti& gt-t, min]i
Umin = c'-(J hdS +? K]k j fkdzk +? Kl j h dSj +
S'-(Us c& gt-) k~l '-_1 «!'-- Jmin UsdS~- J f k min Uf dZfc -f- f tlminUtdS[,
5& quot-<-us<-e3>- U=4'-k (Uf& lt-K)kC*) 1=1 sldJtKK^O)
ГД eS = S'- + S& quot-, lk = lk + ll St = S'-, + Sl
Метод минимизации энергии деформации сложной силовой конструкции с учетом конструктивных и технологических ограничений. При заданной внешней нагрузке напряжения и деформации элементов упругой конструкции зависят от распределения геометрических и жесткостных параметров силовых элементов:
== Gh (А, {/Ь {& lt-}). Ч = {/). {*}) —)
3/ = 3/(Л, {/}, {*}), в/ = в/(А, {/}, {/}) — (15)
{*}), е (= еДА, {/}, {*}), j
где зл, Gp at- еА, обозначают матрицы-столбцы, которые опре-
деляют напряжения и деформации в элементах конструкции //, Т.
Для определения конструкции, удовлетворяющей необходимым условиям минимума энергии деформации в виде (13), построим итерационный процесс. Согласно [1]-[3], оптимальные значения геометрических параметров h, {/}, {f} в каждом последующем
шаге итерационного процесса будем определять в предположении, что усилия в элементах конструкции И, F, Т
Nh = hah, {Nf} = {/} {0/}, {/V,} = {t} (3& lt-1 (16)
соответствуют распределению геометрических параметров h, {/}, {2!} из предыдущего шага итерационного процесса. Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута сходимость целевой функции, в данном случае энергии деформации U к минимальному значению Umin-
Запишем выражение функционала энергии деформации конструкции относительно новых переменных, которое получено заменой неравенств (3) по методу Валентайна в виде (4)
U=j {h-hmш)UsdS--'-2i (fk-fkm^n)Ufkdzk + ¦ *_i ik
+ j {t[ ¦- ti min) Utl dSl -f- j* hmin U$ dS -f-
i-i st s
«Г j& quot- fk min UdZfr -j- j tl min U (^ dSt.
(17)
/=i s,
Из функционала (17) следует, что энергия деформации U изменяется лишь при варьировании функциями распределения (4).
Предполагая независимость внутреннего распределения усилий Nh, {Nf), {Nt} от распределения геометрических параметров h, {/}, {?}, определим новые значения функций распределения h-hmin, {/ - /min), [t — /mini,'- минимизирующие фуНКЦИОНЭЛ ЭНерГИИ U При сохранении объема материала конструкции V0:
?v= {h — hmio) dS +? Kf j (/ft — fk min) dz -f s ft-1 Ik
-f- X Kt{ J (tl — tl min) dSt -J- J Amin dS + l = Sj s
+ X К J A min dzk +? K j tl min dSt-V0 = 0. (18)
/=1
Для определения функций распределения Н — ктт, {/-/Шщ}& gt- ^ - tm^n) составим функционал Лагранжа в предположении независимости внутреннего распределения усилий Л^(«_ц, {Л/^с"-1)}» {(я-1)} от распределения геометрических параметров Л (А), {/(,!)},
т-.
(Лп
-о.
¦fk
i+h
min U{S~l) dS +
5 lk
min)»,
+ 2- глп)-. -, ¦ uM-'-)ds
l = 1 ~ 4 min) I ^
+ ?//* min Uf (n-1) dZfc «I- J ti min Uf (n-1) dSt + Wvn) ¦ (19)
k=i ik * i=st 1
Рассмотрим вариации функционала L по параметрам Л (л) — hmm, 1/& lt-Л) — /min}, {^(n) — ^min} НеЗаВИСИМО Друг О Т Друга
l, L
& lt-*<-¦>--w +i
U=J
(fj^-fk min)2 (/ft1' /ft min)2
(4& quot-_1>--^ min)2
(& lt-<-/Л) — h min)2 7
?/,(«-0+
8(A& lt-«>--/zmin)rfS = 0,
8(/Г-/*тт№А = 0, 5(4n) — ^lmln)rf5,=0.
(20)
В силу произвольности вариаций 5 (/г (л-кШ|П),
5 (/& lt-«) — ^Ш1п) по основной лемме вариационного исчисления имеем:
'-А
«их
+ и
(21)
где л -номер итерации.
Из изопериметрического условия (18) определяется множитель Лагранжа
| (*(«-»)_ Аш1п) /у?*-'& gt- +? /С4 |(Дп-1) -/* ш|») У& quot-й^ёгк-
+ 1 (^_1) «*'- т’п)
|/"Х=________________________1 /________________________|__________________________(22)
(^ ^ Лт|п5 ^ /* тт & amp-гк ~~ К (^ |* 11 тт
*=1 I* 1=1.
Согласно формулам (21), управляющим итерационным процессом, изменение геометрических параметров /г, {/}, {г!} будет происходить до тех пор, пока не будут достигнуты необходимые условия минимума энергии деформации силовой конструкции в виде (13). ,
Аналогично изложенному в работе [1] можно показать, что последовательное изменение значений параметров Л, {/}, {?} по формулам (21) приводит к тому, что энергия деформации упругой конструкции уменьшается и в пределе достигает минимального значения:
1/[А»», {/ТО}, {*& lt-«}]>-?/[№>-, {/& lt-«}, {/('-)}]& gt-… >-
& gt-?/ {/(& quot--о, {#"-«& gt-}]>- ?/[й& lt-«>-, {/(«)}, {*"& gt-}]>-.. -?/Ш|».
Таким образом, данный алгоритм позволяет рассчитать проект конструкции максимальной жесткости, удовлетворяющий требованиям прочности и жесткости общего вида с учетом конструктивных и технологических ограничений на величину геометрических параметров Л, {/}, {?} при заданном объеме материала конструкции.
В качестве примера использования предложенного алгоритма оптимизации рассмотрим задачу о распределении заданного объема У0 = 1,2Х105 см3 между обшивкой и поясами силовых элементов в крыле малого удлинения, представленном на фиг. 1. Исходная конструкция крыла (или нулевое приближение) была выбрана с обшивкой постоянной толщины к = 0,3 см и с постоянными
ПО
площадями силовых элементов =¦ = • ¦ • fiP ¦= 25 см². Миними-
зация энергии деформации упругой конструкции крыла проводилась при следующих условиях и ограничениях:
2=0 = °. {*& gt-*}'-={!}, {^} = {0|. {^} = {0}- Л& gt-Лтш (л, z) — const = 0,1 см, {/}& gt- {/rain} = {const} = (1,0 см2}.
Z
О х
Фиг. 1
Итерационный процесс при изменении толщины обшивки к и площадей поясов {/} по формулам (21), управляющим процессом
минимизации энергии деформации, до величины невязки и& quot-~ и& quot--1 -.
ип-1
=5ХЮ3 сходился, в данном случае, за восемь приближений. Условие сохранения объема материала У0 при минимизации энергии деформации с учетом конструктивных и технологических ограничений приводит к тому, что происходит изменение значений тол-
W (х, Z)
2=0
dw
dz
щины обшивки в области центральной части крыла (см. фиг. 1) и перераспределение материала в силовых элементах крыла /, /2, /з. /}& gt- Л (фиг. 3) в отличие от оптимальной конструкции без конструктивных ограничений. При этом удельный потенциал крыла везде, за исключением концевых сечений, изменяется незначительно (фиг. 2), а нормальные напряжения, действующие в поясах силовых элементов оу, о/2, Вуд, о/4, о/5, увеличиваются (фиг. 4).
Фиг. з
Фиг. 5
г
Фиг. 4
Кроме того, оптимальная конструкция с ограничениями Ь^Нтп, /& gt-/шт получается менее жесткой по отношению к прогибам 1Ю оптимальной конструкции без ограничений (фиг. 5).
Таким образом, данный пример оптимизации конструкции крыла малого удлинения показывает, что предложенный метод оптимизации силовых конструкций реализует условия оптимальности (13), а учет конструктивных и технологических ограничений, накладываемых на величины проектных параметров при сохранении объема материала 1/0, приводит к изменению характера распределения геометрических параметров конструкции и их напряженного состояния, а в целом к уменьшению жесткости конструкции.
1. Проектирование оптимальных конструкций. Сб. кафедры «Конструкция и проектирование летательных аппаратов'-, Труды КуАИ, вып. 54, 1971.
2. Тепеницын М. П. Об одном алгоритме получения силовой конструкции, обладающей минимумом энергии деформации.. Ученые записки ЦАГИ», т. 1, № 1, 1970.
3. Липин Е. К. Проектирование силовой конструкции максимальной жесткости.. Ученые записки ЦАГИ*, т. VI, № 4, 1975.
4. Трухаев Р. И., Хомен юк В. В. Теория неклассических вариационных задач, Изд-во ЛГУ, 1971.
5. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.,. Мир*, 1965.
6. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М., ОГИЗ-Гос-техиздат, 1947.
Рукопись поступила 21 /VI 1974
Ученые записки ЦАГИ № 2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой