Приложение теории накрывающих отображений к исследованию модели Эрроу-Дебре с транзакционными издержками

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 9
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ МОДЕЛИ ЭРРОУ-ДЕБРЕ С ТРАНЗАКЦИОННЫМИ
ИЗДЕРЖКАМИ
© А. Е. Болотип, Н.Г. Павлова
Ключевые слова: точки совпадения отображений- «-накрывающие отображения- функция спроса- функция предложения- равновесные тмил.
Исследуется вопрос о существования положения равновесия к модели Эрроу Дебре с хранзакцонны. ми издержками. В рассматриваемой модели функция сироса получена как решение задачи максимизации футткдии полезности, а функция предложения — как решение задачи максимизации прибыли при бюджетных ограничениях. В результате применения теорем о существовании точек совпадения о. -накрывающего и липтпицева отображений получены досгаточные ус. киши существования вектора равновесных це]г.
Ввсдсиис. В работе рассматривается модель, обобщающая модель Эрдау-Добре, в которой учитываются транзакционные издержки производите. чей. Для получения достаточных условий существования положения раниоиесия и исследования его свойств применяются ре-зул 1. 1аи.1 работ |1 3|, посвященных существованию и устойчивости точек совпадения отображении в метрических пространствах.
Будем рассматривать метрические пространства X и У с метриками р и ру, соответственно. Через Вх (х, г) в пространстве X обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке а*. Аналогичное обозначение введем в пространстве V'-.
О и р е д е л е и и е 1 (|1|). Пусть задано, а & gt-0. Отображение, 4: X -& gt- У'- называется
о -накрывающим. если
Я{П (г, а-)) 5 Ну (осг,$(х)) V?' & gt- 0, Ух е А'-.
Для получения достаточных условий существования положения равновесия будем применять следующие результаты.
Теорема о точках совпадения (|1|). Пусть пространство X полно, и 5, I): X -& gt-¦ У
произвольные отображения, первое, из которых непрерывно и является а- -накрывающим, а второе, удовлетворяет условию Липшица с коиептитой Липшица в & lt- а. Тогда для. произвольного. то еХ существует такое? = ?(#о)еХ, что
ЭД 1Ш рх& amp-хо) & lt- - (6Л)
Теорема Милютина о возмущен и и (| 1). Пусть X полное метрическое пространство, У нормированное пространство, ото6ра. о1с. снис. 8: А'- -*• V'-. является, непрерывным и, а -накрывающим. Тогда для любого отображения I): X -> V'-, удовлетворяющего условию Липшица, с константой Липшица В & lt- а, отображение 5 I I) является („- В) -накрывающим.
Модель поведения производителя. Функции предложения. Пусть имеется п € N товаров, причем г-й товар для потребителя имеет цену р* & gt- 0, г 1, п. Вудем также предполагать, что пены р (р. р& gt-,… р“). по которым производитель реализует товары,
меш. ше ЦвН р (Р). Р2: ---: Р»): КОТОрые Платит 33 НИХ потребитель, причем р (У.р, ГДв Л € €(0−1).
Предположим, что технологический процент- описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:
?'-ъ (. У-111 У-г2″ • • - & gt- У-гп) ('-г | | У?¦
,?-1
1, П,
где у-ц & gt- 0 -объем ] -й продукции, расходуемый для производства /-ой продукции г.] =
/I
I. «, (7*& gt-0, 6ц & gt- 0, ¦/,-/ 1, п заданные числа, такие, что. <-%<-!, «1. т. е. Вудом
'- У 1
предполагать также, что множеспю имеющихся V производи геля ресурсов является п -мерным
& quot- 1 ¦& gt-: *)к _________
параллелепипедом: Г_ = [О, Ь- | х [0, 6*] х … х [0,6Г1[, причем 6» & gt-^, С, ' 1. г = 1. п ¦ Кроме-
того, т. к. пае интересуют соотношения между ценами товаров, а ие их абсолкшхое значение, то будем считать, что pj & gt- Д,-, г.] = 1, п. Выбор производителя сводится к: задаче отыскания условного экстремума функции прибыли:
г 1
У--И е [0,6"], г = 1,1).
3−1
(6. 2)
Поскольку ^ Вц & lt- I для любого г 1. п. то все производственные функции /ч ВОГНУТЫ, и, ' 1 '-
следоват& lt-'-льно, достаточные условия для задачи (6. 2) заключаются в выполнении следующих соотношений:
П
(Cifkj Д уг = РзУ-ц, *, з = М*- (6. 3)
*-1
^ У-П € [0,6*], г I, П-,?-1
Замети. м, что соотношения (6. 3) эквивалентны
Р1%
у-ц -7-у-п-. из 1
Р, уА]
Подставляя (0. 5) в (0. 3), получим решение задачи (0. 2):
А. -
*
?/-
Рз
А-1
1
Д* у
, г,-'- 1,/г.
(0,1
(6. 5)
1 С'-& lt- коэффшшоттты ттойтратытого технического прогресса, коэффициенты эластичности по росур-
Заметим. что при сделанных предположениях Е У-а е К*- ^*1 • 1 = 1- & gt->- ¦ Действительно.
---1
о & lt- V —
Н*
«& lt-:•(II 4& quot- ^
А: 1
V
П /& gt-?
к: —
/
т---» • • 1 П
с е^-к1 & lt- ь*. ---1
I. п.
Таким образом, функция предложения 5'-: Е& quot- -1 -го товара определяется, но формулам:
& gt-?
Ш П (У-и • У:, 2- • •• У-гп) ~ Е ^
7−1
7−1
К г П /V& quot-'-'- - Рг '- Е П ^ ' * '-• '-«•
А-1 1 А: -1
(6. 6)
где
/%*¦
& gt-: & lt-,"• ^¦=1
-), к 1. п.
Е А/ /-1
… '- ч: А, а * 1
П и*
А- 1 /
• М М& gt--
А'- 1
Модель поседения потребителя. Функция спроса.
Перейдсм к построению функции спроса потребителя. Пусть имеется потребитель с некоторым бюджетом /& gt-(). Задано множество ССК& quot- наборов товаров я? = (аг), …, хп) ¦. которые может приобрести потребитель. Нудем считать также, ч то нее товары обладают снойспюм произвольной делимости, т. е. может быть закуплено любое неотрицательное количество каждого и: -! них.
Предположим, что потребительские предпочтения описываются функцией полезности I*. Стоуна. Пусть заданы числа & gt- 0. о-/ € (0. 1), у = 1, п. Положим С = {. т€ М& quot-:. Ту & gt- ау у = 1. п} и определим функцию и: О ->К по формуле
П
фо П _ •
. /¦-1
Число является минимально необходимым количеством ,/-го товара, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора, а коэффициенты щ характеризуют
п
относител]& gt-иую & quot-ценность'-'- товаров для потребители. Нудем считать, что Е Рзаз & lt- /• Н этих
1 •?-1. првДПОЛОЖвНИЯХ максимум функции полезности достигается ЛИШЬ 15 том случае, когда бюд-
п
жетное ограничение Е РУХ1 — I выполняется как точное равенство.
. 7−1 '-
Итак, модель Стоуна имеет вид:
и (х) П і: і'-з — & lt-чУУ' шах-
з-1
& gt-7
Е РзЩ /• ¦& gt-'-. ]>-«і ¦./ 1 • «¦
3-і
(0. 7)
Д. тя решения этой задачи максимизации примоинм ирииции Лагранжа. Функция Лагранжа для задачи (6. 7) имеет вид
П / П
ЦхI, а?2, • • -, ям, А) [] (а: — - + А / - ^ М
. 7−1
. 7−1
В силу регулярности ограничений в задаче (0. 7) необходимые условия оптимальности заключаются в существовании такого Л & gt- 0. что выполнено
«і
І. -І
•гі - аз
— Хру = 0, ] = 1, и,
(0. 8)
Поскольку функция полезности и является вогнутой, а ограничения в задаче (0. 7) линейны, условия (6. 8) являются достаточными условиями максимума. Таким образом, пара (, т*. Л*) является решением системы (6. 8) тогда и только тогда, когда а:* является решением задачи (0. 7).
Система (6. 8) эквивалентна следующей системе
«./ П (•"•/: — & quot-«Г': і-1_________________________________
А/Ъ
, ./ І-«.
ЕРі-гі /.. гі>-<-іі. -і і.п.
¦і і
Следовательно, решение системы (6. 8), а значит и задачи (6. 7), имеет вид
X- = (1-і |
& lt-Хі - Е Рз& lt-4 п
Рі Е & lt-х]
. /-1
Таким образом, для любого * = !,» функция спроса па і -й товар ГЛ-: М'-[-имеем* вид
«і ^ - Е рґч
п
Рі Е п: І
3 I
і *
(0. 9)
Заметим, что функции /Л: определены для тех р € К& quot-, для которых Е Рзаз & lt- I- Для прочих
р Є М'-| мы доопределяем функции /Л: формулой (0. 9). 360
з і
Существование положения равновесия. Пусть заданы действительное число / & gt- 0, векторы & lt-1 (а,…, ап), ('- (С…, Сн) € К& quot- и квадратная матрица В порядка п
п
с компонентами вц & gt- 0, г. -/ 1. п, такая, что ^ & lt- 1 V/ 1. п. Пусть, кроме того, заданы
¦ ¦ ' '- ] I '- ___
векторы Су (сц- ('2 (С12, …, С"2) €К+, причем Сд & lt- Сй, Сг2-См а», * 1, п. Дчм
п
произвольных векторов х (л*!, …, а: м), х (5ь?») € положим (а-, а?)? х& amp-.
г-1
Под математической моделью ринка будем понимать набор
а (/, а, С, Б, & lt-'-, с-і) Є
-+
X
І'І
І Л"Ч А"Ч І ¦
Множество вс (-х наборов, а (і.п.С.В. с^. с2), удовлетворяющих укачанным выпи: предполо-
2 | і і і
жениям. обозначим через Очевидно, что множество)] С К» открыто.
Набор параметров (/,»,(7,6) однозначно определяет функцию предложения 5:! но формуле (0. 6) и функцию спроса I): К» -& gt-МП по формуле (6. 9).
Компоненты векторов сь 02 определяют остествеипыс ограничения иен рі на і -й товар, т. е. будем предполагать, что сц& lt-Рі<-сц -мя каждого г 1, и.
Множество / Цр) называется совокупным спросом, соответствующим пек тору пен р, а вектор Я (р) называется совокупным предложением, соответствующим вектору цен р. Суще-етвование состояния равновесия в исследуемой модели эквивалентно выполнению равенства 5{р) = В (р).
Похожим
а{я) шіп
г-1, п
¦І2 ТТ Г-Щ (Сі2 л'іі)/2 ---1
і і: п
к 1 /г
/. І-1
к-1 П.
с12 ~ Сд 2ГІ-2П2
3{а) = шах
г 1, т
«-1,п, I, 1(-П /
^ - (с, а) | & lt-:-п"і){еі2 с,|) | - ((«-. с. '-2 — С|} - - Сіі))
. -'її Л'іІ.
7(& lt-т) тих
і- 1. т
а і І
& lt-Хі(2і - {а,& lt-:2 І сі))
(сі2 І Сії) V а-і і і
С, 2 + Си
Е, н& gt- П
. /'--І А- 1
& lt-'к & gt- І с/.| 2
¦л-, П
к 1
С А: 2 І с-к 2
Теорема. І Іусть модель, а Є У- удовлетворяет условиям
1) а{& lt-т)>-3{а):
2) ^((т) & lt- а (& lt-т) — в{(т).
Тогда в исследуемой модели существует вектор равновесных цен р (рь •-,/& gt-«) такой, что
С, & lt-Рі<- С, 2. г ТТЇЇ-
Доказательство. В пространстве К'-1 определим нормы по формулам
|Ы|, 2 тих
г- | п С/2 С*1
У.Г (.П. Г2… :г») Є Б'-& quot-.
ISS. NI 1810−0198 Всггник I ГУ. т. 19, вып. & quot-2, 201 1
|. т|| 2 шах |. г, — | V .г (-п,. г>- ¦хп) €
/-т.».
Рассмотрим мот|)1П (!(: кио пространства (Л& quot-. р-) и (V& quot-, /& gt-2) — где X … сг,)|о: € [0- I]:
(ц = & lt-х ('м I (1 -«:)с2"} & lt- У = 1К+ ¦ метрика (ц определяется нормой || • Ц1. а метрика р2 -нормой
II '-Ь & quot- '
] (оложим
сл 1 Г'-2. М = Вх (сЛ).
2
Заметим, пто мотртеекоо пространство А'- но является полным, однако для дальнейших рассуждений достаточно полноты птара И (г. 1).
Оцепим константу пакрывапия отображения Я. Для. 110 601ч) рЕ'-шьМ имеем
где ?1 (/-), с2{р), К-'-(р): ЕГ
Щ (р) = ?1 (р) — ?'Лр) — Цр)-.
Е& quot- линейные операторы, определенные матрицами
(«& quot-2
сЛр) =
Р1 Е П Рк
?-1 а- 1
С)
Ьл-
р? Е П Рн*
7−1 А-1
о
Аг (р)
р 1 Е
7−1 А-1
ик
0
0
Рй2 Е и, П рУ
7 1 А-1
Р '-Рп Е П Ркик ^
Р2]Р '- Ё & quot- *
7−1 А-1
'-и. -*
7−1
А-1
РгЧ, 1 Е 1- 2] +2.1 п П Ра,'- М
7−1 А-1
Рп [Р 1 Е 1'-ю: 3г>-л 1 Г Г Ра ••• Рп2 Е 1'-пзРгуп П Рь '-*
7−1
А: -1
7−1
А-1
¦) =
К$пР 1 П Рд-1и1 ^шр2 '- П Ра!& quot-* ¦ ^ДипР"1 П Ра& quot-* ^
А- 1 1 гг, Д& gt-л
А- 1 и ,
1 гг. Д'-1*-
А: 1
А2/^221 Р| п Ра'-Я Кфт1& gt-2 П Ра& quot-'- ••• КчРчлпРп П Ра"*
А-1 А-1 А-1
I п 1 I п ^ -I
— -I- 1 Г ¦ьуРи'-чЬ //'- (О — 1 1 Г ,'-Г'- и к '- О -1 1 Г. п к
Л"Ат1Р| П Ра& quot-"-' Л"Ат2р2 П Ра& quot-"-1 КпРттРп
к-1 А-1 А-1
Следовательно, согласно приведенной выше теореме о возмущении.
Имеом
СОУ (АЫ) тгпп
г- 1,»
Рг 1 53 ^ П — Са)/2
7 1 А-1
& gt-
& gt- ПИН
1−1. 7»
1
г2
р5& gt-к (^-^)/2
7−1 А: -1
Н? а (р)Н гпах||?Д/-). т||2
= шах шах
1М|| г- |, п
I-1 п
3−1
Л- I п
& lt-
шах шах ^ '-Рг V/ 1 Е 1'-И& amp-Л П *4^ М -и*. *-1.» р[ к у & gt-
1,3−1
/я-1
гпах гпях 1НЬ г-1,г»
Е К'& amp-НР) 1 П Р?**'-
/-1 /я-1
& lt- шах шах (А'-(: ТТ р! ик '-У'- /?"/-^ & lt- ||. Г||, г — V У ^ Р1)
, & lt-'-12 ~ Л (1
А- 1 /1
2 Р1
('-ледовательно.
Л.
соу (--(р) & gt- 1111 п
с) р) г-1,7»
п, п
п-1 '
г 2
53 ^н& gt- Г1 ск* (('-а & lt- и
3−1 к-I /г
те (Е^П"2г1^) —
А- I
(«» гг
А-I г-1
2& lt-"-г2<-"-/2
('/2 — & lt-?/ I
Из теоремы 4 из |2| следует, что
со (5| Д7) тГ со-(5| р) & gt- а (& lt-т).
Оцепим теперь константу Липшица отображения !). Для любого р€т[М имеем
-1
'- при %/ у,
к I ' |
-«*(/- Е РА"А) (Е «А& quot-) ' & quot-Р"- *
А: — 1А: -Аг
УА
др]
(р)
(1Н Е) '
А -I
Следошпелыш.
т ^ 75 ГМ
шах
г- 1, №
& lt-
-и / - Е /-д-г, д-'-)((к2~г, л1 ~ Е & quot-. '-(г/2-^)
1& gt-г к ТТ71. А/г з Тп, з/г
2 Ё «А-А-I
& lt-
т
к~ і
для любого р Є ІІ1І М. ('-ледователыш, Ир (Г& gt-| М) & lt-Р ((г).
Из предположений 1) и 2) теоремы и неравенств cov (5| М) & gt-о (ст). lip (0| A/) & lt- (3(a) следует. что су шест ну ютположи тельные числа «и (3 такие, что (3(a) & lt- (3 & lt- ск & lt- сс (а), ^ (а) & lt- cv — (3,
отображение S является о-накрывающим па множестве А/, а отображение I) является Р-лишшшевым на множестве М. Поскольку (^'-(S©. D (c)) = у (а). из предположения 2) теоремы следует, что py (S©, D (c)) & lt- (or — Р). Таким образом, существует вектор реХ такой, ЧТО $(р) 1)(р) и
Из 1ЮСЛСДЦЄ1Ч) неравенства следует. что ре ini М. поскольку М = Вх (с, 1). a py (S©. D (c)) = = ч (а) & lt- (а — /?). Поэтому cji & lt- pj & lt- cj2 для любого j = 1. п. Теорема доказана.
1. Арутюиоа Л. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и пеподвижттые точки // Докл. ГАИ. 2007. ГГ. THi.. V"- 2. С. Iо I Ш.
2. Antlyumm Л. Avtikov li., ('c. Vmwn Н., Dmihvk Л., Olmkhovxkn V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5.. V* 1. P. 5−16.
.4. Лрутнточ А. И. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений Мат. наметки.
2009. Т. 8(5. Выи. 2. С. Hi. VI (19.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследовании (проект. V5 12−01 -. 'Я 140).
Bolotin А.Е. Pavlova N.G.
APPLICATION OF COY I-RING MAPPING TIIIOORY TO ARROW-DKBRFU MOD I'-ll. WITH TRANSACTIONS COSTS
The existence of the equilibrium in Arrow-I)ebreu model with transactions costs is studied. The model under discussion, the demand function is obtained as a solution of the utility function maximization problem and the supply function obtained as a solution of the problem maximization under the budget, restrictions. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. This result, is obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.
Key words: coincidence points- a -covering mappings- demand function- supply function- equilibrium price-vector.
Іюлотитт Артем Квгепьевич, Российский университет дружбы пародов, г. Москва, Российская Федерация. аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: arfem-bolotinPjyandex. ru Bolotin Arteni Kvgenievich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow. Russian Federation, Postgraduate st udent of Nonlinear Analysis and Opt imization Department, e-mail: ailem-bolotinfijyandex. ru Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук доцеттт кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: natasharussia^mail. ru
Pavlova Natal ya Gennad’evna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: natasharussia@rnail. ru
PX & lt-
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой