Об условиях отсутствия безусловных базисов из экспонент

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 19−34.
УДК 517. 5
ОБ УСЛОВИЯХ ОТСУТСТВИЯ БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСОВ
ИЗ ЭКСПОНЕНТ
Р.А. БАШМАКОВ, А.А. МАХОТА, К.В. ТРУНОВ
Аннотация. В классическом пространстве L2(-n, n) существует безусловный базис {elkt} (к — целые). В работе рассматриваются вопросы о существовании безусловных базисов из экспонент в весовых гильбертовых пространствах L2(I, exp h) функций, суммируемых с квадратом на интервале I вещественной оси с весом exp (-h), где h — выпуклая функция. Получены условия, показывающие, что безусловные базисы из экспонент могут существовать лишь в очень редких случаях.
Ключевые слова: базисы Рисса, безусловные базисы, ряды экспонент, гильбертово пространство, преобразование Фурье-Лапласа.
Mathematics Subject Classification: 30D20
Пусть I — интервал вещественной оси, h (t) — выпуклая функция на этом интервале и L2 (I, exp h) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию
'-I
I f (t)2e-2h (t)dt & lt- ж.
Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(1,9) = ?№Ш)еI.
Определение 1. Семейство {еХк 1, к = 1,2,…} называется безусловным базисом в пространстве Ь2(1, ехр К), если
1) семейство {еХк*, к = 1, 2,…} полно в пространстве Ь2(1, ехр К) —
2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности ак € С справедлива двусторонняя оценка
т? |ак|2||е^||2 & lt- ||? акех*Т & lt-М? |а*|2||ел**\2. (1)
к к к
Мы здесь придерживаемся определения из работы [2]. Как отмечено в этой работе, если система {еХк*} образует безусловный базис в пространстве Ь2(1, ехр К), то любая функция / € Ь2(1, ехр К) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе:
те
1(1) = Е ЛеХк1, I'- (2)
к=1
В этом параграфе рассматривается вопрос о существовании безусловных базисов из экспонент в пространстве Ь2(1, ехр К).
Основным инструментом исследований является преобразование Лапласа.
R.A. Bashmakov, A.A. Makhota, K.V. Trounov, On absence conditions of unconditional bases of exponents.
© Башмаков Р. А., Махота А. А., Трунов К. В. 2015. Поступила 01 апреля 2015 г.
Как показано в работе [7], преобразование Лапласа Ь: в --& gt- в устанавливает изоморфизм пространства, сопряженного к Ь2(/, ехрК), с гильбертовым пространством Ь2(/, ехр К) функций Р, аналитических в полосе 3 + Ж, где
3 = {х: К (х) = вир (х? — К (?)) & lt- то}
с нормой
& quot-р & quot-=
при этом
К (х) = Iе2×1−21г (1) ?1 = & quot-еЛ4"-2, Л = х + гу.
Пусть система {еХк*} образует в пространстве Ь2(1, ехр К) безусловный базис. Через вк обозначим линейный функционал в пространстве
Ь2(1, ехр К), который каждой функции / Е Ь2(1, ехр К) ставит в соответствие коэффициент Д в разложении (2):
вк (/) = Л.
Если через Р обозначим шах (М, -), где М, т — постоянные в соотношении (1), то для любого п выполняется двусторонняя оценка
п п п
р ЕI л I2& quot-еХк'-"-2 & lt-"- Е ^Хк1& quot-2 & lt- р ЕI л I2 & quot-е 4 & quot-2. к= 1 к= 1 & amp-=1
Переходя к пределу при п -& gt- то, получим
-. те те
Р? IЛI2& quot-Т & lt- ||/& quot-2 & lt-Р? |ДI2& quot-Т-к=1 к=1
По определению функции К (Л) = К (И, еЛ) это соотношение можно записать в виде
те те
Р ЕIлI2К (Л*) & lt- Ш2 & lt-Р? IЛI2К (Л,). (3)
Из левого неравенства следует ограниченность функционала в к:
5(/)'- & lt- V& quot--
Таким образом, функции вк (Л) лежат в пространстве
Ь2(1
, ехр К) и, кроме того,
п /Л ч 10, п = к,
п = (4)
Заметим, что Лп, п = к, являются простыми нулями функции вк (Л). В самом деле, если бы для некоторого т = к величина Б'-к (Лт) обращалась бы в 0, то функция (Лк — Лт)5& gt-к (Л)/(Л — Лт), лежащая в Ь2(1, ехр К), обращалась бы в нуль в точках Лп, п = к, и равнялась бы 1 в точке Лк, то есть во всех точках Лп, п = 1, 2,…, совпадала бы с функцией Як (Л). Но в силу полноты системы еХг'-г в пространстве Ь2(1, ехр К) система точек Лп, п = 1, 2,…, является множеством единственности для пространства Ь2(1, ехр К). Тем самым, функции (Лк — Лт)5& gt-к (Л)/(Л-Лт) и вк (Л) должны были бы совпадать тождественно. Пусть
Ь (Л) = й (Л)(Л — Л1).
Это функция, аналитическая в полосе 3 + Ж, с простыми нулями в точках Лп, п = 1, 2, Функции
Ь (А) ^(А)(Л -Л:)
L'-(Xk)(Л — Хк) (Л — Хк)(Хк — (Хк) L (A) =Si (X),
, к = 1,
и (Л:)(Л -Л:)
тоже являются элементами пространства Ь2(1, ехр К) и совпадают с функцией Бк (Л) во всех точках Лп, п = 1, 2,… Снова в силу полноты системы {еХпЬ} в пространстве Ь2(1, ехр К) имеем
а (Л) = ы (лТ- Лк) • Л Е С (5)
При фиксированном Л Е С функция ехь лежит в пространстве Ь2(1, ехр К) и, тем самым, разлагается в ряд по системе е Хк
те
ех = ^ ^ (Л) е ХкК (6)
к=1
Подействуем функционалом вп на это равенство. С учетом соотношений (4) получим
те
-Яг (А) = ^ Ск (Л)вп (Лк) = Сп (Л). к=1
Отсюда вместе с (5) имеем
() Ы (Лп)(Л — Лп)
Представление (6) и условие (3) влекут соотношение
1
Р
те
1? | Ск (Л)2К (Хк) & lt- К (Л) & lt- Р^ | Ск (Л)2К (Хк) к=1 к=1
или
12
1 Кm & lt- v ^(л)2к (Хк) (7)
РК (Л) & lt- & amp- 1^(Лк.)2|Л — Хк2 & lt-РК^ (7'-
Итак, доказана теорема:
Теорема 1. Если система {еXkt} является безусловным базисом в пространстве L2(I, exp h), то существует функция L, аналитическая в полосе J + Ж, с простыми нулями в точках Лк, к = 1, 2,…, для которой выполняется соотношение (7).
Соотношение (7) позволяет выявить некоторые свойства распределения нулей функции L^).
Введем характеристику r (u, z, р) для выпуклой функций и (х).
Пусть z — фиксированная точка на плоскости. Для любого положительного числа г & gt- 0 через В (z, г) обозначим круг {w: w — z & lt- г}, и для непрерывной в В (z, г) функции f положим
\f\r = max f (w).
wEB (z, r)
Пусть d (f, z, r) — расстояние от функции f до подпространства гармонических в B (z, г) функций:
d (f, z, г) = inf {\ f — Н\r, Н — гармонична в В (z, г)}.
Если и (х) — выпуклая функция на интервале I С R, то функция u (w) = u (Rew) является непрерывной функцией в вертикальной полосе I + гR на плоскости. Для положительного числа р положим
t (u, z, р) = supjr: d (u, z, г) & lt-р}. Ясно, что r (u, z, р) зависит только от Re z. Функцию u при необходимости мы доопределяем, полагая равной вне интервала I, тогда r (u, z, р) не может превосходить расстояния от у до границы интервала определения функции u. Итак, r (u, z, р) — радиус наибольшего круга с центром в точке, в котором функция u отклоняется от пространства гармонических функций на этом круге не более чем на р.
Введенная характеристика r (u, z, р) выпуклой функции u (x) оказывается тесно связанной с геометрической характеристикой выпуклости p2(u, y, р), введенной в работах [4], [7]:
Г y+t
Р2 (u, у, р) = supji & gt- 0: К (г) — u'- (y)dr& lt-p}.
Jy-t
Эту величину р2 = p2(u, y, р) можно определить из равенства
u (y — Р2) + u (y + Р2) () = р 2 u (V) 2.
Заметим, что
(u, ,) = 2(u,, 2).
Для произвольной непрерывной функции u (y) на вещественной оси и положительного числа г через & lt-ii (u, у, г) обозначим отклонение в равномерной норме функции u на промежутке [ - - + ] от линейных функций:
d1 (u, y, г) = inf{ max u (i) — l (t), I — линейна}.
te[y-r-y+r]
Через p (u, у, p) обозначим наибольшее число г, такое, что на интервале [у-г- у+r] функция u отклоняется от линейных функций не более чем на:
p (u, y, р) = sup{r: d1 (u, y, г) & lt-р}.
Лемма 1. 1. Для функции т (у, р) = r (u, y, р) для любого положительного р выполняются оценки
т (у, р) & gt- р (у, р) & gt- -т (у, р).
16
2. При q & gt- р & gt- 0 имеют место двусторонние оценки
т (у, q) & gt- т (у, р) & gt-- т (у, q).
16q
3. Функция т (у) = r (u, y, р) удовлетворяет условию Лифшица: для всех х, у из области определения функции u
т (у) — r (x) & lt- у — х.
Доказательство. 1. Зафиксируем точку z G C так, что у = Rez лежит в области определения функции u. Положим г = p (u, y, р). Тогда существует линейная функция /, удовлетворяющая условию
u (x) — /(х) & lt- р, х G [у — г-у + г]. Функция (w) = (Re w) — гармонична и
u (Rew) — /(Rew) & lt- р, w G B (z, г).
Тем самым,
т (у, р) & gt- г = р (у, р).
Теперь положим г = r (u, y, р). В круге B (z, г) существует гармоническая функция Н такая, что ||u — Н& lt- р. Возьмем линейную функцию /, такую, что 1(х) & lt- '-и (х),
для любого х, 1(у) = и (у) (существование такой функции обеспечивается выпуклостью функции и), и пусть у (т) = /(Кет). Тогда в круге В (г, г) выполняются неравенства
ь (т) & lt- и (т) & lt- Н (т) + р,
следовательно,
(Н (т) +р) — ь (т) & gt- 0. Кроме того, поскольку ь (г) = и (Кег), то
(Н (г) +р) — ь (г) = (Н (г) + р) — и (Кег) = (Н (г) — и (Кег)) & lt- 2р.
Применим неравенство Харнака для неотрицательных гармонических функций к функции Н (т) + р — ь (т): в круге В (г, 2) имеем оценку
(Н (т) +р) — ь (т) & lt- 3 ((Н (г) + р) — ф)) & lt- 6р.
Тогда в том же круге В (г, 2) выполняется оценка
|и (Ке т) — ь (т) | & lt- |и (Ке т) — Н (т) | + |Л,(т) + р — г& gt-(т) | + р & lt- 8р.
Функции в левой части этого нарвенства зависят только от х = Ке т, поэтому мы получаем
|и (х) — /(х)| & lt- 8р, х Е
Из этой оценки следует, что
у- 2+
р (у, 8р) & gt- 2 = т (у, р)
или
т (у, р) & lt- 2р (у, 8р).
Из этой оценки получим
т (у, р) & lt- 16р (у, р)
2. Вторая часть леммы 1 может быть получена на основе свойств функции р (у, г, р).
3. Возьмем точки ух, у2 из области определения функции и (х), и пусть г = т (и, у, р). Это значит, что в круге В (у г) существует гармоническая функция Н (г), удовлетворяющая условию
|и (Ке г) — Н (г)| & lt- р.
Если |у — у2| & lt- г, то это неравенство выполняется и в круге В (у2, г — |ух — у2), тем самым
r (и, У 2, р) & gt- Г — 1 У — у 2 1 = Т^ уъ р) — 1 У — у 2 1,
или
T (и, уЪ р) — T (и, у 2, р) & lt- 1У1 — У2 1. Если же |у — у2| & gt- г = т (и, ух, р), то тем более
r (u, уър) — r (и,^р) & lt- 1У1 — Ы.
Поменяем местами, у2:
У 2, р) — r (u, уъ р) & lt- 1 У — У2 1.
Таким образом,
1 Уъ р) — T (u, у 2, Р)1 & lt- 1У1 — У2 1.
?
В работе [11] показано, что величина т = т (и, Л, р) вполне определяется условием: если Н () — гармоническая мажоранта функции u () в круге В (Л,), то
max (Н (z) — u (z)) = 2р. (8)
zeb (x, t)
Эту величину определим для функции 1пК (Л) и числа 1п (5Р), где Р — константа из соотношения (7). В дальнейшем ее будем обозначать просто через т (Л). Итак,
inf max 1пК (z) — v (z) = 1п (5Р),
veA (B (x, r)) zeB (x, т)
где через А (В (Л, г)) обозначено множество функций гармонических в круге В (Л, т).
Теорема 2. Пусть Ь (Л) — функция, аналитическая в полосе 3 + Ж, с простыми нулями Лк, к = 1, 2,…, при некотором Р удовлетворяющая двусторонней оценке
1 кт & lt- V 1?(Л)!2^(Лк), ркт РК (Л) 2 к=1 ^)|2|А — Лк|2 & lt-РК (Л).
Тогда
1) В любом круге В (Л, 2 г (Л)) содержится хотя бы один нуль Лк функции Ь.
2) Для любых п, к, п = к, выполняется неравенство
таХг (Лк), г (Лп))
| Лк — Лп| & gt- -5-.
10Р 2
3) Для любого к в круге В (Лк,) справедливо соотношение
1 К '-К *)9'-Ь (Л)'-2,2 & lt- РК (Л).
56Р8 — |Ь (Лк)|2|Л -Лк |2
Доказательство. 1. Первый пункт докажем от противного: пусть для некоторого Л Е С в круге В = В (Л, 2 т (А)) нет ни одного нуля функции Ь. Возьмем точку г Е В (Л, т (А)). Тогда для любого к имеем т (А) & lt- |Лк — Л|/2 и |Л — z| & lt- т (Л) & lt- |Лк — Л|/2, значит
к-Лк | & gt- |Лк -Л| - |Л -г| & gt- 1 |Л -Лк |,
Отсюда
3
к-Лк & lt- Лк-л + л-z & lt- 2л-Лк.
1 & lt- к-Ак! & lt- 3 & lt- 2.
2 & quot- Л -Лк — 2
Из этого соотношения вытекает двусторонняя оценка, верная для г Е В (Л, т (Л))
4С (№ & lt-? МА§ К-Ь & lt- 4С^^
. л, 2 & lt- ^ L (^)2К (Лк)
к=1
где через С (Л) обозначено число
К (Лк)
С (Л) = L
=1 | Ь (Лк)| 2 |Л — Лк|2& quot-
По соотношению (7), которое по условию теоремы выполняется для функции Ь (А), получим
?С (Л)|Ь (г)|2 & lt- К (г) & lt- 4РС (Л)^2, z Е В (Л, г).
Прологарифмируем это соотношение
11пК (г) — 1п (С (Л)|Ь (г)|2)| & lt- 1п (4Р) & lt- 1п (5Р), г Е В (Л, т).
Поскольку в круге В (Л, 2р (Л)) по предположению нет нулей функции Ь, то функция и (г) = 1п (С (Л)|Ь (г)|2) гармонична в круге В (Лт (Л)) и непрерывна в его замыкании. Тогда последняя оценка противоречит определению величины (Л).
2. Зафиксируем два различных номера к, п. По соотношению (7) функция
() Ь (Лп)(Лп Л) ()
удовлетворяет верхней оценке
^(Л)| & lt- у/рКЩ.
А по определению величины т (Ли) в круге В (Ли, т (Лк)) существует гармоническая функция ик (Л), удовлетворяющая оценке
11пК (Л) — и*(Л)| & lt- 1п (5Р), (9)
в частности,
х/К (Л) & lt- /ЪРе^.
Пусть Л) — функция, аналитическая в круге В (Лк, т (Лк)), и такая, что Ке дк (Л) = ик (Л)/2. Тогда функция
/(г) = Р (т (Лк)г + Лк) е-9к (т (Хк & gt-+Хк)
аналитична в единичном круге В (0,1) и удовлетворяет верхней оценке
|?Ш & lt- /5Р,
причем /(0) = 0. По лемме Шварца выполняется верхняя оценка
|/(г)|& lt-/5Р И,
значит,
|Г (0)| & lt- /5Р.
Вычислив /'-(0), получим
ик (хк)
|Р'-()| & lt- у^Р-
в 2
т (Лк)'-
Отсюда и из соотношения (9) вытекает
|Р'-(Л,)|& lt- 5Р3? Ш.
т (Лк)
Вычислим по определению значение Р1 (Лк) и получим
|Ь (Лк)|УКЩ & lt- 5 Р3 у. КЩ |Ь (Лп)|Л — Лга| & lt- т (Лк)
Индексы, п произвольные, можем их поменять местами:
|Ь (лл^кщ & lt- 5 Ра УЩП)
|ь (Лк)||Лга — Лк| & lt- т (Лп) Перемножим последние две оценки и получим
1 25 Р 3
& lt-
Л — Лп!2 т (Лк)т (Лп)'-
или
| Л, — Лп|2 & gt-. (10)
Пусть т (Лк) & gt- т (Лп) и предположим, что неравенство пункта 2 не выполняется, то есть
| Лк -Ап| & lt-. (11)
10Р 2
Круг
, 3
, 10 Р 2 — 1
в'- = {|Л -Лп|& lt- р, г (Лк)}
10 Р 2
лежит в круге В (Лк, т (Лк)), в котором существует гармоническая функция ик (^) с оценкой
11п К (г) -ик (г^ & lt- 1п (5Р).
Тогда
10 Р 2 — 1
т (Лп) & gt--3- т (Лк).
10Р з
Эта оценка вместе с оценкой (10) дает неравенство
3
, Л л, 2 1 /л N /л N 1 10Р 2 — 1, л, 2
|Лк — Лп|2 & gt- 25р3Г (Лк)т (Лп) & gt- 25р3 10Рз г (Лк)2. Так как по смыслу Р & gt- 1, то
о
10 Р зз — 1 9 1
-3- & gt- - & gt- -
10 Р33 10 4
и
А -Лп|2 & gt- ^АЛк)
или
|Лк — Лп| & gt- -з т (Лк),
10Р5
что противоречит предположению (11).
3. Зафиксируем некоторый номер к. Правое неравенство в пункте 3 следует просто из условия теоремы. В круге В (Лк, т (Лк)) по определению величины т (Лк) существует гармоническая функция ик (Л) такая, что
— 1п (5 Р) & lt- 1пК (Л) — ик (Л) & lt- 1п (5Р). (12)
По условию теоремы
к (Л) & gt- 1 ^ К (Лп)|Ь (Л)|2 К (Лк)|Ь (Л)|
К (Л) & gt- РЪ Ь (Л.)12|Л_ Л. 12 & gt-
Р |Ь (Лп)|2|Л — Лп|2 — Р|Ь (Лк)|2|Л — Лк|2
п=1
или
2
-К (Л) & gt- ь ьшт^ -ь р.
Следовательно, для Л Е В (Лк, т (Лк)) имеем
Ш--ик (Л) — М5Р) & lt- 0
то есть
ик& lt-Л>- + 21пР + Ь5 — 1п & gt- 0.
По пункту 2 в круге В
пункту 2 в круге ВЛк, ^з т (Лкнет нулей функции Ь (Л) кроме Лк. Следовательно,
функция
,, К (Лк)|Ь (Л)|2
*(Л) = - 1п? Ьслк^Ж-^
2
гармонична в этом круге. А функция ик (Л) + Ук (Л) +1п (5Р2) гармонична и неотрицательна в нем. По неравенству Харнака в круге В (Лк, т (Хк3) выполняется оценка
3
20Р 2 '-
ик (Л) + ьк (Л) + 1п (5Р2) & lt- 3(ик (Лк) + ьк (Лк) + 1п (5Р2)) = 3(ик (Лк) — 1пК (Л*) + 1п (5Р2)). Из левого неравенства в (12) имеем ик (Лк) & lt- 1пК (Лк) + 1п (5Р), поэтому
ик (Л)+ ьк (Л) & lt- 31п (5Р) + 21п (5Р2) = 1п55Р7. Из правого неравенства в (12) имеем ик (Л) & gt- 1пК (Л) — 1п (5Р), значит,
— ьк (Л) & gt- 1п К (Л) — 1п (5Р) — 1п55Р7 = 1п К (Л) — 1п (56Р8).
Таким образом,
К (Л, М2 & gt- (Л).
| Ь (Л*)|2| Л -Л,|2 & quot- 56Р8
Теорема 2 доказана. ?
Теорема 3. Пусть Лк, к = 1, 2,…, — нули функции Ь (Л), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы. Тогда в любом ограниченном множестве В, содержащем хотя бы две из точек Лк, к = 1, 2,…, найдется точка Лп так, что
У 1 & lt- (5Р)12 (13)
Лк? и | Лк -Л& quot-|2 & lt- т2& lt-Л"-). ('-
Доказательство. В силу соотношения (7) для любого Л выполняется оценка
К (Лк)|Ь (Л)|2 |Ь'-(Лк)|2|Л -Лк|2
у К (Лк)|Ь (Л)|2 & lt- РК (Л). (14)
^ Т,'-(А,) |2|_,. 12 & lt-РК (Л).
к ев
Существует такой номер п, что
К (Лп). (К (Лк) — шт '-
(Лп)|2 Хкев у |Ь'-()|2
./ К (ЛкП еН|Ь'-(Л,.
По пункту 3 теоремы 2 для точек Л, лежащих на границе круга В (Лп, -^т (Лп)), спра-
V 20 Р2 /
ведлива оценка
или
-1-к (Л) & lt- 202Р3 К (Лп)|Ь (Л)|2 56Р8К (Л) & lt- 20 Р |Ь'-(Лп)|2г2(Лп)
К (Л) ^ К (Лп)
& lt- 4258Р1
|Ь (Л)|2 & quot- |Ь'-(Лп)|2г2(Лп)'-
Отсюда и из оценки (14) получим
, 2.8 Р11 К (Лп) & gt- 1 у^ К (Лк)
|Ь'-(Лп)|2г2(Лп) — Р |Ь'-(Л*)|2|Л -Л*|2'-
кев
Учитывая выбор номера п, для точек Л на границе ВЛп, -^т (Лп)^ имеем
4258Р11 К (Лп) & gt- 1 К (Лп) 1
|Ь'-(Лп)|2г2(Лп) & gt- Р |Ь'-(Лп)|2 |Л — Л*|2
хиев
или
V 1 42 58Р12
^^ & lt- лаЩ& quot-. (15)
По пункту 2 теоремы 2 для указанных точек Л при к = п выполняется оценка
3
|Л — Лк 1 & lt- |Л — Лп1 + 1 Лп — Лк1 & lt- ^ |Лп — Лк
поэтому из (15) вытекает оценка
(5Р)12
Е
& lt-
«^В, к=п 1А& quot-I2 ^ Теорема 3 доказана. ?
На основе теоремы 3 можно показать, что существование базисов Рисса из экспонент в рассматриваемых пространствах скорее исключение, чем правило.
Теорема 4. Пусть I — произвольный интервал на R, h (t) — выпуклая функция на этом интервале,
К (А) = J e2ReXt-2h (i) dt, J = (ж: К (х) & lt- то}.
Предположим, что для некоторого р & gt- 0 существуют последовательность промежутков [ат- Ьт] и положительных чисел тт, т = 1, 2,…, так, что
1) для некоторого положительного числа 8 и для всех х Е [ат- Ът]
8тт & lt- г (In К (z), x, р) & lt- тт, т = 1, 2,… ,
2) имеет место соотношение
т Ьт ат
lim -= ТО,
Тт
тогда в пространстве L2(I, exp h) не существует базиса Рисса из экспонент.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если условия теоремы выполнены для некоторого р, то в силу утверждения п. 2 леммы 1, эти условия выполнены для любого р & gt- 0.
Допустим, что в пространстве L2(I, exp h) система еXkt образует базис Рисса. По теореме 1 существует целая функция с простыми нулями в точках Ак, для которой выполняется соотношение (7). Далее будем считать, что в условии теоремы 4 в качестве числа р фигурирует число ln (5 Р), где Р — констаната из соотношения (7), и для краткости записи величину r (lnK (z), A, ln (5P)) будем обозначать через т (А). По теореме 3 совокупность точек Ак обладает свойством (13). Возьмем произвольный индекс т. Пусть
Тт = SUp (т (А)),
е[ат, ьт]
т — наибольшее натуральное число, такое, что
ат + 48тТт & lt- Ьт.
Тогда
т + 4(& amp- т + 1) Т~т ^ Ьт ат,
поэтому
т (ат + & amp- т Тт^ ат
lim -= ТО.
Тт
Для простоты записи впредь будем считать, что ат + вттт = Ьт. При фиксированном индексе т рассмотрим систему Р, состоящую из квадратов со стороной 4тт
Pgi = (z: ат + 21 Тт & lt- Rez & lt- ат + 2(1 + 1) Тт, 2дтт & lt- & lt- 2(q + 1) тт},
1 = 0,1,…, sт — 1, q Е Z.
Два квадрата из этой системы будем называть смежными, если они имеют общую вершину. Пусть Ql, Q2 — два не смежных квадрата из данной системы и г1, чп1 Е Q1, Е Q2.
Тогда
|- 22| & lt- - ^2|. (16) В самом деле, из того, что квадраты не смежные, следует, что |и'-1 — ^2| & gt- 4Атт или
1,
Тт & lt- 4 — Ш2|.
Значит,
| ?1 — & lt- | ?1 -Wl| + -21 + |^2 —21 & lt- 8л/2,Тт + |^2 — 22 | & lt- 42 —
Центр квадрата Рф обозначим через. Каждый квадрат Рф содержит круг В ((ф, 2тт), который, в свою очередь, в условиях теоремы содержит круг В ((ф, 2 т ((ф). По п. 1 теоремы 2 в этом круге содержится хотя бы одна точка из системы показателей Хк. Возьмем достаточно большое N и через ВN обозначим объединение квадратов Рд1 по всем д и I, |/| & lt- N. Применим теорему 5 к системе Хк и к множеству ВN. Найдется номер п такой, что выполняется соотношение
^ 1 & lt- (5Р)12
Л. |Л"- |2.
По условию 1) доказываемой теоремы отсюда следует оценка
у 1 & lt- (5Р)1! (17)
Л. ?Г^ & quot-Хк|2 ()
Пусть Qo — квадрат из системы Р, содержащий точку Хп, а точка Хк лежит в квадрате Q (из нашей системы), не смежном с Q0. Возьмем любую точку Х Е Q и воспользуемся соотношением (16):
Х — Х^ & lt- 4|Х — Хп|
или
11
& lt-
16|х — Хп|2 Х — Хп| Проинтегрируем это неравенство по Х по всему квадрату Q:
1 Г 1? V (Х) & lt- 1
16 161Х — Хп|2 4 '- - |Хк — Хп|2'-
Через В'-м обозначим множество ВN, из которого удалены квадраты, смежные с Q0. Поскольку в каждом квадрате есть по крайней мере одна точка из системы показателей, то из последнего неравенства и из соотношения (23) получим
Г 1 256(5Р)12
1 -?V (Х) & lt- 1 —
•Ч |Х — Хп|2 ?2 •
Пусть Q0 = Р^-, и для определенности предполжим, что ] & lt- 0, в & lt- и положим
ВМ = {Х: ат + (в + 2) Тт & lt- ИеХ & lt- Ьт, и + 2) Тт & lt-Х & lt- (N + 1) Тт}. Тогда ВN С В'-м поэтому выполняется неравенство
Г 1 256(5Р)12
'- ?V (Х) & lt- 1 —
]в» |Х — Хп|2 ?2 •
Воспользуемся заменой переменных Х — (ат + (в + 2) тт + %(] + 2) тт = тт-ш и через w0 обозначим образ точки Хп при этой замене:
Г3т-3−1 [м+1 1 256(5Р)12
1-, 2(Х) & lt--,
]0 Л к — Wo|2 ?2
при этом для точки и0 имеем — 2 & lt- И, еи0, 1 т и0 & lt- -1. Следовательно, можем считать, что и0 = -2 — 2 г — левая часть в последнем неравенстве только уменьшится, и неравенство сохранится. От индексов т, N зависят только пределы интегрирования, поэтому можем в последнем неравенстве перейти к пределу при т, N -^ то. С учетом того, что
Ьт ат
--& gt- ТО,
т
am. ^^ а _ а _ 9 § Ш.
и поскольку мы предполагаем, что s & lt- a2r, то sm — s — 2 & gt- ^ - 2 -у то, получим
[& quot- (& quot-_1_сЫч & lt- 256(5Р& gt-12
X X (я + 2)2 + (у + i2 •
Но интеграл слева расходящийся, получили противоречие.
Теорема 4 доказана. ?
Данная теорема требует вычисления функции К (х& gt-, что не всегда просто. Оказывается можно обойтись вычислением функции h.
Теорема 4 (а). Пусть I — произвольный интервал на R, h (t& gt-- выпуклая функция на этом интервале,
h (x& gt- = sup (xi — h (t& gt->-. ш
Предположим, что для некоторого р & gt- 0 существуют последовательность промежутков [ат- Ьт] и положительных чисел tт, т = 1, 2,…, так, что
1) для некоторого положительного числа 8 и для всех х Е [ат- Ът]
8Ьт & lt- r (2h, x, р& gt- & lt- Ьт, т = 1, 2,… ,
2) имеет место соотношение
т — ат
lim -= то.
т-& gt-<-х 1т
Тогда в пространстве L2 (I, exp h& gt- не существует базиса Рисса из экспонент.
Доказательство. Согласно результатам работ [3], [9], [10] при некоторых константах с, С & gt- 0, зависящих только от числа р, выполняется соотношение
е2h (x) е2h (x)
& lt- К (х) & lt- С-р1 (21г, х, р) р1(2к, х, р)
Отсюда получим, что при некоторых других константах с, С & gt- 0 будет выполняться оценка
р Щх) р 2Й (х)
с- & lt- К (х) & lt- С-
r (2h, x, р) r (2h, x, р)
В условиях теоремы получаем
с & lt- К (х)е-2~h (x) 1т) & lt- С
Положим С'- = max (| ln с|, | ln С — ln $|). Тогда
| lnK (x) — (2h (x) — lnirn)| & lt- С, x Е [ат- Ьт].
Очевидно, что г (2h, x, р) = r (2h — Ьт, x, р). Пусть а'-т = ат + Ьт, Ь'-т = Ьт — ?т. В интервале [ат- Ь'-т] применим п. 4 леммы 1 к функциям u^x) = lnK (x), и2(x) = 2h (x) — ln? т. Тогда в условиях доказываемой теоремы
op p p j СС'- p j cc'- --Лт & lt- --T, ^(x) & lt- Ti (x) & lt- -T2 (x) & lt- -Тт.
p + С'- p + С'- p p

т
Положим t'-т = tm, $'- = (р+с& quot-)2 • Последние неравенства дают
5'-t'-m & lt- т{ЫK, x, р) & lt- t'-m, х е [а'-т- b'-m},
причем
lim ^-^ = то.
t'-m
Таким образом выполнены условия теоремы 4 и теорема 4(a) доказана. ?
В формулировке последней теоремы использована величина т (Л), которую не всегда просто вычислить. Докажем лемму, облегчающую вычисление величины т (Л) в конкретных примерах.
Лемма 2. Пусть и (х) — дважды дифференцируемая неотрицательная выпуклая функция на некотором интервале I С R. Допустим, что для некоторой точки у е I при некоторых константах А, В, С & gt- 0 выполняется соотношение
и& quot- (х) ^ ^ / 1
А & lt- 1 — & lt- В, когда |х -y& lt-CJ
(и () и () Тогда ___
min (С,-^z], 1 ч & lt- т (и, у, р) & lt- 32max fС,-j^z) J ч В С и () А С и ()
ВСУуи& quot-(у) — У V '-АС/уи& quot-(у)'-
Доказательство. Поскольку
и (ж) — и (у) = и& quot-(х*)(х — у), где х* - точка между х, у, то в условиях теоремы имеем
Аи& quot-(у)х — у & lt- |и'-(х) — и'-(у) & lt- Ви& quot-(у)|х — у, если |х — у & lt- С '-
V и'- (у)
и ()
Следовательно, для любого г Е [0- С^/ 1/и& quot-(у)] верно
гУ+г ГУ+Г
/ |и'- (х) — и (у)| & lt- Ви& quot-(у) |х — у| = В и'- '-(у) г2 & lt- ВС2,
У- -
г У+Г ГУ+Г
/ |и'-(х) — и (у)| & gt- Аи& quot-(у) |х — у| = Аи& quot-(у)г2.
У- У-
Из первого неравенства вытекает оценка
р2(и, у, ВС2) & gt-С/ 1
и ()
Заметим, что
V и& quot-(у)
(^, еслир & gt-ВС, Р2(и, у, р) & gt-{ / Г-^
, еслир & lt-ВС2.
Таким образом,
р2(и, у, ^ & gt- min (С, ВС) Ц-у. (18)
С другой стороны, при г = Су/ 1/и& quot-(у) имеем
ГУ+Г
/ и'-(х) — и'-(у) Ах & gt- Аи& quot-(у)г2 = АС2,
У-
поэтому
Р2(щу, АС2) & lt-С/ 1

, и& quot-(у)'-
Заметим, что
Cj, если р & lt- АС2,, еслиР & gt-АС2.
Р2(и, у, р) 2arh — - (19)
_ АС/ «'-'-(у) '-
Таким образом,
Р
р2(и, у, р) & lt- max
(С'-АС){-,.
, и& quot- (у)'-
Отсюда и из оценки (18) получим
min (CJC) & lt- P2(и, У, Р) & lt- Р2(и, У, 2Р) = Р (и,?Л
Р (и, 2ЛР) = Р2(и, y, 2р) & lt- 2p2(и, y, р) & lt- 2max АС^U7^/).
Далее воспользуемся п. 1 леммы 1 и получим утверждение леммы 2
Лемма 2 доказана. ?
Теперь мы можем сформулировать полезный частный случай теоремы 4(a).
Теорема 4 (b). Пусть I — произвольный интервал на R, h (t) — выпуклая функция на этом интервале,
h (x) = sup (xi — h (t)). ш
Предположим, что для некоторого р & gt- 0 существуют последовательность промежутков [ат- Ьт] и положительных чисел tт, т = 1, 2,…, так, что
1) для некоторого положительного числа 5 и для всех x Е [ат- Ьт]
У h'-'-(x)
h'- '-(x)
2) имеет место соотношение
Stm & lt- J ~ 1 ч & lt- tm, т =1, 2, … ,
т — ат
iim -= то.
т-tm.
тогда в пространстве L (I, exp h) не существует базиса Рисса из экспонент.
Примеры.
1. Пусть I = R и h (t) = A|i|a, где, а & gt- 1.
1a. Если, а & gt- 1, то
h (x) =11 —
а, А а
h& lt-x) = (1 — а) Ш & quot--'-|x|A x Е R
то есть сопряженное по Юнгу имеет вид В|х|-, где 3 & gt- 1, и определяется условием 1 + 1
а ~ -
— + -1 = 1. Тогда при х = 0
1 в 3(3 — 1)
|х| 2
— #+1
и условие 1 теоремы 4(Ь) выполняется, например, для последовательности промежутков [ п- 2 п]. Таким образом в пространствах Ь2 (М, е^^) базисов Рисса из экспонент не существует.
1б. Если, а = 1, то есть к (Ь) = АЩ, то
0, | х| & lt- А

Цх) =
+то, |х| & gt- А,
и р (к, х, 1) = 1 — |х|. Следовательно, условия теоремы 4(а) не могут выполняться, и утверждать на основании теоремы 4, что в пространстве Ь2(М, е1) не существует базисов Рисса, мы не можем.
2. Пусть I = [-1- 1] и И (Ь) =, где, А & gt- 0, а & gt- 0. Тогда
А (а + 1)
Н (х) = |х| - В|х|"+!, В
(Аа)"+1
и
У к& quot-(х)
|х|2(«+1)
Ы'-(х) у/В (а + 1)
и снова условие 1 теоремы 4(Ь) выполняется, например, для последовательности промежутков [п- 2п]. Таким образом, в пространствах Ь2(М, ехр) базисов Рисса из экспонент не существует.
2а. В примере 2 возьмем, А = 0. Тогда
Ь (Ь) = 0, |*| & lt- 1,
то есть Ь2(I, ен (г) = Ь2[- 1- 1] и
Н (х) = |х|, х Е М.
Следовательно,
р (1г, х, 1) & gt- |х| + 1.
Пусть существует последовательность промежутков [ат- Ьт], удовлетворяющая условиям теоремы 4. Допустим, что Ьт & gt- 0, тогда для больших номеров т
Ьт — ат & gt- 2Тт & gt- 2р (И, Ьт, 1) & gt- 2Ьт + 2,
значит,
ат & lt- - т — 2 & lt- 0
и 0 Е [ат- Ьт]. Тогда должна выполняться оценка р (к, 0,1) & gt- 6тт. Так как р (к, 0,1) = 1, то 5 & lt-. Однако, тт -& gt- то при т -& gt- то, значит 5 = 0. Получили противоречие и теорема 4 неприменима в данном случае.
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бари Н. К. О базисах в гильбертовом пространстве // Доклады Академии наук. 1946. T. 54. C. 383−386.
2. Никольский Н. К., Павлов Б. С., Хрущев С. В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. Препринт ЛОМИ. C. 8−80.
3. Башмаков Р. А., Исаев К. П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. Вестник Башкирского университета. 2006. № 4. C. 3−6.
4. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ. -мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН., 1992.
5. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. Безусловные базисы из воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, № 3. C. 6777.
6. Башмаков Р. А. Системы экспонент в весовых гильбертовх пространствах на R // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ. -мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2006.
7. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. T. 48, № 5. C. 80−87.
8. Исаев К. П. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках // Уфимский математический журнал. 2010. T. 2, № 1. C. 60−71.
9. Напалков В. В., Башмаков Р. А., Юлмухаметов Р. С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // Доклады Академии наук. 2007. T. 413, № 1. C. 20−22.
10. Башмаков Р. А., Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралах Лапласа // Уфимский математический журнал. 2010. T. 2, № 1. C. 3−16.
11. Юлмухаметов Р. С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // Сиб. мат. ж. 1985. Т. 26. № 4. С. 159−175.
12. Башмаков Р. А., Путинцева А. А., Юлмухаметов Р. С. Целые функции типа синуса и их применение // Алгебра и анализ, 22:5. 2010. C. 49−68.
Рустэм Абдрауфович Башмаков, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450 076, г. Уфа, Россия E-mail: Bashmakov_Rustem@mail. ru
Алла Александровна Махота, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450 076, г. Уфа, Россия E-mail: allarum@mail. ru
Кирилл Владимирович Трунов, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450 076, г. Уфа, Россия E-mail: trounovkv@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой