Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды
А. Е. Чистяков, Н. А. Фоменко Технологический институт «Южного федерального университета» г. Таганрог
Моделирование процессов происходящих в водной среде имеет значение не только при исследованиях водных экосистем, экологического состояния водоемов, параметров водной среды, но и при проектировании и возведении прибрежных сооружений, так как воздействия волн и прибоя к берегам различных водоемов приводит к их разрушению. А так же непрерывное движение водной среды приводит к необратимым последствиям, таким как изменение рельефа дна. Последствия данных явления можно наблюдать на побережьях океанов, морей и крупных озер. Строительство берегозащитных сооружений, ограждающих дамб, волнорезов, волновых молов является дорогостоящим и технически сложным мероприятием. Поэтому моделирование данных процессов является важным не только для экологии, но и для экономики.
Для прогнозирования процессов заиленья, негативных факторов, влияющих на эксплуатацию прибрежной зоны и береговых сооружений необходимо детально исследовать гидродинамические процессы, происходящие в водной среде.
Для построения двумерной математической модели движения водной среды нам понадобится двумерная модель гидродинамики[1,2] исходными уравнениями которой являются:
— двумерный аналог системы уравнений Навье-Стокса ((Н + ?) и)^+(Я + ?) ии'-х +(Н + ?) ш'-у =
=- 8 (Н+Ж+((Н+С)и& lt-),+((Н+с)к) у±,
((Я + С) V)'-_ + (Я + С) «V, + (Я + С) у/ = (1)
=- 8 (н+т+((н+ож),+((н+?)"г'у) у±р-,
— аналог уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости
С+((Н + С) и) +((Н+С) у) = 0. (2)
где С — функция подъема уровня, V = {и, у} - вектор скорости движения водной среды, Р
— давление, /и — коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению, 8
— ускорение свободного падения, р — плотность жидкости, — = {- ъ-уъ}, — = {-р -ур}
— тангенциальное напряжение на дне и поверхности жидкости соответственно, Н -глубина водоема, отсчитываемая от невозмущенной водной поверхности.
Математическая модель (1)-(2) учитывает геометрию донной поверхности и функцию возвышения уровня. Данная система уравнений рассматривается при следующих граничных условиях:
и'-п = 0, = 0, СП = 0. (3)
Условие (3) описывает свободный выход на боковых границах.
Построение двумерной модели гидродинамики.
Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной прямоугольной расчетной сеткой о = ю (хюххюу:
со{ = {1п = пк (, 0 & lt- п & lt- N -1,^ (N -!)},
°х = {Х. = тх, 0 & lt- /• & lt- ых — 1х = их (ых -1)},
СО у = {у =
: {у, = ]ку, 0 & lt- / & lt- Ну -1, 1у = ку (Ну -1)}, где п,/'-,/ - индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно,, кх, й — шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох Оу соответственно, N, N, N -количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно, ?(, ?х, I — длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно.
Дискретный аналог модели движения водной среды, представленной уравнениями (1)-(2), согласно методу поправки к давлению[3] запишется в виде следующей системы уравнений, в которой первое уравнение записывается без учета функции возвышения на первом временном слое:
ип+а — ип
(Н+0 ----------+ (Н + С) ии[ + (Н + 0 и =
= ((Н + 0) ии'-х) х +((Н + 0) ии'-у) + ---- ,
у Р Ру
уп+а — уп
(Н + 0) -------+ (Н + 0) Ш/ + (Н + 0) уу'-, = (4)
=((н)'-х+((н) у--р.
С учетом выполнения (2),(3) аналога уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, данное уравнение можно представить в виде:
0- - й ((н+0)0:)'-х — й ((Н+0)0:)'-у = (5)
= - 8 ((Н+0) и& quot- -)'- х, — 8 ((Н+0) V& quot- -)'-,
а затем на следующем временном слое:
ип+1 — ип+а
(я+0)и, и =-8(я+0)0, (6)
уп+1 — уп+СТ
(Н+0) -Г-------= - 8 (Н+0)0'-, •
Для построения конечно-разностных схем использован метод баланса.
Дискретные аналоги операторов конвективного ие'-х и диффузионного (ис'-х)
переноса в случае частичной заполненности ячеек в случае граничных условий третьего рода:
СП (Х, У, Z, ^ = «пС + Рп ,
могут быть записаны в следующем виде [4]:
!Г (С'-+и — С / ,(С', / - С!, /
иСх? (Я)ии,-,-----------+, 2 Х,-½, ---------,
С., .¦ - С., , С .¦ - С
(ис'-х) '-х? (Яг У, иш, -& quot- - (Я2), tt- - 1,7
(Я1 1, -(Я 2 I
х *, /
и —
Йх
где, т = 0.4 — коэффициенты, описывающие заполненность контрольных областей.
Полученные сеточные уравнения решались модифицированным попеременно -треугольным итерационным методом, алгоритм которого представлен ниже.
Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный метод вариационного типа. Рассмотрим задачу об отыскании решения операторного уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве Н:
Ах = /, А: Н ^ Н, (10)
где, А — линейный, положительно определенный оператор (А & gt- 0). Для нахождения задачи (14) будем использовать неявный итерационный процесс хт+і _ хт
Вх------ + Ахт = /, В: Н ^ Н, (11)
т
где т — номер итерации, т& gt- 0 -итерационный параметр, а В — некоторый обратимый оператор. Обращение оператора В в (11) должно быть существенно проще, чем непосредственное обращение исходного оператора, А в (10). При построении В будем исходить из аддитивного представления оператора, А — симметричной части оператора А
Ао = Я + Я = Я*. (12)
Также здесь и далее будем использовать кососимметричную часть оператора А
, А _ А*
А1 =------.
1 2
В силу (12) (Ау, у) = (Ао у, у) = 2(Яу, у) = 2(Я2 у, у). Поэтому в (12) Я & gt- 0, Я & gt- 0. Пусть в (11)
В = (Р + & amp-Я)Р1(Р. оЩ), Р = Р* & gt- 0, о& gt- 0, у є Н, (13)
где Р — некоторый оператор.
Поскольку, А = А* & gt- 0, то вместе с (12) это дает В = В * & gt- 0. Соотношения (11)-(13) задают модифицированный попеременно-треугольный метод (МПТМ) решения задачи[5−7], если определены операторы Я, Я и указаны способы определения параметров т, о и оператора Р.
Алгоритм модифицированного попеременно — треугольного итерационного метода минимальных поправок для расчета сеточных уравнений имеет вид
Гт = Ахт _ /, В (От V = Гт, От =
(Рwm, Vй)
ш р1Я^т, Яwm)'
(Awm, Vй)2 (В-1А^т, А^т)
5 2 = 1120 I I____________________________________________ к = У1_12_і (14)
т [в-1а^й, Awm)^т, Vй) ' т [в-lAwm, А^т) '
і _
=
У (і(А, Vй, Vй)
т», = «_^-^-?Т, х& quot- = хт, От .і =От •
1+К (1 -V)'- & quot-(ВТ'-А*"-, А*"-)
В адаптивном попеременно — треугольном методе в качестве параметра о используется значение с предыдущей итерации с этим и связан локальный рост нормы вектора невязки.
Рис. 1. Зависимость нормы вектора невязки от количества итераций.
Из рис. 1 видно что, при решении сеточного уравнения адаптивным попеременно -треугольным методом равномерная норма вектора невязки (максимальный по модулю элемент) убывает достаточно быстро, но возможен локальный рост погрешности. В таблице 1 приведены результаты сравнения ПТМ и МВР.
Таблица 1.
Номер временного шага Количество итераций Попеременно-треугольный метод Количество итераций Метод верхней релаксации
Расчет поля скорости Расчет давления Расчет поля скорости Расчет давления
1 1 1 1 1
2 1 4 1 53
3 3 4 17 56
4 3 4 23 58
5 3 4 27 59
6 3 4 30 60
7 3 4 32 60
8 3 4 35 61
9 3 4 36 61
10 3 4 38 62
11 3 4 39 62
12 4 4 40 62
13 4 4 41 62
Из приведенной таблицы видно, что выбор адаптивного модифицированного попеременно-треугольного метода вариационного типа является более предпочтительным по сравнению с методом верхней релаксации при решении сеточных уравнений, полученных в результате аппроксимации задач волновой гидродинамики.
Литература
1. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов. Известия ЮФУ. Технические науки. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, № 8(121). С. 159−167.
2. Фоменко Н. А. Моделирование гидродинамических процессов при обтекании корпуса судна. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, № 8(121). С. 139−147.
3. Чистяков А. Е., Фоменко Н. А. Построение двумерной математической модели движения водной среды // Журнал ТТИ ЮФУ. Информатика, вычислительная техника и инженерное образование № 5(7)-2011, Электронный журнал. С. 59−66.
4. Чистяков, А. Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды// Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, № 6(107). С. 66−77.
5. Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Адаптивный модифицированный попеременно -треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором. Математическое моделирование, 2012, том. 24, № 1. С. 3−20.
6. Сухинов А. И. Модифицированный попеременно — треугольный метод для задач тепловодности и фильтрации// Вычислительные системы и алгоритмы. — Ростов -на- Дону: Изд-во РГУ, 1984, С. 52−59.
7. Чистяков А. Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». -Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, № 6(107). С. 237−249.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой