Об устойчивости и стабилизации механических систем с нелинейными поглотителями энергии?

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2011. Вып. 1
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 531. 36
А. Ю. Александров, А. А. Косов
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ПОГЛОТИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ*)
1. Введение. За последнее десятилетие в работах многих авторов (см. обзор [1]) получил интенсивное развитие и продолжает совершенствоваться в настоящее время [2] подход к анализу и синтезу динамических свойств механических систем, основанный на явлении направленной перекачки энергии. Идея этого подхода заключается в следующем. В механической системе выделяется основная часть, первичная структура (Primary Structure — PS) и вспомогательная часть, нелинейный поглотитель энергии (Nonlinear Energy Sink — NES), взаимодействие между которыми осуществляется посредством нелинейных сил. Уравнения движения PS линеаризуются в окрестности изучаемого положения равновесия, тогда как уравнения для NES будут существенно нелинейными. Действующие на PS возмущения (гармонические, случайные и т. д.) приведут к возникновению вынужденных колебаний, которые через нелинейную взаимосвязь передаются в NES, где подавляются за счет рассеивания энергии на демпфирующих устройствах. Нелинейный характер взаимосвязи используется целенаправленно для того, чтобы гарантировать более интенсивную перекачку энергии колебаний в NES, что приведет в конечном итоге к уменьшению амплитуды вынужденных колебаний в PS. Как отмечается в [2], именно на этих принципах строятся системы защиты современных зданий от землетрясений.
Известно [3], что явление конвергенции, т. е. установление вынужденных колебаний, реализуется в системах с асимптотически устойчивым положением равновесия. Поэтому для успешного применения пассивного управления, основанного на перекачке энергии и использовании NES, требуется обосновать асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы. В [1, 2] рассматриваются механические
Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 102. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: alex@vrm. apmath. spbu. ru.
Косов Александр Аркадьевич — ведущий научный сотрудник Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН. Количество опубликованных работ: 65. Научные направления: теория управления, теория устойчивости. E-mail: aakosov@yandex. ru.
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08−08−92 208№EH_a).
© А. Ю. Александров, А. А. Косов, 2011
системы, на которые действуют только диссипативные и потенциальные силы, поэтому асимптотическая устойчивость положения равновесия вытекает из третьей теоремы Томсона-Тэта-Четаева [4]. В общем случае, когда равновесие в РБ неустойчиво или в силах взаимодействия с МЕБ присутствуют и неконсервативные позиционные силы, задача об асимптотической устойчивости становится нетривиальной и возникают следующие вопросы:
A) При каких условиях из асимптотической устойчивости положений равновесия рассматриваемых изолированно РБ и МЕБ вытекает такое же свойство и в замкнутой системе?
Б) Если в РБ нет демпфирования и положение равновесия лишь устойчиво, то можно ли (и при каких условиях) добиться асимптотической устойчивости в замкнутой системе за счет нелинейного взаимодействия с МЕБ?
B) Если положение равновесия в РБ неустойчиво и измеряются только некоторые обобщенные координаты, то можно ли (и при каких условиях) добиться асимптотической устойчивости в системе, замкнутой нелинейной обратной связью по измеряемым координатам?
Поставленные вопросы рассматриваются в данной статье.
В п. 2 с помощью метода декомпозиции получены условия асимптотической устойчивости, дающие решение задачи А). Используемый вариант этого метода базируется на разработанном в [5, 6] подходе к обоснованию прецессионной теории гироскопов.
В п. 3 указан способ построения нелинейного стабилизирующего управления в виде обратной связи по измеряемым координатам, решающий задачу В). В частном случае, когда квадратичная часть потенциала в РБ положительно определена, построенная обратная связь с исключенным линейным слагаемым дает и решение задачи Б). Полученные результаты базируются на предложенном в [7] подходе к установлению асимптотической устойчивости систем с неполной диссипацией на основе теоремы Барбашина-Красовского.
Общее свойство результатов п. 2 и 3 заключается в существенной нелинейности взаимодействия основной части (РБ) системы и управляющей части (МЕБ), принципиальное же отличие — в том, что теоремы 1 и 2 о декомпозиции могут успешно применяться и к механическим системам с неконсервативными позиционными силами, тогда как в п. 3 присутствие указанных сил в изучаемой системе недопустимо.
Таким образом, механические системы, в которых асимптотическая устойчивость положения равновесия будет установлена с использованием теорем данной статьи, будут соответствовать основным предпосылкам пассивного управления и перекачки энергии [1, 2], поэтому можно ожидать, что кроме устойчивости будет обеспечено и подавление вынужденных колебаний, т. е. достаточно высокое качество регулирования. При этом теоремы о декомпозиции п. 2 могут существенно расширить класс систем, к которым применимы методы [1, 2], включив в него и системы с неконсервативными позиционными силами.
2. Декомпозиция системы с однородными позиционными силами взаимодействия. Пусть движение механической системы описывается уравнениями
Здесь ді и (/і - «4-мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей РБ- д2 и д2 — «2-мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей МЕБ-
Аіді + Віді + Сіді - Ql{q)^ А2д2 + В2 (2 — Q2(q)¦
(1)
(2)
д = (д^, д^)т- А1, В1,С_, А2, В2 — постоянные матрицы, причем А, А?, и В2 неособые- правые части уравнений (1) и (2) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка ц & gt- 1 и определяются силами взаимодействия. Таким образом, у исследуемой системы существует положение равновесия д = д = 0.
Рассмотрим три изолированные подсистемы
А1 д1 + В1д1 + С1 д1 = ° (3)
А2Т = -В2Т, (4)
В2й = ^(°, в). (5)
Будем вместо системы (1), (2), состоящей из П1 + П2 нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, изучать вспомогательные подсистемы (3)-(5), первые две из которых линейны, а третья представляет собой систему с однородными правыми частями.
Теорема 1. Если нулевые решения изолированных подсистем (3)-(5) асимптотически устойчивы, то положение равновесия д = д = 0 уравнений (1), (2) также асимптотически устойчиво.
Доказательство. Произведем замену переменных
Получим систему
(2 — Г, А2(2 + В2(2 — В2Й.
Аіді+Віді + Сіді - Q1 (дь в — В21А2г),
А2Г — - В2Г + Q2 (ді, в — В-іА2г),
В2Й — Q2(0, в) + (^2 {ді, в — В2 і А2г) — Q2(0, в)).
(6)
Из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (3)-(5) следует [8] существование квадратичных форм У1(д1, д1), У2(т) и непрерывно дифференцируемой однородной порядка в функции Уз (в), для которых при всех д1, д1 € Е& quot-1, т, в € Е& quot-2 справедливы оценки
«и (1Ы12 + 1|д1Н2) & lt- У1(д1,д1) & lt- «12 (1Ы12 + ЦдЛ!2),
^ аі3 (УдіУ + ||діУ), ^і|(3)^ -аі4 (||ді||2 + ІІдіУ2)
эу1 аУі
ддг + дді
0У2
дг
& lt- а23 ||г||, У2 |(4) & lt- - а24І|г||2,
дУз
ді
евклидова норма
Здесь а^^, г = 1, 2, 3, ] = 1, 2, 3,4, — положительные постоянные, || вектора. При этом в качестве в можно выбирать любое рациональное число с четным числителем и нечетным знаменателем такое, что в & gt- 1.
Рассмотрим функцию У (д1,д1,т, в) = У1(д1,д1) + У2(т) + У3(в). Дифференцируя ее в силу системы (6), получаем, что при всех д1, д1 € Е& quot-1, т, в € Е& quot-2 справедливо неравенство
У 1(6) ^ а14 (||д1||2 + ||д1||2) — а241| Т||2 — а34 ||в||^+М 1 +
2
+ а ((1Ы1 + HqiH + II^H)(llqiHM + 1 МГ + 1МП +
+ ИГ^Ы + 1М11) СНГ- + иг1 + иг1)),
где a = const & gt- 0.
Используя свойства обобщенно-однородных функций [9], нетрудно показать, что если 3 — ц & lt- в & lt- ц +1, то в достаточно малой окрестности точки (qT, qT, rT, sT) T = (0T, 0T, 0T, 0T) T имеет место соотношение
^1(6)^ ~2 (ai4 + ll'-/lll2) + «24 11 HI2 + a34||s||/3+M
Таким образом, функция V (qi, qi, r, s) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [4]. Значит, нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво. Но тогда асимптотически устойчиво и положение равновесия q = q = 0 уравнений (1), (2). Теорема доказана.
Замечание 1. В случаях, когда в уравнениях (1) при скоростных или гироскопических силах присутствует большой параметр, процесс декомпозиции изучаемой системы можно продолжить, применяя к изолированной подсистеме (3) теоремы
В. И. Зубова и Д. Р. Меркина о декомпозиции линейных систем [5, 6].
Пусть уравнения (1) представимы в виде
Aiqi + hBiqi + C'-i qi = Ql (q), (10
где h — положительный параметр (система в форме Зубова [5]).
Следствие 1. Если нулевые решения подсистем
Aiz = -Biz, Bip = -Cip
и подсистем (4), (5) асимптотически устойчивы, то существует число h0 & gt- 0 такое,
что при всех h ^ h0 положение равновесия q = q = 0 уравнений (1'-), (2) также
асимптотически устойчиво.
Таким образом, проблема исследования устойчивости системы (1'-), (2), состоящей из ni + П2 нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, сводится к изучению устойчивости четырех изолированных подсистем первого порядка, три из которых линейны, а четвертая представляет собой систему с однородными правыми частями.
Аналогичное следствие можно сформулировать и в случае, когда изолированная подсистема (3) удовлетворяет требованиям теоремы Меркина [6].
Далее наряду с уравнениями (1), (2) рассмотрим возмущенные уравнения
Aigi + Biqi + Ciqi = Qi (q) + Ri (t-, q, q), (7)
A2 g2 + B2 q2 = Q2(q)+R2(t, q, q). (8)
Будем считать, что векторные функции Ri (t, q, q) и R. 2(t, q, q) заданы и непрерывны в области t ^ 0, ||q|| & lt- H, ||q|| & lt- H (H = const & gt- 0), причем в указанной области справедливы оценки
l|Ri (t, q, q)|| & lt- ci (||qif + ||qif + Ы + 1ЫГ) ,
№(г, д, д)И & lt- С2 (ЦдіГ + ІІдіІГ + І|д2|р + Нд^Н^,
где С1,02,у, ц, а, р,? — положительные постоянные. Значит, система (7), (8) также имеет положение равновесия д = д = 0. Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости этого положения равновесия.
Теорема 2. Пусть нулевые решения изолированных подсистем (3)-(5) асимптотически устойчивы. Если выполнены неравенства
то при достаточно малых значениях с1 и с2 положение равновесия д = д = 0 уравнений (7), (8) асимптотически устойчиво.
Доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1.
Предположим, что возмущенные уравнения имеют вид
Здесь В12, В21 — постоянные матрицы, ?1 и ?2 — положительные параметры.
Следствие 2. Пусть нулевые решения изолированных подсистем (3)-(5) асимптотически устойчивы. Тогда при достаточно малых значениях ?1 и ?2 положение равновесия д = д = 0 уравнений (9), (10) асимптотически устойчиво.
3. Стабилизация систем с неполным измерением координат за счет нелинейной обратной связи. Пусть вектор обобщенных координат РБ составной д1 = (хТ, ут) т, х € Ет, у € Ей, П1 = т + к, измеряются только компоненты вектора х, управлять можно только приложением сил в первых т уравнениях, а движение РБ описывается уравнениями
тельно определена матрица С22, т. е. П (0,у) — положительно-определенная квадратичная форма измеряемых координат.
Поскольку в системе (11), (12) отсутствует диссипация, положение равновесия ді - (і - 0 не может быть асимптотически устойчивым при отсутствии управления [4]. Потому рассмотрим задачу стабилизации за счет обратной связи по измеряемым координатам и дополнительным вспомогательным переменным, являющимся обобщенными
А ^ 1, V ^ 1, п ^ 1, Р ^ 1, а ^ шах{^/^- 1},? ^ шах{^/^- 1},
Аі'-ді + Ві(і + ?іВі2д2 + Сіді - Ql (д), А2д2 + Є2В2іді + В2(2 — Q2(д).
(9)
(10)
АцХ + Аі2 у + Сііх + Сі2у — и, А12 X + А22 у + СТ2 х + С22У — 0.
(11)
(12)
Здесь матрица
кинетической энергии Т = ^д^Ад РБ симметрична и положительно определена, а относительно симметричной матрицы
потенциальной энергии П (& lt-/і) = П (ж, у) = ^д^Сд будем предполагать, что положи-
координатами для присоединяемого МЕБ. При этом в соответствии с концепцией пассивного управления и перекачки энергии с целью уменьшения амплитуд вынужденных колебаний будем конструировать обратную связь, т. е. взаимодействие между РБ и МЕБ, в классе нелинейных функций.
Далее будем считать, что число вспомогательных переменных равно числу измеряемых координат, и управление возьмем в потенциальном виде
ап (ж,"-)
«=-(1з)
где вспомогательный потенциал выберем следующим образом:
П (х, и) = ЛФ1 (х) +7 Ф (х, ад)+Ф (ад). (14)
Здесь Ли 7 — положительные числа- Ф]. (ж) =хтСцх, Сц — симметричная положительно-определенная матрица размером т х т- Ф (и) — непрерывно дифференцируемая однородная порядка ц +1 & gt- 2 положительно-определенная функция- Ф (х, и) — дважды непрерывно дифференцируемая однородная порядка ц +1 & gt- 2 функция, причем такая, что при любых постоянных векторах с0, и& gt-° € Ет система уравнений
дФ (х, и0) 0
дю =С
имеет только конечное число решений относительно вектора х.
Уравнения для вспомогательных переменных (уравнения МЕБ) возьмем в виде
«д П (х, и)
А2и) + В2и) =-------. (15)
ди
Здесь матрицы А2 и В2 — симметричные положительно-определенные.
Пусть М = А221С22, Ь = С12 — А12 А-2 С22.
Теорема 3. Если матрица С22 положительно определена, а пара матриц (М, Ь) полностью наблюдаема, то, выбирая число Л & gt- 0 достаточно большим, а число ^ & gt- 0 достаточно малым, можно стабилизировать положение равновесия д1 = & lt-/1 = 0, V = V = 0 замкнутой системы (11)-(15) до асимптотической устойчивости.
Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова полную энергию замкнутой системы
V = ^д[А1д1 + ^гЬТА2и) + П (ж, г/) + П (ж, го).
При достаточно большом Л & gt- 0 и достаточно малом ^ & gt- 0 эта функция будет положительно-определенной в некоторой окрестности исследуемого положения равновесия. Вычисляя производную в силу замкнутой системы, получаем
У = -иитВ2'-& gt-Ь ^ 0.
Покажем, что множество нулей производной функции Ляпунова
Е = |(дт, дт, ит, ит) т: У = 0| = |(дт, дт, ит, и& gt-т)т: V = 0|
состоит лишь из положений равновесия, причем положение равновесия в начале координат локально единственно.
Из тождества w = 0 следует, что w = w0 = const. Тогда из (15) имеем х = x0 = const. Выразим у из уравнения (12) и подставим в (11). Получим
Ly =A12 A22iCT! — Си) x0 = ci = const. (16)
Дважды продифференцируем тождество (16) и заменим у его выражением из (12). Имеем
LMy = c0 = const. (17)
Повторяя эту операцию над (17) и получаемыми далее тождествами k-1 раз, придем к системе
LMly = c°+i = const, i = 0,1,…, k — 1. (18)
Заметим, что правые части системы (18) выражаются известным образом через х0
и w0.
Предположим, что пара матриц (M, L) полностью наблюдаема, т. е. матрица наблюдаемости
L LM
H
LM k-1J
имеет полный ранг (rangH = k). Тогда система (18) при любых постоянных правых частях имеет единственное постоянное решение у = у0 = const.
Из уравнений (11) и (12) на множестве E получаем равенства
(си + АСп) х + С2у = -7-------С^2Х +22У = 0. (19)
Из равенств (19) на основании теоремы о неявной функции можно выразить x и y как
функции w:
х = p (w), у = ^(w). (20)
При этом ^(0) = 0, ф (0) =0 ив окрестности точки w = 0 порядок малости функций & lt-^>-(w) и ^(w) не ниже первого.
Подставляя (20) в уравнения (15), находим
дФМ д Ф (w (w), w)
L =°- & lt-21>-
Умножая равенство (21) скалярно на w и используя уравнение Эйлера для однородных функций [8], имеем
(«+1)ФМ + -,^"(У*& lt-1,)'»,)=0. (22)
dw
Функция Ф^) положительно определена. Поэтому существует окрестность точки w = 0, в которой справедливы оценки
T d^(& lt-p (w), w)
w
dw
где о, 1 и о, 2 — положительные постоянные. Если 7 & lt- о, 1(р +1)/а2, то в рассматриваемой окрестности точки и = 0 равенство (22) может выполняться лишь в ней самой. Но тогда из (20) следует, что х = 0 и у = 0.
Таким образом, x0 = 0, y0 = 0, w0 = 0, т. е. равновесие в начале координат локально единственно и потому на основании теоремы Барбашина-Красовского асимптотически устойчиво. Теорема доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда во вспомогательном потенциале (14) первое слагаемое остается прежним, а в качестве второго и третьего слагаемых используются следующие функции:
m
ФМ =? diW^+ di & gt- 0, (23)
i=1
m
7^(x, w) = ^2(aixi + biWi) Mi+ 1, ai = 0, bi = 0, 7 = 1. (24)
i=1
Здесьi & gt- 1 — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями. Заметим, что именно такие компоненты потенциала характерны для механических систем, содержащих нелинейные пружины [1, 2]. Принципиальное отличие этого случая от предыдущего заключается в отсутствии малого параметра, поскольку 7 = 1.
Теорема 4. Если матрица C22 положительно определена, а пара матриц (M, L) полностью наблюдаема, то, выбирая достаточно большое число X & gt- 0 и второе и третье слагаемые потенциала (14) в соответствии с (23) и (24), можно стабилизировать положение равновесия q1 = & lt-/1 = 0, w = W = 0 замкнутой системы (11)-(15) до асимптотической устойчивости.
Доказательство. Выберем ту же функцию Ляпунова и, рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3, получаем, что множество
E = {(qf, qf, wT, WT) T: V = 0j
состоит лишь из положений равновесия x = x0 = const, y = y0 = const, w = w0 = const. На этом множестве справедливы равенства
[Оц + XC11) x + С12У = u, Ui = -a, i (p& gt-i + 1)(aixi + biwi) Mi, i =1,…, m, (25)
C2 x + C22 y = 0, (26)
di (^i + 1) wf + bi (^i + 1)(aixi + biwi) Mi = 0, i =1,…, m. (27)
Выражая из (26) и (27) переменные y и w линейным образом через x и подставляя в (25), получим систему
(сп + XC11 — C12C221Cf2) x = Z (x), (28)
в которой Z (x) — непрерывно дифференцируемая функция с порядком малости выше
первого.
При достаточно большом X & gt- 0 матрица-коэффициент в левой части (28) будет положительно определена, поэтому найдется окрестность точки x = 0, в которой система (28) не имеет решений, за исключением самой этой точки. Но тогда из (26), (27) следует, что y = 0 и w = 0.
Таким образом, равновесие в начале координат локально единственно и на основании теоремы Барбашина-Красовского асимптотически устойчиво.
Замечание 2. Точно так же рассматривается случай, когда во вспомогательном потенциале (14) первое слагаемое остается прежним, а в качестве второго и третьего слагаемых используются следующие функции:
т
Ф (ю) =2 йю^+1, йг & gt- 0,
г=1
т
7Ф (х, ю) = ^ аг’шгх?*, аг = 0, 7 = 1.
г=1
Здесь & gt- 1 — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями.
Замечание 3. Если исходный потенциал РБ П (х, у) положительно определен, то в управлении можно положить Л = 0, т. е. использовать линейное слагаемое в обратной связи нет необходимости. Утверждения теорем 3 и 4 с соответствующими изменениями при этом останутся справедливыми.
4. Стабилизация положения равновесия трехмассовой системы при неполном измерении координат. Рассмотрим три расположенных на горизонтальной прямой груза с массами То1, ш2, тз, которые соединены друг с другом линейными пружинами, а крайние грузы с помощью линейных пружин прикреплены к стенам. Пусть положение равновесия всей системы соответствует недеформированному состоянию пружин, а отклонения грузов от их равновесных положений характеризуются координатами х1, х2,хз, отсчитываемыми вдоль прямой в одну сторону. Будем считать, что измерению в каждый момент времени доступна только координата крайнего справа третьего груза хз (?) и к нему же можно применять управляющее воздействие.
Уравнения движения имеют вид [10]
т^! + к1×1 — к, 2 (х2 — х1) = 0,
т2×2 + к2(х2 — х1) — кз (хз — х2) = 0, (29)
тзхз + кз (хз — х2) + кх = и.
При отсутствии управления (и = 0) положение равновесия х1 = х2 = хз = 0 будет устойчивым, но не притягивающим, поскольку демпфирование в системе отсутствует. Требуется выбрать управление и по принципу неполной обратной связи с использованием только измеряемой координаты так, чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость положения равновесия.
Уравнение для скалярной вспомогательной переменной возьмем в виде
тги + Ью + в1(ю — хз) з + С2& quot-шз = 0, (30)
а управление выберем следующим образом:
и = -С1('-ш — хз)3. (31)
Здесь т, Ь, С1, С2 — положительные параметры.
Согласно теореме 4, положение равновесия хг = хг = и& gt- = и& gt- = 0, г = 1, 2, 3, замкнутой системы (29)-(31) асимптотически устойчиво при любых положительных значениях входящих в систему параметров. Таким образом, задача упрочнения устойчивости до асимптотической устойчивости в данном примере решается за счет присоединения
к звену, координата которого доступна измерению, нелинейного звена с демпфированием, что полностью соответствует присоединению NES в терминологии [1, 2].
Отметим, что задача гашения колебаний трех грузов, соединенных линейными пружинами, при измерении координаты одного крайнего груза решалась в [10] на основе другого подхода. В отличие от [10], предложенный нами подход гарантирует асимптотическую устойчивость и в том случае, когда пружины в исходной системе (29) так же, как и в NES (30), являются нелинейными [11].
Литература
1. Lee Y. S., Vakakis A. F., Bergman L. A. et al. Passive non-linear targeted energy transfer and its applications to vibration absorption: a review // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Pt K. J. of Multi-body Dynamics. 2008. Vol. 222, N 2. P. 77−134.
2. Pham T. T., Lamarque C. -H., Savadkoohi A. T. Passive control of a 2 dof system under two different harmonic excitations //IV European Conference on Computational Mechanics. Palais des Congres. Paris, France, May 16−21, 2010. URL: http: //www. eccm2010. org/complet/fullpaper_1369. pdf.
3. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судостроение, 1962. 632 с.
4. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1976. 320 с.
5. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.
6. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.
7. Пожарицкий Г. К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 4. С. 657−667.
8. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.
9. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судостроение, 1959. 324 c.
10. Skruch P. Stabilization of second-order systems by non-linear feedback // Intern. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2004. N 4. P. 455−460.
11. Александров А. Ю., Косов А. А. О стабилизации механических систем с однородными потенциальными силами // Качественные свойства, асимптотика и стабилизация нелинейных динамических систем: межвуз. сб. науч. трудов / отв. ред. В. Н. Щенников, О. В. Дружинина. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2010. С. 59−73.
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.
Статья принята к печати 14 октября 2010 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой