Об устойчивости линейных стационарных динамических систем относительно части переменных

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

случае ограниченности в среднем правой части / Р. Б. Лапшина // Применение современных математических методов к вопросам механики подвижного состава железнодорожного транспорта: сб. науч. тр. М., 1980. Вып. 109. С. 59 64.
3. Шестаков А. А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов / А. А. Шестаков // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск, 1987.
Поступила 07. 03. 2012.
УДК 517. 926
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ
В. И. Никонов
Предложен подход к исследованию частичной устойчивости линейных стационарных систем относительно части переменных.
Пусть поведение объекта описывается линейной стационарной динамической системой вида:
х = А*х, (1)
где х е Я& quot-, А" - постоянная действительная матрица размера п х п. Исследуется устойчивость системы (1) относительно заданной части координат фазового вектора х. Для определенности пусть требуется исследовать устойчивость относительно первых т координат. Таким образом, 1 & lt- т & lt- п. С учетом этого фазовый вектор х представим в виде:
х = (у, z) Т,
где у е Ят, г е Яр, р & gt- 0, т + р = п, Т — знак транспонирования. Тогда система (1) принимает вид:
у = Ау + Вг,
г = Су + Dz, (2)
где А, В, С, D — матрицы соответствующих размеров.
Как известно, устойчивость системы (1) относительно всех координат фазового вектора х зависит от собственных значений матрицы, А и их кратностей.
Определение 1. Многочлен ф (1) = I5 + + у {к + ¦ • ¦ + у5 будем называть правым
(левым) минимальным аннулирующим многочленом вектор-строки (вектор-столбца) х относительно линейного оператора D, если вектор-строки (вектор-столбцы) х, xD, …, xDs-1 (х, Dx, …, Ds-1x) линейно независимы и выполняется условие:
xDs + JixDs-1 + • ¦ • + у 5х = = 9(Dsx + уiDs-1х + •¦• + у ^ = 9), которое может быть записано в виде хуф) = 9(уФ)х = 9). Лемма. Пусть
ф1(1) = ^ + а1−1 + •¦• + а^
и
Ф2(1) = I& quot-2 + ¦•¦ +Р2 —
взаимно простые левые минимальные аннулирующие многочлены векторов Ъ и ^ относительно оператора D, s — степень минимального многочлена оператора D и 5 + ^ & lt- тогда векторы Ъ^ Ъ^, …, blD 1, Ъ2, Ъ2D, …, Ъ^ 2 линейно независимы. Теорема 1. Пусть s — наименьшее положительное целое число, такое, что гапд (К ,^1) = = гапд (К5), тогда линейная система (2) у-устойчива тогда и только тогда, когда
© Никонов В. И., 2012
устойчиво матричное линейное дифференци- (5+1)) (5)
альное уравнение Т+ (Т5−1 — Т^а)у +
?5у (5+1) + (?5−1 — ?5А)у (5) + 5−2 5−1 5 У
+ (?5−2 5−1А 5ВС) у (5−1) +
+ (?5−3 — ?5−2а — ?5−1Ъс — ?5ЪВс) х х у (5−2) + • ¦ • + (?0 — ?1а — ?2Ъс-----
+ ('-Ч5−3 — ?5−2А — ?5−1 ВС -Ч5ВГ& gt-0 х -^ЪВ^у — (?0а + ?1Ъс + ?2ЪВс + ¦¦¦ +
ху (5−2) + • • • + (Чо — - Ч2ВС----------+ ?5ЪВ5−1с)у = 0.
-^ВВ^Оу — (?0А + ?1ВС + + ?2ВВС + • + ?5ВД5−1С)у = 0,
Матрица К имеет вид К5
'- Ь bD
bDs
где? = (?0 ?1 •¦• ?5) — фундаментальная матрица решений линейной системы
уК5 = 0- рица размера (з + 1) х р. Так как по усло-
Замечание. Если з = р, то исследование вию гапд (Кз) = з, фундаментальная матрица
у-устойчивости системы (2) сводится к ис- линейной системы
следованию устойчивости матричного линей-к = 0 (5)
ного дифференциального уравнения вида: 3 ()
содержит всего одно ненулевое решение. Так,? у (Р+1) + (? 1 —? А) у (р) + если ф (1) = I3 + у1−1 + … + уз — левый мир р р нимальный аннулирующий многочлен векто-+ (?р-2 — ?р-1А — ?рВС)у (р-1) + ра Ъ, то очевидно, что вектор? = (уз уз-1 …
… У1 1) является решением системы (5). Та-
+ р-3 р-2А р-1Вс рВВС) х ким образом, задача у-устойчивости системы
2) (. «с (дифференциальных уравнений сводится к
х у + + 0 — - ?2ВС — исследованию устойчиво стилинейного диф-
— ?рВВр-2С)у — (?0 А + ?1ВС + ференциального уравнения
+ ?2ВВС + • + ?рВВр-1С)у = 0, у (5+1) + (у1 — а) у (5) + (у2 — у1а — Ъс) у (5−1) +
Так, например, если з = р = 3, уравнение + (у3 — у2а — у1Ъс — ЪВс) у + ••¦
(4) запишется в виде: + (у^ - у^-1а — у5−2Ъс — • - у1ЪД5−1с —
У3у (4) + (- А) у (3) + - ЪВ5−2с)у — (у 5а + у^Ъс + у5^ЪОс + • +
+ (Т1 — А — У3ВС) у + + у1ЪД5−2с + ЪВ5−1с)у = 0.
+ (^0 — —2ВС — ^3ВВС)У — 2. р = 1. В этом случае система (2) име-
— (?0 А + УфС +2ВБС + ВВ2С) у = 0. ет вид:
у = Ау + Ъг,
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. т = 1, гапд (К51) = гапд (К5) = з. В дан- г = су + dг,
ном случае з — степень левого минималь- где у е Кт, г е К, А, Ъ, с, й — матрицы со-
ного аннулирующего многочлена вектора Ъ ответствующих размеров. Очевидно, что в
относительно матрицы В. Исследуемая си- данном случае з = 1, так как матрщы К0 и
стема (2) имеет вид: К1 имеют следующий вид:
у = ау + Ъг, К0 = (Ь) — т х 1, К = i Ь 1 — 2 т х 1,
г = су + Вг, Ьй)
где у е К, г е Кр, а, Ъ, с, В — матрицы со- гапд (К0) = гапд (К1) = 1.
ответствующих размеров. Таким образом, уравнение (4) запишет-
При этом уравнение (3) принимает вид: ся в виде:
+ (^ - А) у — (^А + Т2Ьс) у = 0,
где Т = - матрица размера т х
х (2т — 1).
3. Если Т = (Т0 … — фунда-
ментальная матрица решений линейной системы
= 0, гапд (К5−1) = гапд (К5),
причем — неособая матрица размера т х т, то для асимптотической у-устойчивости системы (2) необходимо и достаточно, чтобы был устойчивым матричный многочлен
Т5Л5 + (Т51 — Т5А) Л5−1 + + (Т52 _ Т5_1А _ Т5ВС) Л52 +
+ (Т53 _ Т^_2А — Т^_1ВС — Т^ВОС) х
5 3 (6) хЛ5−3 + •¦• + (Т1 -Т2А -Т3ВС — •¦• -
— Т5ВО5_3С)Л — (Т1А + Т2ВС +
+ Т3ВОС + •¦• + Т5ВО5_2С) = 0.
Но, как известно [2], всякое решение матричного уравнения (6) является решением скалярного уравнения
| Т+ (Т51 — Т5А)15−1 + + (Т52 — Т5_1А — Т5ВС)152 + + (Т5−3 _ Т52 А — Т^_1ВС — Т^ВОС) х х153 + •¦• + (Т1 -Т2 А -Т3ВС — •¦• -_3С)1 — (Т1А + Т2ВС + + Т3ВОС + •¦• +Т5ВО5_2С)|= 0,
которое представляет собой многочлен т х 5-го порядка.
Проиллюстрируем все вышесказанное на числовых примерах.
Пример 1 [1]. Пусть уравнение возмущенного движения имеет вид:
у = -у + ?1 — 22,?1 = 4у + 21, ?2 = 2у + 21 _ 22. В данном случае т = 1, р = 2,
«=-1,ь=(1, с=(5, ^=(- °
матрицы К и К имеют вид:
1 -2 & gt- -1 2
гапд (Ко) = гапд (К1) = 1, 5 = 1.
Ко = (1 -2), K =
Линейная система YK1 = 0 имеет вид:
— У2 = 0 -2y + 22 = 0, фундаментальная матрица решений которой есть Y = (1 1), следовательно, Y1 = 1,
Y2 = 1, тогда уравнение Y2// + (Y1 — Y2a) y —
-(Y1a + Y2bc) y = 0 имеет вид y + 2y + y = 0. Так как многочлен c (l) = l2 + 21 + 1 является гурвицевым, делаем вывод, что система является асимптотически-устойчивой.
Пример 2. Пусть исследуется у-устойчи-вость системы:
y1 = -У1 + /2 + 2z1 + 22 + ^
y2 = У — 3У2 + 21 + ^
Z& amp-1 = У1 + 3z1 — З22 + 223,
z& amp-2 = У1 + /2 — 21 + 522 — 223,
23 = 3У2 — 21 + 322-
Таким образом, исходные матрицы имеют вид:
A
-1 1 1 -3
B =
2 1 1 101
'-1 0 & gt- (3 -3 2 1
C = 1 1, D = -1 5 -2
V0 3У V-1 3 0 ,
Матрицы Ki имеют вид:
К0 = B, К
2 1 4 2
1 1
гапд (Ко) = гапд (К1) = 2.
Фундаментальная матрица решений линейной системы ТК^ = 0 имеет вид:
Y = (Yo Y), Yo
-2 0
0
Y.
'- 1 0 л, 0 1,
Таким образом, анализ-устойчивости исходной системы сводится к исследованию устойчивости линейного матричного дифференциального уравнения
+ (Т1 — А) у — (Т1А + Т2ВС) у = 0, которое в данном случае принимает вид:
1 0 0 1
-1 -1 -1 1
5 2 -1 9
1 0 0 1
I2 +
-1 -1 -1 1
5 2 -1 9
которое, очевидно, эквивалентно линеинои системе дифференциальных уравнении четвертого порядка, что полностью согласуется с результатами [3]. Далее составим характеристическое уравнение
которое имеет вид:
14 — 1612 + 31 + 47 = 0.
Его корни: 1 к 3,2684, 1 к 2,1834, 1 к 3,6449, 1 к -1,8069, откуда следует за-
ключение об у-неустоИчивости системы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
В
1. и. 2. 3.
В. и. 2010.
Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных Воротников. М.: Наука, 1991. 288 с.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука, Никонов В. И. Об устойчивости линеИных систем относительно // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физико-математические С. 62 65.
Никонов № 4.
1967. 576 с.
части переменных науки [Саранск].
Поступила 14. 03. 2012.
УДК 517. 9:531. 26
О ТЕОРЕМАХ ПРИТЯЖЕНИЯ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ
Р. Б. Лапшина
Доказаны аналоги теорем о притяжении [1 4] для функционально-дифференциальных уравнении, уточняющие результаты работ [3 4].
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение вида
X (г) = /(х), /: X ^ Я& quot-, X с С. (1)
Будем предполагать, что / есть непрерывная функция из X в Яп, отображающая ограниченные множества из X в ограниченные множества из С. Эти предположения будут выполнены, если функция / локально Липшиц-непрерывна на X.
Примем следующие обозначения:
1) ФВ-уравнение — функционально-дифференциальное уравнение-
2) С — пространство непрерывных функции ф: [-г, 0] ^ Яп с нормои
Н = 9тах01 к (е)1- (2)
3) х: [-г, 0] ^ Яп такая, что
хЬ (0) = х (Ь + 0), -г & lt- 0 & lt- 0, 0 & lt- Ь & lt- а.
Очевидно, что х1. е С — ограничение функции на [Ь — г, Ь].
Определение 1. Функция Х1: [-г, а] ^ Яп называется решением ФВ-уравнения (1), если для некоторого, а & gt- 0 функция х удовлетворяет (1) для всех Ь е [0, а).
Определение 2. Решением х (Ь, ф) на-чальнои задачи ФВ-уравнения
х'- (г) = / (хг), хо = ф е С (4)
называется непрерывная функция х (Ь), определенная в интервале [-г, а], такая, что
х (Ь) = ф (Ь) & quot-Ь е [-г, 0], (5)
ф (Ь) е X с С, (6)
и удовлетворяющая ФВ-уравнению (4) для всех 0 & lt- t & lt- а.
© Лапшина Р. Б., 2012

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой