Об устойчивости нечетких систем управления

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник КРАУНЦ. Физ. -мат. науки. 2011. № 1 (2). C. 17−25
УДК 519. 71
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ
В.А. Горюшкин
Московский авиационный технологический институт (МАТИ — РГТУ) имени К. Э. Циолковского, 121 552, г. Москва, ул. Оршанская, 3
E-mail: msu28@bk. ru
Найдены условия асимптотической устойчивости систем с нечетким управлением на основе использования квадратичной и нечеткой функций Ляпунова.
Ключевые слова: нечеткие модели Takagi-Sugeno, нечеткая функция Ляпунова, устойчивость, нечеткий наблюдатель, нечеткий регулятор
© Горюшкин В. А., 2011
MSC 93C42
ON STABILITY OF FUZZY CONTROL SYSTEMS
V.A. Goryushkin
«MATI» — Russian State University of Aviation Technology. 121 552, Orshanskaya st., 3, Moscow, Russia E-mail: msu28@bk. ru
Some asymptotic stability conditions of fuzzy control systems via quadratic and fuzzy Lyapunov functions are considered.
Key words: Takagi-Sugeno fuzzy models, fuzzy Lyapunov function, stability, fuzzy observer, fuzzy controller
© Goryushkin V.A., 2011
Введение
Важной задачей при исследовании систем управления, имеющих нелинейности и неопределенности, является задача определения состояния системы в зависимости от начальных данных. Для линейных систем эта задача решается построением линейного наблюдателя для наблюдаемой системы. В теории линейных систем одним из важнейших результатов является принцип разделения, состоящий в том, что построение регулятора и наблюдателя может быть выполнено раздельно вне зависимости от устойчивости замкнутой системы (см. [1, 2]).
В настоящей работе принцип разделения распространен на классы нелинейных систем с нечетким управлением. Кроме того, для этих классов найдены условия асимптотической устойчивости. Эти условия могут быть использованы в задачах совершенствования технологических процессов и технических систем нечеткого управления, а также для решения задачи безопасности функционирования процессов и систем.
При построении непрерывных моделей Так^^Б^епо (см. [3]) используются нечеткие предикатные правила. Например, если 11(г) есть Иц и … и гр (г) есть Мр,
ТО I * (*) = А'-* (*) + (г),
у (г)= С'-Х (г), '- = 1, 2,… г,
где И^ - нечеткое множество, г — число нечетких правил, *(г) € Кп — фазовый вектор, и (г) € Кт — вектор входа, у (г) € К — вектор выхода, Аг- € Кп х п, В € Кп х т, С € № х п, г (г) = (г1 (г), …, гр (г)) — вектор известных переменных посылок, которые могут быть функциями фазовых переменных, внешних возмущений или времени.
Нечеткие модели Takagi-Sugeno обладают высокими аппроксимационными свойствами. Увеличивая число п можно описать с высокой точностью нелинейные динамические процессы. Кроме этого, усредняющие свойства механизма вывода и специфический вид функций принадлежности позволяют сделать модели Takagi-Sugeno малочувствительными к погрешностям измерений.
Являясь нелинейными и непрерывными функциями входных переменных и параметров, нечеткие модели Takagi-Sugeno позволяют аналитически исследовать устойчивость нелинейных систем.
Примеры нечетких моделей
Одним из методов исследования устойчивости нечетких систем является метод линейных матричных неравенств, который используется для анализа устойчивости однородных непрерывных и дискретных нечетких систем. Удобство метода линейных матричных неравенств связано с возможностями его численной реализации в интегрированной среде МЛТЬЛБ.
Для иллюстрации конкретных шагов по построению нечетких моделей рассмотрим два примера.
Пример 1. В нелинейной ситеме
*1(г) = 2*1 (г)+ *1 (г) *2 (г),
*2 (г)= *2 (г) + (2+*2 (г)) *1 (г),
будем предполагать для простоты, что x,(t) є [-1, 1] и x2(t) є [-1, 1]. Перепишем систему в виде
(*i (t)) = (2 Xi (t) х3 (t)) (Xi (t))
V X2(t)) V (2 + X2(t))x2 (t) 1) V X2(t)) '-
Обозначим x (t) = ^ X1 (t), -X (t) = ^ Xl (t). Нелинейные члены х, (t)x3 (t) и
(2 + X2 (t)) X, (t) обозначим как zi (t) и Z2 (t), т. е. Zl (t) = X, (t) X3 (t), Z2 (t) = (2 + X2 (t)) х, (t).
Тогда исходная система перепишется в виде
X (t) = (2 «) f)) X (t).
Найдем теперь минимальное и максимальное значения zi (t) и Z2 (t) при условии, что x,(t) є [-1, 1] и x2(t) є [-1, 1]. Очевидно, что
min z1 (t) = -1, max z1 (t) = 1,
Xl (t), X2(t) Xl (t), X2(t)
min z2 (t) = 0, max z2 (t) = 3.
Xl (t), X2(t) Xl (t), X2 (t)
Таким образом, нелинейные члены zi (t) и Z2 (t) могут быть представлены в виде
zi (t)= м, (z, (& lt-)) ¦ 1 + м2 (zi (t)) ¦ (-1),
Z2(t)= M2 (Z2(t)) ¦ 3 + m2 (Z2(t)) ¦ 0 ,
где
M, (z, (t))+ м2 (zi (t)) = 1,
M2 (Z2 (t)) + M22 (Z2 (t)) = 1.
Выражая функции принадлежности нечетких множеств Mj через zi (t) и Z2 (t), получим:
M, (zi (t)) =, М2 (zi «))= ,
М2 (Z2 (t)) =, М22 (Z2 (t)) =.
Правило модели 1
ЕСЛИ z, (t) есть M, и z2 (t) есть М|, ТО, X (t) = A, x (t).
Правило модели 2
ЕСЛИ z, (t) есть М| и z2(t) есть М2, ТО X (t) = A2x (t).
Правило модели З
ЕСЛИ z, (t) есть M и z2 (t) есть М|, ТО, X (t) = A3x (t).
Правило модели 4
ЕСЛИ г1 (?) есть М2 и г2 (?) есть М], ТО Х (?) = Л4х (?).
Здесь Л, = (3 1), Л2 = (2 1), Лз = (3 -1), Л4 = (2 -1
4
При дефаззификации получаем Х (?) =? йг- (г (?))Лг-х (?), где
1=1
Й1 (г (?)) = м1 (г1(?)) х М| (г2О)), й2 (гО)) = м1 (г1(?)) х М2 (г2О)),
йз (г (?)) = М!2 (г1(?)) х М| (г2О)), й4 (гО)) = М* (г1(?)) х М2 О)).
Эта нечеткая модель точно представляет нелинейную систему в области [-1, 1] х [-1, 1].
Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему
Х1(?)= Х2 (?)+ Х2(?)+ (хї (?) + 1) и (?), ХС2(^)= 3×1 (^) + Х2(?),
Хз (0 = х1 (?) х4?) + Хз (0, -Х4(?) = Х2(^) + Х2(?), (1)
У1 (?) = (х1(?) + 1) Х2 (?) + Х4(?), У2(?) = Х2(?)+ 2Хз (?).
Предположим, что х1(?) и хз (?) в системе (1) наблюдаемы и при этом х2(?) и х4(?) оцениваются нечетким наблюдателем. Также предположим, что
х1(?) є [-а, а], хз (?) є [-Ь, Ь], (2)
где, а и Ь принимают положительные значения. Нелинейные члены х2(?) Ь х4(?) можно представить в виде
х2 (?) = М1 (х1 (?)) ¦ а2 + М^ (х1 (?)) ¦ 0, х4 (?) = М2 (хз (?)) ¦ Ь4 + М| (хз (?)) ¦ 0,
где
М1 (Х1 (?)), М2 (х1 (?)), М2 (хз (?)), М| (хз (?)) є [0, 1],
М1 (Х1 (?)) + М2 (х1 (?)) = 1, М2 (хз (?)) + М| (хз (?)) = 1.
Решая эти уравнения, получим:
М1 (Х2 (?)) =, М2 (х1 (?)) = 1 — М1 (Х1 (?)) = 1 — Х1(?),
а2 а2
М2 (хз (?)) =, М2 (хз (?)) = 1 — М2 (хз (?)) = 1 — ~ЬГ.
Тогда нелинейная система представляется нечеткой моделью Так^і-Б^епо, задаваемой с помощью правил вида:
Правило 1
ЕСЛИ х1(?) есть М1 и хз (?) есть м2,
, Х (?) = Л1 х (?) + В1и (?),
Ш & lt- у (?)= С1Х (?).
Правило 2
ЕСЛИ xl (t) есть Ml и x3(t) есть M|,
ТО
X (t) = A2x (t)+ B2w (t) y (t) = C2X (t).
Правило 3
ЕСЛИ XI (?) есть м2 и х3(?) есть М],
ТО
X (t) = А3x (t) + B3w (t), y (t) = C3x (t).
Правило 4
ЕСЛИ XI (?) есть М] и х3(?) есть М],
ТО
X (t) = A4x (t) + B4w (t), y (t) = C4X (t).
Al =
A2 =
(t) = (Xl (t), X2(t), X3 (t), X4(f))T ,
О 3 1 0 0 a4 + 1
1 0 0 О
О 0 1 a4, Bl = О
О 1 0 О О /
О 3 l b2 0 & gt- (a4 + 1
1 0 0 О
О 0 1 a4, B2 = О
О l b2 О О /
О 3 1 0 0 (1
1 0 0 0
А3 = О 0 1 0, B3 = 0
О 1 0 О О
О 3 l b2 0 & gt- (1
1 0 0 0
A4 = О 0 1 0, B4 = 0
О l b2 О О
Cl =
C2 =
C3 =
C4 =
0 a4 + 10 1 О l 2 О
a4 +1 l
О
2
О
2
О
2
Нечеткая модель, задаваемая указанными правилами, является точным представлением нелинейной системы (1) при условиях (2) в случае, когда исходные переменные не зависят от оценки переменных х2(?) и х4(?). При численном моделировании можно задавать различные значения, а и Ь в рамках использования изучаемой технической системы.
Построенный нечеткий регулятор делает асимптотически устойчивой систему управления в целом, при этом оценка нечеткого наблюдателя состояния нелинейной системы является оценкой, которая характеризуется отсутствием стационарных ошибок.
Построение нечеткого регулятора нелинейной системы в общем случае
Пусть г (?) = (^(0, …, гр (0), (г (?)) — произведение всех различных М,/, соот-
ветствующих, му правилу, то есть
(г (^)) = Пм*7 (г/(?)), й, (г (?^ ^ (г ())
Г
/¦=!? (г (?))
,= 1
Г
Тогда для всех? выполнено:? й, (г (?)) = 1, й, (г (?)) & gt- 0. Полагаем:
,= 1
Г
X (*) =? й, (г (?)) (А, х (?) + В, и (?)) ,
,= 1
У) = ?й, (г (?)) С,'х (?). (3)
,= 1
При построении нечеткого наблюдателя требуется (см. [4, 5]), чтобы выполнялось соотношение
х (?) = х (?) ^ 0
При? ^ «, где х (?) положение вектора, определенное нечетким наблюдателем. Это условие гарантирует стремление к нулю стационарной ошибки. Структура нечеткого наблюдателя для непрерывной нечеткой системы задается с помощью правил следующего вида:
ЕСЛИ г1(?) есть Мг1 и … и гр (?) есть М, р
ТО Г х (?)= А, х (?) + В, и (?)+ К, (у (?) — .у (?))
. у (?) = С, х (?),, = 1,2,…, г.
Если вектор г (?) не зависит от состояния переменных, определенных нечетким наблюдателем, то при наличии нечеткого наблюдателя регулятор примет вид
и 0) = - ?й, (г 0)) Я, х 0). (4)
,= 1
Соответствующие правила управления имеют следующий вид:
ЕСЛИ г1 (?) есть М^ и … и гр (?) есть М, р, ТО
и (?) = -? й, (г (?)) Я, х (?).
,= 1
Нечеткий наблюдатель для непрерывной нечеткой системы задается равенствами х (?) = - й, (г (*)) (Ах (?) + В, и (?) + К, (у (?) — у (?))), (5)
І=1
y (t) = Е hi (z (t)) CiX (t). i=l
С учетом (3)-(5) расширенная непрерывная система принимает вид
в (і) = І Ій (г (()) й, (г («)) Су в («),
,= 1 7=1
где в (і) = (х (і), а (і)), Сі] = ^ А Вг^ ААкс и, а (і) определяется уравне-
А, — Ві^, — В,. ?] ч А, — К, С, —
нием
а (і) = І І й (г (і)) й7 (г (і)) (АК — С7) а (і) • і=1 7=1
Здесь значения ^}, К, находятся с помощью техники выпуклой оптимизации на основе линейных матричных неравенств (см., например, [5]).
Асимптотическая устойчивость состояния равновесия нечетких управляемых систем
Система х (і) = f (х (і), и (і)) называется квадратично устойчивой, если существует квадратичная функция, V (х (і)) = хт (і) Рх (і), V (0) = 0, удовлетворяющая условиям
V (х (і)) & gt- 0 Ух (і) = 0 ^ Р & gt- 0 и V (х (і)) & lt- 0 Ух (і) = 0.
Если такая функция V существует, то она называется функцией Ляпунова. Рас-
Г
смотрим систему х (і) = І й, (г (і)) А, х (і). Условие V (х (і)) & lt- 0 переписывается в виде
,= 1
V (х (і)) = хт (і) Рх (і) + хт (і) Рх (і) = т
І й, (г (і)) А, х (і)) Рх (і) + хт (і) Р (І й, (г (і)) А, х (і)
4=1 / ,= 1
= І й, (г (і)) (хТ (і) (аТр) х (і) + х (і) (раі) х (і)) =
,= 1
= І й, (г (і)) хт (і) (АТР + РА,) х (і) & lt- 0. і=1
Таким образом, достаточным условием асимптотической устойчивости рассматриваемой системы является наличие положительно определенной матрицы, такой, что АТР + РА, & lt- 0, і = 1, 2,…, г.
Для получения условий устойчивости для замкнутых систем, подставим выражение
: (t) = - Е hi (z (t)) (t)
І=1
в равенство х (і) = І й, (г (і)) (А, х (і) + В, и (і)). Тогда получим:
І=1
X (t) = Е Е hi (z (t))hj (z (t)) (Ai — Бі^7) (6)
i=l j=l
Г
Это означает, что система х (?) =? й, (г (?)) (А, х (?) + В, и (?)) асимптотически устой-
,= 1
чива, если существует положительно определенная матрица V такая, что (А, — В,^) Р+ Р (А, — В,^) & lt- 0 для всех, 7 = 1, 2,…, г.
Это условие можно записать в более удобной форме. Собирая в правой части выражения (6) вместе члены с одинаковыми индексами и обозначая О, = А, — В,^,
0,7 = А- - В^-, получим:
х (?) =? й (г (?))й (г (?)) 0"х (?) + 2? ?й (г (?)) й7(г (?)^1 (в/ + О/О) х (?).
г=1 г=1 г& lt- 7 V2 /
Таким образом, положение равновесия системы (6) глобально асимптотически устойчиво, если существует общая положительно определенная матрица такая, что одновременно выполняются условия
ОТ-Р + Рви & lt- 0 и (2(0,7 + О^Р + Р (1 (0,7 + О7-*)С & lt- 0
для всех г & lt- 7 .В частности, если В1 = В2 = … = ВГ, то второе условие становится следствием первого: если найдется матрица В — общая для всех слагаемых в системе (6), то для устойчивости достаточно существования такой положительно определенной матрицы, что в-, Р + РО, & lt- 0.
В случае, когда исходные переменные г (?) оцениваются нечетким наблюдателем, г (?) = г (?), и мы должны писать (г (?)) вместо (г (?)). Тогда нечеткий наблюдатель
вместо
х (?) = -? й, (г (?)) (А, х (?)+ В, и (?) + Кг (у (?) — у (?))), у (?) =? й, (г (?)) С, х (?)
г=1 г=1
будет иметь вид:
¦X (?) = -? Й, (г (?)) (А, Х (?)+ В, и (?)+ К, (у (?) — у (?))), у (?) =? Й, (г (?)) С, Х (?).
г=1 ,= 1
Соответственно нечеткий регулятор запишется в виде
и (?) = - ?й, (г (?)) да (?)
,= 1
Для получения условий устойчивости снова подставим и (?) в выражение для X (?) и соберем в правой части слагаемые с индексами, 77 вместе. Получим:
х (?) =? ? ?й, (г (0)й- (г (?))й* (г (?)) 0,-*х (?) +
,= 1 7=1 *=1
=? ?й, (г (?)) й- (г (?)) й- (г (?)) 0шх (?) +
,=1 7=1 ((сс +2? ? й, (г (?))й^ (г (?))й* (г (?)) (1 (0,7* + О,*,-ССх (?).
,= 1 7& lt-*
Следовательно, положение равновесия системы
-х»)=?? ? hi (z (t))hj (z (t)) hk (z (t)) Gijkx (t) i=i j=i k=i
глобально асимптотически устойчиво, если существует такая общая положительно определенная матрица, что одновременно выполняются условия G-jP + PG'-jj & lt- 0
и (1 (Gijk + Gikj))TP + P (1 (Gijk + Gikj)) & lt- 0 для всех i, j & lt- k.
Замечание. Недостатком рассмотренных условий устойчивости является то, что они не используют входящие в исходную систему функции hi (t). Для того чтобы использовать эти функции, рассмотрим вместо квадратичной функции Ляпунова нечет-
Г
кую функцию Ляпунова. Эта функция имеет вид V (х (t)) =? hi (z (t)) xT (t) Px (t) [6].
i=i
Применим нечеткую функцию Ляпунова для нахождения условий устойчивости системы (3) при наличии регулятора (4). В прежних обозначениях (Gjk = Aj — BjFk) получаем следующее утверждение.
Теорема. Пусть все h'- (t) ограничены: |hi (t)| & lt- 8i для всех i, a 8i — заданные
положительные числа- и пусть все матрицы Pi, входящие в локальные квад-
ратичные функции Ляпунова хТ (t) Px (t), пропорциональны: Pj = YjP для всех i, j = 1, …, r и Yij & gt- 0 для i = j, Yij = 1, для i = j. Тогда система (3) стабилизируется посредством нечеткого регулятора (4), если найдутся такие положительно
определенные матрицы P и матрицы Fi, что? 8kPk + (G-P + PiGjj) & lt- 0, '-, j =
k=i v '-
T
i, …, r и (i (Gjk + Gkj)) P + P (i (Gjk + Gkj)) & lt- 0 для всех i, j, k = i, …, r таких, что j & lt- k.
При доказательстве теоремы ограниченность hi (t) используется для оценки производной V (х (t)), а пропорциональность матриц Pi позволяет собрать подобные члены в выражении для правой части V (х (t)).
Литература
1. Driankov D., Hellendorm H., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. — Berlin: Springer, 1996.
2. Афанасьев В. Н. Динамические системы управления с неполной информацией: алго-ритмическое конструирование. — М.: УРСС, 2007.
3. TAKAGI T., SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Systems Man Cybernet. — 1985. — Vol. 15. — № 116. — P. 116−132.
4. Емельянов С. В., Коровин С. К. Наблюдатели состояния для неопределенных систем // Математическое моделирование. Проблемы и результаты. — М.: Наука, 2003. — С. 12−35.
5. TANAKA K., WANG H.O. Fuzzy regulators and fuzzy observer: a linear matrix inequality approach // Proc. Of 36th IEEE Conference of Decision and Control. Vol.2. — San Diego, 1997. — P. 1315−1320.
6. TANAKA K., HORI T., WANG H. O. A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. — 2003. — № 11(5) — P. 582−589.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 05. 02. 11

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой