Применение бесконечнолинейной трехфазной СМО для исследования процесса изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, при нестационарном входящем потоке

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

2008
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика
№ 2(3)
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
УДК 681. 142. 2
И.Р. Гарайшина
ПРИМЕНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ СМО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЛИЦ, ЗАСТРАХОВАННЫХ В ПЕНСИОННОМ ФОНДЕ,
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ВХОДЯЩЕМ ПОТОКЕ
Предлагается модель процесса изменения численности лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, при этом рассматриваются три категории населения: работающие лица до достижения пенсионного возраста, занятые в экономике пенсионеры, неработающие пенсионеры. Изучаются основные характеристики указанного процесса.
Ключевые слова: трехфазная система, модель процесса изменения численности лиц, Пенсионный фонд.
1. Построение математической модели
Всех лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, разобьём на три категории: к первой отнесём тех, кто занимается трудовой деятельностью до достижения пенсионного возраста, ко второй — занятых в экономике лиц пенсионного возраста, к третьей — неработающих пенсионеров. Для моделирования процесса изменения числа застрахованных лиц используем бесконечнолинейную трехфазную систему массового облуживания — полагаем, что застрахованный находится на г-й фазе обслуживания, если в данный момент принадлежит г-й категории (г=1, 2, 3). На вход системы поступает пуассоновский поток с интенсивностью X (t), имеющей смысл среднего числа лиц, застрахованных за единицу времени. Считаем, что продолжительность пребывания лица на каждой фазе есть экспоненциально распределенная случайная величина с параметрами, ц2, Из соответственно. Вероятность перехода заявки с первой фазы на вторую равна r, со второй на третью — r2, с первой на третью — r3.
Состояние данной системы определим трехмерным вектором (г, j, к}, где г, j, к
— количество заявок на 1-й, 2-й и 3-й фазах.
Изменение данного вектора во времени образует марковский процесс {i (t), j (t), k (t)}. Обозначим
P (i, j, k, t) = P (i (t) = i, j (t) = j, k (t) = k).
Распределение P (i, j, к, t) удовлетворяет уравнению
= Мt) P (i -1, j, k, t) + (i +1)P (i +1, j -1, k, t) + r3 ^ (i + 1) P (i +1, j, k -1, t) +
+(1 — Г — r3) ^ (i +1) P (i +1, j, k, t) + г2ц 2 (j +1) P (i, j +1, k -1, t) +
+ (1 — r2) Й2 (j +1)P (i, j +1, k, t) + Из (k + 1) P (i, j, k +1, t) (1)
и заданным начальным условиям
P (i, j, k, t0) = P0 0'-, j, k).
2. Исследование математической модели
Обозначим интенсивность входящего потока на страхование X (г) = Хр (г), где X
— бесконечно большая величина, не зависящая от t, и рассмотрим предельный, при
{/(г) у (г) к (г))
Х — ж, процесс для последовательности процессов -------,----,----}.
(X X X ]
Теорема 1. При Х -- ж предельный процесс {а (г), Р (г), у (г)} для последова-
/г (г) у (г) к (г))
тельности случайных процессов } является детерминированной
(X X X ]
трехмерной вектор-функцией:
(* л, а (г) = е-^ | р (5) ds + а0еЦ1*°
в (г) = | | р (u) ew" du + а0ецА e (^2 w) s ds + p0e^2t°) e
-^2*
Y (t) = e M |(s) + г2ц2P (s))ds + Yoe
где ао =а (го), Ро = Р (го), У о = У (го).
Доказательство. Обозначим 1 = 6 и выполним в (1) замену
X
т = х, 7'-е = у, к6 = г, -3Р (г, у, к, г) = п (х, у г, г, б) ,
б3
тогда уравнение (1) примет вид дп (х, у, z, г, г)
dt
+ (Xp (t) + X^x + Хц 2y)(x, y, z, t, s) =
(2)
= Хр (г)п (х — г, у, z, г, г) + г1ц1Х (х + г) п (х + 6, у -г, z, г, г) +
+г3ц1Ц (х + б) п (х + 6, у, z -6, г, б) + (1 — г1 — г3) ц1Х (х + б) п (х + 8, у, г, г, г) +
+г2ц2ЦУ + г) п (х, у + г, z -г, г, г) + (1 -г2)ц2Цу + г) п (х, у + 6, г, г, г) +
+ц3Цг + б) п (х, у, г + 6, г, б).
Раскладывая функции п (х ±г, у ±г, z ±г, г, г) в ряд по приращениям аргументов с точностью до о (б), запишем
V '0
dt
+ (p (t) + ^!X+X^2y)n (x'y, z, t& gt-?) =p (t)^п (X, y, z, t, s)-dn (Х'дУ'z, t, s) sj+
+Г1Ц1Х| xn (X, y, z, t, s)±(хл (X, У, z, t, s))s- xdn (X'•y'z, t, s) S | + Г3ц1х[ xn (x, y, z, t, s) +
V dx dy)
d / / чч 5П (x, y, z, t, s) ^ ,. (, ,
±--(xn (x, y, z, t, s))-x---------------s 1+ (1-rj -r3)^jAl xn (x, y, z, t, s)+
dx dz) ^
±d (xn (X, y, z, t, s))sl+T11'-k{ y n (x, y, z, t, s)+ ^ (n (x, y z, t, s))s-у dn (x' yz, t, s) ?V
dx J V dy dz Z
+(!-Г2) Й2^ У n (X, y, z, t, s) + dy (n (x, y, z, t, s))sj+
+ц3х (zn (x, y, z, t, s) ±(zn (x, y, z, t, s))s|+o (s).
V dz)
Выполнив несложные преобразования и обозначив limп (x, y, z, t, s) = n (x, y, z, t),
?--0
получим при s ^ 0 следующее уравнение:
dn (x, y, z, t) = ^^p^^) _ ^ ^ y ^ (^ _
dt dx
д d
~^T{lHlx — H2yMX y& gt- Zt)} T~{({lx + И2r2y — Изz) n (X У z& gt-1)} ,
dy dz
которое является вырожденным уравнением Фоккера — Планка для плотности п (x, y, z, t) распределения вероятностей значений трехмерного диффузионного процесса с коэффициентами переноса (p (t) -^x), (г1ц1 x -ц2у) и
(г3ц1х + ц2ггУ — Изz) и коэффициентами диффузии, равными нулю. Обозначим полученный детерминированный процесс {а (t), ?(t), у (t)}.
В силу полученных коэффициентов, имеющих смысл средней локальной скорости изменения процесса, а (t),? (t) и у (t) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений
V (t) = p (t) -^a (y),
& lt-?'- (t) = riHia (t)-H 2? (t), (3)
У (t) = r3H! a (t) + r2H2? (t)-H3 Y (t), решение которой имеет вид (2). Теорема доказана.
i (t) j (t)
Далее проведем исследование процесса отклонения процессов -----------------, -----,
X X
k ((^ от найденных средних a (t),? (t) и y (t). Для этого рассмотрим предель-
X
ный, при Х^& lt-х>-, процесс для последовательности
i{t)-Xa (t) j (t)-X?t) k (t)-Xy{t^ (4)
4x ' Jx ' Jx }
и докажем следующее утверждение.
Теорема 2. При Х^ж предельный процесс {x (t), y (t), z (t)} для последовательности (4) является трехмерным гауссовским диффузионным процессом с коэффициентами переноса
A (x, У, z, t) = -^x, A2 (x, y, z, t) = r^x — Ц2У ,
A3 (x, y, z, t,) = x + Г2Ц 2 У -Из z (5)
и диффузии
B11(t) = P (t) + Hia (t), B22 (t) = riHia (t) + H2P (t) & gt-
B33 (t) = r3^1a (t) +P (t) + Н3 Y (t) & gt-
B12 (t) = -r1^1a (t), B13 (t) = -r3^1a (t), B23 (t) = -rlV2e (t) • (6)
1 2
Доказательство. Обозначим — = s и выполним в (1) замену вида
X
is2 = a (t) + sx, js2 =Р (t) + sy, ks2 =y (t) + sz, -1- P (i, j, k, t) = H (x, y, z, t, s),
s3
тогда уравнение (1) можно представить как
dH (x, y, z, t, s) a '-(t) dH (x, y, z, t, s) _ P '-(t) dH (x, y, z, t, s) y'-{t) dH (x, y, z, t, s) +
dt dt dx dt dy dt dz
+(Xp (t)+X^(a (t)+sx)+X2 (P (t)+sy)+X3 (y (t)+sz))H (x, y, z, t, s)=Xp (t) H (x-s, y, z, t, s)+
+r1^1X (a (t)+s (x+s)) H (x+s, y-s, z, t, s) + (a (t)+s (x+s)) H (x+s, y, z-s, t, s)+
+(1-ri -r3)lX (a (t)+s (x+s)) H (x+s, y, z, t, s) + r2ц 2X (P (t)+s (y+s))n (x, y+s, z-s, t, s)+
+(1-r2)ц2X (P (t)+s (У+s))H (x, y+s, z, t, s) + ц3Х (y (t)+s (z+s))H (x, y, z+s, t, s).
Раскладывая функции H (x ±s, y ±s, z ±s, i, s) в ряд по приращениям аргументов
с точностью до o (s2) после приведения подобных слагаемых с учетом формул (3)
и обозначив lim H (x, y, z, t, s)=H (x, y, z, t), получим при s^-0 уравнение ?--0
dH (x, y, z, t) д, Л TT. d u Wiv
------------= {-HixlH (xУ, z, t) — - {(1H1x -H2У)H (X У& gt- Z1)}-
dt dx dy
d u w, м 1/ /\32H (x, y, z, t)
-T- {(^3^1x + Г2И2 У-Изz)H (x, y, z, t)}+ - (p (t) + H! a (t))---------+
dz 2 dx2
+1 (r1H1a (t)+H2p (t))d H (x'2y'z, t) + 1(r3Hia (t)+r2^2p (^)+^3Y))d 2 dy 2 dz
2 H (x, y, z, t) d 2 H (x, y, z, t) d 2 H (x, y, z, t)
-Ш1 a{t)-----------------r3^3a (t)---------------W 2 P (t)----^---------& gt-
dxdy dxdz dydz
которое является уравнением Фоккера — Планка для плотности H (x, y, z, t) распределения вероятностей значений трехмерного диффузионного процесса {x (t), y (t), z (t)} с коэффициентами переноса (5) и диффузии (6). Теорема доказана.
Процессы х (1), у (1) и г (7) являются гауссовскими и определяются системой трёх стохастических дифференциальных уравнений:
'-йX (г)=-ц1х (г)йг+ст11 (г)йм^ (г),
& lt- йу (г) = {г1^1х (г)-^2У (г)) +^21 (г)йЦ (г) +22 (г)^2 (г),
^ (г)=(г3ц1х (г)+г2ц2 у (г)-ц3 2 (г))+ст31 (г)йш1 (г)+ст32 (г)й2 (г)+ст33 (г)й3 (г), решение которой имеет вид
х{1) = е& quot-*'- |Х0еЦЛ + | СТП (^е^ & lt-3м>-1 (5)|, у (г) = е|у0еЦ2'-° + Г[Ц[ | х^е^ ?5 + | Ст21 (яУ2* йЦ (5) + | Ст22 О)^2& quot-dw1 (5)1,
I 10 10 10 J
Г / / /
2(г) = е-^3^ Г г0е3^0 + г3ц1 |х (я)еЦз*?5 + г2ц2 |у (я)е3*?5 + |ст31 (я)е3*dwi (я) +
I !0 ?0 к
+ | Ст32 (5)е3^dw2 (5) + | Ст33 (5)е3^ dw3 (5)1, (7)
*0 *0)
где х (г0) = х0, у (г0) = у0, г (г0) = г0, (г), w2 (г) и w3 (г) — независимые стан-
дартные винеровские процессы, а параметры агу определяются коэффициентами диффузии (6) следующим образом:
1 вШ
('-)'
*11 () =& gt-/В11), °21 (*) =, СТ22 ('-)1В22 () — I1
л/В11 ('-) V В1
(/) В13 (1) _ (*) В11 (t) В23) — В12 (^)В13 (^)
СТ31 (г) =, °32 (*) = I. 2=^ ,
77(0 ^М0((((0-?Щ
СТ33 (г) = В33 (() — В2 () (()В23 (г) — ?12 (*)в{3 (г))
?"(г) вп (г)(ви (г)?22 (г)-?2(г)) '-
Используя явные выражения процессов х (г), у (г), г (г) (7) и свойства стандартных винеровских процессов, можно получить корреляционные и кросскорре-ляционные функции рассматриваемых процессов. Вследствие большого объёма выкладок приведем лишь окончательные выражения (при нулевых начальных условиях).
Корреляционная функция процесса х (г):
К1 (*1& gt- *2) = М (х (г1) х (*2)) =
шт^ ?2) / а
= е-^1 +'-2) | е2^ Р (5) + Н1е-^ | р (м)е^!"^5.
Кросскорреляционная функция процессов х (г) и у (): *12(Н, Ч) = м (х (^1) У (Ч)) =
г11 е-м Й2 -Й1
е ^ | (р (5) + ц1а (5))е2№ds-
ш1п (?1,?2) А
— е-^2 | (р (5) + Ц 2а (5))+^2) * 45
к
Корреляционная функция процесса у ():
*2 (*1. *2) = М (У (*1) У (*2)) =
(«2.
-^21
Г1 И И 2 -И I
I *12 ?2)е2& quot-* -
Г 2Ц2™п (,/2)
| а (я)(('-2-) -е-^2(-0)) +
Й2 -И1, 0
ш1п (/1,?2)
+ е-ц2 | (^а (5) + Н2Р (5))е22 ds
%
Кросскорреляционная функция процессов х (г) и г (г):
*13 (г1& gt- г2) = М (х (г1) г (г2)) =
= е& quot-^3'-2
гзИ1
тт (^ ,?2)
Л
+
IЯ1 ((1,5ds -е | а (5)^5
V ?0 ?0
*2 ^
+ Г2И2 I*12 (*1& gt- *К'-'-^ • *23 (*1. *2) = М (У (*1) 2 (*2)) =
*0 /
= е-^2
Г3Ц1 |Я12 (5,г1)е3^^5 + Г2Ц2 |Л2 (5,г15 —
шт (л,?2)
Г1ГзИ1 ^-^21 Г ((М2"М-1 М — е (М2-М1)-^
тт (,?2)
х е (мз +м-1 & gt-а-г2ц2е-Ц2^'- | е (^2+Цзр (л)ds.
*0
Корреляционная функция процесса г (г):
*3 (г 1. г2) = М (г (г1) г (г2)) =
= е
Г3Ц1 IЯ13 (5,г1)е3^^5 + Г2Ц2 IЛ23 (5,г1)е3^^5 -V ?0 ?0
0
-e-^i
Ґ min (|, t2}(е (ц3)ii — e (m)s)e (m+w)sa (s)ds + ^ГзИ'И2 X
Из-Hi to H2-Hi
min (t1 ?2), ^(M-3-^1)?1 ~(M-3-^1)s e (^3 -^2)?1 +(^2-^1)s — e (^3 + ^2)s ^
X
u
J, а (s)
ДИ1 +^3)s
— Є 3 rW Є 3 Г2'-! '-r2 ri'- - eX'-
Из-Иі Из-И2
ds —
+ r2гзИіИ2 min (r', t2}/2 +»)s ((M3-М2M -e (M3-М2)s)(s) —
Из -H2 t0 V '-
min (H2) 2Ms
— J e (la (s) + r2H 2? (S) + И3 Y (S)) •
*0
Таким образом, в силу замены (4) процесс изменения численности застрахованных лиц имеет вид
{i (t), j (t), k (t)} = {(t) + {{x (t),) + yfky (t), Xy (t) + yfkz (t)},
где детерминированные функции, а (t), ?(t), у (t) определяются формулами (3), а x (t), y (t), z (t) — гауссовские случайные процессы, имеющие вид (7).
ЛИТЕРАТУРА
1. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 354 с.
2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.
3. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания. М.: Сов. радио, 1971. 570 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 29 сентября 2007 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой