Применение дифракционного интеграла в задачах о радиально-неоднородных активных средах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК535. 14
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ИНТЕГРАЛА В ЗАДАЧАХ О РАДИАЛЬНОНЕОДНОРОДНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ И. М. Кириллов, В. И. Юдин
Получено выражение для дифракционного интеграла в случае радиальной неоднородности активной среды. Приведены зависимости амплитуд и фаз поля при дифракции плоской волны на отверстии в непрозрачном экране в случае неоднородно-усиливающей среды
Ключевые слова: дифракционный материал, неоднородная активная среда
При математическом моделировании дифракции электромагнитных волн оптического диапазона на отверстиях в непрозрачном экране решение скалярного уравнения Гельмгольца часто находят при помощи дифракционного интеграла Гюйгенса-Кирхгофа, заданного в той или иной форме. При этом чаще всего полагают, что среда распространения волны, окружающая экран, характеризуется независящим от пространственных координат коэффициентом преломления, то есть, помимо самого дифракционного экрана других неоднородностей нет. Отметим, что использование дифракционного интеграла в форме Релея-Зоммерфельда представляется более целесообразным, так как вывод указанного соотношения свободен от внутренних математических несоответствий, свойственных другой форме дифракционного интеграла — формуле Френеля-Кирхгофа. Однако в ряде практических дифракционных задач неоднородность коэффициента преломления исключать из рассмотрения нельзя. Примером таких задач может служить исследование резонаторных систем квантовых усилителей и генераторов оптического диапазона, в которых среда становится активной и неоднородной под воздействием накачки.
Один из известных подходов к учёту неоднородности усиления [1], состоит в том, что значения поля, найденные вычислением дифракционного интеграла, умножаются на некоторую функцию, которая описывает нелинейное усиление активной среды. Ясно, что указанный подход не может полностью адекватно учитывать неоднородность активной среды и носит лишь качественный характер.
Другой способ учёта поперечной неоднородности комплексного коэффициента преломления использован авторами в [2]. Ниже предлагается методика учёта неоднородности активной среды, аналогичная изложенной в [2], но свободная от некоторых несоответствий.
Как и в [2], будем считать, что в неоднородной активной среде, характеризующейся заданной зависимостью комплексного коэффициента преломления (ККП) от поперечных координат
n = n'-(х, у) + in& quot- (x, y).
(1)
в плоскости ъ = ъ'- имеется отражающий непрозрачный экран с отверстием.
При выводе дифракционного интеграла из формулы Грина, применим функцию Грина в виде
ЛкК
G = -
R
-f ®,
(2)
где f® — некоторая функция, подлежащая определению, а
R = V (x — x'-)2 +(y — у1)2 + (z — z'-) •
(3)
Величины со штрихами и без них относятся соответственно к плоскости экрана и плоскости наблюдения. Подставляя (2) в уравнение Гельмгольца с учётом (1), получим:
fd2 д2 д2, 2 2 ^ elkR
— + ~г + тт + kn
дх2 дУ dz2
R
f (R) = 0. (4)
Из (4) нетрудно получить уравнение для f®:
Ц- + 2ik f + k2 (n (-і) = 0. (5) дR2 дR V P
Если
д 2f & lt-<- 2ik f
дR дR
(6)
то уравнение (5) можно решить приближённо.
Решая уравнение (5) с учётом неравенства (6), получим:
f = exp]- ikR + у { n2dR
2 2
(7)
Кириллов Иван Михайлович — ВГТУ, аспирант, E-mail: johnyboy@list. ru
Юдин Владимир Иванович — ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ, тел. (4732)46−44−36
Обозначим:
T = j n2dR.
(8)
Интеграл (8) берётся вдоль прямой, соединяющей две точки с координатами (х'-, у'-, 7'-) и (х, у, 7). Зададим эту прямую в параметрическом виде:
х = х'-+ахї- у = у'-+ауї- г = г'-+а2ї, (9)
где компоненты направляющего вектора
ах = х — х'-- ау = у — у'-- аг = г — г'- (10)
Тогда
ёЯ =
4
(11)
= л 1ах 2 + ау 2 + аг 2 & amp- = Яйі
Из (9) и (10) следует, что 0 & lt- 1 & lt- 1. Тогда из (8) получаем:
1
Т = Я| п2 {x'-+axt- у'-+а^). (12)
0
Теперь для функции ДЯ) имеем:
/ (Я) = ехр] ік
Т — Я
(13)
Пусть отверстие в экране будет круглым, а неоднородность ККП обладает цилиндрической симметрией. Будем считать что зависимость ККП от координат имеет вид:
п = п (х2 + у2).
(14)
Тогда, учитывая что
х'- = Г '-С08(^'-), х = Г С08(^), у'- = Г '-8ІП (^'-}, у = Г 8Ій (^}
из (12) можно получить:
Т = Я Гпг 2ї2 + г12 (ї -1)2 —
0 (15)
— 2гг '- (ї - 1)ї соб (^ - & lt-р'-))& amp-ї.
Действуя теперь по методу Зоммерфельда [3], можно получить дифракционный интеграл для случая неоднородной активной среды:
И (х, у) =
(1
их
, Я+Т
ік---------------------------
? и (х1, у1) ёБ '-,(16)
Я2
где V, и — соответственно амплитудно-фазовые распределения (АФР) поля в плоскости наблюдения и в плоскости экрана- Ь — расстояние от плоскости экрана до плоскости наблюдения- 1 — длина волны излучения- 8'- - площадь отверстия в экране.
При п = 1, как следует из (12), Т = Я и выражение (16) переходит в известный дифракционный интеграл в форме Релея-Зоммерфельда.
Проверим выполнение условия (6). Вычисляя производные из (13), получим:
к2
п2 -1
1
& gt->- - 4
к2 — 2к2п2 + к2п4 — 4ікп& amp-П-
ёЯ
В правой части неравенства производную по Я можно заменить производной по г, так как
ёп & lt- ёп
ёЯ ёг
В итоге получаем:
п2 -1
& gt->-
1
& gt->- - 4
к2 — 2к 2п2 + к 2пл — 4ікп-
ёг
(17)
Из приведённого неравенства следует, что производная от функции распределения ККП по радиальной координате должна быть определена всюду в пределах расчётной области. Подробное аналитическое исследование неравенства (17) затрудняется громоздкостью выражений и не несёт наглядного смысла. Проведённые численные расчёты показали, что во всех часто встречающихся на практике случаях левая часть неравенства (17) по крайней мере в 2000 раз больше правой части.
Ниже представлены нормированные распределения амплитуд (рис. 1) и фаз (рис. 2) поля с длиной волны 10,6 мкм на расстоянии 9,43 м от экрана с отверстием радиусом 0,01 м при п = 1 (сплошные линии) и при
п (г) = 1 — І10 7 е
(18)
В последнем случае АФР находилось при помощи (16) (пунктирные линии) и путём умножения АФР вычисленного для вакуума на функцию вида
/(г) =е
___ ІкЬп (г)
(19)
2
г
2
0. 5а
(помечено кружками).
г, м
Рис. 1
Видно, что умножение АФР поля для вакуума Литература
на функцию, описывающую неоднородность усиления позволяет получить довольно точное амплитуд- 1. Быков В. П., Силичев О. О. Лазерные резо-
ное распределение в случае постоянной действи- наторы. — М.: Физматлит, 2004. — 320 с.
тельной части ККП (отклонение от вычисленной по 2. Балошин Ю. А., Крылов К. И., Шарлай С.
(16) не превышает 15%). Однако этот подход не Ф. Применение ЭВМ при разработке лазеров. — Л. :
позволяет учесть изменение распределения фаз, вы- Машиностроение, 1989. — 236 с.
званное неоднородностью усиления активной сре- 3. Зоммерфельд А. Оптика. — М.: Изд-во иноды. странной литературы, 1953. — 490 с.
Воронежский государственный технический университет
APPLICATION OF THE DIFFRACTION INTEGRAL IN PROBLEMS ABOUT RADIAL NONUNIFORM FISSILE MEDIUMS I. M. Kirillov, V. I. Yudin
Expression for the diffraction integral is obtained in case of a radial heterogeneity of the fissile medium. Associations of amplitudes and phases of a field are reduced at a diffraction of a plane wave on an orifice in the opaque screen in case of an inhomogeneous — gain medium
Key words: diffraction integral, inhomogeneous — gain medium

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой