Применение дважды непрерывно дифференцируемого ^-сплайна

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 9
ПРИМЕНЕНИЕ ДВАЖДЫ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО Б-СПЛАЙНА
Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев, С.В. Капустин
Данная работа посвящена использованию сглаживающих-сплайнов 5-й степени. Такие сплайны являются кусочно-полиномиальной функцией, причем первые три коэффициента каждого полинома, определяются условиями гладкой склейки до второй производной включительно, а остальные три — методом наименьших квадратов. С помощью таких сплайнов строятся квадратурные формулы 6-го порядка для вычисления одно- и двухмерных интегралов, а также решается задача Дирихле для уравнения Пуассона в односвязной области. Получены соответствующие оценки сходимости.
Ключевые слова: аппроксимация, сплайн, численные методы, квадратуры, математическая физика, метод конечных элементов
1. Дважды непрерывно дифференцируемый 5-сплайн
Рассмотрим на отрезке [а, 6] равномерную сетку хк =а + кк, к = О,…, К, к = (Ь-а)!К — шаг сетки. Разобьем отрезок [а, Ь на группы, для этого введем ещё одну равномерную сетку ^=а + Ш, Н = тк, т є 2. Таким образом, переходя из одной группы в другую, мы осуществляем сдвиг системы координат и рассматриваем каждый / -й полином на отрезке [0,//]. Пусть значения приближаемой функции на этой сетке у = (у0,уь…, уК)єК^+1. Обозначим:
множество полиномов степени п с фиксированными коэффициентами а0, ах, а2. Рассмотрим функционал:
начальными условиями у0, у'-0, у$/21. Можно предполагать, что значения заданной функции ук известны с некоторой точностью, например, они есть результаты каких-либо измерений. Будем предполагать тогда, что с уменьшением шага, А будет увеличиваться точность измерения, а
1 В случае если функция задана таблицей, то у'-й, _у& quot- можно вычислить с помощью формул численного дифференцирования высокого порядка аппроксимации, например,
и
ф'-(к)=?(*"+"о-у.,. *)2.
*=0
В классе Р? ищется такой полином gl, который минимизирует функционал
м
ф'- О) = 2 («(#, + Щ — УтМ? -„¦ шіп (а3, а4а“)
(1)
Здесь при 1=0
есть условие периодичности-сплайна. Так как
, то условия (1) есть условия гладкой склейки двух последовательных полиномов. В непериодическом случае начальные коэффициенты а^, ау, а® задаются
Уо =-^(147%-З60у1+450у2−400у3+225у4−72у5 + 10у6)/!г + 0(!г5),
/0 = -±(812у0 -3132Л + 5265у2 -5080_у3 + 2970^-912у5 + тУб)/И2+ 0(И4)
именно, будем предполагать, что если периодическая функция / е С6 [а, Ь] задана в узлах равномерной сетки xk=a + kh, к = О,…, К своими значениями ук, то ук — f (xk)| & lt- Ch6+?, s & gt- 0. Здесь
L — число групп, на которые разбита исходная таблица значений приближаемой функции С6 [а, 6] или число полиномов, составляющих сплайн. Кроме того, здесь М+1 — количество точек осреднения, т +1 — количество точек, входящих в область определения /-го полинома gt, ^ - точка привязки полинома gt, М — т +1 — число таких точек, значения которых участвуют при определении двух соседних полиномов, составляющих /S'--сплайн, М & gt- т +1. В дальнейшем степень полинома п = 5.
Определение. S'-сплайном назовем функцию 5″ м (х), которая совпадает с полиномом g/(x) на отрезке ?[ & lt-х & lt-.
2. Существование и единственность 5-сплайна
Теорема 1. Пусть числа т и М & gt- 3 таковы, что собственные числа матрицы U не равны корню степени L из единицы (здесь L -число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции f (x), заданной на отрезке [а, 6] своими значениями ук в точках xk=a + kh, h = (b-a)/ К, существует и единственен периодический сплайн Sm, м№)-Для непериодического случая условия на собственные числа матрицы U не требуется.
3. Сходимость 5-сплайна
Теорема 2. Пусть периодическая функция f (x) е С 6 а, Ь] и пусть выполнены предположения
f (xk)-yk& lt-Ch6+s, е & gt-0. (2)
Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн 5^ м (х) с узлами на равномерной сетке имеет дефект 3 (т.е. 5−1м (х)еС2[а, Ь]) и для х е [а, Ъ] справедливы следующие оценки:
У-Рх)~
/& gt- = 0,1,2,3,4,5- хф%! при ^ = 3,4,5.
Аналогичные оценки справедливы и для непериодического случая.
Теорема 3. Пусть Q — mlМ & lt- ?». Тогда при достаточно малых т и больших М собственные числа матрицы устойчивости по модулю меньше единицы.
Это условие устойчивости 5-сплайнов аналогично условию устойчивости для кубического случая [1]. Для случая малых значений М (при 3 & lt- М & lt- 20) в результате расчета были получены значения собственных чисел матрицы U. Оказалось, что при т/М& lt-?* & lt- 1 все собственные числа матрицы U меньше единицы. Некоторые наиболее интересные полученные значения т и М, при которых достигаются наименьшие значения тахЩ и аппроксимация 5-сплайнами устойчива, представлены в таблице.
4. Фундаментальный 5-сплайн
Фундаментальный 5-сплайн 2? ¦(Jt) — это периодический или непериодический 5-сплайн, построенный по данным j/ = (j-0,yl,. ,^)eR'-:+1 и yoeR, y'-0sR вида: {& gt->-, = 0,… ,&-}.
к
Легко видеть, что линейная комбинация у В -(х) = S (x) является 5-сплайном, приближаю-
7=0
щим начальные данные {& gt->-,/ = О,. Заметим, что непериодические фундаментальные сплайны дополняются сплайнами с начальными условиями у'-0, у?, принимающими значения 0 или 1.
Таблица
Собственные числа матрицы U_________________________________________
м М Яі2 Лз max |Я,| т/М
4 2 -0,008 -0,231−0,131 / -0,231+0,131/ 0,265 0,25
5 3 -0,005 0,0549−0,201/ 0,0549+0,201/ 0,207 0,60
6 2 0,0266 -0,285−0,129/ -0,285+0,129/ 0,312 0,33
6 3 -0,008 -0,263−0,0463/ -0,263+0,0463/ 0,266 0,50
7 2 0,0732 -0,167−0,305/ -0,167+0,305/ 0,347 0,285
7 4 -0,0069 -0,0737−0,214/ -0,0737+0,214/ 0,226 0,571
7 6 0,218 0,116−0,207/ 0,116+0,207/ 0,237 0,857
8 4 -0,0079 -0,265−0,031/ -0,265+0,031/ 0,266 0,50
8 5 -0,403 0,101−0,178/ 0,101+0,178/ 0,204 0,625
8 7 0,180 -0,0466−0,229/ -0,0466+0,229/ 0,233 0,875
9 5 -0,734 -0,124−0,201/ -0,124+0,201/ 0,235 0,555
9 8 0,134 -0,205−0,118/ -0,205+0,118/ 0,236 0,888
10 5 -0,0078 -0,263−0,0407/ -0,263+0,0407/ 0,266 0,50
10 6 -0,0055 0,0182−0,213/ 0,0182+0,213/ 0,213 0,60
11 7 -0,322 0,141−0,147/ 0,141+0,147/ 0,203 0,636
5. Одномерные квадратурные формулы 6-го порядка
в
Рассмотрим интегралf (x)dx. Аппроксимируем подынтегральную функцию S'--сплайном
А
К
/(х) =yjBj (x) + 0(h6), где -f (A + jh). Подставим его выражение через фундаментальные
}=о
сплайны в интеграл:
В В к кВ к
S (x)dx = ykBk (x)dx = XЛ Bk (x)dx = ?укск,
А, А ?=0 к=О, А к=0
В L-1 5 ^пк
где ск = (x)dx = X S Н'+Х ~ искомые коэффициенты квадратуры. Здесь а"к — /-й коэф-
А «=0г=0г + 1
фициент и-го полинома в к-м фундаментальном сплайне. Данные формулы имеют 6-й порядок аппроксимации.
6. Двумерные квадратурные формулы 6-го порядка для односвязных областей
На плоскости рассматривается область Q, с границей у, где у задана параметрически. В области рассматривается гладкая функция /(г, ср). Поместим область в круг радиуса R и введём полярную сетку. Рассмотрим интеграл:
Д f (r,& lt-p)rdrdq>-.
п
Представим подынтегральную функцию в виде разложения по фундаментальным S'--сплайнам 5-й степени:
f (r,(p)= X X yiJC,{& lt-p)D}{r) + 0(h6) = S{r,(p) + 0(h6).
I=0. x,-1 j=0… K2
Подставив S (r,(p) в искомый интеграл, получим квадратурные формулы:
л: ,-1 к2
JJS (r,(p)rdrdtp = II c, JytJ, где ciJ = JJCi{(p)Dj{r)rdrd (p. (3)
n 1=0 7=0 П
Для вычисления коэффициентов си воспользуемся формулой Грина в полярной системе координат:
1 дРг г д (р
гс1гс1(р.
| г
Для нашего случая положим Рг (г, ф) = §, (г, & lt-р) = -С1 (ф) jtDJ (/)Л, тогда
1 5
-----[г (2) = С, (#& gt-)?) (г) и для квадратурных коэффициентов мы получаем формулы:
г дг
(г с° = с[с, (& lt-р) (*& gt-*
чо
с1ф.
(4)
Точность приближения квадратурных формул для круга
Кол-во Точность Коэфф-т
полиномов полученной формулы улучшения
5 6,47×10−7
10 1,198×10~8 54,3
20 2,033×10−10 59
40 4,26×10~12 48
Точность приближения квадратурных формул для астроиды
Кол-во Точность Коэфф-т
полиномов полученной формулы улучшения
5 1,28×10−2
10 2,69 хЮ-4 47,5
20 4,77 хЮ-6 56,4
40 1,03 хЮ& quot-7 46,3
Рис. 1. Астроида
Пусть выполнены условия устойчивости матрицы и, т. е. тх & lt- Мхд*, т2 & lt- М2д* и пусть / е С6(0. 3), где г& gt- О, т. е. предполагается, что функция/непрерывна и шесть раз дифференцируема в несколько большей области. Пусть также к = шах (/г1,/г2). Поместим область в круг К радиуса Л. Введём полярную систему координат, взяв за начало координат центр круга К. Продолжим функцию / в КС1д тождественным нулём. Обозначим 5(& lt-р, г) — & lt-р-г — сплайн, приближающий таким образом продолженную функцию / на круге К. Доказана следующая теорНаерема 4. Пусть 5(& lt-р, г) — & lt-р-г — сплайн, приближающий функцию / пусть
(М — т) Ь & lt- р (у8,у). Здесь р (у§, у) — расстояние между границами областей и й соответственно. Тогда справедлива оценка:
ATj-l аг2-і \f{& lt-p, r) dn-? ? cllytJ n 1=0 J=о
& lt- Ch
Здесь у у = /(& lt-р, г) — значения функции / в узлах сетки, весовые коэффициенты с'--7 определены формулой (4), суммирование производится лишь по тем индексам, для которых (^, г) ей 3.
7. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в односвязной области
Рассмотрим уравнение Пуассона в области ?& gt-:
1 д
Ґ диЛ
г
v drj
+ -
1 д2и г2 дер2
г дг
С граничными условиями:
и (г,(р)дС) = /(г,(р), где граница области О задана параметрически:
= -р (г, ср), (r,(p)eD.
(5)
(6)
г (9) =
1,
%/3 sin (^) + cos ((p) ' -у/З
sin (^7) — л/з cos (^) '
& lt-рє[ 0, я] (ре[я, 5л! Ъ
& lt-рє[5л/3,2я]
Рис. 2. Область D, погруженная в круг радиуса 1
Поместим D в круг радиуса 1. Далее, будем рассматривать полярную систему координат с центром в центре круга. Построим полярную сетку по г и по ср.
Представим решение уравнения в виде:
& lt-r, q>-) = Y^uf^Djir), (7)
i=0 у=1
где Ct (& lt-p) и Dj® — периодический и непериодический фундаментальные одномерные сплайны на отрезках [0,2л-] и [0, 1] соответственно. Домножим исходное уравнение на г. Теперь будем домножать полученное уравнение скалярно на Ci (& lt-p)Dk®, где пары индексов /, к пробегают все значения / = 0,…, Кх, к = 1,…, К2 -1, но такие, что (hxk, h^l) є D (т.е. только для внутренних точек области D). Получим уравнение:
+ + г y^C№D№rdrd (p = «
Подставим в левую часть выражение (7):
2& gt-0 Я (сг. да-(г)г2+с1(?Щ (гуг+с-(рЩ (г))с,(<-р)ок (г)<-ы?
— Ц/Кл 9) С1 (9)Вк (г)г2с1гс1& lt-р.
о
(8)
Здесь существенно, что выражения, стоящие под знаком интеграла в левой части является произведением функции от переменной г на функцию от переменной (р, поэтому, применяя формулу интегрирования по частям, можно избавиться от производных высоких порядков (например, при решении уравнения А2и (г,& lt-р) = /(г,& lt-р), под знаком интеграла появятся производные 3-го и 4-го порядка от фундаментальных сплайнов, в то время как существует лишь непрерывная производная 2-го порядка, но интегрируя по частям, можно свести подынтегральное выражение к такому, в котором будут лишь производные 1 и 2 порядка).
Последнее уравнение ввиду произвольности выбора / и к представляет собой систему для определения коэффициентов Му. Чтобы сделать систему полной, необходимо учесть граничные
условия, которые дадут недостающее число уравнений:
из
(9)
дИ
Интегралы в (8) вычисляются при помощи квадратурных формул для области Д коэффициенты которых находятся по формулам:
ж (5л73 (п (р) Л 2х (г2(ч& gt-) 4
су = |С-(^) |г?& gt-у (г)<-з&-* с/& lt-р+ | СД& lt-р) | гО](г)с1г с!& lt-р + | С^(р) | г0^г)с!г
О) к 0) 5я73 V 0 & gt-
! ^ I ^
где г, (ф) = -р--------------------------------------, г2 (ср) =-г-.
л/3 8 т (^) + соз (^) $т (& lt-р) — /3 соз (^)
Из системы уравнений (8) и (9) получаем коэффициенты разложения решения (7) по фундаментальным сплайнам, т. е. искомое приближенное решение.
Вышеописанным методом решалась задача:
1_д_ г дг
ди
~дг
+
1 д2и
= 1, (г,^)е?& gt-
г2 д (р2 г2 & amp-т2(ф)-{г2 -1)/4
& lt-г,<-р)дв
При Кх -12, К2 -6 точность решения составила 0,7927×10−4. График решения представлен на рис. 3.
о О-
Рис. 3. Решение уравнения Пуассона на области О
Литература
1. Силаев, Д. А. Приближение S'--сплайнами гладких функций / Д. А. Силаев, Г. И. Якушина // Труды семинара имени И. Г. Петровского. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — Вып. 10. — С. 197−206.
2. Силаев, Д. А. Дважды непрерывно дифференцируемые S'--сплайны / Д. А. Силаев // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1. Математика, механика. — 2007. — № 2. — С. 12−17.
3. Силаев, Д. А. Решение краевых задач с помощью S'--сплайна / Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев // Математика. Компьютер. Образование: сб. научн. трудов. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. — М-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. — Т. 2. — С. 85−104.
4. Полулокальные сглаживающие сплайны класса С1 / Д. А. Силаев, А. В. Амилющенко, А. И. Лукьянов, Д. О. Коротаев // Труды семинара имени И. Г. Петровского. — 2007. — Вып. 26. -
C. 347−367.
5. Semilocal smoothing spline of class Cl / D.A. Silaev, A.V. AmiliyushenJko, A.I. Luk’janov,
D.O. Korotaev // Journal of Mathematical Sciences. — 2007. -V. 143, № 4. — P. 3401−3414.
6. Силаев, Д.А. О квадратурных формулах высокого порядка аппроксимации для произвольных областей / Д. А. Силаев // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики: Международная научная конференция, Тамбов, 22−25 апреля 2008 г. / отв. ред. А. А. Артёмов. — Тамбов: Изд-во Першина Р. В., 2008. — С. 65−70.
APPLICATION OF TWICE CONTINUOUSLY DIFFERENTIABLE S-SPLINE
This article is dedicated to an application of 5th order smoothing S'--splines. Such splines are piece-wise polynomial functions. First three coefficients are defined by condition of smoothing of 2nd order, while another three coefficients — by method of minimal quads. These splines are used for building of a 6th order quadrature formulas. Also, here is presented a method and example of solving of Puasson'-s equation for simply connected domain by using these splines. Corresponding estimations are also given.
Keywords: approximation, spline, numerical methods, quadratures, the mathematical physics, Method of finite elements.
Silaev Dmitry Alexeevich — Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department «General problems of management», Mechanical-mathematical faculty, Moscow State University.
Силаев Дмитрий Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра Общих проблем управления, Механико-математический факультет, Московский государственный университет.
e-mail: dasilaev@mail. ru
Korotaev Dmitry Olegovich — Post-Graduate Student, Institute of Automation of Production, Russian Academy of Sciences.
Коротаев Дмитрий Олегович — аспирант, Институт Автоматизации Производства Российской Академии Наук.
e-mail: dok-home@mail. ru
Kapustin S.V. — Post-Graduate Student, Department of Algebra and Geometry, Elabuga State Pedagogical University.
Капустин C.B. — аспирант, кафедра алгебры и геометрии, Елабужский Государственный Педагогический Университет.
e-mail: srg_kapst@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой