Динамика в кватернионном описании

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

2564
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2564−2566
УДК 531. 1
ДИНАМИКА В КВАТЕРНИОННОМ ОПИСАНИИ © 2011 г. Ю.И. Ханукаев
Московский физико-технический институт (государственный университет)
khan. yuri@gmail. com
Поступила в редакцию 24. 08. 2011
Произвольной точке пространства-времени сопоставляется радиус-вектор-кватернион. За основу взяты уравнения динамики точки А. Пуанкаре. Для точечной массы записаны основные теоремы в кватернионном виде. Рассмотрено дифференцирование по времени кватерниона, заданного в относительной системе координат. В качестве примера приводится решение кинематических уравнений твердого тела с неподвижной точкой (проблема Дарбу).
Ключевые слова: динамика, кватернион, изоморфизм, проблема Дарбу.
Важным свойством кватернионов является их изоморфизм соответствующим матрицам. Любая функция кватерниона, для которой имеет место разложение в ряд по степеням ее аргумента, может рассматриваться как функция матрицы, а уравнение, которому она удовлетворяет, — как матричное уравнение. Например, кинематические уравнения твердого тела с неподвижной точкой в кватернионном (матричном) описании имеют вид
2X = X о ю (2 X = X • ю),
где
Х =
fX о — X і - X 2 — X з ^ X і X 0 — X 3 X
VX з
X =
fX,
X
о
і
X 2
— X 2
— X1 X 0 X3
V
X3 — X 2
X 0
X1 -X -X X 0 Xi
2
3
ю =
2
— X1
X 0 j
— X3 ^ X2
— X1 X0
— r ^
f 0 — p — q
p 0 — r q
q r 0 — p
vr — q P 0 ,
Это матричное уравнение имеет решение
X (t) = X (0)exp
I I ra (t)/2 jdt
где
| ra (t)dt =
0 — a1S — a2 S — P 3
a1S 0 — a3S CO 2 a
a 2S a 3s 0 — a^
a3S — a2 S a1S 0 j
= tS ,
a1S = | pdt, a 2 S = | qdt, a3S = | rdt
S =
| pdt + | qdt + | rdt
vto j v to j v to j
Поскольку t =- E, t =-t, т = E, т = =- т, k, получаем
exp
|ra (t)/2j dt
= exp[ т (S /2)] =
= У — [т (5 / 2)]к = Е С08(5 /2) + т 8ІП (5 /2)
к =0 к
либо в кватернионном описании: Х (ґ) = А,(0) х х [с08(5/2) + т 8ш (5/2)].
В основе всей динамики лежит второй закон Ньютона, поэтому ее кватернионное описание требует кватернионного аналога второго закона Ньютона.
Строя релятивистскую механику, Пуанкаре ввел безразмерную четыре-скорость:
c dT
(X0 = cT),
U1 =
1 dXl
Ul =- 1 ^ (l = 1,2,3),
c dx 1 c dx
четыре-импульс nv = mocUv, nv = mocUv, (v = = 0, 1, 2, 3) и записал уравнения динамики в виде dnv Idt = Fv (c = const — скорость света, т — абсо-
o
o
o
2
лютное время, Т — локальное время).
Произвол в задании сил недопустим, так как условие, устанавливающее наблюдаемый из абсолютной системы ход локальных часов, определяется соотношением
dT = I + 1 dXl dXl dx V c2 dx dx
или
1 + -^L
Fo =
ft dXl
F =
fidX0
c dx c dx
где fl — трехмерные силы.
Итак, имеем (негамильтонову) систему
dX 0
dx
mo
fi П
dXl
dx
dni
dx
mo
. ft no
либо
m
d 2 X 0
o^T
ft dXl
m
d 2 Xl
f dX0
L = -- 2
mn (dX0 dX0 dXl dXl dX0
dx dx dx dx
cdx
mo
2
dX° П
----±
dx
Y
mc
o
dXl dXl dx dx
+ -
m
(
2
П
V
V moc J
ds2 =
c2 +
(п ^ 2 dxdx = 2 ndx
cdT +
V moc J m c
o о
0 o ^
то есть уравнения динамики должны иметь интеграл П0П0 — щщ = (moc)2 = const и переходить в уравнения Ньютона при c ^. Четыре-силы Пуанкаре определил соотношениями
локальный ход часов (масштаб оси X0), которые имеют место при наличии силового поля. В метрике X0, X' движение материальной точки происходит по геодезическим.
Если же вместе с Эйнштейном принять скорость света постоянной, то пространство следует считать неевклидовым.
Произвольной точке пространства сопоставим радиус-вектор-кватернион И = X0 + Т’Х', движущейся точечной массе т0 — скорость-кватернион
dX0 dXi
V =------+ Т'
dx 1 dx
и импульс-кватернион Q = moV. Силу-кватернион определим соотношением
f dXl f dX0 F = ^-------+ т /
(*)
с dx и dx2 с dx В случае потенциальных сил можно ввести функцию Лагранжа
-П (X) =
Этой функции Лагранжа соответствует пространственно-временной интервал
— dXldXl = cdxcdx = dX0dX0 — dXldX'
где ~ = c^J 1 + [П (X)Imoc2]2 — локальная рость света и dX0 Idx = dX0 Idx + П (X) I (moc) —
ско-
с dx ' с dx
и запишем уравнения (*) в виде dQ/dt = Е.
В качестве меры можем взять, например Ко = (½)И о О, Т = (½)то V о & quot-V, или какую-либо другую величину, тогда
dK 0 1 1
---= - И о Е-------V, о О,
dx 2 2 0
— = I то (Е о '-V + V о Е) и т. д. dt 2
Дифференцирование кватерниона г = г0 + + Т’Г, заданного в относительной системе координат, требует учета ее движения. Для этого запишем кватернион г = Г + Т' Г в абсолютной системе отсчета И = Л о г о Л, где Л — дуальный кватернион винтового перемещения относительной системы координат. Тогда
«И dЛ ~. «г ~ dЛ
---- =----о Г о Л + Л о о Л + Л о г о-------=
dт dт dт dт
=1Л о © о г о Л + Л о — о Л + Л о г о 1 й о Л =
2 dт 2
Гй ~ «г ~ й^ ~
= Л о I — о г о Л + Л о о Л + Л о г о — I о Л,
^ 2 «т 2)
где Ю — дуальная скорость относительной системы, а содержимое скобки есть искомая производная
«г й ~. «г ~. (0
---=- о г о Л + Л о-----о Л + Л о г о -.
«т 2 «Г 2
к
п
0
0
moc
moc
DYNAMICS IN A QUATERNION DESCRIPTION Yu.I. Khanukaev
The radius-vector-quatemion is compared to any point of space-time. The equations of dynamics of a point of A. Puankare are taken as the basis. The basic theorems for the dot weight are written down in the quaternion form. Time differentiation of the quaternion set in the relative coordinate system is considered. As an example, the analysis of the cinematic equations of a solid with a fixed point (a problem of Darbu) is presented.
Keywords: dynamics, quaternion, isomorphism, problem of Darbu.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой