О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2014, № 3 (1), с. 91−93
91
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 925
О ЧИСЛЕ ЛИНЕИНЫХ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
© 2014 г. М. В. Долов, Е.В. Круглое
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
кг^1оу 19 @таП. ги
Поступила в редакцию 13. 02. 2014
Доказано, что полиномиальное векторное поле степени п не менее двух может иметь не более 3п-1 различных линейных частных интегралов, причем оценка является точной для нелинейностей второй, третьей и четвертой степеней.
Ключевые слова: алгебраическая интегрируемость, полиномиальные векторные поля, частные интегралы, первые интегралы, дифференциальные уравнения.
При решении как локальных, так и глобальных задач теории дифференциальных уравнений линейные частные интегралы эффективно использовались в работах Л. Эйлера, К. Якоби, Ф. Г. Миндинга, Н. Н. Баутина, К. С. Сибирского, Н. И. Вулпе, М. Н. Попа, А. С. Шубэ, Т.А. Друж-ковой, Р. А. Любимовой и других авторов. Постановка задачи в данной работе связана с [1].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
x = P (x, y), y = Q (x, y), (1)
где P и Q — взаимно простые полиномы, коэффициенты которых и переменные x, y в общем случае комплексные, max (deg P, deg Q) = n.
По определению система (1) алгебраически интегрируема, если все инвариантные множества системы (1) алгебраические.
Теорема 1 [1]. Для максимального числа S (n) различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических инвариантных кривых алгебраически неинтегрируемых систем
n2 + n + 2
(1) справедлива оценка S (n) & lt----= p ,
при этом S (2) = 4.
Точность оценки S (3) доказана в [2, 3], при этом установлено, что равенства S (2) = 4, S (3) = 7 достигаются в классе систем (1) с линейными частными интегралами, коэффициенты которых могут быть комплексными в случае вещественных систем. Вопрос о точности S (n) & lt- p при n & gt- 4 открыт.
В связи с неравенством S (n) & lt- p возникает вопрос о достижимости равенства S (n) = p в
классе систем (1) с линейными частными интегралами.
Основной результат данной работы содержит
Теорема 2. Для п & gt- 2 система (1) с взаимно простыми полиномами Р и Q может иметь не более 3п -1 различных линейных частных интегралов, при этом для 2 & lt- п & lt- 4 существуют системы (1) с 3п -1 различными линейными частными интегралами.
Вспомогательные утверждения
Лемма [4]. Если дифференциальное уравнение Q (x, у)& lt-х — Р (х, у~)& lt-у = 0, где Р и Q — полиномы, max (deg Р, deg Q) = п & gt- 2, допускает общий интеграл
F (х, у) — CG (x, у) = 0, (2)
где С е С, F (х, у) и G (x, у) — линейные функции, то Р и Q имеют общий делитель, тождественно не равный постоянной.
Считая в общем случае коэффициенты полиномов Р и Q и переменные х, у комплексными, как и в [5], можно показать, что имеет место
Теорема 3 (Мироненко В.И.). Если г различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических кривых Rj (х, у) = 0 ,
7 = 1, г, deg Rj = mj инвариантны для системы (1) и
V,
^ mj & gt- т (т + 1)(т + 2)(8 + 3(т + 3)(n -1)), (3)
j=1 24
92
М. В. Долов, Е.В. Круглов
где m = max mf, то система (1) алгебраически deg Ф, = 1, то у системы (1) нет предельных
1& lt-j<-г
интегрируема и порядок кривых не выше т.
Доказательство теоремы 2
Первая часть утверждения теоремы 2 доказывается аналогично [4]. Допустим, что существуют системы (1) с взаимно простыми Р и Q с 3п различными линейными частными интегралами. При г = 3п, = т = 1 выполнено неравенство (3). По теореме 3 система (1) алгебраически интегрируема и имеет общий интеграл (2), где ^ и G — линейные функции. Согласно лемме, при п & gt- 2 у полиномов Р и Q есть общий делитель, тождественно не равный постоянной. Полученное противоречие доказывает, что для п & gt- 2 число линейных частных интегралов системы (1) меньше 3п.
При п = 2 существуют системы (1) с пятью различными линейными частными интегралами [6- 7, с. 9−12]. Для п = 3 в [8] с точностью до линейного невырожденного преобразования найдены вещественные системы (1) с восемью вещественными линейными частными интегралами. При п = 4 утверждению теоремы удовлетворяет система [9] х = х (х — 1)(х2 — 3х + 3), У = У (У -1)(У2 — 3у + 3), допускающая 11 линейных частных интегралов: х = 0, х = 1,
п, 3 ±/л/3 3 ± /73
у = 0, у = 1, х = ---, у =---, у = х,
2
2
1 + /л/3 3 + /л/3 1 — iy/3 3 -/л/3
У =--х ±-, У =--х + & quot-
2
2
2
2
Теорема 2 доказана.
Так как при п & gt- 5 выполнено неравенство _, п (п +1)
3п -1 & lt----, то из теоремы 2 следует утверждение теоремы 2 [4] о том, что при п & gt- 5 нет систем (1) с взаимно простыми Р и Q с
п (п +1)
2
различными линеиными частными ин-
тегралами.
Для п = 2 и п = 3 при наличии у (1) соответственно пяти и восьми линейных частных интегралов в силу теоремы 1 система (1) алгебраически интегрируема. При п = 4 значение
п2 + п + 2
3п -1 =---= 11, и в случае наличия у (1)
частных интегралов Ф = ах + Ъу + cj = 0,
] = 1,11, по первой теореме Дарбу [10] система (1) имеет первый интеграл Дарбу Ф/31 … Ф/4 = С, где 1 & lt- k & lt- 11, р ф 0. Так как
циклов.
Теорема 2 дает точную оценку сверху числа различных линейных частных интегралов. При некоторых ограничениях на систему (1) эта оценка указана в [2].
Ранее другим способом доказано, что максимальное число различных (в том числе комплексных) линейных частных интегралов системы (1) при п = 3 равно восьми [11]. При этом в [11] детально не рассмотрен случай, когда система (1) вырождена на бесконечности, т. е.
xQn (х, у)-уРп (х, у) = 0, (4)
где Рп (х, у) и Qn (х, у) — однородные полиномы степени п, содержащиеся в Р и Q соответственно. При выполнении тождества (4) система (1) при п = 3 может иметь не более шести различных линейных частных интегралов [12]. В [1315] доказано, что полиномиальное векторное поле четвертой степени, вырожденное на бесконечности, может иметь не более 9 линейных частных интегралов.
Замечания. 1. Пример уравнения xdy --ydx = 0 показывает, что в теореме 2 условие п & gt- 2 и требование взаимной простоты Р и Q существенны.
2. Рассматривая систему [9] х = (х — 4) х
х (х + 2)(у2 + х +1), у = ху (у2 — 9) и её частные интегралы х = 4, х = -2, у = 0, у = 3, у = -3,
у = х -1, у = -х + 1, у = х +1, у = -х -1 видим, что в [16, с. 219] неверно утверждение: «а) общее число различных 4 и 4'- -направлений не превосходит пяти». Здесь у = 4х + Ъ, х = 4'-у + а — интегральные прямые вещественной системы (1) при п = 4.
Список литературы
1. Долов М. В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 6. С. 838−839.
2. Долов М. В., Бубнова И. В. Системы с линейными частными интегралами // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. 2006. № 11. С. 79−80.
3. Дружкова Т. А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Ч. 1. Метод пособие. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. 36 с.
4. Долов М. В. О точности оценки числа алгебраических кривых полиномиальных векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2013. № 2(1). С. 135−137.
5. Мироненко В. И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во БГУ, 1981. 103 с.
О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей
93
6. Дружкова Т. А. Дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Дис… канд. физ. -мат. наук. Горький: ГГУ, 1975. 129 с.
7. Дружкова Т. А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Ч. 2. Метод пособие. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. 30 с.
8. Любимова Р. А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми // Дифференц. и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький, ГГУ. 1977. С. 19−22.
9. Долов М. В., Чистякова С. А. О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей с вырожденной бесконечностью // Тез. докл. Международной конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2−7 июля 2010 г. С. 76−77.
10. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 2. М. -Л.: ГТТИ, 1936. 563 с.
11. Долов М. В., Павлюк Ю. В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полиномиальных векторных полей // Тр. СВМО. 2004. Т. 6. № 1. С. 40−50.
12. Долов М. В., Чистякова С. А. О числе линейных частных интегралов кубической системы, вырожденной на бесконечности // Тр. СВМО. 2007. Т. 9. № 2. С. 62−74.
13. Долов М. В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвёртой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник ННГУ. 2010. № 6. С. 132−137.
14. Долов М. В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвёртой степени с вырожденной бесконечностью.
II // Вестник ННГУ. 2011. № 1. С. 139−148.
15. Долов М. В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвёртой степени с вырожденной бесконечностью.
III // Вестник ННГУ. 2011. № 2. С. 123−129.
16. Латипов Х. Р., Косс М. Ш. Об интегральных прямых одного дифференциального уравнения // IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Качественные методы теории нелинейных колебаний. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1984. С. 219−222.
ON THE NUMBER OF LINEAR PARTIAL INTEGRALS OF POLYNOMIAL VECTOR FIELDS
M. V. Dolov, E. V. Kruglov
A polynomial vector field of degree n at least two is proved to have no more than 3n -1 different linear partial integrals, the estimate being accurate for second-, third- and fourth-order nonlinearities.
Keywords: algebraic integrability, polynomial vector fields, particular integrals, first integrals, differential equations.
References
1. Dolov M.V. O chisle algebraicheskih invariantnyh krivyh polinomial'-nyh vektornyh polej // Differencial'-nye uravnemya. 2004. T. 40. № 6. S. 838−839.
2. Dolov M.V., Bubnova I.V. Sistemy s linejnymi chastnymi integralami // Izvestiya RAEN, Differenc. uravneniya. 2006. № 11. S. 79−80.
3. Druzhkova T.A. Algebraicheskie differencial'-nye uravneniya s algebraicheskimi integralami. CH.1. Metod posobie. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2005. 36 s.
4. Dolov M.V. O tochnosti ocenki chisla algeb-raicheskih krivyh polinomial'-nyh vektornyh polej // Vestnik NNGU. 2013. № 2(1). S. 135−137.
5. Mironenko V.I. Linejnaya zavisimost'- funkcij vdol'- reshenij differencial'-nyh uravnenij. Mn: Izd-vo BGU, 1981. 103 s.
6. Druzhkova T.A. Differencial'-nye uravneniya s al-gebraicheskimi integralami. Dis… kand. fiz. -mat. nauk. Gor'-kij: GGU, 1975. 129 s.
7. Druzhkova T.A. Algebraicheskie differencial'-nye uravneniya s algebraicheskimi integralami. Ch. 2. Metod posobie. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2009. 30 s.
8. Lyubimova R.A. Ob odnom differencial'-nom uravnenii s integral'-nymi pryamymi // Differenc. i integral'-nye uravneniya. Mezhvuz. sb. Gor'-kij, GGU. 1977. S. 19−22.
9. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O chisle linejnyh chastnyh integralov polinomial'-nyh vektornyh polej s
vyrozhdennoj beskonechnost'-yu // Tez. dokl. Mezhduna-rodnoj konf. po differencial'-nym uravneniyam i dinami-cheskim sistemam, Suzdal'-, 2−7 iyulya 2010 g. S. 76−77.
10. Gursa Eh. Kurs matematicheskogo analiza. T. 2. M. -L., GTTI. 1936. 563 s.
11. Dolov M.V., Pavlyuk Yu.V. K voprosu ob alge-braicheskoj integriruemosti polinomial'-nyh vektornyh polej // Tr. SVMO. 2004. T. 6. № 1. S. 40−50.
12. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O chisle linej-nyh chastnyh integralov kubicheskoj sistemy, vyrozhdennoj na beskonechnosti // Tr. SVMO. 2007. T. 9. № 2. S. 6274.
13. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh cha-stnyh integralah polinomial'-nyh vektornyh polej chet-vyortoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'-yu. I // Vestnik NNGU. 2010. № 6. S. 132−137.
14. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh cha-stnyh integralah polinomial'-nyh vektornyh polej chet-vyortoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'-yu. II // Vestnik NNGU. 2011. № 1. S. 139−148.
15. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh cha-stnyh integralah polinomial'-nyh vektornyh polej chet-vyortoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'-yu. III // Vestnik NNGU. 2011. № 2. S. 123−129.
16. Latipov H.R., Koss M. SH. Ob integral'-nyh pryamyh odnogo differencial'-nogo uravneniya // IX Mezhdunar. konf. po nelinejnym kolebaniyam. Kachest-vennye metody teorii nelinejnyh kolebanij. T. 2. Kiev: Naukova dumka, 1984. S. 219−222.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой