Измерение вязкости жидкости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 534. 642:536. 641
В. M. Крячко, H. П. Тихомиров
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 1 (№ 4)
ИЗМЕРЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
В работе [1] описан метод определения вязкости жидкости по измеренному комплексному импедансу тонкого слоя жидкости, который является нагрузкой стержневого пьезорезонатора. Слой жидкости располагается между торцевой поверхностью пьезостержня и неподвижным основанием. Его импеданс и соответственно вязкость жидкости находятся из измерений комплексной электропроводимости пьезостержня. В настоящей статье подробно рассматривается ситуация, когда пьезостержень одной боковой гранью касается вязкой жидкости. Как отмечено в [2], в этом случае решение задачи имеет много общего со случаем, когда механическая нагрузка приложена к торцам пьезостержня. Потому из [2] воспользуемся общими для обоих случаев формулами, Зависимость от времени? выберем, как и в [2], в виде ехр (ш1). Электропроводность пьезостержня с нагрузками на торцах вычисляется по формуле
у ._ у ¦ у [е2Г'- ~ 1](2 + А±?2) + [в~2Г'- - 1](2 — ?1 — ?2) т
1 2 (1 + ?х){1 + ?г)е2П — (1 — - ?2)е~2Г1 '-
В (1) Е — модуль Юнга материала стержня, ?ц — пьезомодуль, 21 -длина стержня, 5 = Ъ Н — площадь поперечного сечения, Н — размер в направлении возбуждающего поля, и — круговая частота, Г = ?7 + /3 — постоянная распространения, 7 = ш/со, со — скорость звука в материале стержня, 21 = /ГЕБ, ?2 = гш^г/ГЯй'-,,2 — импедансы нагрузок на торцах стержня. Считаем, что пьезостержень поляризован по толщине.
В рассматриваемой задаче одна из боковых граней стержня по всей длине соприкасается с вязкой жидкостью. При продольных колебаниях стержня в жидкости возбуждаются вязкие волны, а со стороны жидкости действует тормозящая сила вязкого трения. Можно показать, что уравнение движения частиц пьезостержня в этом случае по виду совпадает с уравнением движения из задачи, когда стержень торцом нагружен на слой жидкости, изменяется только выражение для волнового числа: в последнем появляются члены, описывающие дисперсию и дополнительное поглощение.
Обозначим го удельный импеданс, определенный как отношение вязкого тангенциального напряжения к скорости жидкости на поверхности со знаком минус: го = -Тх/ух. Ось х направлена вдоль стержня, а ось у — от поверхности в глубь слоя жидкости. В жидкости будет возбуждаться только касательная к границе компонента скорости: ух (у). Тангенциальное напряжение Тх известным образом связано с градиентом скорости [3]. Если вязкость жидкости г] не зависит от координаты, то для искомого импеданса справедлива формула
_ 1 dvx Zo ~ ^MO)
(2)
у=о
Чтобы установить зависимость импеданса от параметров жидкости, необходимо решить уравнение для vx
д2Ух гирх
_ (3)
в котором pi — плотность жидкости. Решение уравнения (3), удовлетворяющее граничному условию на боковой поверхности и условию затухания, имеет вид
VX =ух (0)е (-^у), (4)
© В. М. Крячко, Н. П. Тихомиров, 2003
где & lt-5 — толщина вязкого пограничного слоя. С учетом определения (2) и формулы (4) приходим к выражению
Определим теперь постоянную распространения, отвечающую рассматриваемой задаче. Одномерное уравнение движения частиц пьезостержня с учетом силы вязкого трения со стороны жидкости
d2u dTx bZQ.
Здесь и — смещение частиц стержня, Тх — напряжение, bi — ширина грани, соприкасающейся с жидкостью, vx — скорость жидкости на поверхности стержня. При гармонической зависимости от времени уравнение (5) представим так:
d2u (и& gt-2р iu& gt-bzo
Оно по виду совпадает с уравнением движения частиц стержня, нагруженного со стороны торцов, изменился лишь квадрат волнового числа к2 (выражение в скобке). Поскольку в формуле (1) вместо волнового числа используется постоянная распространения Г = ik, запишем ее как Г = ?71 + ?i и приведем приближенные соотношения для компонент. В них новые компоненты постоянной распространения выражаются через составляющие импеданса zo = хо + iya следующим образом:
71
= + (6)
Соотношения (6) справедливы при условии 71 «/3. Слагаемое /3 в (6) учитывает внутренние потери в стержне.
Полученная аналитическая зависимость комплексной проводимости пьезостержня от вязкости жидкости, являющейся нагрузкой на одной из боковых граней, позволяет решать обратную задачу — находить вязкость жидкости по измеренной электропроводимости. Схема решения обратной задачи та же, что и при нагрузке стержня торцом на слой жидкости. Оценим точность измерения вязкости путем численного моделирования. При расчетах использовались такие исходные параметры пьезостержня и жидкости (глицерин): 21 = Ю-1 м, Ь = Я = Ьх = 10~2 м, со = 4120 м/с, Е = 1,222 ¦ 10й Н/м2, ?31 = -1,57 • КГ10 Кл/Н, езз = 1, 364 ¦ Ю-8 Ф/м, рх = 1259 кг/м3, /? = 0,001, т] = 0, 95 (Н-с)/м2. Стержень касается глицерина одной боковой гранью. На рис. 1 представлены зависимости модуля электропроводности пьезостержня от частоты в окрестности первого резонанса для свободного и нагруженного стержней. Нагрузки на торцах отсутствуют. Оказалось, что резонансная частота сместилась на небольшую величину — Д/о = 10 Гц, но заметно уменьшилась добротность системы: коэффициент потерь /З1 за счет боковой нагрузки стал в 15 раз больше, чем р.
При решении обратной задачи «экспериментальные» значения проводимости Уе пьезоре-зонатора рассчитывались по формуле (1) с добавлением к Уе на каждой частоте случайной добавки в пределах 10% в ту или иную сторону. Модули точной и псевдоэкспериментальной частотных зависимостей представлены на рис. 2. Путем минимизации невязки Д = |У — Уе| на фиксированной частоте находилась вязкость. На резонансной частоте вычислялась зависимость Д от вязкости г] в предполагаемом диапазоне вязкостей. На рис. 3 и 4 приведены зависимости модуля Д и модуля аргумента Д от вязкости. Видно, что они имеют выраженный минимум, который должен отвечать точному значению вязкости (в данном случае 77 = 0,95 (Н-с)/м2).
Методом Монте-Карло поиска глобального минимума определялось значение вязкости, отвечающее минимуму невязки отдельно по модулю и фазе. Статистика в этом процессе набиралась путем многократного включения генератора случайных чисел при формировании
171,0м& quot-'- 1
0,1 0,01
|у|, Iyj, Ом'-1 0,04
О
2,05 2,055 2,06 2,065 2,07
/¦ 10* Гц
Рис. 2. Модули точной (точки) и псевдоэкспериментальной (сплошная кривая) частотных зависимостей электропроводимости.
2,05 2,055 2,06 2,065 2,07
/• 104, Гц
Рис. 1. Зависимость модуля электропроводимости пьезостержня от частоты в окрестности первого резонанса для свободного (1) и нагруженного (2) стержней.
0,06 0,04 0,02 0

О 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
Л
Рис. 3. Зависимость модуля невязки от вязкости.
largAl
4
+ V

_i_i_
о 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
Л
Рис. 4- Зависимость модуля аргумента невязки от вязкости.
«экспериментальной» зависимости проводимости. В результате по 10 таким «измерениям» были получены следующие величины вязкости: минимизация модуля Д дает гц = 0, 96 ± 0,02, а минимизация модуля аргумента невязки — т?2 = 0, 97 ±0, 07. Здесь приведены средние арифметические значения и среднеквадратичные отклонения. Видно, что полученные значения вязкости неплохо согласуются с точным. Точность решения обратной задачи сильно зависит от выбора частоты, на которой осуществляется поиск вязкости. Как показал анализ, наилучшее приближение к истинному значению вязкости достигается на частоте максимума зависимости Уе (/). Даже небольшой уход от частоты максимума электропроводимости приводит к резкому возрастанию погрешности определения вязкости. В качестве иллюстрации к этому утверждению приведем г] = 0,92 ± 0,06,772 = 1,11 ± 0,14, полученные усреднением 10 значений на частотах вблизи частоты максимума. Частоты изменялись в пределах ±5 Гц около частоты максимума через 1 Гц. Видно, что найденные средние величины вязкости отстоят от истинного значения гораздо дальше, чем в приведенном выше случае, в несколько раз возросла также погрешность определения вязкости.
При другом способе обработки также при 10 включениях генератора случайных чисел определялась проводимость на резонансной частоте «экспериментальной» зависимости. Находилось среднее значение Ус и среднеквадратичное отклонение 5У. Вышеупомянутым способом получили три значения вязкости из трех невязок: ??Уе| - ?У|| и?? Уе| - |У| ± 5У. По ним рассчитывались среднее значение и среднеквадратичное отклонение. В результате имеем г) — 0, 99 ± 0,15. Видно, что найденное значение вязкости близко к точному, но погрешность
определения вязкости значительна. Установленная таким образом вязкость зависит от числа «измерений». При 20 измерениях т? = 0, 93±0,11. Среднее значение приблизилось к истинному, и уменьшилось среднеквадратичное отклонение.
Из приведенных оценок можно сделать вывод, что наибольшую точность определения вязкости дает минимизация модуля невязки на резонансной частоте с последующим усреднением результатов по нескольким измерениям.
Summary
Krjachko V.M., Tikhomirov N.P. Measurement viscosity of a liquid.
We have suggested a new method of measuring viscosity of a liquid using electroconductivity of piezobar. One of the sides of the piezobar contacts with the liquid. We have developed a formula for determining electroconductivity. The viscosity of a liquid is determined by solving an inverse problem. We have also analysed the precision of measuring viscosity.
Литература
1. Крячко B.M., Тихомиров Н. П. // Зав. лаборатория. Диагностика материалов. 1998. Т. 64, № 2. С. 33−36. 2. Крячко В. М., Тихомиров Н. П. // Акуст. журн. 1993. Т. 39, № 2. С. 377−380. 3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М., 1986.
Статья поступила в редакцию 20 мая 2002 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой