Применение комбинированной методики моделирования нестационарного температурного поля пластины от движущегося, нормально распределенного источника тепла

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК: 004. 681 ББК: 30. 2
Чирков А. Е., Салов А. Г.
ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНИРОВАННОЙ МЕТОДИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПЛАСТИНЫ ОТ ДВИЖУЩЕГОСЯ, НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
Artem E. Chirkov, Aleksey G. Salov
APPLICATION OF THE COMBINED METHOD OF MODELING OF THE NON-STATIONARY TEMPERATURE FIELD OF A PLATE IN THE CONDITIONS OF THE NORMALLY DISTRIBUTED MOVING SOURCE OF HEAT
Ключевые слова: расчет теплового поля, численное решение задачи теплопроводности, аналитическое решение задачи теплопроводности, формула Грина, алгоритм расчета теплового поля, быстрый расчет теплового поля, программа для расчета теплового поля.
Keywords: calculation of the temperature field, the numerical solution of the heat conduction problem, analytical solution of the heat conduction problem, Green'-s formula, algorithm of calculation of the temperature field, fast calculation of the temperature field, computer program for the modeling of thetemperature fields.
Аннотация: в работе продемонстрировано использование комбинированной методики моделирования нестационаного температурного поля пластины от движущегося нормально распределенного источника тепла. Данная методика сочетает в себе быстроту аналитических вычислений с возможностью применения в случаях, когда прямое аналитическое решение математически невозможно. На основе данной методики составлена компьютерная программа для моделирования температурных полей.
Abstract: this research paper demonstrates the application of the combined method of modeling of the non-stationarytemperature field of a platein the conditions of the normally distributed moving source of heat. This method combines fast analytical calculations with a possibility of application in cases when direct analytical solution is mathematically impossible. Based on this method there is made a computer program for modeling of the temperature fields.
Определение температурного поля, возникающего в процессе термической обработки какой-либо заготовки, является актуальным вопросом при расчете технологического процесса. От распределения тепла зависит размер и глубина закаленного слоя при поверхностной закалке, глубина и зона провара в сварке, от температурного поля зависят возникающие в любом тепловом процессе термические напряжения, которые оказывают существенное влияние на качество и надежность сварных швов, наплавленных и закаленных слоев.
Существуют различные методики расчета тепловых полей [1, 2]. Но все они разрабатывались достаточно давно, что наложило определенный отпечаток на сам подход к расчету. Ранее вычислительные возможности ЭВМ были не достаточно велики
даже для численных расчетов сложных интегралов, поэтому во все прошлые методики закладывались всевозможные упрощения, призванные максимально облегчить сам процесс расчета вплоть до его ручного исполнения. Современные подходы к моделированию тепловых полей с применением метода конечных элементов снова упираются в вычислительные возможности ЭВМ. В данной работе ставится цель объединить сильные стороны старых и новых подходов к моделированию тепловых полей, позволив рассчитывать температурные поля точнее старых методов и быстрее новых.
В данной работе предлагается оптимизировать некоторые методы моделирования для определения тепловых полей, применяя комбинированную методику решения [3].
Предлагается численным методом ре-
шать не само уравнение теплопроводности, а решение его в интегральном виде, полученное с помощью функции Грина.
По принципу наложения температура в момент времени t продолжающегося действия нормально-кругового подвижного источника q равна сумме температур dT от всех элементарных источников dQ (t'-), выделившихся за время от ^=0 до 1'-=1 действия источника на всем пути его перемещения.
Таким образом, решением уравнения теплопроводности для случая нагрева полубесконечного тела движущимся нормально распределенным источником тепла будет функция следующего вида [2]:
Т (х, у, гЛ) = С-
2 РМ'-
су (4лаа-('-))(4ла ((-('-+(0))
(х-У['-)2+уг г2 е ш ([-Со)) ,(1)
где:
T (x, y, z, t) — температура в точке (x-y-z) относительно начала координат в момент времени ^
t — время воздействия источника тепла- с — теплоемкость материала- у — плотность материала- a — температуропроводность материала- P — мощность источника тепла- ^ - постоянная времени, V — скорость движения источника тепла по оси X-
Т0 — начальное состояние теплового
поля.
Проблема определения температуры тела в конкретной точке по соотношению (1) заключается в решении численным методом интеграла, который аналитического решения не имеет.
Для численного решения интеграла преобразуем его, записав в виде:
= t + г0
а4 = 4 а
, (х-УЕ'-)2+у2 г2
Такая замена переменных позволит исключить одинаковые операции сложения и умножения в процессе многократного вычисления подынтегральной функции.
Наиболее распространённым методом численного решения таких функций является метод Симпсона.
Суть метода заключается в описании подынтегральной функции на заданном
участке интерполяционным многочленом второй степени. Для повышения точности численного интегрирования, лучше воспользоваться модификацией формулы Симпсона — формулой Котеса, которая имеет следующий вид:
?/ (х) йх " ?(/(х0) + + 4+ /(%)), (3)
где:
, Ъ-а
я =-- величина шага-
N
xk = a + к^ - узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона-
N — число разбиений.
С помощью соотношения (3) участок интегрирования разбивается на N частей, на каждом из которых применяется формула Симпсона.
Фактически подынтегральная функция на интегрируемом отрезке аппроксимируется N — параболами. Таким образом, на гладких функциях типа (2) требуемая точность достигается при наименьшем числе разбиений.
Подставляя формулу (2) в формулу (3), получаем итоговое уравнение для численного расчета теплового поля на ЭВМ
t1 = t + to
а4 = 4 а
7 (х, у,2,0=Го (х, у, г) (4)
/ (*-«'-п)2,+у2__*
2 Р I е + сг (4тш)3/26"1 — Г0)
— + 2

I-

ек-1+ек
ек-1+ек
+41е
к=1 К- + _ +
где:
(х-И'-д|)2+у2

/
T (x, y, z, t) — температура в точке (х-у^) относительно начала координат в момент времени ^
t — время-
с — теплоемкость материала- 2(2) у — плотность материала- a — температуропроводность материала- P — мощность источника тепла- 10 — постоянная времени- V — скорость движения источника тепла по оси X-
Т0(х, у^) — начальное состояние теплового поля в точке (х, у^) — х, у, z -координаты- N — число разбиений. Полученное соотношение (4) позволя-
ет достаточно быстро рассчитать распределение температуры по оси X (вдоль движения источника тепла). Блок-схема алгоритма реализации данного способа решения уравнения теплопроводности представлена на рисунке 1.
Представленный программный код вычисляет температуру в заданной точке в произвольный момент времени. Достаточная точность расчета достигается уже при
N=60. Время расчета составляет ~12 мкс на процессоре Intel Core i5 M460.
С использованием такого комбинированного метода расчета теплового поля было разработано программное обеспечение, позволяющее рассчитать температурное поле от точечного источника тепла, расположенного на поверхности материала. На рисунке 2 представлен общий интерфейс программы.
P*h*((exp (-(sqr (x)+sqr (y))/(a4*t1) -sqr (z)/(a4*t))/(sqrt (t)*t1))+2*sum 1+4*sum2+(exp (-(sqr (x-V*tt)+sqr (y))/(a4*(t1-tt)) — sqr (z)/(a4*(t-tt)))/(sqrt (t-tt)*(t1-tt))))/(3*c*gamma*sqrt (sqr (PI*a4)*PI*a4)) I
КОНЕЦ
Рисунок 1 — Блок-схема алгоритма решения задачи теплопроводности
Реализация данного алгоритма на Delphi выглядит следующим образом:
function IKoter (x, y, z, t: real- N: byte):real- var k: byte-
sum1, sum2,h, t1, tt: real- begin h:= t/N- t1:= t+t0- sum1:= 0- sum2:= 0- for k: =1 to N-1 do begin tt:= k*h-
sum1:= sum1 + exp (-(sqr (x-V*tt)+sqr (y))/(a4* (t1-tt)) —
sqr (z)/(a4*(t-tt))) / (sqrt (t-tt)*(t1 -tt)) — tt := (k-0. 5)*h-
sum2:= sum2 + exp (-(sqr (x-V*tt)+sqr (y))/(a4* (t1-tt)) —
sqr (z)/(a4*(t-tt))) / (sqrt (t-tt)*(t1-tt)) — end-
tt:= (N-0. 5)*h-
sum2:= sum2 + exp (-(sqr (x-V*tt)+sqr (y))/(a4* (t1-tt)) —
sqr (z)/(a4*(t-tt))) / (sqrt (t-tt)*(t1-tt)) — tt:= (N-0. 035)*h-
Result:= P*h*((exp (-(sqr (x)+sqr (y))/(a4*t1) —
sqr (z)/(a4*t))/
(sqrt (t)*t1))+2*sum 1+4* sum2+(exp (-(sqr (x-V*tt)+sqr (y))/(a4*(t1 -tt)) — sqr (z)/(a4*(t-tt)))/ (sqrt (t-tt)*(t1-
tt))))/(3*c*gamma*sqrt (sqr (PI*a4)
*PI*a4)) —
end-
Поскольку программа была адаптирована для расчета тепловых полей в процессе лазерной обработки, в ней требуется задать соответствующие параметры лазерного излучения, воздействующего на материал с определенными теплофизическими свойствами, а так же параметры сетки разбиения расчетной зоны для использования численного метода.
После ввода всех параметров программа готова к началу расчета (рисунок 3), сам расчет начинается после нажатия кнопки х на панели инструментов.
Результаты расчета приводятся на графике в полярных координатах. При необходимости можно просмотреть численное значение каждого параметра в любой расчетной точке (рисунок 4).
Рисунок 2 — Интерфейс программы
Рисунок 3 — Программа готова к началу расчета
Рисунок 4 — Численные значения всех параметров в каждой расчетной точке
Г~ 3
¦¦¦и
/
и
?? ? ?
Рисунок 5 — Кнопки панели инструментов (создать | открыть, сохранить | свойства материала, параметры лазерного излучения, параметры сетки | расчет | численные значения переменных расчета)
Панель инструментов содержит следующие кнопки (рисунок 5):
Создать: сбрасывает текущий расчет и все значения переменных. Подготавливает
программу для следующего расчета.
Открыть: загружает из файла все значения переменных, все параметры, отображает на графике результат.
Сохранить: сохраняет все входные данные и результаты расчета в файл.
Свойства материала: открывает диалоговое окно, где можно изменить свойства материала.
Параметры лазерного излучения: открывает диалоговое окно, где можно изменить параметры лазерного излучения.
Параметры сетки: открывает диалоговое окно, где можно изменить параметры сетки разбиения
Расчет: если все входные данные вве-
дены корректно, запускает процесс расчета.
Численные значения переменных расчета: открывает диалоговое окно со значениями всех переменных в каждой расчетной точке.
Поскольку данное программное обеспечение позволяет рассчитать не только тепловое поле, но и термические напряжения, возникающие в процессе лазерной обработки, зона графического отображения результатов расчета отображает либо температуру, либо напряжения. Для каждого отображаемого параметра имеется два режима отображения: распределение параметра по поверхности материала (рисунок 6) и распределение по глубине (рисунок 7).
Рисунок 6 — Распределение исследуемого параметра по поверхности материала
Рисунок 7 — Распределение исследуемого параметра по глубине материала
(ось X -мм, ось У — °С)
Результат расчета температур, приве- нием параметров, приведенных в таблице 1. денный на рисунке 7, получен с использова-
Таблица 1 — Свойства материала
Свойства материала
Теплоемкость, Дж/(кг*К) 1052
Теплопроводность, Вт/(м*К) 1,38
Коэффициент температурного расширения, 1/К 0,54*10−6
Плотность, кг/м3 2201
Модуль упругости, МПа 215 000
Коэффициент Пуассона 0,26
Параметры лазерного излучения
Мощность, Вт 0,4
Длительность импульса, с 1
Коэффициент поглощения 1
Параметры сетки
Длина исследуемого радиуса, мм 1
Число разбиений по радиусу 100
Число разбиений по окружности 50
Время работы программы составило порядка 1 с, что подтверждает целесообразность использования комбинированного метода расчета теплового поля.
В данной программе комбинированный метод расчета применен к моделированию теплового поля от точечного стационарного источника тепла, но его вполне можно расширить и до более сложных случаев с движущимися распределенными источниками. Программа показывает возможность применения полученных данных в дальнейших расчетах термоупругих напряжений.
Выводы:
1. Предложен алгоритм решения задачи теплообмена от движущегося нормально распределенного источника тепла, позволяющий рассчитать трехмерное температурное поле с помощью персонального компьютера.
2. Данный алгоритм позволяет с высокой точностью и скоростью построить температурное поле в трехмерной пластине.
3. Такой подход позволяет использовать данную методику моделирования теплового поля не только в задачах определения температур, но и для дальнейшего использования полученных решений в расчетах термоупругих напряжений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967.
2. Рыкалин, Н. Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. — М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительных технологий, 1951.
3. Чирков, А.Е., Салов, А. Г. Численное решение задачи теплопроводности в твердых телах от движущегося нормально распределенного источника тепла // Сб.: & quot-Передовые научные разработки& quot-, т. 10. Математика. Физика. Современные информационные технологии. VIII межд. науч. конф. — Прага, 2012. — с. 7−13
Вестник Волжского университета имени В. Н. Татищева № 2 (21)

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой