О действии мультипликативной группы ненулевых вещественных чисел на пунктированном пространстве Лобачевского

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 154, кн. 4 Физико-математические пауки
2012
УДК 515. 124. 4
О ДЕЙСТВИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ГРУППЫ НЕНУЛЕВЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ НА ПУНКТИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
Е.Н. Сосов
Аннотация
Рассмотрено пунктированное пространство Лобачевского Л в модели Вельтрами-Клейна. Получена явная формула для действия мультипликативной группы ненулевых
Л
тетиями па пупктроваппом евклидовом пространстве.
Ключевые слова: пространство Лобачевского, модель Вельтрами Клейна, мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
Введение
Пусть Е — евклидово пространство размерностн больше 1 над полем вещественных чисел R, B (0,1) — открытый ш ар в Е радиус, а 1 с центром в фиксирован-O
векторами, например, точка О задается нулевым радиусом-вектором 0. Рассмотрим модель Бельтрами Клейна пространства Лобачевского [1 3]. В этой модели л-точка есть точка в Л = B (0,1), л-ирямая есть хорда в Л, а расстояние между л-точками, заданными своими радиусами-векторами x, у Є Л относительно
O
p (x, y)= к Arch, ('у), (1)
к (x, y)
торов x, y и x2 — скалярный квадрат радиуса-вектора x [3, с. 5].
Пусть, А Є R, p, x Є Л. Определим точку Аp (x) Є Л с помощью следующих трех условий [4 6].
1 P (P, Аp (x)) = Hp (p, x) —
2. При x = p, А & gt- 0 точки x, Аp (x) лежат та л-прямой P (p, x), проходящей
p x p
3. При x = p, А & lt- 0 точки x, Аp (x) лежат па л-прямой P (p, x) по разные
p
Отображение
x ^ Аp (x),
А
ствие мультипликативной группы ненулевых вещественных чисел на пунктирован-
p Є Л
Нетрудно проверить, что при, А = 1 точка Ар (х) делит ориентированный л-от-резок [р, х] с началом в точке р и концом в точке х в отношении А: (1 — А) [5, 6]. Отметим также следующие элементарные свойства отображения Ар.
А Для всех р, х, у € X, А М ^ К имеют место равенства
АхЫ = (1 — А) у (х), Р (Ар (х), Мр (х)) = |А — М|Р (Р, х).
В. Для всех х, у? X, А € К{ - 1}, м € К имеет место равенство
Мх (у) = (М + А (М — 1))^ Ы,
где точка
А, А (у)
А + 1
делит ориентированный л-отрезок [х, у] в отношении, А [5], [6, с. 79].
Напомним, что в модели Бельтрами Клейиа произвольное движение есть ограничение на открытый шар Л проективного преобразования евклидова пространства, сохраняющего Л [3, с. 7]. Это движение / можно представить в виде
/ = да о и,
где и — ортогональное преобразование евклидова пространства Е с фиксированной точкой О, суженное на шар Л, а да — параллельный перенос в модели Бельтрами -Клейна из точки О вдоль направленного л-отрезка, определенного вектором а, такого, что 0 & lt- |а| & lt- 1 [3, с. 7].
да
((а, х) + а2) а + (а2х — (а, х) а)/1 — а2 д. :Л — Л, И,(х) =--------------а2(1 + (а, х))-------------'-
Параллельный перенос используется, например, в специальной теории относительности для интерпретации закона преобразования скорости частицы или закона сложения скоростей [7], [8, с. 10 12]. Это преобразование можно представить и в такой форме [4], [9, с. 44]
9. (х) = (-1)(1)0(а) ° (-1)0(х).
Хорошо известно, что в евклидовом пространстве группа всех движений является собственной подгруппой группы всех подобий, а в пространстве Лобачевского эти группы совпадают. Но группу всех движений пространства Лобачевского можно расширить, образовав конечные композиции движений с преобразованиями Ар, когда точка р пробегает Л и, А & gt- 0. Получится сложная и недостаточно изученная группа преобразований. Ясно, что для изучения этой группы желательно иметь
Ар
1. Основной результат Ар
общем случае геометрии Гильберта [5]. Там же доказано [6, с. 84], что это преобразование уменьшает расстояния при 0 & lt- А & lt- 1 и, следовательно, увеличивает расстояния при, А & gt- 1. Но преобразование Ар упростить в случае геометрии Ло-
Ар
состоит в использовании представления [9, с. 25]
Ар — др о А0 о д-р
с учетом того, что
А0(х) = х сШ Ь Ш (АЬ),
где Ь = р (0,х)/к, х € Л [5], [6, с. 86]. Такой способ приводит к очень большим вычислениям и нетривиальным преобразованиям. В модели Бельтрами Клейиа более простой способ нахождения преобразования Ар реализован нами в следующей теореме.
Теорема. Пусть, А € К р, х € Л. Тогда имеет место следующая формула
р сИ, а эИ ((1 — А) с) + х сИ Ь э^Ас)
р сИ, а эИ ((1 — А) с) + сИ Ь эИ (Ас) '
где, а = р (0, р)/к, Ь = р (0, х)/к, с = р (р, х)/к.
Доказательство. Из определения точки Ар (х) следует, что ее радиус-вектор можно искать в виде
Ар (х) = р + м (х — р),
где м € К- Подставим правую часть этого равенства в условие 1 и используем формулу (1) для расстояния. Тогда получим следующее уравнение относительно м:
1 — (р, р + ,(х-р)) = сЬ (Лс).
/1 — р2^ 1 — (р + М (х — р))2
Возведя обе части в квадрат и используя основное гиперболическое тождество, получим
((р, х-р)2+сИ2(Ас)(1-р2)(х-р)2)^2 +2^(1-р2)(р, х-р) 8И2(Ас) -(1-р2)2 вИ2(Ас) = 0. Найдем корни этого квадратного уравнения:
— (1 — р2)(р, х — р) вИ2(Ас) ± %/Д
М1,2 =
(р, х — р)2 + сИ (Ас)(1 — р2)(х — р)2 '-
где Д = (1-р2)2(р, х-р)2 вЬ4(Ас)+((р, х-р)2 +сИ2(Ас)(1-р2)(х-р)2)(1-р2)2 вИ2(Ас). Нспользуя основное гиперболическое тождество, упростим числитель
(1 — р2) (|А|с)(- (р, х — р) вИ (|А|с) ± сИ (Ас)^(р, х — р)2 + (1 — р2)(х — р)2).
Теперь нетрудно упростить формулу для корней
(1 — р2) вЬ (|А|с)
М1, 2 — -----------------------------. -
(р, х — р) (| А|с) ± сИ (Ас) у (р, х — р)2 + (1 — р2)(х — р)2
=________________________________(1 — р2) эЬ (|А|с)______________________________=
(1 — р2 — (1 — (р, х))) вИ (|А|с) ± сИ (Ас)^(1 — (р, х))2 + (1 — р2)(1 — х2)
сИ -2 авИ (|А|с)
(сИ -2 а — сИ -1 асИ -1 ЬсИ с) вИ (|А|с) ± сИ (Ас)/сИ -2 асИ -2 ЬсИ2 с + сИ -2 асИ -2 Ь
сИ Ь (| А | с)
сИ Ь эИ (|А|с) + сИ а (- сИ свИ (|А|с) ± сИ (Ас) с)
сИ Ь | А|с)
сИ Ь эИ (| А|с) + сИ, а эИ ((±1 — |А|)с)
.
Если, А =1,то я =1 ив этом случае в формуле (2) должен быть верхний знак. Если, А = - 1 и p = 0, то я = - 1, a = 0, c = b ив формуле (2) необходимо использовать нижний знак. Теперь нетрудно понять, что в формуле (2) верхний знак должен быть при, А & gt- 0, а нижний знак — при, А & lt- 0. Следовательно, получим формулу
ch b sh (Ac)
Я ch b sh (Ac) + ch a sh ((1 — A) c)
Таким образом, теорема доказана. ?
p
x? Л _______
/1 p ch a + x ch b p/1 — x2 + xJ 1 — p2
p x ch a + ch b V1 — x2 + -/1 — p2 '
где a = p (0,p)/fc, b = p (0,x)/k [3, 5, 6]. Эту формулу можно применить, например, для нахождения радиуса-вектора r точки пересечения трех медиан треугольника через радиусы-векторы вершин треугольника p, x и у [3, с. 13]
= p ch (p (0,p)/k) + x ch (p (0,x)/k) + у ch (p (0, y)/k)
Г ch (p (0, p)/k) + ch (p (0, x)/k) + ch (p (0, y)/k) '-
Отметим, что отображение 2o: B (0,1) ^ B (0,1) является изометрией модели Пуанкаре в шаре на модель Бельтрами Клейна пространства Лобачевского в том же шаре [3, с. 18].
Summary
E.N. Susuv. Он t. lie Action of tlie Multiplicative Group of Nonzero Real Numbers on the Pointed Lobachevsky Space.
We consider the pointed Lobachevsky space Л. In terms of the Beltrami-Klein model, we obtain an explicit expression for the action of the multiplicative group of nonzero real numbers on the space Л. This action is analogous to that of this group on the pointed Euclidean space.
Key words: Lobachevsky space. Beltrami Klein model, multiplicative group of nonzero real numbers.
Литература
1. Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. М.: Наука, 1983.
80 с.
2. Нут Ю. Ю. Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении. М.: Изд-во АН
СССР, 1961. 311 с.
3. Cocoa Е. Н. Геометрия Лобачевского и её применение в специальной теории относительности. Часть 1. Геометрия Лобачевского. Казань: Казан, уп-т, 2012. 38 с.
4. Сабинин Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233, Л" 5. С. 800 803.
5. Cocoa Е. Н. Об одном одуле в геометрии Гильберта // Изв. вузов. Матем. 1995.
5. С. 78 82.
6. Susuv E.N. Geometries of convex and finite sets of geodesic spaces. arXiv: 1011. 6191 vl
[math. MG]. 2010. 256 p.
7. Сабинин Л. В., Muxcca П.О. О законе сложения скоростей в специальной теории относительности // Усп. матем. паук. 1993. Т. 48, Л'-! 5(293). С. 183 184.
8. Сосоо Е. Н. Геометрия Лобачевского и её примепепие в специальной теории отно-
сительности. Часть 2. Примепепие геометрии Лобачевского в специальной теории относительности. Казань: Казан, уп-т. 2012. 32 с.
9. Матвеев О. А., Нестеренко Е. Л. Универсальные алгебры в теории пространств аффинной связности, близких к симметрическим. М.: Изд-во МГОУ, 2012. 132 с.
Поступила в редакцию 02. 11. 12
Сосов Евгений Николаевич доктор физико-математических паук, доцепт кафедры геометрии Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаП: Evgenii. SusuvQksu. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой