О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 534. 26
Л. А. Толоконников, д-р физ. -мат. наук, проф., (4872) 41 -33−11, tol-la@tula. net (Россия, Тула, ТулГУ),
Ю. М. Филатова, асп., (4872) 33−36−96, yumff@mail. ru (Россия, Тула, ТулГУ)
О ДИФРАКЦИИ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА УПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕКОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ
Получено строгое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической цилиндрической полостью.
Ключевые слова: звуковая волна, упругий цилиндр, дифращия звука, идеальная жидкость.
Дифракция звуковых волн на упругих сплошных цилиндрах и цилиндрических оболочках исследовалась во многих работах [1−6]. Причем при решении задач дифракции звука на цилиндрических оболочках, как правило, использовалась теория оболочек в предположении, что оболочки являются тонкими. Ряд работ посвящен решению задач дифракции звуковых волн на упругих цилиндрических оболочках произвольной толщины, т. е. на полых цилиндрах [7,8]. При этом полагалось, что цилиндры имеют концентрические цилиндрические полости. В настоящей работе рассматривается дифракция плоской волны на упругом цилиндре с произвольно расположенной цилиндрической полостью.
Рассмотрим бесконечный изотропный однородный упругий цилиндр с внешним радиусом Ri, имеющий произвольно расположенную цилиндрическую полость с радиусом R2. Оси цилиндра и полости являются параллельными.
Будем считать, что окружающая цилиндр и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности pi, P2 и скорости звука с, с2 соответственно.
Свяжем с цилиндрическим телом и его полостью прямоугольные системы координат xi, yi, zi и x2, У2,z2 таким образом, чтобы ось zi совпадала с осью цилиндра, а ось z2 — с осью полости.
Пусть из внешнего пространства на упруги цилиндр, имеющий плотность р и упругие постоянные X, д, вдоль оси xi падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой
j =Aj exp[i (kixi -G)t)],
7 ю
где Aj — амплитуда волны- ki = - - волновое число во внешней среде-
ci
ю — круговая частота- t — время.
В дальнейшем временной множитель ебудем опускать.
Определим отраженную от цилиндра и возбужденную в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом цилиндре.
Для решения задачи введем цилиндрические системы координат П, Ф1, г и Г2, Ф2,г2, связанные с цилиндром и его полостью соответственно.
В системе координат т, Ф1, г потенциал скоростей падающей волны Т = АI ехр^'-к^соБФ1) может быть представлен в виде [9]
О
Т = А (1 Ут& lt-Ф, (1)
П =-00
где Зп — цилиндрическая функция Бесселя порядка п.
В установившемся режиме колебаний задача определения акустических полей вне цилиндра и внутри его полости заключается в нахождении решений уравнения Гельмгольца [10]
ДЧ, + *12Ч1 = 0- (2)
Д2 + ?2 Ч2 = 0, (3)
где Ч — потенциал скоростей полного акустического поля во внешней среде-2 — потенциал скоростей акустического пол в полости цилиндра-, ю
?2 =-----волновое число жидкости в полости цилиндра.
с2
В силу линейной постановки задачи
4 = 4 + 4, (4)
где Ту — потенциал скоростей рассеянной звуковой волны.
Тогда из (2) получаем уравнение для нахождения:
ДЧу + к2 Т =0. (5)
Уравнения (5) и (3) запишем в цилиндрических системах координат П, Ф1, zl и Г2, Ф2,г2 соответственно.
Отраженная волна должна удовлетворять условиям изучения
на бесконечности [10], а звуковая волна в полости цилиндра 4*2 — условию о грант енности.
Поэтому потенциалы и будем искать в виде
0
Чу = XАпНп (1)е'-ПФ1- (6)
п =-00 0
42 = ХВ"Нп (?2Г2)е, пФ2, (7)
п = -00
где Нп — цилиндрическая функци Ханкеля первого рода порядка п.
Скорости частиц жидкости и акустические давления вне (= 1) и внутри (= 2) цилиндра определяются по следующим формулам соответственно:
Vj = gradТу- pj ='-руюТу (= 1,2). (8)
Распространение малых возмущений в упругом теле для установившегося режима движения частиц тела описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [10]:
ДЧ + к|т = 0- (9)
ДФ + ?4 Ф = 0, (10)
где ?3 и ?4 — волновые чела продольных и поперечных упругих волн со-
ответственно- Т и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения соответственно.
При этом вектор смещения и представляется в виде:
и = grad Т + го1 Ф. (11)
Волновые поля в упругом теле, как и акустические поля, не завися от координаты 2. Причем
Ф = ф (г, Ф) е2, (12)
где е2 — орт координатной оси 2.
Тогда векторное уравнение (10) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф (г, ф):
ДФ + ?2ф = 0 (13)
Уравнения (9) и (11) запишем в основной ?1, Ф1,21 и в дополнительной Г2, Ф2,22 системах координат.
Поле продольных волн будем искать в виде
Т = Т (1) + Т (2), (14)
а поле поперечных волн — в виде
Ф = Ф (1) + Ф (2), (15)
где
'-(1) = ХСЛ (?31)пФ1- Ф (1) = ХЕ^п (?41)еШФ1-
п= -о п= -о
о о
(16)
Т (2) = ХОЛ (?312 У& quot-Ф2- Ф (2) = (?412 У& quot-Ф2
п=-о п=-о
Коэффициенты разложений Ап, Вп, Сп, Оп, Еп, Еп подлежат определению из Граниных условий, которые заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях полого цилиндра- равенстве на них нормального
напряжения и акустического давления- отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:
при г = Щ — тиг = уг- агг = -р- агф = 0-
при г2 = Щ2 — Шг = у2г- агг = -2- агф = °
(17)
ат
где V г =
7
радиальная компонента скорости частиц в / -й жидкости
7 г дг
(7 =1,2).
В цилиндрической системе координат компоненты тензора напряжений выражаются через компоненты вектора смещения еле дующим образом [10]:
агг = (+ 2і)ддг + X дг
1 ди
ф иг
г дф г
а
При этом
и
ат 1 ао
¦+
1 диг дф иф
г аф дг г у
1 ат ао
(18)
и
иг =°.
л ^ ^ ф ^ ^ ()
дг г аф ^ г аф дг
Подставим в граничные условия раложения (6), (7) и (16) и воспользуемся теоремами сложения для цилиндрических волновых функций [9]:
/ '- О /
Нп (р)еШфр = ЕНп-т (()т ()
І(п-т) фрд +ітф
'-д.
т =-оо о
Уп (р)іпфр = ЕЛ,-т (к/)т (*гд)і(п ~т) фрд +ітф-
т=-оо
р, д = 1,2,
где / - расстояние между осями ?1 иг 2- фрд — полярный угол начаа д -й системы координат в р -й системе.
В результате приходим к бесконечной системе уравнений относительно неизвестных Ап, Вп, Сп, Вп, Еп, Гп:
Екі) 4, + Р (і) Вп + •/°С, + 11(І) Оп + т (,) Е" + а (і& gt- ^)= /(і),
п =-00 і = 1,2,…, 6,
где а
1
пт
& amp-птк1Нт (к1Щ1) — Р^гт _ °- Упт = -nmi®k3J т (к3Щ1X
1 = k X • 1 _5 «m т (k R) 1 «m
nnm = i» k3 Xmn3- Tnm ~5nm r& gt- J mk4Rl) — G
R
nm
R
Xmn4-
fm k1 4mJm (k1R1) anm 5nmi p1 «Hm (k1R1) ?nm 0- fm 0-
«2 Л
У nm = 2 ^5
nm
V Ri J
2
Jm (k3R1) + k3 Jm (k3 R1) R1
2m ak3 —
k
З
2 = 2^im я
Tnm = n 5nm
V & quot-"-І У
I
Xmn3+ «Xmn3 R1
R
1
R
Jm (k4 R1)
V Ri
k4 J^ (k 4 R1)
2 =2^im A
— Gnm =
У
R
1
Xmn4
Ri
k4 Xmn 4
ЗЗЗ anm = 0- ?nm = 0- Ynm =
5M™ im
'-nm
R1
k 3Jm (k 3R1) —
Jm (k3R1)
R1
З im 4nm = -T~ R1
k3 ~mn3'-
Xmn3
Ri
— T =5
nm nm
22 k4 m
T- R2 J
k
Jm (k4R1) + r, J^ (k4R1) R1
G
nm
22 k4 m
2
R1
X k4X'- - f 3 =
Xmn4 + n Xmn4- fm = 0- R1
anm 0- ?nm 5nmk2Jm (k2R2) Y"m i» k3Xmn3- fm 0-
nwm = 5nmi» k3Hm (k 3R2) T
4
nm
4
Xmn4- Gnm = 5nm
m
Hm (k4 R2) —
anm = 0- ?nm = 5nmi p2» Jm (k2 R2) — fm = 0-
Y
nm
2
2m
ak
V
3 2
R22
k3 '-
Xmn3+ n Xmn3 R2
nnm _ 2 ^5
nm
2m ak3 — -- R
2
k
Hm (k3 R2)+ «Hm (k3 R2)
2J
R
Tnm =
R2
Xmn4
Ri
k4 Xmn4
5 2 H5//mim Hm (k4R2) — k^H '- (k4^)
R1 V R1
— Gnm =
а
nm
0- ?^?m _ 0- Ynm
im
k 3 Xmn3
Xmn3
R-2
П = =пт іт 1пт ~
Я
2
кзНт (к3"2) — Нт ^Х
'-к?
тпт =
т
Я
4 '-.
Хшп4 + Т- Хшп 4-
Я1
— X ®пт = Опт
(к±
2
т
Я2
Нт (4 Я2)+к4 Нт (4 Я2 Є
Я1
• /6 «О'-
т
Хтпв Уп -т (вЩ)е
і(п-т)ф
рд
Нт (вЯ1) — а 1 +
2
р& lt-д н» ((Я])
Хтп5 = Уп-т (вЯ) & quot- _Ш)ф
Уп-т (кЩ){т-)фр, 1 т (Я) —
X
тпв
Хтт =Уп-тМ) (Ш& quot-п)фдрУтМ2), в = 3,4.
Для регуляризации бесконечной системы линейных уравнений (20) выполним замену неизвестных по формулам [9]
Ап = АпУ п (1Я1Х Вп = ВпУп (3 Я2)& gt-
Вп = ВпУп (к2 Я2 Х Еп = ЕпУп (к4 Я1Х
Сп = СпУп (3 Я1Є- Рп = РпУп (к4Я2)•
В результате получена система может быть рарешена методом
усечения [11].
Рассмотрим даьнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу при к^ & gt->- 1
______ /, лп л
^ і| кщ —
Нп (к1г1Х
К
2
24
из выражения (6) находим
Я1
2 г
ехр
Лп
к1П
л
4
где
Р (ф1 Є =
2
о
Е (-& lt- УЧе
іпф1
л1^к1 Я1 п =-оо
С помощью выражения для амплетуды рассеяния в дальней зоне поля (ф1) строится диаграмма направленности рассеянного поля.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (№ 2 проекта
09 -01−97 504-Р-центр).
Список литературы
1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. Vol. 23. № 4. P. 405−420.
2. Лямшев Л. М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. Выр. 1. С. 58−63.
3. Лямшев Л. М. Дифракция звука да бесконечной тонкой цилиндрической оболочке // Акустический журда. 1958. Т. 4. Выр. 2. С. 161−167.
4. Шендеров Е. Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акустический журна. 1963. Т. 9. Вып. 2. С. 222−230.
5. Lee F.A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. V. 13. № 3. P. 26−31.
6. Borovikov V.A., Veksler N.D. Scattering of sound wave by smooth convex elastic cylindrical shell // Wave motion. 1985. V. 7. P. 143−152.
7. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн традсверсаьдо-изотропдым неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. Вып. 1. С. 134−138.
8. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн да неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонда техника. 1998. № 2 4−5. С. 11−14.
9. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн да двух телах. Минск.: Наука и техника. 1968. 584 с.
10. Шен деров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение. 1972. 348 с.
11. Кадтооович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анаиза. М.: Физматгиз. 1962. 708 с.
L. Tolokonnikov, Yu. Filatova
About diffraction of a plane sound wave by an elastic cylinder with inconcentric cavity
In this paper strict solution of problem of diffraction of a plane sound wave by an elastic cylinder with inconcentric cavity is obtained.
Получено 19. 01. 09

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой