Один подход к задаче оценки параметров динамической системы в условиях неопределенности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Сер. 10. 2012. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 539.3 В. В. Карелин
ОДИН ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Исследование динамики любых реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений с однозначной правой частью соответствует идеальной модели, которая не учитывает воздействия случайных помех, ошибок измерений при задании коэффициентов, погрешностей при задании функций, входящих в правые части дифференциальных уравнений. Учет случайных факторов при известных вероятностных характеристиках модели осуществляется с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Дифференциальные включения, являясь естественным обобщением дифференциальных уравнений, позволяют описывать динамику недетерминированных процессов, не используя вероятностных характеристик модели, что во многих случаях позволяет избежать априорных предположений относительно этих характеристик. Исследование модели с использованием аппарата дифференциальных включений дает возможность непосредственно оценить сверху все результаты вероятностных моделей. В данном случае соответствующее описание достигается, например, с помощью соотношений вида
x (t) е f (t, x (t)) + eSi (0),
где Si (0) — единичный шар с центром в 0.
Постановка задачи. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
X = f (t, x (t), ш), 0 & lt- t & lt- T. (1)
Начальные условия x (to) и возмущения ш в системе заранее не известны. Для них заданы лишь априорные ограничения — допустимые области их изменения, x (0) е Xo и ш е Ф. При этом предполагается, что известна некоторая функция координат x (t)
y (t) = x (t)+9, 9 е е. (2)
Измерения производятся на отрезке времени [0, T]. С этой системой тесно связано множество Xt, оно содержит все решения системы (2) в момент времени t. В частности, если система (2) имеет вид y (t) = x (t), то множество Xt состоит из одного элемента.
Тогда можно поставить задачу об определении вектора x (to) и возмущения ш по данным измерения функции y (t).
Карелин Владимир Витальевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 60. Научное направление: идентификация систем управления. E-mail: vlkarelin@mail. ru.
© В. В. Карелин, 2012
Для решения этой задачи используем аппарат метода максимума Понтрягина. Многозначные отображения. В общем случае, если пара (x (t), w) задает траекторию системы (1), то траектория x (t) является решением дифференциального включения
x е F (t, x, Ф), (3)
где F (t, x, Ф) = {f (t, x (t), w): w е Ф} - многозначное отображение.
Под многозначным отображением будем понимать произвольную функцию
F: E1 -> u (En),
аргументом которой является время t е E1, а значениями — элементы пространства u (En), т. е. непустые компактные множества из пространства En. Так как все рассматриваемые пространства метрические, то можно говорить о непрерывности многозначного отображения. Многозначное отображение F (t) непрерывно в точке to, если Уе & gt- 0 3S & gt- 0 такое, что
h (F (t), F (to)) ^ 0,
как только t — to| ^ 0, где h (F (t), F (t0)) — хаусдорфово расстояние между двумя множествами. Другими словами, многозначное отображение F (t) непрерывно в точке to, если Уе & gt- 0 3S & gt- 0 такое, что при Vt — to ^ S выполняются одновременно:
F (t) с F (to) + SE (0), F (to) С F (t) + SE (0).
Многозначное отображение считается непрерывным, если оно непрерывно в V to е E1.
Функция f: E1 ^ En называется однозначной ветвью многозначного отображения F: E1 -& gt- Q (En), если при Vt е E1 выполняется включение f (t) е F (t).
Важную роль в исследовании многозначных отображений играют опорные функции [1]. Опорной функцией множества F е il (EN) называется скалярная функция c (F, ф) векторного аргумента ф е En, определяемая условием
с (Ъф)=тах (Ъф), (4)
ФeF
где {f, ф) — скалярное произведение векторов f = f 1,…, fn и ф = ф1,…, ф'-а, задан-
n
ное формулой, ф) = 5^ fгфг. Множество F является аргументом опорной функции
i=1
c (F, ф). Функция (4) как функция аргумента ф при фиксированном множестве F отображает пространство En в числовую ось E1: c (F, ¦): En ^ E1.
Пусть ф0 — некоторый фиксированный вектор, а f0 — один из векторов множества F, для которого выполняется равенство
{fo, Фo) = max{f, Фo) = c (F, фo). (5)
¦ eF
Вектор ф0 называется опорным вектором к множеству F в точке f0, а совокупность №(F, фo) всех векторов fo е F, удовлетворяющих равенству (5), — опорным множеством к множеству F в направлении вектора фo. Гиперплоскость, ф0 в пространстве En, определяемая соотношением
%ф0 = {x е En: {x, i^o) = {fo, фф)},
называется опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении вектора фo. Для опорного множества) справедливо представление
ЩР, фо) = Р.
Если фо е т. е. вектор фо имеет единичную длину, то величина с (Р, фо) = (/о, фо) есть расстояние от начала координат до гиперплоскости, взятое с соответствующим знаком.
Интегралом от отображения Р (Ь) на отрезке времени [0, Т] называется [2] множество
т (т
С = ?'- Р (Ь)А = (/(Ь)Л: /(ь) е Р (Ь). (6)
В правой части (6) интеграл Лебега берется по всем однозначным ветвям /(Ь) отображения Р (Ь), для которых он существует. Интересно следующее свойство интеграла.
Теорема 1 [2]. Пусть многозначное отображение Р (Ь) измеримо и удовлетворяет оценке |Р (Ь) ^ к (Ь), где к (Ь) — скалярная функция, интегрируемая на отрезке [0, Т]. Тогда имеет место равенство
с I У Р (Ь)А, ф = ! с (Р (Ь), ф) йЬ.
т
с (

Следствие. Справедливо равенство
т т
Р (Ь)йЬ = J соР (Ь)А.
Здесь |Р (Ь) = тах \/1| - модуль множества Р.
/ ^р
Теорема позволяет упростить процесс интегрирования многозначных отображений. Для этого строим опорную функцию с (Р (Ь), ф), интегрируем однозначную функцию с (Р (Ь), ф) по Ь при каждом значении ф, а затем восстановим по полученной опорной функции с (С, ф) непустое выпуклое множество С.
Рассмотрим произвольное множество М С В& quot-. Вектор? е В& quot- называется касательным направлением к множеству М, если существует такое отображение
х (е, ?): [0,1] х В& quot- ^ М,
что справедливо представление
х (е,?) = хо + + о (е,?).
Совокупность всех касательных направлений в точке хо е М является конусом Т (М, хо).
Множество достижимости. Множеством достижимости X (Ь) в момент времени Ь назовем множество всех точек, в которые можно перейти на отрезке времени [0, Ь] из всех возможных точек начального множества Хо по решениям дифференциальной системы (1) при всех возможных значениях т.
Множество достижимости X (Ь) непрерывно зависит от параметра Ь, т. е. многозначное отображение X (¦): I ^ И (Е& quot-) непрерывно в метрике Хаусдорфа.
Рассмотрим еще одно множество — множество измеримости У (Ь), оно в Ш € [0,Т] содержит все точки фазового пространства, из которых можно перейти на множество Хг по решениям системы (1) в момент времени Ь при Шш € Ф. Сформулируем задачу следующим образом.
Задача. Пусть заданы множество начальных состояний Х0 и множество конечных состояний Хг. Среди всех решений дифференциального включения (3), осуществляющих переход из множества Х0 в множество Хг, найти такое, для которого время перехода минимально.
Будем предполагать, что на правую часть дифференциального включения (3) наложены дополнительные условия.
1. Многозначное отображение Е (Ь, х) удовлетворяет неравенству
а (Е (Ь, х), Е (Ь, х2)) & lt- к (Ь)х1 — х^,
где к (Ь) — непрерывная функция, а а (А, В) — хаусдорфово расстояние между двумя множествами А, В.
2. Опорная функция с (Е (Ь, х)) непрерывно дифференцируема по х и существует такая непрерывная скалярная функция к (Ь, х), что для Шф, Ф2 выполняется неравенство
дс (Е (Ь, х) ф) дс (Е (Ь, х), ф2)

дх дх
& lt- к1 (Ь, х) ф1 — Ф2.
Тогда можно сформулировать теорему.
Теорема 2 [3]. Пусть х (?) — оптимальное решение дифференциального включения (3), которое осуществляет переход из множества начальных состояний Х0 в множество конечных состояний Х на отрезке времени [0, Т]. Предположим, что множество Х0 локально-выпукло в точке х (0) € Х0, а множество Х локально-выпукло в точке х € Х. Тогда существует такое нетривиальное решение ф (?) дифференциального уравнения
дх
которое называется сопряженным, что выполнены следующие условия:
1) условие максимума
хф (г) = с (Е (г, х (г)), ф (г))
выполняется для почти всех Ь € [0, Т]-
2) условие трансверсальности на множестве Х0
с (Т (Хо, х (0)), ф (0))=0- (7)
3) условие трансверсальности на множестве Х
с (т (Хих (г)), -ф (г))=0.
Более того, функция с (Е (Ь, х (Ь)), ф (Ь)) неотрицательна.
Геометрически условие трансверсальности на множестве Хо означает, что вектор ф (0) есть опорный вектор к конусу касательных направлений Т (Хо, х (0)). Если множество Хо выпукло, то условие (7) означает, что вектор ф (0) является опорным вектором к множеству Хо в точке х (0). Аналогичный смысл имеет условие трансверсальности на множестве Хг.
В качестве примера применения изложенной теории рассмотрим простейшую задачу идентификации — линейную задачу. Пусть рассматриваемый объект описывается
системой
X = Вх + т, (8)
у (Ь) = х (Ь)+в, (9)
ь е [0, Т], х (0) е Хо, т е Ф, в е в, (9)
где т — неизвестный вектор параметров. Задано начальное множество Хо е 0. (Е"-), по системе (9) вычисляем конечное множество XI е 0. (Е"-) для УЬ е (0,Т]. Множество достижимости имеет такой вид:
т
X (Ь) = e (t)AXо + I е (^АФсЬ
о
и является непустым компактным подмножеством фазового пространства Е& quot-, т. е.
Xt е П (Е& quot-).
Если множество Xо выпукло, то и X (Ь) тоже выпукло. Опорная функция множества достижимости
т
с (X (Ь), ф)= с^о, е (^А*ф)+ I с (Ф, в (& lt---з)А*ф)3,8.
о
Запишем множество наблюдаемости в виде
т
У (Ь) = e (t)AXt + I в^-°)А (-Ф)с18,
о
а его опорную функцию зададим формулой
т
с (У (Ь), ф)= c (Xt, e (¦t)A* ф) + I с (Ф, ф) сЬ.
о
Задача идентификации заключается в нахождении вектора параметров т, при котором изучаемый объект переводится из множества X0 в множество XI:.
Предположим, что эти два множества выпуклы, тогда необходимые условия оптимальности имеют следующий вид.
Теорема 3. Пусть известен вектор т, при котором решение х (Ь) уравнения (8) переводит объект из множества начальных состояний X0 в множество конечных состояний Xt на отрезке времени [0,Т]. Тогда пара т, х (Ь) удовлетворяет принципу максимума, если существует такое нетривиальное решение ф (Ь) дифференциального уравнения
ф = -А*ф, (10)
что выполнены следующие условия: 1) условие максимума
(т (Ь), ф (Ь)) = с (Ф, ф (Ь)) (11)
выполняется для почти всех Ь е [0, Т]-
2) условие трансверсальности на множестве X0
(х (0), ф (0)) = е (Хо, ф (0))-, (12)
3) условие трансверсальности на множестве Xt
x (t), -ф (г)) = c (Xt, -ФШ (13)
Сопряженная функция ф (Ь) легко находится, если задано начальное ее значение ф (0). Заметим, что система (8) линейна и однородна, а опорные функции (10)-(12) положительно однородны, поэтому при отыскании сопряженных функций ф (Ь) можно их нормировать в начальный момент времени и перебирать с начальными условиями из единичной сферы ф (0) G S.
Условие (10) означает, что вектор ф (^) является опорным вектором для множества Ф в точке m (t), условие (11) — что вектор ф (0) это опорный вектор для множества Хо в точке х (0), а условие (12) — что вектор -ф (^) есть опорный вектор для множества Xt в точке x (t).
Можно показать, что из теоремы 3 следует следующее утверждение.
Если пара т, x (t) удовлетворяет принципу максимума с сопряженной функцией ф (t), то yt G [0,T] и существует гиперплоскость, проходящая через точку x (t) с вектором нормали т, разделяющая множества X (t) и Y (t).
Рассмотрим алгоритм, реализующий поставленную задачу:
1) возьмем произвольный начальный вектор ф (0) G S и, решая систему (10), найдем ф (t) —
2) фиксируем момент времени ti G (0,T], и по системе (9) вычислим множество Xtl-
3) по функции ф (Ь) найдем все функции m (t), удовлетворяющие условию максимума (11) —
4) по данному начальному вектору ф (0) определим все начальные значения вектора х (0) G Xo, удовлетворяющие условию (12) —
5) зная ф (Ь) и х (0), построим решение x (ti) системы (10) —
6) проверим, достигает ли это решение множества Xtl- если решение достигает в какой-то момент времени t2 множества Xtl, то проверим, выполняется ли условие (13). Если оно выполнено, то пара (ф (^), x (t)) удовлетворяет условию максимума, т. е. время t2 — минимальное время перехода из множества Xo к множеству Xtl-
7) проверим, совпадают ли моменты времени ti и t2, если ti = t2, то пара (ф (t), x (t)) является решением поставленной задачи, если эти моменты времени не совпадают, то выбираем следующее значение x (0) g Xo, удовлетворяющее условию (12), и переходим к п. 5). Если множество таких начальных условий исчерпано, то берем другой начальный вектор ф (0) G S и переходим к п. 2).
Предложенный алгоритм сходится из-за конструктивных особенностей множества
Xt!.
Литература
1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ / пер. с англ. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова, М.: Мир, 1975. 223 с. (Rokafellar R. Convex analysis).
2. Aumann R. J. Integrals of set valued function // J. Math. Anal. and Appl. 1965. Vol. 12, N 1. P. 1−12.
3. Влагодатских В. И. Принцип максимума для дифференциальных включений // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 166. С. 23−43.
Статья принята к печати 21 июня 2012 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой