О длительности ударного нагружения и пределе текучести

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
О длительности ударного нагружения и пределе текучести
Н. Ф. Морозов, Л.С. Шихобалов
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199 034, Россия
Тепловое движение атомов в кристалле интерпретировано как некое быстроосциллирующее поле напряжений, названное флуктуационным. С учетом положений физики твердого тела и статистической физики разработана теория такого поля. Эта теория применена к описанию движения дислокаций в случае, когда внешнее напряжение в кристалле меньше порогового уровня, необходимого для движения дислокаций. В этом случае движение дислокаций обеспечивается совместным действием внешнего и флуктуационного напряжений. Рассчитана длительность импульса ударного нагружения, при которой флуктуации напряжения, необходимые для движения дислокаций, не успевают произойти (с вероятностью 0. 99). В результате материал остается недефор-мированным пластически, хотя при том же уровне напряжения, но более длительном нагружении он испытывает пластическую деформацию. Компенсировать этот эффект, то есть вызвать пластическое деформирование образца при коротком импульсе нагру-жения, можно повышением уровня напряжения в импульсе. Это свидетельствует о возрастании предела текучести материала при уменьшении длительности ударного нагружения.
Ключевые слова: дислокация, флуктуации напряжения, предел текучести, ударное нагружение
On the duration of impact loading and yield limit
N.F. Morozov and L.S. Shikhobalov
St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199 034, Russia
Thermal atomic motion in a crystal is interpreted as a certain rapidly oscillating stress field called a fluctuation field. A fluctuation field theory is developed in the context of solid state physics and statistical physics. The theory is applied to description of dislocation motion at external stress in a crystal lower than the threshold required for dislocation motion. In this case, dislocation motion is ensured by a joint action of external and fluctuation stresses. The shock pulse duration at which stress fluctuations have no chance (to the nearest 0. 99) to reach the level required for dislocation motion is calculated. As a result, the material does not experience plastic deformation, while with a longer loading pulse at the same stress, it does. This effect, i.e., the absence of plastic deformation with a short loading pulse, can be eliminated by increasing the stress in the pulse. This suggests that the yield limit of material increases with decreasing the duration of impact loading.
Keywords: dislocation, stress fluctuations, yield limit, impact loading
1. Введение
Основным механизмом пластического деформирования кристаллических материалов является движение дислокаций. Предел текучести кристаллических материалов, как правило, имеет убывающую температурную зависимость, что свидетельствует о способствующем влиянии тепловых колебаний атомов на движение дислокаций. Таким образом, движение дислокаций происходит благодаря совместному действию приложенного напряжения и тепловых колебаний атомов. Воздействие тепловых колебаний атомов на каждый отдельный участок дислокации является дискретным во времени: про-
межутки времени, когда эти колебания способствуют движению дислокации, сменяются промежутками времени, когда их способствующее действие отсутствует. Согласно законам статистической физики такие смены происходят с очень высокой частотой, поэтому при обычных условиях проведения экспериментов по пластическому деформированию материалов указанная дискретность не проявляется. Однако в связи с тем, что в последние годы активно проводятся исследования механических свойств материалов при ударных нагружениях сверхмалой длительности [1], правомерно задаться вопросом: сколь короткой должна быть длительность внеш-
© Морозов Н. Ф., Шихобалов Л. С., 2009
него нагружения, чтобы с большой вероятностью за время нагружения тепловые колебания атомов не успели вызвать движение дислокаций?
В настоящей работе на основе теории флуктуаций Эйнштейна-Дебая и результатов работы [2] рассчитана длительность импульса внешнего нагружения, при которой тепловые колебания атомов, необходимые для движения дислокаций, не успевают произойти (с вероятностью 0. 99). В результате материал остается недефор-мированным пластически, хотя при том же уровне напряжения, но более длительном нагружении он испытывает пластическую деформацию. Компенсировать этот эффект, то есть вызвать пластическое деформирование материала при коротком импульсе нагружения, можно повышением уровня напряжения в импульсе, что свидетельствует о возрастании предела текучести материала при уменьшении длительности ударного нагружения.
2. Поле напряжений, обусловленное тепловыми колебаниями атомов
Рассмотрим кристалл как упругое однородное изотропное тело, содержащее дислокации одной системы скольжения. Известно, что для начала движения покоящейся дислокации требуется выполнение следующего условия: в окрестности дислокации касательная компонента тензора напряжений, действующая в плоскости скольжения дислокации в направлении вектора Бюргер-са, должна превзойти по модулю некоторое пороговое значение ст0 (оно характеризует сопротивление, препятствующее движению дислокаций). Будем анализировать ситуацию, когда указанная компонента внешнего напряжения Стех (не достигает порогового значения- пусть Стех (положительна. Таким образом, 0 & lt- Стех (& lt- & lt- Сто. В этом случае для начала движения дислокаций необходимо способствующее воздействие тепловых колебаний атомов.
Будем трактовать тепловые колебания атомов как некое быстроосциллирующее поле напряжений, всегда существующее в теле и зависящее от его температуры. Назовем это поле флуктуационным.
Флуктуационное поле напряжений, как и обычное поле напряжений, должно удовлетворять системе уравнений теории упругости. Однако из дальнейшего будет видно, что движение дислокаций определяется лишь вполне определенными значениями этого поля, реализуемыми в малых подобластях тела. Таким образом, основная часть флуктуационного поля напряжений не влияет на движение дислокаций, в связи с чем его детальный вид не имеет значения для описания движения дислокаций. По этой причине в настоящей работе мы не будем формулировать и решать задачу упругости для флуктуационного поля напряжений. Мы будем представлять это поле как совокупность отдельных флуктуа-ций напряжения (или «вспышек» флуктуаций напряже-
ния), возникающих в некоторых подобластях тела. Такие термины мы используем для того, чтобы подчеркнуть дискретный во времени и по пространству характер этого поля. При задании параметров поля воспользуемся известными положениями физики твердого тела и статистической физики.
Примем в отношении флуктуационного поля напряжений следующие упрощающие допущения, аналогичные использованным в работе [2]:
— флуктуации всех шести независимых компонент тензора напряжений не зависят друг от друга и имеют одинаковые распределения вероятности-
— подобласти тела, охватываемые флуктуациями, имеют шарообразную форму- при этом в отличие от принятого в [2] будем считать, что диаметры D таких подобластей не одинаковы, а могут принимать любые значения — от параметра кристаллической ячейки, а до минимального линейного размера тела L1-
— флуктуационное поле напряжений однородно внутри каждой подобласти, охватываемой флуктуацией-
— длительность «„вспышки“ флуктуации, охватывающей подобласть диаметра D, равна промежутку времени, за который упругая волна, двигаясь со скоростью звука сх, преодолеет расстояние D:
=. (1)
По аналогии с известными моделями Эйнштейна и Дебая теплоемкости твердых тел [3] будем считать, что флуктуационное поле напряжений порождается действием в теле независимых осцилляторов, каждый из которых обладает определенной частотой Vразлич-ной для разных осцилляторов, и количество которых равняется числу внутренних степеней свободы тела 3Ы- 6 = 3 М (V — число атомов в теле). В качестве частоты V г примем величину, обратную длительности флуктуации:
Величину V г будем называть частотой осциллятора или частотой флуктуации. Из указанных свойств осцилляторов и из формулы (2) вытекает, что каждому осциллятору отвечает определенное значение диаметра D тех подобластей тела, в которых он порождает флуктуа-ционное напряжение, при этом разным осцилляторам отвечают разные значения диаметра.
Нас будет интересовать касательная компонента тензора флуктуационных напряжений, влияющая на движе-
1 Минимальный линейный размер тела в случае, когда тело представляет собой прямоугольный параллелепипед, есть минимум из длин трех его ребер, выходящих из одной вершины- если тело является цилиндром, это минимум из его высоты и диаметра- если тело — пластина, то это его толщина.
ние дислокаций. Так как всего имеется 3N осцилляторов и флуктуации шести независимых компонент тензора напряжений равнораспределены, то интересующая нас касательная компонента тензора флуктуационных напряжений порождается N/2 осцилляторами. Будем считать, что половина из них порождает напряжение одного знака, а другая половина — противоположного. Далее будем учитывать только N/ 4 осцилляторов, которые порождают касательную компоненту напряжения, сонаправленную с рассматриваемой касательной компонентой внешнего напряжения aext.
Отметим, что флуктуационное напряжение может перемещать дислокации не только в направлении действия внешнего напряжения, но и в противоположном направлении. Однако в последнем случае флуктуационное напряжение должно иметь величину большую (по модулю), чем в первом случае, из-за необходимости преодолевать наряду с сопротивлением движению дислокации также внешнее напряжение. А так как вероятность флуктуации быстро убывает с увеличением ее величины, то при достаточно большом внешнем напряжении вероятность флуктуаций, движущих дислокации в направлении внешнего напряжения, настолько превосходит вероятность флуктуаций, движущих дислокации против внешнего напряжения, что последние можно не учитывать.
Пусть Q (D) — плотность распределения диаметров подобластей тела, охватываемых флуктуациями. Поскольку между множеством значений диаметра и множеством осцилляторов имеется взаимно однозначное соответствие, то Q (D) является одновременно плотностью распределения осцилляторов. Положим, следуя модели Дебая [3], что количество осцилляторов с частотами из интервала [vf, vf + dvf] пропорционально v2dvf (в линейном приближении по dvf). Тогда на основании формулы (2) имеем:
Q (D)dD = const (cf/ D 4) dD. Находя константу в этом равенстве из условий, что имеется N/4 осцилляторов и что D е [a, L] (где a — параметр кристаллической ячейки- L — минимальный линейный размер тела), заключаем следующее.
Количество осцилляторов, которые порождают флуктуации касательной компоненты напряжения в подобластях с диаметрами из интервала [D, D + dD], равно
Q (D)dD =
fNailL
4(L3 — a 3) D4
dD
fNa
4D4
dD
(3)
(в линейном приближении по dD). Здесь учтено, что, а & lt-<- L.
Пусть рассматриваемая касательная компонента тензора флуктуационных напряжений достигает значения в некоторой подобласти тела объема ^ (причем согласно принятому допущению она однородна внутри этой подобласти, & gt- 0). Тогда соответствующая компонента тензора упругих деформаций есть ее =
= стf /(2G) (^ - модуль сдвига). Упругая энергия данной флуктуации напряжения составляет
Uf = 2 J dQ J о dee =
g 2 Q 2G '-
(4)
(П) 0
где объем подобласти и сама подобласть обозначены одним символом множитель 2 связан с наличием у тензора напряжений касательной компоненты, симметричной рассматриваемой.
Обозначим через Р (& lt-^) плотность вероятности возникновения флуктуации напряжения величины ст^ Из положений статистической физики [4] следует, что функция пропорциональна ехр (-Uf|kT), где
k — постоянная Больцмана- Т — абсолютная температура тела. Поскольку полная вероятность всех возможных значений величины стг равна единице, то с учетом (4) приходим к следующему выводу.
Вероятность того, что касательная компонента флук-туационного поля напряжений принимает в области объема ^ значение из интервала, + dстг ] (где 0 & lt- & lt- & lt- равна
P (af)daf =
2Q %GkT
(
exp
ct2q 0
2GkT
daf
(5)
(в линейном приближении по dстf).
Множитель при экспоненте в формуле (5) найден из условия нормировки
/ P (CTf)dCTf = 1. (6)
0
На этом построение модели флуктуационного поля напряжений завершим. Эта модель является в определенном смысле промежуточной между моделями, которые А. Эйнштейн и П. Дебай предложили для описания теплоемкости твердых тел. В модели Эйнштейна колебания каждого атома рассматриваются как независимые, поэтому все осцилляторы охватывают подобласти атомного размера. В модели Дебая используются стоячие волны в теле, при которых колебания атомов полностью коррелированны, поэтому каждый осциллятор охватывает все тело. В нашей же модели осцилляторы могут охватывать подобласти любого размера от размера кристаллической ячейки до размера всего тела. Можно показать, что наша модель приводит к известному закону теплоемкости Дюлонга и Пти, что служит доводом в пользу ее справедливости.
3. Движение дислокации под действием внешнего и флуктуационного полей напряжений
Пусть „вспышка“ флуктуации напряжения происходит в подобласти тела, пересекаемой дислокацией. Будем считать, что до „„вспышки“ флуктуации участок дислокации, находящийся внутри подобласти, был прямолинейным и покоился, а при начале „„вспышки“ он начинает движение, при этом остальная часть дислокации
остается неподвижной. Так как дислокация — непрерывная линия, а вне рассматриваемой подобласти она покоится, то крайние точки данного участка дислокации не движутся. Значит, сам этот участок изгибается. Допустим, для простоты, что он приобретает форму дуги окружности. В таком случае можно ограничиться анализом движения его средней точки. Обозначим перемещение этой точки, т. е. прогиб данного участка дислокации, через х.
Воспользуемся уравнением движения дислокации [5−7]. Применительно к рассматриваемому случаю оно может быть записано в виде: рЪ. 16 Gb
-x±
% (1 — v) l
-x = aext +CTf -Сто при x& gt- 0, (7)
где р — плотность вещества- b — модуль вектора Бюр-герса- c — безразмерный параметр порядка единицы- G — модуль сдвига- v — коэффициент Пуассона- l — длина рассматриваемого участка дислокации- точка над символом обозначает производную по времени. В левой части уравнения первое слагаемое характеризует инерцию дислокации, второе слагаемое описывает напряжение самодействия дислокации, стремящееся вернуть дислокацию в прямолинейное положение. Сопротивление движению дислокации имеет вид сухого трения: -Сто sign x (при ст0 = const & gt- 0 и x Ф 0), поэтому при скорости дислокации x & gt- 0 оно равно -ст0. Здесь считается, что флуктуационное напряжение CTf удовлетворяет условию CTf & gt- ст0 — CText. Это условие обеспечивает положительность правой части уравнения (7). Напомним, что мы анализируем ситуацию, когда внешнее напряжение CText удовлетворяет неравенству 0 & lt- CText & lt- & lt- CT0-
Ранее было принято допущение, что флуктуацион-ное напряжение CTf однородно внутри подобласти, охватываемой флуктуацией. Допустим, что внешнее напряжение CText тоже однородно в этой подобласти, и предположим, что оба напряжения CTf и CText не изменяются за время действия флуктуации Tf. В таком случае правая часть уравнения (7) остается постоянной в течение флуктуации. Решая уравнение (7) при нулевых начальных условиях (x = 0 и x = 0 при t = 0), находим:
, Л % (1 — v) l2 x (t) = ^ J (CText + CTf — CT0) х
16 Gb
х
3,
1 — cos
cG
l p% (1 — v)
Отсюда заключаем, что максимальное значение прогиба рассматриваемого участка дислокации есть
% (1 — v) l2 8 Gb
(CText + CTf -CT0).
(8)
Можно показать, что за время действия флуктуации Tf
(определяемое формулой (1)) участок дислокации успеет прогнуться до указанного максимального значения. Отметим, что хтах & gt- 0 в силу стг & gt- ст0 — Стех (.
После завершения „вспышки“ флуктуации и остановки дислокации в соответствии с уравнением движения дислокации возможны две ситуации.
Если во время флуктуации напряжение стг было невелико, а именно удовлетворяло неравенству
CTf & lt--
3стп -ст“
(9)
то рассматриваемый участок дислокации останется в изогнутом положении с прогибом, равным хтах. Это объясняется тем, что в данном случае напряжение самодействия дислокации, стремящееся выпрямить дислокацию, будет недостаточным для преодоления сопротивления ст0, препятствующего обратному движению дислокации.
Если же флуктуационное напряжение стг удовлетворяло неравенству
CTf & gt--
3ст0 — CTe
(10)
то после завершения флуктуации участок дислокации начнет движение в обратную сторону. Его движение описывается уравнением
Р^ 16 СЪ • А — х ±- х = Стех (+ст0 при х & lt- 0, (11)
с к (1 — V) 12 где учтено, что при обратном движении дислокации сопротивление меняет знак и становится равным + ст0 вместо — ст0.
Мы поставили в (10) знак нестрогого неравенства вместо строгого, чтобы включить в данную ситуацию предельный случай стг = (3ст0 -стех ()/2, когда дислокация покоится, но приходит в движение при малейшем возрастании стг — этот случай удовлетворяет уравнению
(11) при X = Хтах, X = 0, х = 0.
Решением уравнения (11) при начальных условиях X = Хтах, XX = 0 (при t = 0) служит функция
x (t) =
%(1 — v) l2
16 Gb
(CText + 2CTf — 3ст0) х
3,
х cos
cG
l p% (1 — v)
Вычисляя отсюда скорость X, находим, что дислокация остановится, когда ее прогиб х примет следующее значение, которое и в этом случае назовем максимальным (и пометим звездочкой):
% (1 — v) l2 8 Gb
(2ст0 -CTf).
(12)
Здесь стг — значение флуктуационного напряжения во
время предшествовавшей „вспышки“ флуктуации. Об*
ратим внимание на то, что величина хтах уменьшается
+ CT ext + CT
*
с ростом ст|-. Причина этого в том, что изогнутая дислокация, подобно оттянутой и затем отпущенной тетиве лука, отлетает в обратную сторону тем дальше, чем сильнее она была изогнута.
Итак, под действием „вспышки“ флуктуации напряжения один из участков дислокации сдвигается. Аналогичным образом под влиянием других „вспышек“ флук-туаций сдвигаются другие участки этой и остальных дислокаций. В результате вся дислокационная структура приходит в движение.
Проведенный анализ движения дислокации относится к случаю, когда рассматриваемое тело представляет собой сплошную среду. Однако реальный кристалл, моделью которого служит данное тело, имеет дискретную атомную структуру. Эта дискретность проявляется, в частности, в том, что дислокации энергетически выгодно занимать определенные положения в кристалле. Такие положения отстоят друг от друга на расстоянии d, имеющем порядок параметра кристаллической ячейки а. Энергия дислокации в этих положениях минимальна, а посередине между ними — максимальна.
Пусть дислокация находится в положении, отвечающем минимуму ее энергии. Тогда, если посредством напряжения сместить ее из этого положения на расстояние, меньшее 2, то после снятия напряжения она вернется под влиянием энергетического рельефа в исходное положение. Следовательно, такое движение дислокации не дает вклада в остаточную (пластическую) деформацию кристалла. Учитывая этот эффект, будем принимать во внимание при анализе движения дислокаций только такие флуктуации напряжения, которые удовлетворяют следующему условию: вызываемый ими максимальный прогиб участка дислокации
Хтх & gt- |. (13)
Подставляя в условие (13) найденные выше значения
(8) и (12) величин хтах, х^ и учитывая неравенства
(9) и (10), получаем ограничение на величину флуктуа-ционного напряжения ст|-:
ст0 -СТех1 +& quot-
4 ^ & lt-ст & lt- 3ст0 ех --2 & lt----
3& lt-7п — ст.
0 _иех1
Л (1 — V) 11
& lt- ст& lt- 2ст0 —
4 Gbd л (1 — V) 12
(14)
Для того чтобы множество значений величины стf, удовлетворяющих ограничению (14), не было пустым множеством, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, в одном из двойных неравенств (14) левая его часть не превосходила правую часть. Критерием выполнения этого требования служит условие
4 Gbd л (1 — V) 12
СТ + ст“
(15)
Из условия (15) вытекает ограничение на размер подобласти тела, охватываемой флуктуацией, так как
входящая в (15) длина I участка дислокации, попадающего в эту подобласть, пропорциональна ее диаметру D. В дальнейшем в качестве величины I будем использовать среднюю длину такого участка дислокации, равную 2/3 D 1. Итак, далее считается, что I = 2/3 D. В этом случае условие (15) эквивалентно условию
Д & gt- Д., (16)
где
Д. =
18 Gbd
, -. (17)
[Л (1 — V)(СT0 +стех0 На основании сказанного приходим к следующему заключению.
Пусть флуктуация напряжения происходит в подобласти тела, пересекаемой дислокацией. Тогда условие (13), касающееся прогиба дислокации, выполняется в том и только том случае, когда флуктуация, во-первых, удовлетворяет неравенству (16), т. е. охватывает подобласть с диаметром D, не меньшим Д*, и, во-вторых, имеет значение ст^ подчиняющееся ограничению (14), т. е. условию
(18)
Ф & lt- ст1, & lt-
где
Ф = ст0 -стех1
+
4 Gbd
Т = 2ст 0--
Л (1 — V) I 4 Gbd
2 '-
(19)
Л (1 — V) I
2
Отметим, что в выражениях (19), задающих Ф и Т, последние слагаемые определяются параметром d из условия (13) и самодействием дислокации, стремящимся вернуть изогнутый участок дислокации в прямолинейное положение.
Условие (16), как легко убедиться, является необходимым и достаточным условием выполнения неравенства Ф & lt- Т (при I = 2/3 Д), обеспечивая тем самым существование значений ст^ удовлетворяющих условию (18). При рассматриваемом значении напряжения стех ((0 & lt- стех & lt- сто) и при соблюдении условия (16) выполняется двойное неравенство Т & gt- Ф & gt- 0 (неравенство Т & gt- Ф есть следствие условия (16), а неравенство Ф & gt- 0 вытекает из первого из выражений (19) в силу стех (& lt- & lt- сто).
Из сформулированного выше заключения следует, что флуктуации напряжения, не удовлетворяющие условию (16) или (18), т. е. флуктуации, которые охватывают подобласти тела с диаметрами, меньшими Д*, или же имеют значение стf & lt- Ф или стf & gt- Т, не приводят к
1 Под средней длиной прямолинейного отрезка, заключенного в сфере диаметра Б и имеющего концы на сфере, мы понимаем высоту цилиндра, основание которого совпадает с экваториальным сечением сферы и объем которого равен объему сферы. Так определенная средняя длина отрезка равна 2/3 Д.
перемещению дислокаций, проявляющемуся на макроскопическом уровне. Далее, для краткости, будем говорить, что они вообще не сдвигают дислокации. И, соответственно, в отношении флуктуаций, которые происходят в подобластях тела, пересекаемых дислокациями, и при этом удовлетворяют условиям (16) и (18), будем говорить, что они вызывают движение дислокаций.
4. Вероятность возникновения флуктуации напряжения в окрестности дислокации
Флуктуации напряжения могут возникать как в подобластях тела, содержащих дислокации, так и в подобластях, где дислокации отсутствуют. В последнем случае они не вызывают движения дислокаций и, следовательно, не приводят к пластическому деформированию тела. В связи с этим встает следующий вопрос. Пусть дислокационная структура тела фиксирована. Какова вероятность того, что некоторая случайно выбранная шарообразная подобласть тела содержит дислокацию?1
Обычно дислокационную структуру тела характеризуют так называемой плотностью дислокаций — суммарной длиной дислокаций, приходящейся на единицу объема тела. Продемонстрируем на простом примере, что знания о дислокационной структуре одной только этой характеристики может оказаться недостаточно для нахождения указанной вероятности. В самом деле, пусть дислокации представляют собой одинаковые прямолинейные отрезки, располагающиеся в теле параллельно друг другу. Предположим, что они равномерно распределены по объему тела. Тогда вероятность того, что некоторая подобласть содержит дислокацию, очевидно, пропорциональна количеству дислокаций (при диаметре подобласти, меньшем расстояния между дислокациями). Однако если те же дислокации располагаются очень близко друг к другу, практически сливаясь в одну линию, то эта же вероятность не зависит от количества дислокаций и равна вероятности пересечения подобласти с одной дислокацией. Значит, знания о дислокационной структуре только плотности дислокаций в общем случае действительно недостаточно для нахождения вероятности того, что некоторая подобласть тела содержит дислокацию.
В дальнейшем мы ограничимся исследованием ситуации, когда интересующая нас вероятность зависит, кроме диаметра подобласти, только от плотности дислокаций. Для конкретизации этой ситуации воспользуемся следующими соображениями.
Рассмотрим множество всех точек пространства, отстоящих от дислокаций на расстояниях, меньших В/2, где D — некоторое положительное число, сущест-
1 Понятие „подобласть содержит дислокацию“ включает в себя как случай, когда подобласть охватывает всю дислокацию, так и случай, когда она охватывает лишь некоторую часть дислокации.
венно меньшее минимального линейного размера тела L (0 & lt- В & lt-<- L). Дислокации обычно представляют собой непрерывные кусочно-гладкие линии, поэтому данное множество точек образует совокупность криволинейных цилиндров радиуса В/ 2 с дислокациями в качестве их центральных линий. Выберем в теле какую-либо шарообразную подобласть диаметра D. Понятно, что если ее центр находится внутри любого из цилиндров, то подобласть пересекается, по крайней мере, с одной дислокацией, а если центр подобласти находится вне цилиндров, то она не имеет пересечений с дислокациями. Будем считать, что при случайном выборе подобласти ее центр может попасть с равной вероятностью в любую точку тела (учитывая условие В & lt-<- L, мы пренебрегаем наличием тонкого приграничного слоя тела толщины В/2, внутрь которого центр подобласти диаметра D попасть не может). В таком случае вероятность того, что выбранная подобласть содержит дислокацию, очевидно, равна отношению объема занимаемой цилиндрами части тела ко всему объему тела.
Допустим, что дислокации располагаются от границы тела на расстоянии, не меньшем В/2, и находятся на удалении друг от друга, не меньшем D. Тогда рассматриваемые цилиндры не выходят за пределы тела и не пересекаются между собой. В этом случае объем части тела, занимаемой цилиндрами, равен сумме объемов цилиндров. Дислокации, как правило, состоят из достаточно длинных отрезков, близких к прямолинейным. Поэтому сумма объемов цилиндров приблизительно равна произведению площади их поперечного сечения (одинаковой для всех цилиндров) и суммарной длины центральных линий цилиндров, равной общей длине дислокаций. Таким образом, объем занимаемой цилиндрами части тела есть примерно (¼) кВ2 Л, где Л — общая длина дислокаций в теле. Путем деления этой величины на объем тела V получаем в соответствии со сказанным выше вероятность того, что выбранная подобласть содержит дислокацию. Эта вероятность равна (У 4) кВ 2 А, где, А = Л/V — плотность дислокаций. Полученная величина, являясь вероятностью, не может превосходить единицу. Следовательно, диаметр D рассматриваемой подобласти тела должен удовлетворять условию В & lt- 2/л/кА.
Итак, в описываемой ситуации интересующая нас вероятность зависит только от диаметра подобласти и плотности дислокаций. Конкретизируем эту ситуацию следующим утверждением.
Пусть тело содержит дислокационную структуру с плотностью дислокаций, А (А & gt- 0). Выберем в теле случайным образом шарообразную подобласть, диаметр D которой удовлетворяет условиям
0 & lt- В и В & lt-<- L, (20)
л/кА
где L — минимальный линейный размер тела. Тогда ес-
ли дислокации располагаются от границы тела на расстоянии, не меньшем Д/2, и находятся на удалении друг от друга, не меньшем Б, то вероятность х того, что эта подобласть содержит дислокацию, задается выражением
Из положительности X и из первого из условий (20) следует 0 & lt- х & lt- 1. Величина X-12, входящая в (20), часто интерпретируется как среднее расстояние между дислокациями.
При последующем изложении мы не станем ограничивать диаметры подобластей условиями (20). В связи с этим величина х, задаваемая формулой (21), вообще говоря, может оказаться большей единицы. Поэтому далее будем считать, что величина х есть некоторая вероятность того, что подобласть содержит дислокацию (поэтому при Б & gt- 0 и X & gt- 0 она удовлетворяет неравенству 0 & lt- х & lt- 1). Формулой (21) мы воспользуемся в конце следующего раздела. В заключительной части работы будет показано, что при параметрах модели, соответствующих реальному кристаллу, те флуктуации напряжения, которые действительно влияют на движение дислокаций, подчиняются условиям (20). Для таких флуктуаций можно считать выполненным и сформулированное перед формулой (21) требование, касающееся взаимного расположения дислокаций и их расположения относительно границы тела. Все это означает, что для флуктуаций напряжения, влияющих на движение дислокаций, использование формулы (21) является оправданным (и для них неравенство 0 & lt- х & lt- 1 выполняется). Принимая во внимание, что таким флуктуациям соответствуют подобласти с диаметрами, меньшими типичной длины прямолинейных участков дислокаций, будем считать в дальнейшем, не оговаривая это особо, что если некоторая подобласть содержит дислокацию, то эта дислокация пересекает подобласть насквозь (это допущение позволяет применять в таких случаях результаты разд. 3).
5. Вероятность отсутствия флуктуаций напряжения, достаточных для движения дислокаций
Пусть внешние силы создают в теле П-образный импульс напряжения величины стех (и длительности т. Будем по-прежнему считать, что 0 & lt- стех (& lt- ст0.
Рассчитаем вероятность того, что за время действия импульса не возникнут флуктуации напряжения, достаточные для движения дислокаций, и, значит, тело останется пластически недеформированным.
Для реализации этого события необходимо и достаточно, чтобы каждый из осцилляторов, порождающих флуктуации напряжения, не произвел за время действия
импульса флуктуацию, вызывающую движение дислокаций. Поскольку осцилляторы являются независимыми, искомая вероятность равна произведению вероятностей таких событий для всех осцилляторов.
Рассмотрим осцилляторы, которые не удовлетворяют условию (16), т. е. создают флуктуации напряжения в подобластях тела с диаметрами, меньшими Д*. Из результатов разд. 3 вытекает, что порождаемые ими напряжения заведомо недостаточны для движения дислокаций. Значит, каждый из этих осцилляторов вносит в интересующую нас вероятность вклад в виде множителя, равного единице (из чего видно, что эти осцилляторы фактически не влияют на значение вероятности).
Теперь возьмем какой-либо осциллятор, удовлетворяющий условию (16). Пусть в некоторый момент времени он производит „вспышку“ флуктуации напряжения. Согласно результатам разд. 3 эта „вспышка“ вызывает движение дислокации в том и только том случае, если она, во-первых, охватывает подобласть тела, пересекаемую дислокацией, и, во-вторых, имеет значение, удовлетворяющее неравенству (18). Первое из этих условий реализуется с вероятностью х, второе — с вероятностью, равной интегралу по промежутку [Ф, Т] от функции Р (ст^. Вследствие независимости этих условий вероятность того, что данная „вспышка“ вызывает движение дислокации, равна произведению функции х и интеграла от Р (ст^. Отсюда заключаем, что вероятность противоположного события, а именно того что данная „вспышка“ не вызывает движения дислокаций, равна разности между единицей и указанной вероятностью.
Таким образом, вероятность того, что произведенная данным осциллятором в некоторый момент времени „вспышка“ флуктуации напряжения не приводит к движению дислокаций, равна т
1 — Х } Р (ст^, (22)
ф
где функции х и Р (ст^ определяются соответственно выражениями (21) и (5), а пределы интегрирования Ф и Т — выражениями (19). Величина (22) положительна и не превосходит единицы благодаря 0 & lt- х & lt- 1, положительности функции Р (ст^, условию нормировки (6) и неравенству Т & gt- Ф & gt- 0 (выполняющемуся при стех (& lt- ст0 и условии (16)).
Предположим временно, что отношение т/т f есть целое число (т — длительность импульса внешнего напряжения- т f — длительность флуктуаций, порождаемых рассматриваемым осциллятором). Тогда за время т данный осциллятор, имеющий согласно (2) частоту vf = 1/т^ произведет тvf = т/^ „„вспышек“ флуктуа-ций. Полагая, что эти „вспышки“ являются независимыми, заключаем следующее. Вероятность того, что за время т данный осциллятор не произведет „вспышку“
флуктуации, вызывающую движение дислокаций, равна произведению вероятностей (22) для всех „вспышек“:
3 ?(В) 0 хг (В)
1 — х (В) } Р (ст^ В) dстг
Ф (В)
(23)
где отмечено, что величины х, Ф, Т, Р и тг зависят от диаметра D подобластей тела, охватываемых этими „вспышками“ (Ф, Т и Р зависят от D опосредованно через величины I и напомним, что каждому осциллятору соответствует вполне определенное значение диаметра D).
При подсчете количества „вспышек“, произведенных данным осциллятором, мы воспользовались предположением, что число т|тf целое. Теперь откажемся от этого предположения и будем считать выражение (23) справедливым при любых т & gt- (Мы принимаем т & gt- & gt-, а не т & gt- 0, для того чтобы удовлетворить использованному в разд. 3 допущению о неизменности напряжения Стех (во время действия флуктуации.)
Рассмотрим другие осцилляторы, подчиняющиеся условию (16). Ранее мы приняли, что подобласти тела, охватываемые флуктуациями, имеют диаметры В е е [а, L]. Будем считать, что входящая в условие (16) величина В* е [а, L). Тогда интервал [В“, L] имеет ненулевую длину и попадает в допустимый интервал значений диаметров [а, Разобьем интервал [В», L] на п равных промежутков длины АО и пронумеруем точки разбиения индексом г (г = 1, 2, …, п, В" = В1, L = Ви+1).
Возьмем осцилляторы, порождающие флуктуации в подобластях с диаметрами из некоторого промежутка [В1, В,+1], где В,+1 = В1 + АВ. Количество таких осцилляторов задается величиной Q (В,)АВ, выражаемой формулой (3) при О = В, и & lt-Ю = АО. Полагая величину АО малой, будем считать, что всем этим осцилляторам соответствует одно и то же значение диаметра, равное В.,. Тогда, вследствие независимости осцилляторов, вероятность того, что они не создадут за время т флуктуацию напряжения, приводящую к движению дислокаций, будет равна произведению величин (23) в количестве Q (В,)АВ (с заменой в (23) величины О на В,):
3
) 0 тг (в1)
1 — х (В) } Р (СТВ, ^ст
Ф (в,)
? (В,)АВ
(24)
причем точность этого выражения возрастает с уменьшением величины АО, т. е. с увеличением числа точек разбиения п, так как величина Q (В,)АВ задает количество осцилляторов в линейном приближении по АО и мы приписали этим осцилляторам одно и то же значение диаметра, равное В,.
Аналогичная вероятность для всех осцилляторов, удовлетворяющих условию (16), очевидно, выразится произведением величин (24) для всех значений г от 1
до п с последующим устремлением в полученном выражении числа п к бесконечности.
Напомним, что осцилляторы, не удовлетворяющие условию (16), вносят в интересующую нас вероятность вклады в виде множителей, равных единице.
Учитывая сказанное выше, приходим к следующему результату. Вероятность р того, что за время т действия импульса внешнего нагружения в теле не возникнут флуктуации напряжения, достаточные для движения дислокаций, задается выражением
р = Нт
А)
1 — х (д) } р (стг, д) астг
Ф (В)
… х
)
0
1 — хВ) } Р (СТГ, Вп) dстf
Ф (Вп)
т^Вп)
Tf (В1)
Q (Вп)АВ
Q (В^АВ
х.
(25)
Каждый из сомножителей, стоящих в (25) под знаком предела, представляет собой некоторое значение величины (22), возведенное в положительную степень. Поскольку величина (22) положительна и не превосходит единицы, то величина р удовлетворяет неравенству 0& lt-р<- 1.
Преобразуем выражение (25). Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (25). Пользуясь свойствами логарифмической функции, получаем:
1п р = Нт ^
?=1 ^
тД В,)
Q (в,)х
3
х 1п
?(В,)
0
АВ.
1 — х (В) } Р (СТ^ В,)dСTf
Ф (в,)
Выражение, стоящее в этом равенстве под знаком предела, представляет собой интегральную сумму для некоторой функции, определенной на множестве [В", L] значений диаметра О. Следовательно, правая часть равенства равна соответствующему интегралу, поэтому
можем записать:
ь
1п р = }
т К В)
Q (В) х
3 Т (В) 0
х 1п 1 — х (В) } Р (оf, В) dof dВ. (26)
Ф (В)
V /
Подставим в (26) значение величины Pdстf из формулы (5):
ь т
1п р = Q (В)х
В, ^
Tf (В) —
3
х1п
1 — Х (В^-Г ] е-V К 2″
0
dz
dВ,
(27)
П-
где
П
2GkT
П
° ^ го =
-Т.
П
2GkT
Ф-
(28)
2GkT
Отметим, что & gt- г0 & gt- 0 на промежутке интегрирования [Д*, L], потому что при Д & gt- Д* и 0 & lt- стех, & lt- ст0, как указывалось, выполняется Т & gt- Ф & gt- 0.
Представим в выражении (27) внутренний интеграл в виде разности интегралов: ь
т
1п р = Q (Д)Х
Х1п
Д. т ЛД)
з
1 — х (Д)
2? — ?л 2 1Р _ л/л о л/Л о
dz
dD. (29)
2 2 Допустим, что г0 & gt->- 1. Тогда г1 & gt->- 1, так как & gt-
& gt- г0 & gt-0. В таком случае для вычисления внутренних интегралов в равенстве (29) можно применить известный асимптотический ряд [8], который в наших обозначениях имеет вид:
7−1
л/Л о
dz =
1-
л/Л г
1-
2 г а
1−3
02 4
2 го
1−3 — 5
03 6
2 го
Причем при использовании конечного числа членов ряда ошибка оказывается меньше абсолютной величины последнего взятого члена.
Принимая во внимание, что данный ряд является знакочередующимся и что при г0 & gt->- 1 каждый из его первых членов существенно больше последующего, ограничимся учетом в квадратных скобках в этом ряде только первого слагаемого. Тогда логарифмическая функция в (29) может быть преобразована следующим образом:
1п
1 — х (Д)
2 г _ & quot-7=1 е
л/Л о
2 Л 2 г° _ л/Л о
dz
= 1п
1-
х (Д)
3 -г?
л/Л
— г? 0& quot-
х (Д)
л/л ?о
V
где в разложении логарифмической функции в степенной ряд мы оставили только первое слагаемое, воспользовавшись условиями г? & gt->- 1, г12 & gt->- 1 и 0 & lt- х & lt- 1.
Подставим в равенство (29) найденное приближенное значение логарифмической функции. Затем умножим обе части равенства на -1, вынесем в правой части постоянные величины за знак интеграла и, наконец,
поменяем местами правую и левую части равенства. В результате получим:
т ь ОДЖД) л/Л Д т^Д)
3
— г? 0
dD = 1п-. (30)
Р
Используя значения величин, Q, Ф, Т, х, г0 и г1, вытекающие из формул (1), (3), (19), (21), (28), и учитывая, что П = 1/6 лД3 и I = 2/3 Д, представим зависимость (30) в виде:
-тШа3с, 4вкТ х
8 1 Д Д тД
3
лД
ехр —
12GkT
— 2
9Gbd
Л (1 — v) D2
2 0
9Gbd л (1 — V) Д2
-ехр
лД
12GkT
2сто —
9Gbd Л (1 — v) D2
20
2сто —
9Gbd
л (1 — V) Д2
-1
dD = 1п
1
(31)
Выразим характеристики модели Б, Д*, Ь, d и L через параметр кристаллической ячейки, а с помощью безразмерных коэффициентов:
Д = аа, Д. = а. а, Ь = Ра, d = уа, Ь = Еа. (32) Так как Д е [а, Ь], Д* е [а, Ь), Ь = а, d ~ а, Ь & gt->- а, то введенные коэффициенты имеют такие значения: 1 & lt- & lt- а & lt- Е, 1 & lt-а* & lt- Е, в = 1, у = 1, Е & gt->- 1.
Обозначим:
16 = лGa 9 Ру
о = /=Т, То =, ~,, С ='-
т=
3л/л!Же, а'- 12к '- ~ Л (1 — V)'- (33) Здесь то имеет размерность времени, То — температуры, С — величина безразмерная.
Внося в (31) значения величин из (32) и пользуясь обозначениями (17) и (33), получаем окончательную формулу:
-]Т } /(а, сто, стех, Т) ёа = 1п! (34)
т° V То а. (ст0,стех,) Р
где подынтегральная функция
/=-
1
а

! ехр
То Та
ст -ст"
а

-+ С
V
а
ехр
ст -ст

+ с 2 2ст
Та
а
— С
а
2ст
— С
-11
& gt-, (35)
х
сто -стех, +
х
ст0 -стех, +
х
х
х
+
+
х
х
нижний предел интегрирования
а, =
2CG
(36)
Формула (34) устанавливает связь между длительностью т импульса внешнего напряжения и вероятностью р того, что за время действия импульса не успеют возникнуть флуктуации напряжения, вызывающие движение дислокаций.
Отметим, что формула (34) не допускает предельного перехода к значению внешнего напряжения Стех, = 0, так как при ее выводе мы пренебрегли флуктуациями, движущими дислокации против внешнего напряжения, что оправдано только при достаточно больших значениях Сте*.
6. Влияние длительности импульса нагружения на начало пластического деформирования тела
Найдем с помощью формулы (34) длительность т импульса внешнего напряжения, за время действия которого флуктуации напряжения не сдвинут дислокации с некоторой заданной вероятностью р. Расчет проведем применительно к алюминиевому образцу.
Все величины, от которых зависит левая часть формулы (34), однозначно выражаются через известные характеристики материала или параметры, непосредственно измеряемые в опыте. Исключение составляет лишь сопротивление ст0, потому что в опыте измеряется не оно, а внешнее напряжение Стех,. Сопротивление ст0 может быть оценено как предельное значение предела текучести материала при Т — 0 К (ибо в этом случае отсутствуют тепловые колебания атомов, способствующие движению дислокаций, в связи с чем для начала движения дислокаций внешнее напряжение Стех, должно превзойти Ст0). На основании экспериментальных данных [9] можно заключить, что величина ст0 находится в пределах (10−4 -10−2 (она зависит от химического состава, типа кристаллической решетки, количества примесей, состояния дефектной структуры и других характеристик материала).
Рассмотрим образец, изготовленный из алюминия и имеющий форму диска радиуса R = 1.5 см и толщины L = 5 мм (что близко к форме и размеру образцов, используемых при ударных испытаниях). Тогда объем образца V = ~ 3.5 • 10−6 м3. Алюминий имеет гране-центрированную кубическую кристаллическую решетку, поэтому в нем на одну кристаллическую ячейку приходится четыре атома. Параметр кристаллической ячейки алюминия, а ~ 4 • 10−10 м. Учитывая это, находим общее число атомов в образце:
N = 4V! а3 = 2.2 • 1023. Воспользуемся следующими характеристиками алюминия: G = 2. 65 • 1010 Па, V = 0. 35, с, = 3. 15−103 м/с (мы не будем учитывать температурную зависимость этих
параметров). В ГЦК-решетке наименьшее значение модуля вектора Бюргерса Ь равно а/л/2, поэтому положим Р = Ъ/а = 1/72. В качестве величины d, фигурирующей в условии (13), возьмем расстояние между плотноупа-кованными рядами атомов, равное ал/3/ (272). Тогда у =а = (Эти значения величин Ь и d при-
близительно соответствуют характеристикам винтовых дислокаций в алюминии.) Примем, что плотность дислокаций, А = 1012 м-2, сопротивление движению дислокаций ст0 = 0.2 ГПа ~7. 5•Ю-3G. Напомним, что k ~ ~ 1. 38•Ю-23 Дж/К. При указанных значениях параметров имеем из (33): т0 = 1. 09 •Ю-29 с, Т0 = 3. 22 • 104 К, С ~ 1. 91.
Проанализируем зависимость подынтегральной функции f в формуле (34) от переменной интегрирования а. Согласно выражению (35), эта функция обращается в нуль при, а = а", потому что в этом случае в силу (36) все величины в (35), заключенные в квадратные скобки, принимают одинаковые значения. Функция f очевидно, стремится к нулю при, а — +"& gt-. Кроме того, она неотрицательна на всем промежутке интегрирования [а", Е]. В этом легко убедиться с помощью формулы (30), эквивалентной (34), учитывая, что & gt- z0 & gt- 0 на промежутке интегрирования [В", Ь].
На рис. 1 представлен график функции f при, а & gt- а" (при указанных выше значениях параметров и при Стех, = 0. 13 ГПа, Т = 293 К). График имеет вид узкого пика, располагающегося правее значения, а = а". Аналогичный вид график функции f имеет и при других используемых далее значениях Стех, и Т. Этот факт позволяет сделать важный вывод.
Действительно, согласно формуле (34), если бы на всем промежутке интегрирования [а", Е] функцияf обращалась в нуль, то с вероятностью р = 1 движение дислокаций отсутствовало бы. Это означает, что движение дислокаций вызывают только такие флуктуации
Рис. 1. Зависимость функции / от диаметра подобластей, охватываемых флуктуациями напряжения (а — диаметр, выраженный в единицах параметра кристаллической ячейки)
СТ0 + СТех,
напряжения, которые обусловливают отличие от нуля функции / Можно показать, что при всех рассматриваемых далее значениях ст ех, и Т, во-первых, пик функции f, аналогичный изображенному на рис. 1, располагается внутри интервала [а*, 27], причем а*ш1п = 17, и, во-вторых, интеграл от функции f по промежутку [27, Е] пренебрежимо мал по сравнению с интегралом по промежутку [а*, 27]. С учетом Б = аа, Д* = а*а и формулы (34) отсюда вытекает следующий вывод.
Движение дислокаций определяется в основном такими флуктуациями напряжения, которые охватывают подобласти тела с диаметрами Б, лишь не намного превосходящими Д*, т. е. с частотами V ^ близкими к V^ = с,/Д. (здесь с, — скорость поперечных волн- Д* задается выражением (17)).
В частности, при рассматриваемых далее значениях стех, и Т основную роль в движении дислокаций согласно только что сказанному играют флуктуации напряжения, охватывающие подобласти с диаметрами Д е е [17а, 27а]. При этом функция f достигает максимума при ае [17. 5,19. 5] (т.е. при Б ~ 18. 5а = 7.4 -10−9 м), а характерная частота V^ = с,/Д. ~ с,/(17а) = 4. 6х Х1011 Гц.
Сформулированный вывод оправдывает ряд допущений, сделанных при построении настоящей модели. В самом деле, основную роль в движении дислокаций при рассматриваемых значениях стех, и Т, повторим, играют флуктуации, охватывающие подобласти с диаметрами Бе [17а, 27а]. Поскольку эти значения диаметра существенно превосходят параметр кристаллической ячейки а, то принятая интерпретация тепловых колебаний атомов как поля напряжений в упругой среде является оправданной. Используя формулу (3), можно показать, что суммарный объем таких подобластей составляет примерно 0.7 объема тела, что оправдывает представление о флуктуационном поле напряжений как о совокупности отдельных «вспышек» флуктуаций, возникающих в разных подобластях тела. Оправданными являются также условия г? & gt->- 1 и т & gt- т^ (потому что при указанных значениях параметров, как можно убедиться, г? & gt- 37, а достигаемые в опытах минимальные длительности ударного нагружения т = 10 — с [1] суще ст-венно превосходят длительность характерной флуктуации ^ = 1/V^ = Д. /с, = 2.2 -10−12с). При отмеченных значениях диаметра выполняются также допущение Д* е [а, Ь) (ибо Д* = 17а, а & lt-<- Ь) и условия (20) (так как при плотности дислокаций X = 1012 м -2 входящая в (20) величина 2/л/лХ = 1.1 -10−6 м = 2 800а).
Проанализируем вытекающую из формулы (34) зависимость внешнего напряжения стех, от длительности импульса т и от температуры Т при значениях параметров, указанных ранее, и при двух значениях вероятности р = 0. 99 и 0. 01. Эта зависимость представлена в фор-
Рис. 2. Напряжение стех, в импульсе нагрузки, при котором образец не подвергается пластической деформации с вероятностью р (показана зависимость стех, от длительности импульса т)
0. 2
«ь
0. 1
0. 0
-- А
в — = 0. 01
р = 0. 99
т = 293 к
ю-
10-
1
т, С
ю4
Рис. 3. Та же зависимость ст ех,(т), что и на рис. 2, но представленная на существенно большем интервале значений т
Рис. 4. Зависимость напряжения ст ех, от абсолютной температуры Т
ме графиков на рис. 2−4. На основе приведенных данных можно сделать следующие заключения.
Если значения величин стех, т и Ттаковы, что отвечающая им точка на рис. 2−4 располагается ниже кривой, соответствующей значению р = 0. 99, или на самой этой кривой, то с вероятностью, не меньшей 0. 99, дислокации не придут в движение, т. е. пластическая деформация не начнется. Если же эта точка лежит выше кривой, соответствующей значению р = 0. 01, или же на самой кривой, то, наоборот, пластическая деформация произойдет с вероятностью, не меньшей 0. 99. Обратим внимание на то обстоятельство, что кривые, отвечающие значениям вероятности р = 0. 99 и 0. 01, располагаются близко друг к другу.
Будем понимать предел текучести материала как-то значение внешнего напряжения стех, при котором на-
чинается движение дислокаций. Тогда приведенные результаты позволяют утверждать следующее. Предел текучести материала носит вероятностный характер, в связи с чем даже для одинаковых образцов, подвергающихся идентичному воздействию, он может иметь, вообще говоря, различные значения. Вместе с тем, это различие для одинаковых образцов является достаточно малым. Можно считать, что предел текучести материала характеризуется значениями напряжения стех, которые заключены в узкой полосе между графиками функции стех,(т) (или стех,(Т)), соответствующими вероятностям р = 0. 99 и 0. 01 (разумеется, могут быть использованы и другие значения вероятности, например 0. 999 и 0. 001).
На рис. 2 и 3 изображены графики функции Стех, (т) для двух существенно различных размахов изменения аргумента т: на рис. 2 длительность импульса внешнего нагружения т изменяется примерно в 10 раз (от ~10−7 до 10−6 с), а на рис. 3 она же меняется на 15 порядков (от 10−8 с до 107 с). Из представленных данных следует, что изменение длительности нагружения в 10 раз практически не влияет на величину предела текучести. О такой ситуации можно сказать, что образец демонстрирует так называемую атермическую пластичность. Однако изменение длительности нагружения на несколько порядков приводит уже к заметному изменению предела текучести. При этом, как вытекает из экстраполяции графика на рис. 3 в область больших т, даже малое внешнее напряжение Стех, может вызвать с течением времени пластическое деформирование образца. Следовательно, при любой, даже малой, нагрузке имеет место ползучесть материала. 1
Из графиков на рис. 4 следует, что предел текучести материала уменьшается с ростом температуры тела, как это и должно быть при способствующем влиянии тепловых колебаний атомов на движение дислокаций.
Рассмотрим случай, когда характеристики импульса внешнего нагружения — напряжение Стех, и длительность т — соответствуют точке, А на рис. 3, располагающейся над верхней кривой. В этом случае образец, подвергнутый такому воздействию, испытает пластическую деформацию. Теперь будем уменьшать длительность импульса т, оставляя неизменным напряжение Стех, (этому изменению отвечает движение изображающей точки на рисунке вдоль отрезка АВ). Как только характе-
1 Известно, что в египетских пирамидах зазоры между составляющими их каменными блоками практически отсутствуют. Возможно, это объясняется как раз указанным эффектом: за тысячелетия существования пирамид зазоры между блоками „заплыли“ именно благодаря явлению ползучести. Справедливость этого предположения можно проверить сравнением ширины зазоров в нижних и верхних частях пирамиды, где существенно различаются напряжения, обусловленные тяжестью вышележащих блоков.
ристики импульса станут соответствовать точке В, лежащей на нижней кривой, так образец, подвергаемый такому воздействию, не будет пластически деформироваться (с вероятностью 0. 99). На рис. 3 точке В отвечают значения Стех, = 0. 13 ГПа и т = 10−6 с. Таким образом, при малой длительности импульса внешнего нагруже-ния возможен эффект отсутствия пластического деформирования образца, несмотря на то что при более длительном нагружении с тем же уровнем напряжения образец пластически деформируется.
Отмеченный эффект объясняется тем обстоятельством, что за малое время действия импульса не успевают произойти флуктуации напряжения, требующиеся для движения дислокаций. Компенсировать данный эффект, т. е. вызвать пластическое деформирование образца при коротком импульсе, можно повышением уровня напряжения в импульсе (потому что согласно формулам (34)-(36) даже небольшое повышение напряжения Стех, ведет к значительному снижению вероятности р отсутствия пластического деформирования тела- это же непосредственно видно из рис. 2−4). Такой результат можно интерпретировать как возрастание предела текучести материала при уменьшении длительности нагружения. Обратим внимание на то, что этот вывод относится не только к случаю ударного нагружения тела, но и вообще к любому нагружению П-образного вида.
В завершение сделаем несколько замечаний.
1. Согласно сказанному выше, в ситуации, отвечающей точке В на рис. 3, флуктуации напряжения не успевают сдвинуть дислокации за промежуток времени порядка 10−6 с. Значит, в этой ситуации движение дислокаций осуществляется скачками со средней частотой, не превышающей 106 Гц. Сравним эту частоту со средней частотой флуктуаций. В соответствии с формулами (2) и (3) средняя частота флуктуаций равна
ь Vf Q (В)dВ 1В-^ ,
„6 • 1012 Гц,

^ - --
IQ (В)дв
В 4В4
N
4
где учтено, что, а & lt-<- Ь и использованы приведенные ранее значения величин, а и с,. Отсюда вытекает, что средняя частота скачкообразного перемещения дислокаций на много порядков меньше средней частоты флук-туаций. Заметим, что этот эффект можно сравнить с броуновским движением частицы, взвешенной в жидкости. Там тоже частота макроскопически заметных перескоков частицы на много порядков уступает частоте ударов, испытываемых частицей со стороны молекул жидкости.
2. Несмотря на то что в настоящей работе кристалл рассматривается как сплошная среда, мы все же дважды воспользовались тем, что он имеет дискретное атомное строение. Во-первых, именно это свойство кристалла
послужило основанием для принятия допущения о существовании ненулевого минимального размера подобластей тела, охватываемых флуктуациями (равного параметру кристаллической ячейки). Во-вторых, дискретность атомного строения кристалла была использована при введении условия (13), из которого следуют ограничения (16) и (18) на величину диаметров подобластей тела, охватываемых флуктуациями, и на значение флук-туационного напряжения, вызывающего движение дислокаций.
3. Найденный эффект отсутствия пластического деформирования образца при малой длительности внешнего нагружения существенным образом зависит от условия (13). Мы приняли это условие с целью отразить тот факт, что движение дислокации вносит вклад в остаточную (пластическую) деформацию кристалла в том и только том случае, когда максимальный прогиб дислокации хтах является не меньшим некоторого значения2. Причем здесь подразумевается, что d & gt- 0. Если же допустить, что прогиб хтах может принимать любые неотрицательные значения, что соответствует в условии (13) значению d = 0, то указанный эффект не будет иметь места. Точнее, из формулы (34) следует, что в данном случае пластическое деформирование образца будет происходить с вероятностью, не меньшей 0. 99, при любых т & gt-10−29 с. Это объясняется тем, что в таком случае в пластическую деформацию будут вносить вклад любые сколь угодно малые движения дислокации.
Отметим, что при d = 0 будет С = 0 (в силу соотношений (32) и (33)). Вследствие этого показатели экспонент в выражении (35) для функции f станут пропорциональными — а3 и функция f окажется монотонно убывающей по, а (при, а & gt- 0), а не имеющей график в форме пика, как показано на рис. 1. Кроме того, в данном случае а“ = 0 и В» = 0 (это вытекает из равенства С= 0 и формул (36) и (32)), поэтому нижний предел
интегрирования в (34) должен быть взят в таком случае равным 1 (ибо ае [1, S]).
Итак, результаты настоящей работы позволяют сделать вывод, что уменьшение длительности нагружения материала ведет к возрастанию его предела текучести. Это заключение вытекает из формул (34)-(36), а также непосредственно следует из данных, представленных на рис. 3. Некоторые из изложенных результатов были получены ранее в работе [10].
Авторы благодарят С. С. Валландера и Я. Ю. Никитина за обсуждение статьи и сделанные замечания.
Литература
1. Канелъ Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. Ударные волны в физике
конденсированного состояния // Успехи физических наук. — 2007. -Т. 177. — № 8. — С. 809−830.
2. Вакуленко A.A., Шихобалов Л. С. Новый подход к интерпретации пика внутреннего трения Бордони в кристаллах // Доклады А Н СССР. — 1981. — Т. 259. — № 6. — С. 1323−1326. Переиздано в кн.: Вакуленко A. A. Избранные труды. — СПб.: [Б. и. ], 2002. — С. 116 122.
3. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. — М.: Мир, 1974. -472 с.
4. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ.М. Теоретическая физика. Т. 5: Статистическая физика. Ч. 1. — М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1976. -584 с.
5. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. — М.: Атомиздат, 1972. -
600 с.
6. Шихобалов Л. С. Уравнение движения дислокации в модели сплош-
ной среды // Проблемы механики деформируемого твердого тела. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. — С. 73−97.
7. Шихобалов Л. С. Исследование связи микро- и макропластичности: Автореф. дисс. … канд. физ. -мат. наук. — Л.: ЛГУ, 1987. — 17 с.
8. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические форму-
лы. — М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1966. — С. 119, формула (591).
9. Физическое металловедение / Под ред. Р. Кана. — М.: Мир, 1968. -Вып. 3. — 484 с.
10. Морозов Н. Ф., Шихобалов Л. С. О влиянии длительности ударного нагружения на предел текучести // Доклады Академии наук. -2008. — Т. 422. — № 4. — С. 479−483.
Поступила в редакцию 04. 02. 2009 г.
Сведения об авторах
Морозов Никита Федорович, д.ф. -м.н., академик РАН, зав. каф. СПбГУ, morozov@mnf. usr. pu. ru Шихобалов Лаврентий Семенович, к.ф. -м.н., снс СПбГУ, laur3@yandex. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой