Одномерная нестационарная модель тепловыделяющей системы из произвольного числа твэлов и неактивных элементов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 541. 64,536,622. 692.4. 058 ОДНОМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА ТВЭЛОВ И НЕАКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Симонова О. С., Логинов В. С.
ГОУ ВПО «Томский политехнический университет», Томск, e-mail: ossimonova@mail. ru
Сформулирована математическая модель нестационарного температурного режима тепловыделяющей системы, состоящей из произвольного числа тепловыделяющих элементов (твэлов) с диэлектрическими слоями или из охлаждающих каналов. Рассмотрены три способа проверки модели: первый — на основе физических размерностей всех величин- второй — число N одномерных дифференциальных уравнений в частных производных должно содержать 3N краевых условий однозначности- третий — если внутренние источники постоянны или равны нулю, то решение исходной краевой задачи совпадает с известным решением в литературе. Приведен пример расчета стационарного температурного поля в полом цилиндрическом тепловыделяющем элементе с оболочками. Рассмотрены два случая: в первом — функция тепловыделения зависит от радиуса- во втором — тепловыделение — постоянная величина.
Ключевые слова: пластина, цилиндр, шар, нестационарный режим, коэффициент теплообмена, термическое сопротивление, теплопроводность, тепловыделяющий элемент
ONE DIMENSIONAL NONSTATIONARY MODEL OF THE SYSTEM WITH HEAT-GENERATING OF AN ARBITRARY NUMBER OF FUEL RODS AND INACTIVE ELEMENTS Simonova O.S., Loginov V.S.
Tomsk Polytechnic University, Tomsk, e-mail: ossimonova@mail. ru
A mathematical model is formulated for the nonstationary temperature regime fluid Systems with heat, consisting of an arbitrary number of fuel elements with dielectric layers or of the cooling channels. Considered three ways to test the model: the first method — based on the physical dimensions of all sizes- the second method is the number of N -dimensional differential equations must contain 3N uniqueness of boundary conditions- third — if internal sources are constant or zero, the solution of the initial boundary value problem coincides with the known solution in the literature. An example of calculation of stationary temperature field in a hollow cylindrical fuel element with shells. Considered two cases: the first — the function of heat depends on the radius, in the second — the heat — a constant.
Keywords: plate, cylinder, sphere, nonstationary regime, heat transfer coefficient, thermal resistance, thermal conductivity, heat-generating element
В учебной литературе [1−4 и др.] по тепломассообмену для студентов энергетического и электротехнического направления рассмотрены задачи стационарной теплопроводности, при решении которых приводится обоснование коэффициента теплопередачи, термического сопротивления стенки и эффективного коэффициента теплообмена. Представляет методический и практический интерес в обобщенной постановке нестационарной задачи теплопроводности с неравномерно распределенными внутренними источниками теплоты.
Постановка задачи
Пусть тепловыделяющая система состоит из произвольного числа тепловыделяющих, диэлектрических элементов (или наряду с ними каналов для прохождения охлаждающих сред или теплоносителей) с геометрическими размерами? ?2,, …, ?м, ?т+1. Коэффициенты теплопроводности материалов и сред являются известными и постоянными величинами. О переменности их свойств — от времени, координат, температуры, структуры конкретного мате-
риала будем учитывать через эффективные значения — X Внутри твэлов действуют внутренние источники теплоты — д^(?, т). Они являются функциями, по крайней мере, непрерывными, дифференцируемыми и интегрируемыми в пределах линейного размера элемента j (1, 2, 3, …, /'-, …, т). Имеют место ограниченные величины qVj (?& gt-, т) & lt- М Принимается, что температурное поле в тепловыделяющем элементе (твэле) и канале симметрично плоскости? = 0.
В диэлектрических слоях (или в охлаждающих каналах) внутренние источники теплоты зачастую принимаются равными нулю, но может иметь место при наличии химических реакций теплоперенос с фазовыми превращениями (кипение теплоносителя, конденсация паров, плавление, кристаллизация и т. п.). Заданы постоянные во времени коэффициенты теплообмена — а1, а2, т. е. теплообмен с внутренней и внешней поверхности тепловыделяющей системы осуществляется по закону Ньютона. Физически это означает, что температурное поле в системе твердых тел не зависит от закона распределения температур
в средах — Тж1, Тж2. Существование изотермических поверхностей или отсутствие теплоты по другим направлениям (кроме ?) говорит о его одномерном изменении. На границах контакта элементов существует идеальный контакт.
Система уравнений, описывающая нестационарный процесс теплопроводности в тепловыделяющей системе, имеет вид
дТ& gt-
'*0'
(1)
т & gt- 0, ^ & lt-? & lt-. +1, j = 1,2,3
где N — общее число элементов. Начальные условия
Г. (?, т = 0) = Т. ?),
граничные условия
OS
ЭГ2(^2,т) Al3*" ~А*_Э*-' Шъ т) = г2(^2,т) —
эт-(^. +1,т)_ эгм (^, т).
'- ,+1 дВ,
%& amp-,. *)=Гм (їм>-*у>-
-К = а2[Г."., Д)-Щ.
ос.
Здесь? — обобщенная координата- т — текущее время- ?. — координата на границе соприкосновения слоев- п = 0,? = х — неограниченная пластина- п = 1,? = г — цилиндр- п = 2? = г — шар- Т (? тХ т) —
соответственно температуры твэла, окружающих сред и функции тепловыделения- с, р., X, X. — соответственно удельная массовая изобарная теплоемкость, плотность, коэффициенты теплопроводности конкретного элемента.
Проверка математической модели. Необходимость в проверке вызвана тем, что в литературе имеют место некорректно сформулированные математические модели.
Первый способ проверки. Будем исходить из физических размерностей всех величин. Пусть, например, п = 2 — шар. = 1, 2. Дифференциальное уравнение теплопроводности в левой и правой части имеют размерность Вт/м3:
1JL
г2 Э г
& gt-1дт' 1 э7
«'-J7ll Дж кг К
. с-р-э7 кгК м3 с
= Вт/м3-
Гэ^ 2Э7Ц 1 [ Эг2 г dr J
11 Вт [К 1 К11
= -г +
J. мК М м м J
От
=-- [яп (г)]= вт/м
м
Таким образом, по размерности физических величин система уравнений записана верно.
Второй способ проверки. Число дифференциальных уравнений в частных производных — N после их решения будет в общем решении содержать 3N констант интегрирования. Докажем это. Пусть j = 1,2- N = 2, т. е. рассматриваются всего два элемента. Для этого случая необходимо задать 6 краевых условий. В этом можно легко убедиться.
Третий способ проверки. Для стацио-
Э Т.
нарного режима -= 0. Если внутренние
Эх
источники теплоты — постоянные величины или равны нулю, то получим известные в литературе решения. Наличие переменного по координате источника теплоты приводит к сложному аналитическому решению [5], но для реализации на ЭВМ они не представляют трудностей.
Пример 1. В стационарном режиме в тепловыделяющей сборке (рисунок) с геометрическими размерами г0 = 0,02 м, г1 = 0,01 м, г2 = 0,0105 м, г3 = 0,029 м, г4 = 0,0295 м. Тепловыделение изменяется по зависимости:
% = ^(1 +
где
= 5,19^ 105 Вт/м3, 6=1,5/г02-
г = 0,0275 м, а1 = 40 000 Вт/(м2-К) — а1 = 10 Вт/(м2К), Тж1 = 573,15 К-
Тж2 = 293,15К, Х1 = Х3 = 23 Вт/(м-К) —
Х2 = 15 Вт/(мК).
Найти максимальную температуру в тепловыделяющей сборке.
Схема задачи:
1,3 — оболочки- 2 — полый цилиндрический тепловыделяющий элемент
Решение. Определим термические сопротивления оболочек
Д, = -±1п
а,^ X,
г
= 4,621−10
_з мК
і?2 = - 1п
/ Л
Вт мК
+ - = 3,391 а2г4 Вт
азффі= - = 2,164−1(?Вт/(^К) —
1
аЭфф2= -= ЮД7 Вт/(^К).
Г3І?2
Введем безразмерные числа. Число Био в • =эффЛ =! 5& gt- 147 5 ^ = 0& gt- 007
Функция Померанцева
Ро (К)= 9. Ы = 1,991. 10^. 0,0105-
15 (573,15−293,15)
Окончательное решение задачи (1) для стационарного режима имеет вид
еетац (Д) = Ф (Д)-ФВД+4
1п
1
где
4 =-
ВЧК0
у (К) = -^Ро (Я)Кст- ф (Д)=^(Д)^
в,+ф (Л»)-ф (1)+®-)+|®
?(Др)
5г2До
-0″.
ЬВД + иЯг'-+ЩЯгВД
Для нашего примера, согласно (2),
|/(Д) = -Ро0у ф (Л) = -Ро. ^
*!Г1+Я^ 2
V у
/?2 ^ 1 + 5^
4
ф (1) = -^/
1 + *
V 4.
= 0,113-
= 0,04-
= 3,758 -103-
фВД= 0,113- уВД = 0,134- ф (1)= 3,758 -10−3- |/(1)= 8,22−10: 3
(2)
¦ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ № 5, 2014 ¦
Тогда максимальная температура в тепловыделяющей сборке будет равна
естац (Д = 2,619)= 0,8 096-
ТсТаЦ (Г0 = 0,°275) =
= Т, + 0 (Я = 2,619) (Т 1 — Т 2) = 322,7°С.
ж1 стац4 5 '- 4 ж1 ж2у 5
Пример 2. Определите распределение температуры по радиусу в полом цилин-
дрическом тепловыделяющем элементе с оболочками, если принять постоянное по радиусу тепловыделение дДг) = д. Какова максимальная погрешность расчета при такой замене тепловыделения в полом цилиндрическом твэле?
Решение:
Схема задачи приведена на рисунке. Окончательное решение задачи (1) для данного случая имеет вид
ад=?,+%*¦
2 2 Г2 ~Г
2 Я,
а,
¦эфф!
+С1
1
±In
аэфф1Г2
Здесь
я
-цз
Т -Т +
1ж2 ж1 т
2 2
_Г2
— + -------- + -
^2
а
эфф2
а
эфф!
(3)
Подставляя исходные данные д = 5,19−105 Вт/м3, находим значения
С = 134,694 Вт/м, ЯЦЗ = 3,463 мК/Вт.
Погрешность расчета распределения температур по радиусу относительно точных температур
r, 1G 3 м T2®, K Расчет по (1) є, %
1G, 5 573,617 G, 254
12, G 574,524 G, 761
14, G 575,458 1,328
16, G 576,138 1,797
2G, G 576,897 2,5G3
22, G 577, G26 2,758
rG = 23, G 577, G36 3, G7
26, G 576,865 3, G8
29, G 576,418 3,15
Погрешность расчета в сравнении с расчетом по формуле (2)
Т (г)-Т1г) 10() % Пг)
где Т (г) — точное значение, К.
Координата максимальной температуры
2 С г0 = -- = 0,023 м = 23 мм. V Яго
Как показывает анализ проведенного расчета максимальная погрешность распределения по радиусу температур не превышает 3,3%, а по определению координаты максимальной температуры г0 ~ 16,4%
Вывод
Приведен пример расчета стационарного температурного поля в полом цилиндрическом тепловыделяющем элементе
с оболочками. Показано, что погрешность расчета по сравнению с точным сложным решением не превышает 3,3%.
Список литературы
1. Дорохов А. Р., Заворин А. С., Казанов А. М., Логинов В. С. Моделирование тепловыделяющих систем: учебное пособие. — Томск: Изд-во НТЛ, 2000. — 234 с.
2. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.
3. Соколов Е. Я. Теплофикация и тепловые сети: учебник для вузов. — 7-е изд. — М.: Изд-во МЭИ, 2001. — 472 с.
4. Залесский А. М., Куке ков Г. А. Тепловые расчеты электрических машин. — Л.: Энергия, ЛО, 1967. — 369 с.
5. Логинов В. С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. -М.: Физматлит, 2000. — 272 с.
References
1. Dorohov A.R., Zavorin A.S., Kazanov A.M., Loginov VS. Modeling fuel systems: Textbook. Tomsk: NTL, 2000. 234p.
2. Zarubin V.S. Engineering methods for solving problems of heat conduction. Energoatomizdat, 1983. 328 p.
3. Sokolov E.Y. District heating and heat networks: Textbook for universities. 7th ed. Moscow: Publishing House of the MEI, 2001. 472 p.
4. Zaleski A.M., Kukekov G.A. Thermal design of electrical machines. Leningrad: Energiya, Leningrad, 1967. 369 p.
5. Loginov V.S. Approximate methods of thermal analysis of active elements electrical installations. M.: Fizmatlit, 2009. 272 p.
Рецензенты:
Архипов В. А., д.ф. -м.н., профессор, заведующий отделом газовой динамики и физики взрыва НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета, г. Томск-
Борисов Б. В., д.ф. -м.н., доцент, профессор кафедры теоретической и промышленной теплотехники Томского политехнического университета, г. Томск.
Работа поступила в редакцию 18. 03. 2014.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой