Одномерные стационарные течения в слое вращающегося газа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 443−444
443
УДК 551. 557. 5
ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГАЗА
© 2011 г. М.И. Иванов
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва
m-i-ivanov@mail. ru
Поступила в редакцию 16. 06. 2011
Рассматривается тонкий слой идеального газа, покрывающий вращающийся твердый гравитирующий шар. Постановка задачи подразумевает учет инерционных сил. Поверхность шара неравномерно нагрета по широте. Предполагается, что все искомые функции (плотность, температура, давление, скорости) постоянны во времени и не зависят от долготы. Тогда при выполнении некоторого ограничения на вид краевого условия на поверхности шара задача допускает решение в виде одномерного течения, направленного вдоль кругов широты, то есть под прямым углом к направлению термического градиента на поверхности шара. Найденное течение обладает всеми чертами зональных ветров, существующих на многих планетах Солнечной системы, включая и возможность существования суперротации — режима, при котором атмосфера движется быстрее твердого тела планеты.
Ключевые слова: одномерные течения, вращающийся шар, зональный ветер, суперротация атмосферы.
Рассмотрим твердый шар радиуса а, вращающийся с постоянной угловой скоростью Ю. Твердый шар покрывает тонкий слой идеального газа плотности р, имеющий давление р и температуру Т. Введем сферическую систему координат, вращающуюся вместе с шаром. Соответственно в уравнения движения будут входить инерционные силы — центробежная и ко -риолисова. Основная система уравнений должна состоять из уравнений движения, неразрывности, состояния идеального газа и переноса тепла. В дальнейшем будем предполагать, что сила тяжести не зависит от широты и долготы, а диссипация пренебрежимо мала. Будем искать решения, не зависящие от долготы- краевые условия пока не конкретизируем. Тогда при выполнения условия:
tg0
dT +1 dp T Э0 р Э0
& gt- 0
Из первых трех уравнений системы найдем дифференциальное уравнение, связывающее плотность и температуру слоя газа в случае одномерного течения
Ro
'-эт.. эт
sin 0- г-- cos 0 + Э0 дг
+
Р
-sin 0- г-cos 0
д0 дг
. др.
T
= rg (г)cos 0, (3)
(1)
задача будет иметь стационарное решение в виде одномерного течения с единственной ненулевой меридиональной компонентой скорости v. Соответственно условие (1) накладывает ограничения на краевые условия на поверхности шара, совместимые с существованием одномерного течения. Потребуем, чтобы на поверхности шара имело место следующее распределение температур:
T (а, 0) = T0 + ATsin2 0 + /(cos2 0), (2)
AT & gt- 0, /(0) = /(1) = 0.
где Л0 — универсальная газовая постоянная, ц — молекулярная масса газа, g® — сила тяжести. Уравнение (3) должно быть дополнено уравнением притока тепла, однако при использованных предположениях последнее будет удовлетворяться тождественно. Поэтому для замыкания используем феноменологический закон для распределения плотности газа:
Р = Р (г, 0). (4)
Рассмотрим частный случай формулы (4) — р = р (г). Тогда для скорости одномерного течения получим
/
v=
+
2R0
AT-/'-
¦------------
г2 sin2 0
2
р (а) Р (г)

X
хг sin 0.
(5)
Условие (1) превратится в данном случае в условие
AT & gt- /'-
22 1 г sin 0
— -
2
а
V
(6)
/
444
M. И. Иванов
Решения (5) сходны с зональными ветрами, существующими на многих планетах Солнечной системы. Рассмотрим их более подробно. Формула (5) определяет два решения задачи, отличающиеся друг от друга величиной момента импульса газового слоя. То решение, для которого слой газа имеет больший момент импульса (знак «минус» в формуле (5)), характеризуется системой ветров, направленных против направления вращения планеты. Второе решение (знак «плюс» в формуле (5)) устроено сложнее. Для него ветры могут быть направлены как против вращения планеты, так и по нему и, кроме того, могут менять направление на определенных высотах и широтах.
Какой из режимов возбуждается в действительности? Естественно предположить, что тот, которому соответствует меньший момент импульса атмосферы. А это означает, что зональный ветер может быть направлен и по направлению вращения планеты, и против него (во вращающейся вместе с планетой системой координат). Это действительно наблюдается- явление, когда зональный ветер направлен по направлению вращения планеты, называют суперротацией атмосферы, потому что в этом случае атмосфера вращается быстрее твердого тела планеты (особенно значительна суперротация у Венеры, атмосфера которой вращается в 60 раз быстрее самой планеты).
В настоящее время существует множество теорий, объясняющих явление суперротации — ее связывают с атмосферными приливами, ячейками Гадлея, гравитационными и планетарными волнами в атмосфере и даже силами Ампера, действующими в ионосфере. Кроме того,
некоторые авторы высказывают мнение, что причина суперротации лежит в неравномерном нагреве атмосферы или подстилающей поверхности. Как видим, рассмотренная простейшая модель зонального ветра подтверждает это предположение. Можно даже грубо оценить условия перехода атмосферы в состояние суперротации. Положим f = 0 и устремим толщину атмосферы к нулю. Тогда во всей атмосфере бу -дем иметь р (г) ~ р^). Тогда из (5) находим условие перехода атмосферы в состояние суперротации:
2R0AT
& gt-roa.
(У)
Здесь ДT представляет собой просто разность между температурами экватора и полюса. Требуя выполнения равенства в (7), находим выражение для критической разности температур Д^:
= 2л22 кр R0 Т2
(8)
где T — период вращения планеты.
Простейшие расчеты дают для Земли и Марса значения AT более 100 К, что говорит о невозможности суперротации (по крайней мере, в нижней атмосфере) при существующих в настоящее время тепловых режимах этих планет.
С другой стороны, для Венеры и Титана AT имеют значения менее l К, что свидетельствует в пользу наличия суперротации (заметим, что даже на сильно удаленном от Солнца Титане разность температур между экватором и полюсом составляет 3 К). Эти выводы согласуются с астрономическими данными.
1D STATIONARY CURRENTS IN A ROTATING GAS LAYER M.I. Ivanov
A thin layer of ideal gas covering a rotating solid gravitating sphere is considered. The formulation of the problem implies to take into account inertial forces. The temperature of the sphere surface varies in latitudinal direction. It is assumed that all the unknown functions (density, temperature, pressure, velocities) are time-constant and do not depend on longitude. Then, if some limitation for a surface boundary condition is fulfilled a solution of the problem is 1D current that flows in latitudinal direction, i.e., perpendicular to the surface temperature gradient. The obtained solution possesses all the features of zonal winds that exist on many planets of the Solar System, including the possibility of super-rotation when the atmosphere moves faster than the planet'-s solid.
Keywords: 1D currents, rotating sphere, zonal wind, superrotation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой