О доказательстве основных теорем дифференциального исчисления функций нескольких переменных методов Каратеодори

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

С. И. Калинин
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДОМ КАРАТЕОДОРИ
В статье обсуждается вопрос доказательства некоторых теорем дифференциального исчисления функций нескольких переменных методом, основанным на использовании понятия функции, дифференцируемой по Каратеодори.
В работе [1] мы описали метод Каратеодори доказательства ряда основных теорем дифференциального исчисления вещественнозначных функций одной действительной переменной. Упоминаемый метод можно распространить и на случай рассмотрения соответствующих теорем дифференциального исчисления вещественнозначных функций нескольких действительных переменных. Отмеченному и посвящается настоящая работа.
1. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Ниже из соображений простоты изложения вопроса условимся рассматривать лишь функции двух независимых переменных.
Пусть л = /(х, у) — действительная функция независимых переменных х и у, определенная в некоторой окрестности
ы (М0) = {(х-у): х — х0)2 + (у — у0)2 & lt-д, д>- о]
точки М0(х0- у0). По аналогии с [1] введем понятия дифференцируемости функции / в точке М0 по Коши и по Каратеодори.
Определение 1. Функция / дифференцируема по Коши в точке М0, если на окрестности и (М0) этой точки имеет место представление
= А (х-х0) + В (у — у0)+а (х, у)(х-х0) +
+ Р (х, у)(у-у0), (1)
где, А и В — некоторые числа, а (х, у), $(х, у) -бесконечно малые в точке М0 функции.
Определение 2. Функцию / условимся называть дифференцируемой по Каратеодори в точке М0, если существуют такие определенные на рассматриваемой окрестности и (М0) функции Ф (х, у) и Т (х, у), непрерывные в самой точке М0, что на и (М0) будет иметь место представление /(х, у) — /(хй, у0) = Ф (х у)(х — х0) +
+ Т (х, у)(у — у0). (2)
Справедлива следующая
Теорема А. Понятия дифференцируемости функции / в точке М0 по Коши и по Каратеодори — эквивалентные понятия, т. е. если функция / дифференцируема в точке М0 по Коши, то она в этой точке дифференцируема и по Каратеодори, и наоборот.
Доказательство. Пусть функция / в точке М0 дифференцируема по Коши, т. е. выполняется (1). Тогда положим Ф (х, у) = А + а (х, у), Т (х, у) = В + $(х, у), при этом если функции, а и $ в точке М0 не определены, то доопределим их по непрерывности значением 0. Функции Ф и Т будут непрерывными в точке М0 и в самой этой точке будут принимать значения, А и В соответственно. Представление (1) можно будет записать в виде (2), что означает дифференцируемость функции / в точке М0 по Каратеодори.
Пусть теперь функция / дифференцируема в точке М0 по Каратеодори, т. е. имеет место представление (2). В силу непрерывности функций Ф и Т в точке М0 на окрестности и (М0) этой точки будут справедливы представления Ф (х, у) = Ф (х0, у0) + а (х, у), Т (х, у) = Т (х0, у0) + $(х, у), где, а и $ - бесконечно малые в точке М0 функции. Таким образом, (2) можно переписать так: f (x, у) — /(хй& gt- у0) = ФК у0)(х — х0) + + ^ у0)(у — у0) + а (x, у)(х — х0) +
+ $(х, у)(у — у0).
Последнее представление имеет вид (1), диф-ференцируемость функции / в точке М0 по Коши установлена. Теорема, А доказана.
В силу рассмотренной теоремы тип диффе-ренцируемости (по Коши или по Каратеодори) функции в точке можно не оговаривать.
2. Понятие частной производной Каратеодори. Ясно, что дифференцируемость функции / в точке М0 по Коши влечет ее непрерывность в этой точке, а также существование частных производ-
Э/ (Хо, Уо) Э/ (х0, Уо)
функции / в точке М0,
ных
Эх
Эу
при этом
Э/ (Хо, Уо) Э/ (x0, Уо)
= А,
= В, где, А и
КАЛИНИН Сергей Иванович — кандидат физико-математических наук, доцент по кафедре прикладной математики ВятГГУ © Калинин С. И., 2006
Эх Эу
В — константы в (1), характеризующие диффе-ренцируемость функции /.
Пусть снова л = /(х, у) — дифференцируемая в точке М0 функция. Тогда для нее в окрестности М0 будет выполняться представление (2). В этом представлении функцию Ф (х, у) условимся называть частной производной Каратеодори функции / в точке М0 по первой переменной, а функцию Т (х, у) — аналогичной производной по второй переменной. Введенные производные обозначим соответственно символами /, гх ,
С. И. Калинин. О доказательстве основных теорем дифференциального исчисления функций.
/Х (Х'-У), (если следует акцентировать
внимание на точке, в которой вычисляется частная производная по первой переменной), /, гу ,
}у{х, у), }уМа{х, у).
Нетрудно видеть, что для дифференцируемой в точке М0 функции f справедливы равенства
ты) (Л у (*Ь. уо) _"
~ А, м0 (, хо'-Уо), Оу ~ }ум, Ухо& gt-Уо). Ясно также, что полный дифференциал
df (M0)=
d/(Wo)
dx +
d/(Wo)
dy этой функции
Зх '- 5у в точке М0 может быть выражен через частные производные Каратеодори так:
Попытаемся сформулировать геометрический смысл частных производных Каратеодори функции f.
Положим в (2) у = у0. Тогда при х * х0 будет справедливо соотношение
f (x, y0)-f (x0,y0)
¦ = f (X
, которое позволяет заключить, что значение fxMa (x, y0) (x * x0) вы-
ажает тангенс угла наклона секущей кривой

z=f (x, y) У=Уо
, проходящей через точки (x0, y0, f (M0))
и (х, у0,х, у0)), к плоскости хОу.
Аналогично интерпретируется величина /уМо (х0,у) (у * у0). Она выражает тангенс
угла наклона секущей кривой
про-
ходящей через точки (x0, y0, f (M0)) и (x0, y, f (x0, y)), к плоскости xOy.
3. Производная сложной функции одной пе-
ременной. Пусть функции x=n (t), y=R (t) определены на интервале l числовой прямой Ot, а
функция z = f (x, y) определена в некоторой области D плоскости переменных x, y, при этом для любого tel выполняется условие (x (t) — y (t))eD. Тогда имеет смысл сложная функция z = f (n (t), Rit)), tel. В отношении последней спра-
ведлива
Теорема 1. Пусть функции n (t), R (t) диффе-
ренцируемы в точке t0, t0el, а функция f (x, y)
дифференцируема в точке M0(x0, y0), где x0 = n (t0),
y0 = R (t0). Тогда сложная функция z = f (n (t), R (t)) дифференцируема в точке t0, при этом
dz (t0) _ df (x0,y0) d& lt-p (t0) | df (x0,y0) dy (t0)
dt dx dt dy dt. (3)
Доказательство. Для tel рассмотрим разность
z (t) — z (to) = finit), Rit)) — f (n (to), Rit)). В силу дифференцируемости функции f (x, y) в точке M0 ее в некоторой окрестности u (t0) d l можно представить так:
z (t) — z (t0) = fxMo (p (t),^(t)(p (t) -C (tS)+
+f, M0 (p (t), Y (t)() -Y (t")). Так как функции n (t), Rit) дифференцируемы в точке 10, то
n (t) — n (t0) =ъкт-ь),
Rit) — Ritо) = V, 0(0('--'-o), te"(to). Следовательно, имеем представление z (t) — z (to) =
t0u (to).
В этом представлении, заметим, функция
g (!)=Л,"" (ф (0& gt-? (0Жо (0 + /,"" (ф (0,? (0) (О
есть непрерывная в точке t0 функция, ибо ф, о (0, У (о (0 непрерывны как производные Каратеодо-
Pи, а Lm, (ф (0. ?(0), Л, м0(ф (0. ?(0) непрерывны
по теореме о непрерывности сложной функции и по причине непрерывности частных производных Каратеодори fxMa{x, y), fyMa{x, y) в точке
M0. Значит, g (t) = zh (t). Последнее говорит о
дифференцируемости функции z (t) в точке t0. Установим теперь формулу (3). Имеем:
= к Со) = Л*. (ф (0,? (t0) +
dt
+ f (m (*™(t Y, (t л a/(x0,%) dq& gt-(t0)
J y, M0 (ф (*о)& gt-? С о v 0) = ----+
df (x0,y0) & lt-fy (f") dy dt '-
Теорема доказана.
4. Частные производные сложной функции нескольких переменных. Рассмотрим следующий случай такой функции. Пусть функции x = c (u, v), y = R (u, v) определены в некоторой области G плоскости переменных u, v, а функция z = f (x, y) — в
+
области D изменения переменных х, у, при этом для любой точки (и, v) eG выполняется условие: точка (п (и, V) — ф (и, V)) принадлежит D. Тогда на области G будет определена сложная функция л = /(п (и, V) — р (и, V)). Справедлива
Теорема 2. Пусть функции п и ф в точке Р0(и0, v0) обладают частными производными
д (р (и0,у") дф (м0,У0) ду (и0,у0) ау (м0,у")
ди '- 5у '- ди '- 9у '- функция /(х, у) дифференцируема в точке
Mo (xo, Уо)& gt- где хо = n (uo, Vo), Уо = Vo). Тогда
сложная функция л = /(п (и, V) — ф (и, V)) в точке P0(u0, v0) также имеет частные производные, которые могут быть вычислены по формулам:
аг (ц", у0) дДх", у") дф (ц0,у0) | & amp-(х0,у0) ду (и0,у0)
ду ди '- ()
ди
дх ди
dz (u0,v0) _дДх0,у0) дфК. Уо), Sf (x0,y") dy (u0,v0) 3v Эх 5v Зу Sv ()
Доказательство. Введем в рассмотрение разность
Z (M, V0) -Z (M0,V0) =/((P (M, V0), V|/(M, V0)) —
-/(9(M0,V0),^(M0,V0)), (M, V0) GG.
Ее, в силу дифференцируемости функции f в точке M0, на некотором интервале (и- g- и0 + g) можно представить так:
z (M, V0)-Z (M0,V0)=
= Лм"(ф (мЛ)& gt-ф (мЛ)Хф (мЛ) -9(«o. vO))+ (6)
+ (ф („& gt- vo)& gt-V О, v0) Xv (& quot-, v0) -V (M0,V0)& gt- Представление (6) порождает соотношение ZQ, V0)-Z (M0,V0) = и — и.
f (((чЧф (& quot-'-1-о)~ф (Мо'-1-о)
Л* (Ф (M& gt-Vo)>-V С& quot-, V0))*-5-
M — M.

(7)
M-M“
„- M“
аФ (& quot-о^о) I of (x0,y0) dy (u0,v0) _dz (u0,v0)
(при вычислении соответствующих пределов мы воспользовались условием существования в точ-
дфК, У0)
ке P0 частных производных
du
du
функций n и R и непрерывностью про-
изводных Каратеодори fxM^, fyM в точке M0).
Формула (4) установлена, (5) доказывается аналогично. Теорема доказана.
5. Достаточные условия существования производной по направлению. Справедлива
Теорема 3. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области D плоскости xOy и дифференцируема в точке M0(x0- y0) этой облас-
df (xQ, y0)
ти. Тогда существует производная --- по
любому направлению, при этом последняя может быть вычислена по формуле
cosa + т^А cos? 5 (8)
dl дх ду (8)
где cosa., cos? — направляющие косинусы направляющего вектора прямой l.
Доказательство. Пусть M (x- y) — произвольная точка области D, принадлежащая l.
Рассмотрим разность AJ (x0,y0)=f (х, у)-Дх0,у0) -приращение функции f в точке M0(x0- y0) вдоль l. В силу дифференцируемости f в точке M0(x0- y0) она для точек M (x- y), достаточно близких к M0(x0- y0), может быть представлена в виде
/(Хо, Уо) = КмХХ'-Уд (Х-Х о) +
+ Л, м» (x& gt-y)Xy fay) (9)
Обе части (9) поделим на алгебраическую про-
В (7) перейдем к пределу при и ^ и0, будем иметь: limz («, y0)-z (M0,y0)_
екцию рг, М0М вектора МйМ на направление прямой l, будем иметь:
(10)
рг, М аМ рг, МаМ рг, М0М v '-
х~хь
Заметим, = = cosa '-
prtMaM
¦ У ~ У
°--nr. cn -?. -?-й-= COS ?
pr, M0M
, сле-
довательно, (10) можно переписать в виде
(11)
дх ди
ду ди
ди
р^М аМ
В (11) перейдем к пределу при М^ М0. Предельный переход обеспечивает и существование
Т. Н. Кононова и др. Изучение связи между содержанием в организме эндогенных модуляторов…
производном
d/(Wo) dl
, и справедливость фор-
мулы (8). Теорема доказана.
6. Вывод уравнения касательной плоскости к гладкой поверхности. Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке M0(x0- y0). Обоснование того, что касательная плоскость к графику этой функции в точке P0(x0, y0, f (x0- y0)) существует и имеет уравнение
z~zo -^-C*-*o) ±^-(y-y0) (12)
сводится (см., напр., [2, С. 173], [3, С. 385]) к доказательству соотношения
lim Ях'-у)~Л*»?")-/. WX*-*.)-ГМ, уЩу-у.) _0
^ ^-x^ + iy-yS '- (13)
Установим его следующим образом. Учитывая дифференцируемость функции f в точке M0(x0- y0) по Каратеодори, выражение под знаком предела в (13) можно переписать так:
fix, у) — f (x0,y0) — fl (x, yx-*")-f'-y (x, y)(y — Уь) л](х-х"У + (у- у «)2 _ (?, м. (Х'-У) — Л (х°& gt-у»))*-*.) — (?УМ, (Х'-У) — fy (x0,y0)}y — у,) tJ (x-X")2 + (у- у «У
Поскольку величины Г, ГГ77 ч^

Г, 7Г77 ограничены, а

У-*Уо
У-*Уч
, то
полученная дробь стремится к нулю при x 6×0, y 6 y0 Это доказывает (13), а следовательно, (12) действительно есть уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x- y) в точке P0.
Заключение. Итак, мы рассмотрели определенное количество утверждений дифференциального исчисления действительных функций нескольких переменных, доказательство которых можно строить на использовании понятия дифференцируемости функции по Каратеодори. Описанный метод применим и при доказательстве некоторых других утверждений. Однако ради экономии места в данной работе упоминаемый материал мы не рассматриваем, предоставим возможность попытаться сделать это читателю.
Примечания
1. Калинин, С. И. Производная Каратеодори при изложении основ дифференциального исчисления
функций одной переменной [Текст] / С. И. Калинин // Математический вестник педвузов Волго-Вят. региона. Вып. 4. Киров: Изд-во Вят. госпед. ун-та, 2002. С. 74−88.
2. Уваренков, И. М. Курс математического анализа [Текст]: учеб. пособие для физ. -мат. фак. пед. ин-тов / И. М. Уваренков, М. 3. Маллер. Т. II. М.: Просвещение, 1976.
3. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Г. М. Фихтенгольц. Т. I. М.: Наука, 1966.
Т. Н. Кононова, В. И. Циркин, О. В. Туликова, Е. В. Четверикова, Е. А. Жукова, С. И. Трухина
ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ СОДЕРЖАНИЕМ В ОРГАНИЗМЕ ЭНДОГЕННЫХ
МОДУЛЯТОРОВ ХЕМОРЕАКТИВНОСТИ И УРОВНЕМ ПСИХИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ У ПЕРВОКЛАССНИКОВ
В работе представлены данные о зависимости содержания в моче у детей эндогенных модуляторов хемореактивности от пола, уровня здоровья, гармоничности развития, зрительного восприятия, уровня внимания, степени адаптации к школе, успешности образовательной деятельности и типа темперамента.
Принятые в тексте сокращения: ВНД — высшая нервная деятельность, ВНС — вегетативная нервная система, ВПФ — высшие психические функции, ВСМ — визуально-структурное мышление, ЗВ — зрительное восприятие, ОД — образовательная деятельность, СА — сократительная активность, ЭБМХР — эндогенный блокатор М-холинорецепторов, ЭСБАР — эндогенный сенсибилизатор $-адренорецепторов.
Ранее было установлено [1, 2, 3, 4] наличие в организме человека эндогенных модуляторов прямого действия, в том числе эндогенного сен-
КОНОНОВА Татьяна Николаевна — кандидат биологических наук, старший преподаватель кафедры экологии и методики обучения экологии ВятГГУ ЦИРКИН Виктор Иванович — доктор медицинских наук, профессор, зав. кафедрой нормальной физиологии КГМА
ТУЛЯКОВА Ольга Валерьевна — кандидат биологических наук, старший преподаватель кафедры экологии и методики обучения экологии ВятГГУ ЧЕТВЕРИКОВА Елена Валерьевна — кандидат биологических наук, старший преподаватель кафедры медико-биологических дисциплин ВятГГУ ЖУКОВА Евгения Александровна — кандидат биологических наук, ассистент кафедры нормальной физиологии КГМА
ТРУХИНА Светлана Ивановна — доцент, кандидат биологических наук, зав. кафедрой анатомии, физиологии человека и валеологии ВятГГУ © Кононова Т. Н., Циркин В. И., Тулякова О. В., Четверикова Е. В., Жукова Е. А., Трухина С. И., 2006

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой