О доминионе полной подгруппы метабелевой группы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 512. 54. 01
А.И. Будкин
О доминионе полной подгруппы метабелевой группы
A.I. Budkin
On the Dominion of a Divisible Subgroup of a Metabelian Group
Доминион подгруппы Н группы, А в квазимногообразии М — это множество всех элементов, а € А, образы которых равны для всех пар гомоморфизмов, совпадающих на Н, А М
является оператором замыкания на решетке подгрупп данной группы. В работе исследуются замкнутые подгруппы относительно доминиона. Найдены условия, при которых доминион полной подгруппы метабелевой группы совпадает с этой подгруппой.
Ключевые слова: квазимногообразие, мета-белева группа, доминион, п-замкнутая подгруппа, полная абелева группа.
Введение. Понятие доминиона было введено в [1] для изучения эпиморфизмов. СоН
сальной алгебры, А в полной категории М (А € М), обозначаемым Аотм (Н), называется множество всех элементов, а € А таких, что а? = аУ для любых двух морфизмов р, ф: А ^ М € М, Н
ние р: А ^ В (А, В € М) является эпи-М
& lt-Зотм (А^) = В. Этот факт послужил началом исследования доминионов. Далее, понятие доминиона изучалось в различных классах алгебр [2−4] (см. также библиографию в [5]). В частности, была установлена тесная связь между доминионами и амальгамами. За подробностями мы отсылаем читателя к обзорной статье [2]. Целесообразность изучения доминионов в квазимногообразиях обосновывается в [5] тем, что, согласно [6], только квазимногообразия среди аксиоматизируемых классов обладают полной теорией определяющих соотношений, позволяющей определить свободное произведение с объединенной подалгеброй. Отметим, что доминионы рассмотрены в квазимногообразиях абелевых групп [3, 7, 8], а решетки доминионов введены и изучались в [5, 9, 10].
The dominion of a subgroup H of a group A in a quasi-variety M is the set of all elements a G A with equal images under all pairs of homomor-AM
H
the lattice of subgroups of a given group. In this paper we study the closed subgroups with respect to this operator. We find conditions for the dominion of a divisible subgroup of a metabelian group to coincide with the subgroup.
Key words: quasi-variety, metabelian group, n-closed subgroup, divisible abelian group.
М А
М и ее подгруппы Н доминион domM (Н) под-Н, А М
domM (Н) = {а € А УМ €МУ/, д: А ^ М, если ] н= д н, то а/ = ад}.
Здесь, как обычно, через /, д: А ^ М обозначе-
АМ
/ н — ограничение / на Н.
Несложно заметить, что domM (-) является оператором замыкания на решетке подгрупп А
НН
идемпотентный (доминион доминиона подгруп-НН Н С В, то доминион Н содержится в доминионе В
исследование замкнутых подгрупп. В [10] введено понятие п-замкнутой группы и показано [10, следствие 2], что изучение замкнутых групп своп
ности, в [10, теорема 5] описаны все 1-замкнутые абелевы группы в каждом квазимногообразии нильпотентных групп без кручения ступени 2.
* Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП ''Развитие научного потенциала высшей школы" (мероприятие 1).
Нп М, ести для любой группы, А = гр (Н, ах,…, ап)
МН
Нп равенство: Аотм (Н) = Н.
Н М
А М Н
равенство: Аотм (Н) = Н.
Цель данной работы — изучение 1-замкнутых групп в многообразии метабелевых групп.
С основными понятиями теории квазимногообразий можно познакомиться в [11−14], а теории групп — в [15, 16].
2. Предварительные замечания. Напомним некоторые понятия и обозначения.
Л2 — класс метабелевых (т.е. с абелевым коммутантом) групп.
Запись, А & lt- В означает, что, А является под-В
Через гр (Я) будем обозначать группу, порожденную множеством Я, через (а) — ци-
а
С — коммутант гр уппы С.
Через С = АХВ обозначаем полупрямое произведение групп, А и В (т.е. С = АВ, А & lt- С, А п В = (1)).
Как обычно, [а, Ъ] = а-Ъ- аЪ, аь = Ъ- аЬ.
Z, Q — аддитивные группы целых и рациональных чисел, соответственно. & lt-Ц>- - поле рациональных чисел.
АВ зывать любой гомоморфизм р: А ^ В. являющийся изоморфизмом, А на Ар. Если существу-А В А
В С
кого целого числа п & gt- 0 и любого элемента д € С уравнение хп = д имеет в группе С хотя бы одно решение.
Дадим определение метабелева квадрата группы с объединенной подгруппой. Пусть
СЛ
С = гр ({х I € I} II {г^х= г'- (ж) 2 €. 1}).
Возьмем две группы С, С-2, изоморфные
СЛ С1 = гр ({х* I € 1} 1 {гз (х)= Г (х) 2 € 7Б,
С2 = гр ({У* г € 1} 1 {гз (у) = г (у) 2 € 7}).
Предполагаем, что пересечение X = {х^ г € I} И V = {уI г € I} пусто.
НС извольное множество {Н^х) I € Ь} групповых
слов в алфавите X = {х^ г € I}, множество {Н^х) I € Ь} значений которых в С порождает Н. Возьмем группу В € Л, обладающую в Л
представлением:
В = гр (Х и У || {г^х) = г'- (х) 2 € 7}и
{гз{у) = г'- (у) 2 € 7} и {НХх^НХу) I € Ь}).
Эта группа В обозначатся через С *Н С и называется метабелевым произведением групп С С Н Н
С
единенной подгруппой Н. Отображения Х: С ^ В, где х* = хДг € I) — р: С ^ В (х? = уДг € I)) являются вложениями, и подгруппы Сх, Ср, Нл
ССН
но.
НВ
С
С и будет обозначаться через В = С * С2.
Хорошо известно (см., например, [2]), что С1 п С2 = йот1 (Н).
В [17] найдено строение коммутанта метабелева произведения метабелевых групп. Нам понадобится следующий факт из доказательства теоремы [17].
СС
трим их метабелево произведение В = С * С2. СС
вложены в В. Пусть, А = С/С^, В = С2/С'-2, С = А х В = В/В'-. ВС[, С'-2 рассматриваем как правые ZC-, ZA-, ZB-мoдyли соответственно. В [17] построены Z^ ZA-, ZB-мoдyли С^, Р, Я, содержащие в качестве подмодулей, соответственно, ВС^, С., такие, что Q, как Z-модуль, разлагается в прямую сумму Z-мoдyлeй:
Q = E®eв Р • Ъ © Е®ел Я • а. (1)
3. Основные результаты. У нас всегда С а, Н Н
ва группа без кручения ранга 1, М = Н° = гр (Н" г € Z) — нормальная подгруппа, по-
рожденная (как нормальная подгруппа) груп-НМ
М
торное пространство над полем & lt-Ц>- рациональных а
М, а М
сопряжениями). Часто будем использовать аддитивную запись.
Лемма 1. Пусть Н = ^ М — конечномерное векторное пространство над полем & lt-Ц>- размерности & gt- 2. Предположим, что минимальный мно-
гочлен преобразования, а равен
/(х) = ^ + агХ+. — + ап-1 ХП- (а0ф 0, аи-1 = 1)-п-1
Если ^ Нгаг = 0(Нг € Н), то аоНг = агНо для
г=0
всех г,
Н
но циклическая группа, то зафиксируем Н € Н такой, что Нг = кгН, где кг € Z. Считаем, что
п-
Н ф 0. Так как Н Е кгаг = 0, то, а — корень мно-
г=0
п-
гочлена д (х) = ^ кгхг. С другй стороны, а —
г
корень /(х). Так как /(х) — минимальный мно-Н
/ х д х
/(х). Таким образом, /(х) = сд (х) для некоторого с € ф, с ^ 0. Отсюда скг = аг для каждого г, поэтому сНг = скгН = агН. Значит, ао-Нг = с-1 а^сНг = с- аоагН, агН^ = с- агсН^ = с-1 а^агН, откуда ао-Н^ = агНо-. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть С = гр (а, Н), где Н = ф, Н & lt- С'-, М = Н° - конечномерное векторное пространство над полем Если С = М (а) —
ап
ный многочлен линейного преобразования век-М
л2
ментом, а имеет степень п-1, то дотс (Н) = Н.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если М = Н, то Н & lt- С Рассмотрим естественный гомоморфизм р: С ^ С/Н и гомоморфизм ф: С ^ С/Н, отобра-
С
ем: р н= ф н и д? ф д^ для все д € Н. Отсюда аот^ (Н) = Н.
МН
мерность М не меньше 2. Пусть С ^ Сг (г =
1, 2) — изоморфизмы, Нг = На = а?, Ъ = а?, Г = С * С2 — метабелево произведение групп С и С2. Считаем, что С, С ~ подгруппы Г. Пусть р: С2 ^ Сх — изоморфизм, при котором рх = рр. Условимся всякому элементу д€ С д д
образу при р — индекс 1 (т.е. д? = дх). Пусть Ж = гР (НН- Н € Н) F — нормальная подгруппа, порожденная всевозможными элементами вида НхН-1, Нх € Н. Тогда группа Г/Ж
С
и С2 с объединенными подгруппами Нх и Н2. Возьмем произвольный элемент р €
А2
с1отс (Н) и покажем, чтор € С'-. В самом деле, так как Н & lt- С'-, то группа Г = (Г/Ж)/(Г/Ж)'- изоморфна прямому произведению абелевых групп Сх/С[ и С/С'-. Пусть ?: Г ^ Г —
Г
ПУ Г, ?1 — тождественное отображение Г на
Г, ?2: Г ^ Г — гоморфизм, при котором все элементы отображаются в единицу. Так как р1?? ьр1??'-2 совпадают на Н. то, по определению доминиона, р?11 = р? ?& amp-- откуда р € С'-.
р€
А2
с1от-5 (Н), р ф 1. Покажем, что р € Н. Так
А2 -1
как р € с1отс (Н), то рхр2 € N. Далее будем
использовать аддитивную запись. а
М
/(х) = ^ + агх+… + ап-1 хп- (а0 ^ 0, ап-1 = 1)
а
ап М / х
хп — аг
всех г. Поскольку рх — р2 € N и /(х) — мно-п- р — р
следующем виде:
п-
р. — р2= Е Нго — Н-2гз)агЪо, (2)
1,3=0
где Нкгз € Нк (к = 1,2), Н? з = Нго- Если Нюо Ф 0, то вместо рх, р2 будем рассматривать, соответственно, рх — Нхоо, р2 — Нгоо- Итак, считаем, что
Нюо = 0, Н2оо = 0.
Полагаем, что у нас есть модули (^, Р, Б, введенные ранее, и имеет место разложение (1). Ясно, что рх, Нго € Р, р2, Н2о € Б.
Так как (1) — разложение в прямую сумму-модулей, то из (2) получаем
п-
Е Нгоа=0(^0), (3)
г
п-
Е Нг го ъ3 = 0 (^0). (4)
о
р
венство
п-
Е Н1 ога. г=0ОФО). (5)
г
Теперь (3) и (5) дают
п-
Е Нго — Ног) аг = 0Ц ф 0). (6)
г
По лемме 1, примененной к (3), для любых
к, г
НЦ = Н к]{30). (7)
Аналогично из (5) следует, что для любых I, г Н ]г = Н ц (30). (8)
В частности, из (7) получаем, что Н1 г] = Н1]](3 Ф 0),
а из (8)
Н1 = Н1 ц (3 Ф 0) —
Отсюда
Н1 ]г — Н1 г] (9)
г, 3 3
3
Учитывая, что Нюо = 0, из (2) следует равенство
п -1
Р1 =2 Нго аг,
г
откуда
п-
р =2 Нго^ =(по 9)
г
п-
= Н"^ =(по 7)
г
п- п-
= Н, п -1, га = 53 Н, п -1, га* - Н1, п-1, 0 =
гг
= (по 5) п-1, о.
Следовательно р^ = - Н, п-1,о € Щ. Лемма доказана. Теперь несложно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Пусть О = гр (а, Н), где Н = ф,
Н & lt- О'-, М = Н° - группа без кручения. Если ап € Ми минимальный многочлен линейного преобразования векторного пространства М, индуцированного элементом а, имеет степень п — 1, то с! оп1д (Н) = Н.
М
группа, то выберем элемент Н € М, для которого Нп = ап. Тогда (а-На)п = Нп. По-а- На, Н € М М
а- На Н
(аН-1)п = апН-п = 1. Элемент аН-1 действует Ма довательно, их минимальные многочлены совпадают. Так как рассматриваемый минимальный
п-
аН- п
О = МА (аН-1) и по лемме 2 (Н) = Н.
Теорема доказана.
О а, Н
Н = ф, Н & lt- О'-, М = Н° - группа без кручения. Если ар € М для некоторого простого
А2
числа р, то с! отс (Н) = Н.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В этом случае соответствующий минимальный многочлен равен хр-1+ хр-2 +. ^ж+1 и можно воспользоваться теоремой 1.
О а, Н Н
ская группа простого порядка р. Тогда на абелеву группу М = Н° можно смотреть как на
р
тов. Почти дословное повторение доказательств лемм 1, 2 и теоремы 1 позволяет получить следующую теорему.
О а, Н Н Н & lt- О'-
М = НЕсли О = МА (а), а& quot- = 1и минимальный многочлен линейного преобразования век-М
А2
ментом а, имеет степень п-1, то & lt-1отА (Н) = Н.
Мр
пп
р
тельно, доказательство теоремы 1 может быть Мр образом, справедлив следующий факт.
О а, Н Н циклическая группа простого порядка р Н & lt- О'-, М = НЕсли ап € М, п не делится на р и минимальный многочлен линейного преобра-
М
ванного элементом а, имеет степень п — 1, то & lt-1от?а (Н) = Н.
Замечание 1. Пусть Н & lt- О € А, Н П О'- Н
ботА (Н) = Н.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р: О ^ О/О'- -естественный гомоморфизм. Так как Нр — полО/О'-
прямым сомножителем. Отсюда существует гомоморфизм ф: О/О'- ^ Нр, тождественный на Нр. Пусть ?: Нр ^ Н & lt- О — изомор-
Н€Н
имеем: Н, р^€ = Н. Тождественное отображение: О ^ О и гомоморфизм рф? совпадают на Н. Кроме того, д1, ф др^ для любого д € Н. Полу-
А2
чаем, что с1отс (Н) = Н. Замечание доказано.
Библиографический список
1. Isbell, J.R. Epimorphisms and dominions // Proc. of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, Lange and Springer. — New York, 1966.
2. Higgins, P.M. Epimorphisms and amalgams // Colloq. Math.- 1988. — V. 56, № 1.
3. Шахова С. А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 2.
4. Magidin, A. Dominions in varieties of nilpo-tent groups // Comm. Algebra. — 2000. — V. 28, № 3.
5. Budkin, A.I. Dominions in Quasivarieties of Universal Algebras // Studia Logica. — 2004,-V. 78, Ж/2.
6. Мальцев А. И. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр // Доклады А Н СССР. -1956. — Т. 108, № 2.
7. Шахова С. А. Условия дистрибутивности решеток доминионов в квазимногообразиях абелевых групп / / Алгебра и логика. — 2006. -Т. 45, № 4.
8. Шахова С. А. Об одном свойстве операции пересечения в решетках доминионов квазимногообразий абелевых групп // Известия АлтГУ. — 2010. ДЧ.
9. Будкин А. И. Решетки доминионов универсальных алгебр // Алгебра и логика. — 2007. -Т. 46, № 1.
10. Будкин А. И. Доминионы универсальных алгебр и проективные свойства / / Алгебра и логика. — 2008. — Т. 47, № 5.
11. Будкин А. И. Квазимногообразия групп.
— Барнаул, 2002.
12. Будкин А. И., Горбунов В. А. К теории квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. — 1975. — Т. 14, Ш2.
13. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск, 1999.
14. Мальцев А. И. Алгебраические системы.
— М., 1970.
15. Каргаполов М. И., Мерздяков Ю. И. Основы теории групп. — М., 1982.
16. Будкин А. И. О доминионах в квазимногообразиях метабелевых групп // Сиб. матем. журнал. — 2010. — Т. 51, № 3.
17. Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. О метабелевых произведениях групп // Алгебра и логика. — 2004. — Т. 43, № 3.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой