О движении мелкой частицы в плоском стационарном потоке с произвольным полем скоростей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Т о м XII
19 8 1
№ 3
УДК 533.6. 071. 08
О ДВИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПЛОСКОМ СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ
Ю. Е. Кузнецов, Ю. П. Чернов
Для случая движения мелкой сферической частицы в плоском стационарном вихревом потоке при условии малого различия между вектором скорости частицы и вектором скорости потока найдена зависимость угла между этими векторами и относительной разности модулей этих векторов от параметров потока: кривизны линии тока, продольного градиента давления и завихренности.
1. В связи с развитием лазерных методов измерения скорости газовых потоков усилился интерес к изучению движения в них мелких частиц [1, 2]. Из этих и других работ известно, что достаточно мелкие частицы движутся вместе с газом, и по их движению можно хорошо отслеживать движение газа. Однако в случае аэродинамических приложений, когда объемы движущего газа невелики, а продольные и поперечные ускорения могут быть значительными, возможны случаи, могда между движением газа и частиц имеется различие. В этих ситуациях для определения скорости газа по скорости движения частиц необходимо или проводить дополнительные измерения [1], или вносить поправки. В настоящей работе проводится количественный анализ отклонения скорости мелкой частицы от скорости газа при движении частицы по криволинейным траекториям при наличии продольного ускорения и завихренности потока. Целью работы является определение этих отклонений и их зависимости от различных факторов. Основное внимание будет уделено случаям, когда эти отклоне-'- ния малы.
Будем рассматривать движение мелкой сферической частицы на малых интервалах времени, в пределах которых поле потока на пройденном частицей пути можно считать локально однородным. Это дает возможность для определения, силы, приложенной к частице, воспользоваться формулой Буссинеска:
ю
где И/-сила, действующая на частицу, а -радиус частицы, р — плотность потока, [л — динамическая вязкость, I — время, V (?), и (0 — абсолютные скорости частицы и газа соответственно, V (^) = = V (?) — и (г1) — скорость частицы относительно газа.
Первый член в формуле (1) представляет собой силу Стокса, т. е. силу, действующую на частицу при ее стационарном движении относительно жидкости- второй, третий и четвертый члены учитывают нестационарный характер движения частицы. Покажем, что в исследуемом случае этими членами можно пренебречь.
Прежде всего отметим, что четвертый член содержит корень из времени в знаменателе, и при достаточно большом времени движения его можно не учитывать. Условие малости второго члена по сравнению с первым имеет вид
^ «4 -~?гЪ (2)
(И '-^'-2 рй2
Это условие ограничивает ускорение частицы в относительном движении- Условие (2) ниже будем считать выполненным.
Для удобства дальнейшего анализа уравнение (1) без второго и четвертого членов в правой части перепишем в виде
Ш — - бира V (0) — 6яра
и& gt- V- 1
1 «Л У*-у]
а (у. (3)
Второй член в подынтегральной функции можно не учитывать, если
а2 р
V'--
«1.
У*-у
Для выполнения этого неравенства переменную интегрирования достаточно менять в пределах
где 1 равно отношению величины членов под интегралом в формуле (3). При не слишком больших N интервал интегрирования в третьем члене формулы (1) оказывается достаточно малым, производную можно считать постоянной и вынести из-под знака интеграла, а интеграл взять. В результате получим
№ а2 р
«-2ІНП & lt-4>-
Отсюда условие малости третьего члена по сравнению с первым запишем в виде
'- йУ '-сИ
При N-10 условие (4) является более жестким, чем условие (2). Поэтому ниже условие (4) будем считать условием применимости формулы Стокса для расчета силы сопротивления, действующей на частицу при ее движении в жидкости. Физически это означает, что для применимости формулы Стокса изменение скорости частицы в относительном движении за время установления вязкого обтекания частицы потоком, порядка ра2/^, должно быть достаточно малым по сравнению с величиной самой скорости.
Уравнение движения частицы при этом будет иметь вид
йю и — V
-Щ-=-- ' (5)
где т --характерное время (время релаксации), р* - плотность частицы.
2. Для количественного анализа слежения скорости частицы V за скоростью потока и введем переменные величины, описывающие это слежение: є (?) — угол между векторами и иг», 8(0 —
|гГ| - |и| «& quot-*¦
— --=-- - относительную разность модулей векторов и и V.
М
Так как при идеальном слежении е = 0 и 2 = 0, то всюду ниже будем считать величины е и 8 малыми по сравнению с единицей. Приведем вывод дифференциальных уравнений, описывающих зависимость е и 8 от времени. Запишем уравнения установившегося движения несжимаемой невязкой жидкости в криволинейных ортогональных координатах ^2), когда координата ^ направлена вдоль линии тока, q2 — перпендикулярна к линии тока ([4], стр. 409). Для двумерного случая с учетом того, что проекция скорости на координатную линию д. г всегда равна нулю, получаем
д I и2 _ _1_ др д 1п Ь. х _' 1 др™
Г^їГ' ~ Т~
где р — давление.
Уравнение неразрывности и выражение для завихренности О в принятых переменных имеют вид [4]
д 1п (Ао и) _ п т
дЧ1 и'
2 = (8)
где Иу и /г2 — коэффициенты Ламэ.
Перейдем в правой части (6) от дифференцирования по координатам ^ и qi к дифференцированию по длинам дуг 51 и й2 этих
координатных линий. Из определения Ламэ
йві
следует, ЧТО
-4Г=А*15Г* /=1& gt-2-
Для кривизны линии тока и кривизны & amp-2 нормали к линии тока имеем следующие выражения через коэффициенты Ламэ ([3], стр. 247):
^ = й2=--і_І1НА. (10)
1 Й22 ' Й! д?! 4 '-
С использованием (7) — (10) уравнения движения (6) принимают вид
т?. & lt-и>-
Л. -4Й-- г-& gt-. 2
12
Далее из (7) и (8) с использованием (10) и (11) получаем выражения для производных от скорости газа, но длинам дуг координатных кривых
1 др
ди
ди
ри дєг ' -г- = ик1 — 2 =--------------------------М-
05 2 Щ ^2
¦2.
(12)
Дифференциал угла поворота вектора и на траектории частицы по определению равен
^(1) — с1 $^2 ^2'-
С учетом того, что для малых е на траектории частицы & lt-?я2 —
== 8^! И ЧТО
= и (^! — & amp-2 5)
Рис. 1
Имеем следующие соотношения для:
дифференциала угла поворота скорости частицы V (рис. 1)
с? а =--^(И-
V М '
дифференциала угла между векторами и и V
4- ^г+"(*і-м
& lt-И
(13)
величины скорости газа на траектории частицы (по определе-
нию)
ди.
ди
Ли = Й52 = ["22 + (И/^і - 2) М?] Лі-,
вектора V (см. рис. 1)
4у = - =}-& lt-и.
1 аі
(14)
(15)
Здесь и — проекции ускорения (5) на координатную
сетку & lt-7г (см. рис. 1).
г-.
Производная
& lt-и
Л IV — и сіі
1 Лу
V М
1 Ли и йі
йу
1
Ли
Лі
и СІІ
или с учетом (14) и (15)
& lt-и
(16)
Из треугольника скоростей (см. рис. 1) с учетом малости $ и 8 получаем
dvi
dt
dv s dt
(17)
Подставляя эти соотношения в (13) и (16) и пренебрегая в правых частях уравнений членами м^е и и?3г по сравнению с остальными, получаем систему уравнений для определения г (/) и 8(/):
^-=-(е-е0),
= - (8 — 80) — (е -е0) 9 т,
(18)
где
т
(19)
г0 — - ukt х, 80 = - и& amp-2 ^
Если е0 и 80 не зависят от времени, то система (18) имеет простое решение
6 (0 = so + (®н — е») ехр (-*) —
8 (7) = 80 -f [(8Н — 8о) — (вн — г0) Qtj] ехр {-!), где ен и 8Н -значения е и 8 при? = 0.
Из (19) видно, что параметрами задачи являются безразмерные комбинации
ukj -с =------ = -4^- т 4- ?к,
1 pH OS 2 OS 2
, т др ди
UtZ& lt-) X '- -ч — т"•
ри dsj 0SX
2х = т |rot и |.
Типичные зависимости е (^) и 8 (t) для» различных начальных значений? н и 8Н и различных параметров задачи показаны на рис. 2.
Из соотношений (19) видно, что если в произвольном течении за& quot- время параметры задачи можно считать постоянными
--0,02
г0=0Д-^0,02
Ш
то величины е и 8 асимптотически стремятся к значениям е0 и 80. Отсюда следует, что е0 и 80 являются хорошими оценками величин е и 8, когда за время Д^& gt-^ параметры задачи меняются достаточно мало вдоль траектории частицы. Это условие может быть записано следующим образом:
|Д (икх) С ики |Д (и& amp-2)) & lt-С икг, |Д2| & lt- 2 при М & gt- т, (20)
где
Д = Д?
а (до2 & lt-р
+ ¦& gt- си?,-'-*'- •••
(ДО& quot-
& lt-1п
М 2 йр | | п
Покажем, что условие (4) ограниченности ускорения частицы в относительном движении выполняется. С помощью треугольника скоростей (см. рис. 1) и соотношений (17) получим выражение для модуля относительной скорости частицы
Щ^ъ — и=яУ*^Ф. '-? (21)
После подстановки (21) в (4) и учета того, что
СIV
& lt-и
•Ь.
йе
чг
условие (4) примет вид
р*
р
'- (22) 10) условие (22),
Поэтому при не слишком больших N (N, а следовательно, и условие (4) выполняются.
3. Ниже будут даны примеры получения оценок для в и 8.
В качестве первого примера рассмотрим течение в окрестности точек, А и В (рис. 3) при обтекании цилиндра равномерным
на бесконечности потоком.
В окрестности точки, А компоненты скоростей в прямоугольных декартовых координатах, изображенных на рис. 3,
2"оо 2Ноо
«*¦=. -«- х& gt- «* = -«» У-
Функцию тока и потенциал запишем в виде
2 о я 2
Ху = С1, у2 — Х* = С2.
Кривизны линии тока и линии равного потенциала определяются соотношениями
9 л
.2 1
Параметры задачи в данном случае зависят от координат точки, в которой рассматривается слежение, и равны
*2
uk{ * = 2ci
uk2 х = С2-
Л4 + Cj 1
я 2 а:2 +
Ограничиваясь рассмотрением точек, лежащих на биссектрисе угла между векторами и п, имеем следующие оценки для этого угла и относительной разности модулей скорости газа и частицы:
2и"т
е0 = - ukj т
Условие применимости оценок (19) в данном случае определяется неравенством
1 /
2 ¦*4 + 4 /
(му «
ж2
(1
(It
(2л:2 +)
2-*3 + с2
ИЛИ
с 1 при kt^z.
Пусть ожидаемая оценка г и 8 порядка 0,01 и точность, с которой эта оценка должна быть сделана, порядка 0,001. Тогда
из (19) следует, что для указанной точности достаточно иметь Д?~т. Условие применимости оценок (20) окончательно запишем
в виде — Т — & lt-0,1.
Отсюда, например, при «& lt-*,= 100 м/с, т = 10~6 с получаем для
радиуса цилиндра 1 мм.
Величина скорости газа в окрестности точки В (см. рис. 3)
и = 2иоо8т0, кривизна линии тока й1 = 1/а.
Условие применимости оценок (19) запишем в виде
и
ос
а
Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получаем
«0,3.
м-
Отсюда, например, при 100 м/с, х=10−6с для выполне-
ния условия применимости оценок нужно наложить ограничение на радиус цилиндра: а & gt-0,3 мм.
Оценки для е0 и 80
2гг_
50 = 2 и,
оо «-2
Т = 0.
В качестве второго примера рассмотрим (в полярных координатах) движение в свободном вихре («& lt-р = т/г, и,. = 0), подробно
исследованное в [1]. Оценка (18) дает в = & amp-0 = - =----.
Условие (20) применимости оценок запишем следующим обра-
'- - - «1 г сН ^
зом:
Учитывая, что ~ = юг и = е, где V, и г"9 — радиальная и окружная составляющие скорости частицы соответственно, получим
Подставляем в это равенство вместо? ее оценку. Примем, как и раньше, — як1. Тогда радиальная координата частицы должна удовлетворять условию
Видно, что оценка для е с учетом ограничения ее применимости совпадает с асимптотическим^ решением, изложенным в [1].
В заключение отметим, что приведенные выше формулы для оценки угла е между векторами скорости газа и скорости частицы и относительной разности 8 модулей этих векторов 8 могут быть использованы как для анализа границ применимости лазерного допплеровского способа измерения скорости газового потока, так и для введения поправок в результаты таких измерений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г родзовский Г. Л. О движении мелких частиц в газовом потоке.. Ученые записки ЦАГИ& quot-, т. V, № 2, 1974.
2. Бусройд (Воойгоуё). Течение газа со взвешенными частицами. М., «Мир», 1975.
3. М, а к-К о н н е л А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М., Физматгиз, 1963.
4. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., Изд. АН СССР, 1961.
Рукопись поступила 6/1 1978 г.
2-. Ученые записки ЦАГИ» № 3.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой