О двумерных дискретных операторах Винера-Хопфа с разрывными символами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Международный Научный Институт «Educatio» VIII (15), 2015
Использование компьютерной техники на уроках дает возможность:
• повысить у учащихся интерес к предмету-
• облегчить формирование у учащихся основных понятий по изучаемой теме-
• подготовить к самостоятельному усвоению дисциплин-
• выявлять и развивать способности-
• интеллектуально развивать учащихся-
• использовать формы организации школьной жизни, обеспечивающие ученику возможности выбора задания, способа его выполнения, материала, темпа, объема, и т. д. -
• расширить виды совместной работы учащихся-
• повысить многообразие видов и форм организации деятельности учащихся (проектные, индивидуальные, групповые и т. п.).
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Информационная образовательная среда
гимназии подчиняется образовательному процессу, обеспечивает и обслуживает в первую очередь учебную деятельность учебного заведения[3,с. 5].
Список литературы
1. Якиманская И. С. Личностно ориентированное обучение в современной школе. М., 1996.
2. Беренфелъд Б. С, Бутягииа К. Л.
Инновационные учебные продукты нового поколения с использованием средств ИКТ (уроки недавнего прошлого и взгляд в будущее) // Вопросы образования. 2005. № 3.
3. Невуева Л. Ю., Сергеева Т. А. О перспективных тенденциях развития педагогических программных средств // Информатика и образование. 1990. № 3
О ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРАХ ВИНЕРА-ХОПФА С
РАЗРЫВНЫМИ СИМВОЛАМИ
Пасенчук Александр Эдуардович
Профессор, доктор физ. -мат. наук, профессор Южного Федерального Университета
Ростов-на-Дону
ABOUT TWO-DIMENSIONAL DISCRETE WIENER-HOPF OPERATORS WITH DISCONTINUOUS SYMBOLS
Pasenchuk A lexander
Professor, Dr. Sci., Professor of Southern Federal University
Rostov on Don
АННОТАЦИЯ
В счетно-нормированном пространстве двумерных умеренно убывающих последовательностей изучен вопрос об ограниченности и обратимости операторов Винера-Хопфа с разрывными символами.
ABSTRACT
The countably normed space of two-dimensional moderately decreasing sequences examined the issue of limitations and invertibility of Wiener-Hopf operators with discontinuous symbols.
Ключевые слова: счетно- нормированное- пространство- ограниченность- обратимость- разрывный- символ.
Keywords: countable- valuation- space- limitations- invertibility- discontinued- symbol.
Будем пользоваться следующими
обозначениями: Z — множество целых чисел,
Z+ ={k e Z: k & gt- 0}, Z_ = Z / Z+, C —
множество комплексных чисел,
T = {*eC: |#| = 1}, D'-={t-eC: |#|<- 1}, D≅{{eC: |ф 1}
. Обозначим через l++ {m}, m = (^, ^)
счетно-нормированное пространство
последовательностей
С M = {& lt-P = {& lt-W }(k JeZ2: V^ n) e Z+3cmn, & gt- 0 W? cmn (k + 1)& quot-"- 0 + 1)& quot-" }
с покоординатными линейными операциями и порождающим набором норм
Z (k + 1) m (j + 1) n К (m, n) e Z+.
k, j
Введем следующие операторы
лr: l++M^C- ,({,})=, (^s)eZ+2
m, n
и
Международный Научный Институт «Educatio» VIII (15), 2015
129
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ттг/. С1++{т, 7irs ((p) = {(pkj}, %
V (k, j) = (г, s)
0 (к, j)*(r, s)'
(r, s) e Z+
Каждому линейному оператору
A: l++ {e} -- l++ {& lt-X)} поставим в соответствие
a,
rs, ql
& lt- Cm, (r +1)-" (s + 1) к- (q +1)-" (l +1)
«двумерную»
матрицу
Л = {ars, q)& gt- ars, ql = KrsAftqi. Из определения, А вытекает, что оператор, А действует по правилу
(A ({Vkj }))Г (? = ^ ars, qlVl, (r, q) е Z± ХопфаС
(s, l) eZ+
Теорема
1.
Оператор
Оператор A: l++ {^} - l++ {^}
называется оператором Винера-Хопфа, если его матрица, А такова, что ее элементы С1г: ^ зависят
лишь от разностей r — S, q — l. Оператор Винера-однозначно определяется двумерной числовой
последовательностью a = {a^-}
A: l++M -l++M ограничен тогда и только по формуле (Wap)k. = X
к, j) eZ 2
и действует
++ С J ++
тогда, когда по
любым («, „) Е Z^ найдутся C'- & gt- 0, km“ Е Z,, lm „Е Z. так, что
элементы матрицы, А удовлетворяют оценке
ak-s, j-Vsl. И3
(s, l) eZ+
теоремы 1 вытекает, что оператор Винера-Хопфа ограничен в пространстве l++ {& lt-ю} тогда и только
тогда, когда элементы определяющей этот оператор последовательности удовлетворяют условиям:
%
1) Vm“ Е Z+3Cm-» & gt- 0:
2) Vm е Z 3c & gt- 03"0 е Z
у + m 0
& lt- Cm, (k + 1)-m (j + 1)-", (k, j) Е Z
ф Cm (k + О & quot- (M + lT & gt- (kj) G Z+ X Z
3) /n E Z+3cn & gt- 03"0 E Z+: ац | & lt- си (|?| +)щ (j +1)"", (k, j) eZ_xZ+
4) 3m0, «0 e z+ & gt-0: + & lt- c (Ikl++ (ljl++, (k, j) Е z-
Пусть a = .,.)ez 2
— двумерная числовая
последовательность, порождающая ограниченный оператор Винера-Хопфа. Поставим в соответствие этому оператору четверку функций двух комплексных переменных
А~+(А, А2)= X а: Л2 ¦ определенных
{k, j) eZ±xZ+
на множествах D X D, D X D+,
D+x D, D+x D+ соответственно. Отметим, что для произвольного ограниченного оператора Винера-Хопфа некоторые из этих функций не определены (и, вообще говоря, не могут быть
Т~'-2
доопределены) на торе 1. В связи с этим символом
оператора Wa назовем четверку функций
A (#) = (A-'-(#,#2), A- + (#,#2), A± (#"#2), A++(#,#2))
Обозначим через
линеалы функций двух комплексных переменных следующего вида:
Международный Научный Институт „Educatio“ VIII (15), 2015
130
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
П& quot- (Г) =
л±т (5,й)= I
(k, j'-)eZ+
'-2
предполагая, что коэффициенты {а^- }
удовлетворяют условиям 1), 2), 3), 4) соответственно. В каждом из линейных пространств П±=Р^Г2^ введем топологию, индуцированную сильной топологией пространства End l++{ да}.
Лемма 1. Каждое из топологических пространств П±Т (Г2) является коммутативной
топологической алгеброй с единицей относительно поточечных линейных операций и операции поточечного умножения.
Отметим, что, в частности, условиям 1), 2), 3), 4) удовлетворяет любая последовательность, а, состоящая из элементов, убывающих на бесконечности быстрее любой степени. Нетрудно
видеть, что в этом случае для оператора W
традиционно
определенный
символ
являющийся
л (^2) = I ,
(k, j) eZ2
гладкой на торе Г2 функцией двух комплексных переменных. В этом случае можно говорить о том, что символ однозначно определяет оператор Винера-Хопфа при помощи своих коэффициентов Фурье. Однако ситуация меняется в том случае, когда символ оказывается разрывной функцией, что, как показывают приводимые ниже примеры, вполне возможно. Дело в том, что иногда функции с различными аналитическими особенностями суммируются к функциям, почти всюду совпадающим
на торе Г2, но, разумеется, при этом порождают разные ограниченные в пространстве l++ {да}
операторы Винера-Хопфа (см. [2, стр. 249]). Из сказанного следует, что определение традиционное
обозначение Wa оператора Винера-Хопфа, вообще
говоря, некорректно в случае пространства l++ {да}. Тем не менее, условимся для краткости пользоваться записью вида WA N, указывая на место в четверке для
функции л в тех случаях, когда эта функция может быть аналитически продолжена в одну из областей
X D. Например, запись W _j будет
(1-йй-1) —, 2
означать, что речь идет об операторе Винера-Хопфа с
символом (0, л-+, 0, 0). Если же мы будем
говорить о символе такого оператора, то условимся вместо четверки функций писать для краткости
(Л)м, ^е{--,±,-+, + +}.
Двумерным операторам Винера-Хопфа в счетно-нормированных пространствах посвящено незначительное число работ (см. [1], [2] и цитируемые там работы). Двумерные операторы Винера-Хопфа с разрывными символами в пространствах типа
l++ {m}, m = (да, да) практически не
рассматривались.
Разумеется, для произвольных символов ограниченных операторов Винера-Хопфа
Л (#) = (л--(#"й), л-+(#"й), Л±(#»?), л++(#"#2))
Пусть а:
ы
операция умножения неопределена. Тем не менее, для некоторых пар символов операция «K~'-kJ) (k, j) eZ+
умножения может быть введена. Опишем один из последовательность. Положим + возможных способов определения умножения °
двумерная
а
(n) = {ak (П)}(k, jyz,.' akj
а
(П) =
а
kj, (k, j П] X П]
0, (k, j)^[-n, n] X [-n, n]
Символ оператора W
a (n)
a = K}(k, w 2 *P = {Pj }
порожденного v & quot-J k, j) eZ+
ограниченные операторы
порождают
(k, j) eZ+2
Винера-Хопфа, а
(, Vi ^/luui ivuuuiv J
n), обозначим через л (^) (^)
ЛП (^). Предположим, что последовательности тригонометрических полиномов, построенные выше.
последовательности
Положим
по
определению
Международный Научный Институт «Educatio» VIII (15), 2015
131
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
A (f)°B"(f) = A,(Z)B, ti)
Если
последовательность JW (m)*/?(m) сходится в смысле топологии End 1++ {ад} к оператору Винера-Хопфа Wy, то положим ^(f)°?(f)=c (f), где
с (f) — символ оператора W • При выполнении описанных условий будем также пользоваться записью 4#)оЯ (#) = 1тЧ (#М,(#) —
Замечание. Мы предполагаем, что последовательность JW (m)*/?(m) сильно сходится к
оператору Винера-Хопфа. Вообще говоря, эта последовательность не обязана сходиться, а если и сходится, то сильным пределом не обязательно является оператор Винера-Хопфа.
В леммах 2−5 описывается поведение
простейших операторов Теплица с разрывными символами.
Лемма 2. Пусть
A (f) = ((1 -toffГ)_, to еГ. Тогда
оператор WA1: 1++ {ад} -- 1++ {ад} ограничен и обратим, при этом обратным к нему оператором
является оператор W, , •
1-tof1 f2
Лемма 3. Пусть
A (f) = ((1 — toff-1)-1)+, to еГ. Тогда
оператор Wa 3: /++ {ад} -- /++ {ад} ограничен и обратим. При этом обратным к нему является
оператор W 1.
1-t0f1f2
Лемма 4. Пусть
A (f) = ((1 -tof, f2−1)-1) +, to еГ. Тогда
оператор Wa 2: /++ {ад} -- ^++ {^} обобщенно
обратим, но имеет бесконечномерные ядро и коядро. Лемма 5. Пусть
A (f) = ((1 — toff2)-1)++, to еГ. Тогда
оператор Wa 4: /++ {ад} -- /++ {ад} неограничен. Пусть
A (f) = («_и?& quot- 1f2 + «oo + «1,-1f1 f2 1) 1
«-1 1 ф o,
«11 ф o
. Не ограничивая общности, всюду ниже будем считать, что «х х = 1. Рассмотрим в пространстве
/++ {ад} всевозможные операторы Винера-Хопфа, порождаемые функцией A (f)в описываемом ниже
смысле.
Функции
(A (f)Г = f1−1f2 + «oo + «1,-1f1 f2−1
сопоставим тригонометрический полином
p (t) = t + «oo +"1_1tи через tp t2
обозначим корни этого полинома. Отметим, что если tj ф. Г, J = 1,2, то оператор Wa определен в
классическом смысле и имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Если tj ^ Г, J = 1,2, то для
оператора Wa: /++ {ад} -- /++ {ад} следующие утверждения равносильны:
1) оператор WA нетеров,
2) оператор WA фредгольмов,
3) оператор WA обратим слева,
4) оператор WA обратим справа,
5) оператор WA обратим,
6) tj е D+, t2 е D или
eZT, t2 g. D+.
& gt-. Покажем, что если не выполняется 6), то
dimker WA = dimcokerWA = ад и,
следовательно, 6) вытекает из любого из условий 1) —
5). Пусть, например, tj е D+, t2 е D+. Если
t Ф, то функция
A (f) = (f f2 + «oo + «1,-1f1 f21 У допускает следующее представление
A (f) = (t2 — t,)-1 ((l — t2f, f2-' 1 ' - (l ¦- 1'-)
. Но тогда, какова бы ни была последовательность
Ф = {& lt-Pkj}: Vkj = 0, J Ф o имеем
r

WA^ = (t2 — t1)_1
W
w-W
{1-t2f)-lY (1-t1f1f2−1)-1

= (t2 — t1 Г11 o
Международный Научный Институт «Educatio» VIII (15), 2015
132
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
. Если ti —, то, нетрудно видеть, что
A (ft) — ^ aj (ftft& quot-1 У, поэтому WA (p — 0 и
jeZ+
в этом случае. Это означает, что
dimker WA — dimco ker WA — ад.
Аналогичным образом, нетрудно проверить, что и
dimcoker WA — ад.
Предположим теперь, что 6) выполнено и при этом, для определенности, будем считать, что
tj е D+, t2 е D. Рассмотрим уравнение
W^fi — f. Применяя двумерное преобразование
Лорана L, получим уравнение
Т (ft, ft) — F'-+ (Aft), (ft ft) е Г2
в счетно-нормированном пространстве
W*'-(r2) — L (/++ {ад}). При этом
Т — LWaL 1 — оператор Теплица с символом
A (ft) — (ft"ft2 + а00 + a1,-1ft1 ft21 К.
Нетрудно проверить, что любую
Ф++ (ft, ft) е W*+ (Г2) функцию можно
единственным образом представить в следующем виде
ф++ - ф++ (0,0)+(ft — tft2) ф* (ft)+(ft — t-'ft1)ф+ 1)+(ft -1)(ft -111++ (1ft)
где
. Подставляя это разложение в уравнение Ф+(^)еИ'-ад+(Г), ф+({. ^(ГУ Т++(«. г1) еК-+(Г2) (T^++)(ft, ft) = F++(ft, ft), получим
(1 — tit-1)& quot- Ф++ (0,0) + ?Ф+ (ft) + ?2Ф* (ft2) + ftft2^++ (fti, ft2) — ftF++ (fti, ft2)
. Отсюда следует, что
Ф++(0,0) -(t1 -12) F++(0,0), Ф+ft) — -tft (F++(ft, 0)-F++(0,0)), Ф* ft) — -ft (F++ (0ft) — F** (0,0)),
У& quot- (ftft) — -ftft-1 (F+* (ftft) — F ** ft, 0) — F *+ (0ft) + F *+ (0,0)).
Это означает, что при любой правой части
уравнение (^A^& gt-++)(ft1, ft2) = F++ (ft1 & gt- ft2)
имеет единственное решение в пространстве W++(r2). Таким образом, из условия 6) вытекает
-1
позволяют получить конструкции операторов
Т-А W-A
Теорема
v-1
3.
Пусть
обратимость оператора ТА — L WAL
следовательно, и каждое из утверждений 1), 2), 3), 4),
5). & lt-.
Замечание. Утверждения теоремы, разумеется, остаются справедливым и в пространствах
Z++ (Г2), 1 & lt- р & lt- ад. Более того, они °пераг°р
переносятся на случай символов вида
A (ft) — (p (ftft2 1)), где p (t) — произвольный
тригонометрический полином. Отметим, что
приведенные в теореме построения при решении
(F^++)(ft, ft) — F ++»)
(A (ft)) — - (1 — t. ftft-1)(1 — ft, — ft), где
t1 еГ, а t2 е D +. Тогда оператор Теплица с символом (l — tftftft)+_ о (1 — tftftft2)
ограничен и обратим в пространстве W++ (Г2), а
Теплица
символом
(l — tft%2 1)_+ °(] ~ 12Ъ '-ь2) ограничен в
пространстве WГ (г2) является обобщенно
обратимым и имеет бесконечномерные дефектные подпространства.
с
уравнения
Международный Научный Институт «Educatio» VIII (15), 2015
133
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Теорема 4. Пусть
(A (#))_1 =(1 -)(1 —, где
tl еГ, а2 Е D. Тогда оператор Теплица с
символом
ограничен и обратим в пространстве W*+ (Г2) ,
оператор
в
Теплица
а
символом в
О — 1ЛЛг)_+ °(| - 1г%'-%2) ограничен
пространстве WT (Г2) является обобщенно
обратимым и имеет бесконечномерные дефектные подпространства.
Теорема 5. Пусть
(A (#))-1 =(1 -1,?#2−1)(1 — t-Vfe) — где
с
?1,t2 еГ. Тогда оператор Теплица
тогда и только тогда, когда t Ф t2 ограниченности обратим в пространстве
с символом ограничен и в случае
С+(Г2).
Цитированная литература
1. Городецкий М. Б. Об одном теплицевом операторе в пространстве
бесконечно дифференцируемых функций двух переменных. Изв. СКНЦ
ВШ- Ростов-на-Дону, 1979, № 3, с. 3−5.
2. Пасенчук А. Э. Дискретные операторы типа свертки в классах последовательностей со степенным характером поведения на бесконечности., Ростов-на-Дону, изд — во ЮФУ, 2013, 280 С.
ГРАФАН И ЕГО СВОЙСТВА
Прокофьева Елена Васильевна
к.ф. -м.н., профессор РАЕН, старший преподаватель кафедры криминалистической техники УНКЭКД,
Волгоградская академия МВД России, г. Волгоград Прокофьева Ольга Юрьевна
преподаватель кафедры математических и естественнонаучных дисциплин, Волгоградский
политехнический колледж им. В. И. Вернадского, г. Волгоград
Дунаева Елена Владимировна преподаватель кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Волгоградский
политехнический колледж им. В. И. Вернадского Китаев Сергей Анатольевич
Заведующий кафедры техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта Волгоградский политехнический колледж им. В.И. Вернадского
GRAPHANE AND ITS PROPERTIES Prokofeva Elena
Ph.D., Professor of Natural Sciences, a senior lecturer in forensic technology UNK ECD Volgograd Academy of the MOI of Russia, Volgograd Prokofeva Olga
Lecturer, Department of Mathematical and Natural Sciences, Volgograd Polytechnic College VI Vernadsky, Volgograd
Dunayeva Elena
Lecturer, Department of Mathematics and Natural Sciences Volgograd Polytechnic College VI Vernadsky Chinas Sergey
Head of the Department of maintenance and repair of motor transport
College VI Vernadsky, Volgograd
АННОТАЦИЯ
В данной статье мы попытались разобраться в вопросе о проводимости графана. Полуэмпирическими, квантово-химическими методами были получены результаты расчетов структуры и основных электронноэнергетических характеристик графана.
ABSTRACT
In this article we have tried to understand the question of conductivity graphane. Semi-empirical quantum-chemical methods have been obtained results of calculations of the structure and the main electron-energy characteristics graphane.
Ключевые слова: графан, графен, квантово-химические расчеты, модель молекулярного кластера. Keywords: graphane, graphene, quantum-chemical calculations, molecular cluster model.
Впервые термин «графан» появился в 2006 году — в статье американских физиков-
теоретиков Graphane: a two-dimensional hydrocarbon, опубликованной в архиве препринтов,
а затем в журнале Physical Review B. В этой работе теоретически показано, что в результате взаимодействия графена с атомарным водородом может образоваться новое вещество с химической

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой