О единственности решения нелокальной задачи с нелинейным интегральным условием для уравнения четвертого порядка

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 956. 3
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО
ПОРЯДКА
© 2013 В.Б. Дмитриев1
В работе рассматриваются начально-краевые задачи с нелокальными граничными условиями, содержащими интегральный оператор, для уравнений высокого порядка. Доказана единственность решения задачи.
Ключевые слова: нелокальная задача, интегральное условие, уравнение 4-го порядка, обобщенное решение.
Введение
Нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений с частными производными в настоящее время весьма активно изучаются, однако в основном рассматриваются уравнения второго порядка. Отметим некоторые из недавних работ по исследованию нелокальных задач для гиперболических и параболических уравнений [1−3] и список литературы в них. Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что стандартные методы для их изучения часто оказываются неприемлемыми без соответствующих модификаций.
Многочисленные работы по исследованию уравнений высокого порядка в своем большинстве связаны с изучением классических начальных и начально-краевых задач. В книге [4] приведен обширный перечень работ, посвященных этим вопросам. Добавим к нему несколько более поздних работ [5- 6].
В настоящей работе доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи с нелокальным условием, содержащим как интегральный оператор от искомого решения, так и значение производной от него на границе.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
п д
Ьи ее — V& quot- - (.) + с (х, Ь) и = /(ж,?) (1. 1)
дх^
1,3=1
1 Дмитриев Виктор Борисович (dmitriev_v. b@mail. ru), преподаватель информатики Самарского государственного колледжа сервисных технологий и дизайна, 443 020, Российская Федерация, г. Самара, ул. Галактионовская, 37
в цилиндре Q = {(х, т): х € О С К& quot-, 0 & lt- т & lt- Т}, где П — ограниченная область в К& quot- с гладкой границей, и поставим для него нелокальную задачу.
Задача. Найти в области Q решение уравнения (1. 1), удовлетворяющее усло-
и (х, 0) = у (х),
(1. 2)
иа (х, Т) = ф (х), иш (х, 0) = п (х),
(1. 3)
иг (х, 0) = и (х)
(1. 4)
и нелокальным условиям
ди
1,3=1
соб (п, хн)3т = ! I К1(х, у, г, и (у, т)) ?у ?т +
& quot-=1 3 о п
+ ^ К2(х, у, г, и (у, г)) ?у, х € дП, (1. 5)
п
где ^(х), ф (х), п (х), К1 (х, у, т, и (у, т)), К2(х, у, Ь, и (у, Ь)) заданы, а Бт = {(х, Ь): х € € дП, 0 & lt-Ь & lt- Т} - боковая поверхность цилиндра Qт. Здесь
аз = 0,31, у2 & lt- а3 (х,?)?г& lt- V & gt- 0. ?, 3=1
Функции Кг (х, у, Ь, и) предполагаются заданными в П х П х [0, Т] х К.
Введем понятие обобщенного решения поставленной задачи. Для этого умножим (1. 1) на V € WГ21,2(Qт) такую, что у (х, Т) = 0, vt (x, 0) = 0, и, предполагая, что и (х, Ь) является решением задачи (1. 1)-(1. 5), проинтегрируем уравнение (1. 1) по цилиндру Qт:
т т
J ! Ьи • V? х & amp- = ! J fvdxdt. о п о п
Интегрируя слева по частям, получаем
т
(-щть агз (х^) иХ}vXi +
оп
г, 3=1
+с (х^ и^ ?ЪА — Iи^ ?х +1

п
V -соз (п, Хг) (?в (Ы = / /
п
ди
т
?х + j и^г оп
т
?х-
о дп
г, 3 = 1
оп
г
о
Заметим, что ицг=т = Ф, Щиг=0 = П, и в силу условия (1. 5) получим тождество, с помощью которого введем понятие обобщенного решения:
т
n
(-UttVtt aij (x, t) uXj vXi +
0 n i'-j=1
т t
+c (x, t) uv) dx dt — j j v (x, t) j j Ki (x, y, r, u (y, r)) dy dr ds dt-
о on on
т
— j j v (x, t) j K2(x, y, t, u (y, t)) dy ds dt =
о dn n
т
— j j f (x, t) v (x, t) dx dt — j ф (x) vt (x, T) dx — j n (x) v (x, 0) dx. (1−6)
0 n n n
Определение. Назовем обобщенным решением из W2'- (QT) р| C 1[0,T] задачи (1. 1)-(1. 5) функцию u (x, t) G w2'-2(Qt) такую, что u G C1[0,T] для почти всех x G О, удовлетворяющую условиям (1. 2),(1. 4) и равенству (1. 6) для любой функции v G W^Q) такой, что v (x, T) = 0, vt (x, 0) = 0.
Теперь наложим условия на коэффициенты уравнения (1. 1) и на ядро и сформулируем теорему.
Теорема.
Пусть выполняются условия.
о о
Oio е С©, G C (Q?), G C (Q?), c{x, t) G C©, Kl (x, y, T, ui) — Kl (x, y, T, u2) & lt- Rl (y, T) |ui — u2 |,
R (y, t) dy dt = R11 & lt- ?, 0n
K2(x, y, t, u1) — K2 (x, y, t, u2) & lt- R2(y, t) u 1 — u2 ,
sup / R2(y, t) dy = R21 & lt- ?,
te[0'-T] n
RndQ + R21 & lt- -^1/T3, V7
E fda^f) +A0 a, 3(x, t) cthAoi] te,
ij=1
где Ао = /Т, для некоторого 6 & gt- 0-
Ло с (х, Ь) еИ Ло Ь + сг (х, Ь) эИЛо Ь ^ -М,
где М — некоторое достаточное большое число.
Тогда задача (1. 1)-(1. 5) не может иметь более одного решения.
2. Доказательство единственности решения задачи
Пусть задача (1. 1)-(1. 5) имеет два обобщенных решения п и из).
Тогда их разность и = п — € W2'-2(Qт) удовлетворяет равенству
т
Г П
(-ииЩь ац (х, Ь) их-+ с (х, Ь) ию) ЗхЗЬ-
о п ^=1
т г
ю (х, Ь) / & lt-К1(х, у, т, и1(у, г)) — К1(х, у, т, и2(у, г)) ЗуЗтЗвЗЬ-

о дп о п
т
— /I ю (х, г) ! |к2(х, у,4,и1(у, 4)) — К2(х, у, Ь, и2(у, Ь))| Зу Зв З Ь = 0 (2. 1)
о дп п
и удовлетворяет условиям (1. 2) и (1. 4) с нулями в правых частях. Возьмем в этом
равенстве
г
[ и (х, т) ,
т
Подставим V из (2. 2) в (2. 1) и выразим и, иг и иХ^ через V и их производные. Так, и = юг эИ ЛЬ. Заметим, что условия V €), ю (х, Т) = 0, юг (х, 0) = 0
выполняются в силу того, что и (х, 0) = 0, иг (х, 0) = 0. Интегрируя по частям и учитывая краевые условия, после преобразований, опираясь на условия югг|г=о = = иг|г=о = 0, юХ€ 1г=т = 0 и условия теоремы, получаем
т
2 2 2 2 2 2
оп
пп
[ 2 А2 8Ь0 [ 2
/ и=т Зх---- / |4=0 Зх-
Л2 эИЛТ Г 2|, Л2 бЬ0, 2|
пп т
-- ! J (Dtv)'-2 сЬМЗхЗг+
оп
shЛt + ац{х, г) сЬА^ г^Дж,^ ЗхЗЬ-
1 П
2
п

П
— J (Ас (ж,?) сЬ + С ((ж,?) эЬ А?) г-2(ж, ?) (?ж & lt-М
?х-
т г
! J v (x, t) J J |к^х, у, т, и1(у, т)) — К1(х, у, г, П2(у, г))|
о дп о п
т
^ V
о дп п
Заметим, что
т
+ ! I v (x, t) J |к2(х, у,4,М1(у, 4)) — К2(х, у, г, П2(у, Ь))| dydsdt. (2. 3)
J с (х^) vt (x, t) v (x, t) sh Хtdxdt
Ят
вИ ХТ
^ I с (ж, Т) г-2 (ж, Т) ?х--- J с (ж, 0) г-2 (ж, 0) (1х-
пп

— J (Ас (ж,?) сЬXI + С ((ж,?) эЬА?) г-2(ж, ?) (?ж & lt-М = ! (Хс (х^) сИХt + сг (х^) вИХ^ V2(х^) dxdt.
Ят 1
~ ~2
Ят
Для оценки других слагаемых в правой части (2. 3) мы будем использовать неравенство
J V2? Я ^ У + с? Х, (2. 4)
дп п
справедливое для любой функции V € и области И с гладкой границей
[11, с. 77].
Оно полезно для дальнейших оценок, в нашем случае (и в наших обозначениях) перепишем его в виде
! и2? Я & lt- 5^ Чи (х^)2 dх + с§) ! и2(х^) dх. (2. 5)
дп п п
Здесь 5^ - некоторые достаточно малые числа, которые будут выбраны ниже, для номеров г = 1, 2.
Оно справедливо для любого t € [0, Т]. Заметим, что с (5{) имеет вид с (5{) = = с/5г для некоторого с, не зависящего от и от и.
Преобразуем слагаемые с разностями ядер в правой части (2. 3). Имеем: т г
у (х, Ь) ! J|К1(х, у, т, п1(у, т)) — К1(х, у, г, П2(у, г))| ?у ?т ?в ?Ь & lt- о дп о п
т г
^ J ! у (х, Ь) ! J |й1(у, т) и — М2|| ?у ?т ?в ?1 =
о дп о п
т г
у (х, Ь) ! J|й1(у, т) ут (х, т) вИ Лт| ?у ?т ?в ?Ь ^
о дп о п
т т г
1 Г Г 1 Г Г П I
о дп о дп о п
J у2(х^)д, а shXtdt±J J J? J К (утТ)д, у I? т-^ у1(у^)д, уд, а
& lt- у У У |У"|2 shXtdxdt + ^Y^ У У V2 эЬ + J { $ вЬМ & lt-Ь
т
У У у (х, Ь) у |к2(х, у, Ь, и (у, Ь)) — К2(х, у, Ь, и2(у, Ь))| ?у ?в ?Ь & lt-
о п о п о п
т
о дп п
т
^ J у (х, Ь) J |й2(у, т) и1 — и2| ?y?sdt =
о дп п
т
ю (х, Ь) У |й2(у, т) г& gt-г эИЛЬ| ?у ?sdt ^
о дп п
т т /
У v2{x, t) ds sЪXtdt+^J У I У В%{у, т) dy • J у2(у, г) dyds sЬXtdts?,
о дп о дп п п
т т т
& lt- у У у IV"!2 эЬАЫжсЙ + ^^ у у г-2 эЬ, А Ь с? с, А + ^ J J V2 shXtdxdt.
о п о п о п
Положим
?1 = ?2 = ?,
тогда в правой части этого неравенства будет фигурировать с (?). После преобразований получим
т
3
А У j (D2v)2cЪXtdxdt + ^^ju2(x, T) dx+
оп
п
п
Л2 эИЛТ, 2
н---'-
2 2
п
т
А3 / 2 2 '- ^
J п2(х, Т) 3х-
J !(Бг V)2 сИ ЛЬ3×3Ь+
о п
вЬМ + Ха^(х, г) сЬА^ ух: 1(х, г) ух±(х, г) ЗхЗЬ-
— J (А с (х, сЬ ХЬ + С ((х, эЬ А?) г-2(ж, (?ж Л — Ят
Ят ^=1
2
Ят


2
о п о п
Заметим также, что справедливо представление
г г г
= J= J & lt-М — - ^ Л,
оо из которого можно получить неравенство
т
(Вгу)2в-Хг 3×3г & lt-
оп
, г.} ?". г,"
о п о п
Если
Л2 Т2
& lt- 4, то из неравенства (2. 6) следует, что
т т
4Т2
(В^)2е-М Зх З Ь & lt- --/ / (В2ь)2е-М Зх Л.
о п о п Теперь получаем после замены Л на -Л и сложения полученного и исходного неравенств
т 2 т
I I (Д^)2 сЬ М Зх З Ь & lt- 4 4Д2Г2 I сЬМЗхЗг.
о п о п
Введем обозначение 3 = Я11 + Н21.
Теперь выясним, можно ли подобрать число Л так, чтобы выполнялось неравенство
Т
2 4 — А2 Т2
з 2 (л3 + а) т2, , 2, л, ,
л--: -/ / VI сЬАЫжсЙ+
о п
8ЬЛТ [ 2 Л2 8ЬЛТ [ 2 Н--2- / игх1−1-) +--2- / и '-
п п
У ^ ^ ^^ ^сЬА^ г^Дж,^ & lt-1Х Л-
Ят = 1
— - J (А с (ж, сЬ А? + С ((ж, эЬ А?) г-2(ж, & lt-1х & lt-М —
Ят
Т
-5 ! IльЛхА — с (5) ! v2(x, t) shлt& lt-ix<-it & lt- о.
о П Цт
При оценке слагаемых в левой части используем неравенство еИЛЬ ^ вИЛЬ. Потребуем выполнения следующих условий
3 2 (Л3 + ?)Т2 2 ~~ 4 — А2 Т2
(заметим, что это осуществляется в силу условий теоремы при указанном в теореме Л = Ло), а также должно выполняться
Л с (х, Ь) еИ ЛЬ + сг (х, Ь) вИ ЛЬ + с (6) & lt- 0.
Теперь в силу условий теоремы можно подобрать коэффициенты так, чтобы слева все коэффициенты были неотрицательны. Должно выполняться
з Л (4 — Л2 т2) — 4 (Л3 + а) т2 & gt- о,
а тогда 4 3, Т2 & lt- 12 Л — 7Л3 Т2. Заметим, что тогда
Л2 т2
€ [0,12/7] и, перейдя в выражении 12 Л — 7 Л3 Т2 к супремуму по всем Л из данного промежутка, получим, что наибольшему, а соответствует Л2 Т2 = 4/7, то есть Л = /Т.
Тогда (1Т2 = 2 А = 2 ^1/Т = -?=1/Т, и далее получаем & lt-1=^=1 /Т3.
Т
Далее, в силу условий теоремы, в частности, / / V2 вх& amp- ^ 0, стало быть,
оп
v (x, t) = 0, а тогда и и (х, Ь) = 0, что и доказывает утверждение теоремы.
Литература
[1] Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальными граничными условиями интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166−1179.
[2] Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространствено нелокальных задач для линейных параболических уравнений // Вестник СамГУ. 2008. № 3(62). С. 165−174.
[3] Пулькина Л. С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1084−1089.
[4] Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.
[5] Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. VSP. Utrecht, 1999.
[6] Кожанов А. И. О разрешимости первой начально-краевой задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа высокого порядка // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. трудов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2007. С. 172−181.
[7] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 122 с.
[8] Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестн. СамГУ. 2006. Естественнонаучн. сер. № 2(42). C. 15−27.
[9] Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. 2006. Сер.: Физ. -мат. науки, № 42. C. 35−40.
[10] Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Доклады Академии наук. 2005. T. 404. № 5.
[11] Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[12] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
[13] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для ун-тов. 4-е изд. М.: Наука, 1974. 331 с.
[14] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.
[15] Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
Поступила в редакцию 22/III/2013-
в окончательном варианте — 22/III/2013.
ON THE UNIQUENESS OF SOLUTION OF NONLOCAL PROBLEM WITH NON-LINEAR INTEGRAL CONDITION FOR A FOURTH ORDER EQUATION
© 2013 V.B. Dmitriev2
Initial boundary-value problems with non-local boundary conditions which contain integral operator for the equations of higher order are studied. The uniqueness of generalized solution is proved.
Key words: non-local problem, integral condition, 4th order equation, generalized solution.
Paper received 22/III/2013. Paper accepted 22/III/2013.
2Dmitriev Viktor Borisovich (dmitriev_v. bamail. ru), teacher of Informatics, Samara State College of Service Technology and Design, Samara, 443 020, Russian Federation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой