О факторизации Винера-Хопфа функционально-коммутативных матрицфункций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математика
УДК 517. 53
0 ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА ФУНКЦИОНАЛЬНО-КОММУТАТИВНЫХ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ
В.М. Адуков1
Для функционально-коммутативных матриц-функций специального вида предложен алгоритм явного решения задачи факторизации Винера-Хопфа. Используются элементарные факты теории представлений конечных групп. Симметрия факторизуемой матрицы-функции позволяет диаго-нализовать ее с помощью постоянного линейного преобразования. Тем самым задача приводится к скалярному случаю.
Ключевые слова: факторизация Винера-Хопфа, частные индексы, конечные группы.
1. Введение
Пусть Г — замкнутый гладкий жорданов контур, ограничивающий область D+. Дополнение
D+ U Г в С = CU обозначим D_, считаем, что 0 е D+. Пусть A (t) — непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция порядка 5. Правой факторизацией Винера-Хопфа A (t) называется ее представление в виде
A (t) = A_ (t)d (t) A+ (t), t еГ. (1)
Здесь A± (t) — непрерывные на Г матрицы-функции, аналитически продолжимые в D± и обратимые там, a d (t) = diag [tp,…, tPs ], где p1,…, ps — целые числа, которые называются правыми частными индексами A (t). Можно считать, что р1 & lt-… & lt- ps. Частные индексы — важные целочисленные инварианты матрицы-функции A (t). В скалярном случае (s = 1) задача факторизации может быть решена явно [1].
Задача факторизации Винера-Хопфа (краевая задача Римана) — одна из самых востребованных задач комплексного анализа. Она находит многочисленные приложения в топологии, теории операторов, теории аппроксимаций Паде, дифференциальных уравнениях, механике сплошной среды.
Особенно важна для приложений матричная краевая задача Римана, однако именно в этом случае имеются значительные трудности. Вызваны они отсутствием для матриц-функций общего вида явных формул для факторизационных множителей и частных индексов. Поэтому в настоящее время главной проблемой в теории факторизации является проблема отыскания классов матриц-функций, для которых задача может быть решена явно.
Один из таких классов был рассмотрен в работах [2−5]. Он состоит из достаточно часто встречающихся в приложениях мероморфных матриц-функций. Для данных матриц-функций один из факторизационных множителей является рациональным, то есть определяется конечным числом параметров. Это позволило получить явное решение задачи для мероморфных либо ку-сочно-мероморфных матриц-функций средствами линейной алгебры.
Если матрица-функция обладает определенной симметрией (например, является циркулянт -ной матрицей-функцией), то естественно ожидать, что использование теоретико-групповых методов позволит понизить размерность s задачи. В этой работе мы рассмотрим только случай, когда A (t) можно рассматривать как функцию на контуре Г со значениями в групповой алгебре C[G] конечной абелевой группы или в центре Z (C[G]) групповой алгебры конечной неабелевой группы G. Симметрия данной задачи факторизации такова, что она может быть сведена к одномерному случаю.
1 Адуков Виктор Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, кафедра математического анализа, ЮжноУральский государственный университет.
E-mail: victor.m. adukov@gmail. com
Поскольку значения А (У) лежат в коммутативной матричной алгебре, то А (У) является функционально-коммутативной матрицей. Это — первый класс матриц-функций, для которого краевую задачу Римана удалось решить в явной форме [6]. Для рассматриваемого в работе специального класса функционально-коммутативных матриц-функций предлагаемое решение задачи факторизации значительно проще — оно требует только знания характеров неприводимых комплексных представлений группы.
2. Основные результаты
1. Пусть О — конечная группа порядка О = п, е — единица О, С[О] - групповая алгебра, то
есть линейное пространство формальных линейных комбинаций ^ а (g)g элементов группы О
gеG
с коэффициентами а (g) из С. Группа О вкладывается в С[О] отождествлением элемента g с линейной комбинацией 1 • g. Тогда О — базис линейного пространства С[О]. Групповая операция на О задает умножение базисных элементов, тем самым на С[О] определяется структура алгебры над полем С. Можно также рассматривать С[О] как алгебру функций а (g) со сверткой в качестве умножения.
Пусть К1 = {е}, К2,…, К5 — сопряженные классы О, = |Ку| - порядок сопряженного клас-
са Ку, g1,…, gs — произвольные фиксированные представители сопряженных классов. Центр Z (СО]) групповой алгебры состоит из центральных функций на О, то есть функций а (g), постоянных на сопряженных классах.
Элементы Су = ^ g, у = 1,…, 5 образуют базис коммутативной алгебры Z (С[О]). Поэтому
g^KJ
С & lt-С, =? Сс
к=1
где Су — структурные константы алгебры Z (С[^]).
Пусть, А — оператор умножения на элемент, а = ^ а^і є Z (С[^]), аі = а (яД действующий
і=1
в линейном пространстве Z (С[^]). Найдем его матрицу, А в базисе С^…, С5. Так как
аС} = = ІасС,
і=1
і, к=1
то элемент Ау матрицы, А оператора находится по формуле Ау = ^ а ск и потому
=1
А =
(2)
V -=1 1 к, У=1
В частности, если группа О — абелева, то 5 = п, Z (С[О]) = С[О], и матрица оператора, А умножения на, а = а (g)g е С[О] в базисе {gl = е, g2,_, gn} имеет вид
gеG
(3)
Эта матрица получена из первого столбца с помощью группы перестановок, изоморфной О.
'-а (Ы а (§ 1§ 21) • '- а (ЙЯп1) & quot-
А = а (Я 2) а (Я221) • '- а (Я2ё~п)
Vа (ёп) а (ЯпЯ21) • '- а (%пЯ~п),
Например, если О есть циклическая группа порядка п с образующей а, то, выбрав базис
[ п-11
{ е, а,…, а }, получим циркулянтную матрицу.
Групповую алгебру С[О] (алгебру 2(С[О])) мы можем отождествить с алгеброй матриц вида (3) (вида (2)). Эти матричные представления алгебр С[О], 2(С[О]) соответствуют регулярному представлению группы О.
Пусть ^ - произвольная алгебра с единицей I над полем С. Тензорное произведение
^ ® С[О] мы отождествляем с алгеброй матриц вида (3) с элементами а (я у) є. Соответствен-
но, ^ ® 2(С[О]) рассматривается как алгебра матриц вида (2) с аі є. Обозначим 15 диагональную матрицу порядка 5 с элементами I на диагонали.
Теорема 1. Пусть, Х5 — характеры неприводимых комплексных представлений груп-
пы О и п1,…, п5 — степени соответствующих представлений. Обозначим
((Я1) 1 Я 2) 1 — КХ (Я,) 1 ^
КХ2(Я1) 1 И2%2(Я 2) 1 — К%2(ёп) 1
Тогда Т — обратимая матрица,
hlXs (gl)I h2Xs (g2)I — hsXs (gs)I
T-1 = 4=
yfn
Xi (gl)I X2(gl)I Xl (g2)I X2(g 2) I
v Xl (gs)I X2(gs)I
и любая матрица A є ^ ® Z (C[O]) представляется в виде.
Xs (gl)I Xs (g 2) I
Xs (gs)I
где
Л = diag[Лl,^, Дs], & amp-j = - X a (g)Xj (g), J = 1,-, s.
& quot-j gєO
Доказательство. Найдем элементы матрицы FF-1:
1^,, ,-^" 1
(^-1) = i? hkXi g) X ig) i =^? xШ] (g)/ = |0' г * J = Syl. (4)
V !'J IGI gto I0, ' * J
Здесь мы воспользовались первым соотношением ортогональности для характеров (см. [7, гл. 3, § 4, Теорема 2]) и тем, что характеры являются центральными функциями на группе G. Соотношения (4) означают, что ТТ-1 = Is.
Найдем элементы матрицы TAT-1, воспользовавшись формулой (2) и определением матриц Т, Т-1:
[TAT-1= 1?Аи (^-1)j =1? hkamckmlXl (gk)XJ (g).
iJ
ij n
l, j =1
Известно (см. [S, § 109, формула (8)]), что характеры удовлетворяют следующему соотноше-
нию:
Z vmxt gj) = Х (gm)X (gl).
j=1
По терминологии Ван дер Вардена, это — второе соотношение между характерами. Применив его, получаем
((•^-1). = - Z am Xj (gl) — Х (gm Ш gl) = ]tam- Х (gm)~!^hlX (gl)Xj (^).
l, m=1
l =1
Наконец, еще раз воспользовавшись первым соотношением ортогональности (4), приходим к результату:
3 5
(-1) =3 X ОАХ ().
'- !чп
Поскольку характеры — центральные функции, то суммирование в правой части этой формулы мы можем распространить на все элементы группы О. Таким образом, окончательно (РЛР1) — 3УЛ и ТАР-1 — Л. Теорема доказана. ^

В случае, когда, А е ^ ® С[О], О — конечная абелева группа, в формулировке Теоремы 1 нужно положить Н1 =… = = п1 = … = п5 = 1 и 5 =| О |.
Ясно, что матрица, А обратима тогда и только тогда, когда Л,---, Л — обратимые элементы алгебры %.
2. Применим доказанную теорему к задаче факторизации (1). Пусть % - распадающаяся алгебра непрерывных на контуре Г функций, допускающих факторизацию Винера-Хопфа. Например, можно взять в качестве ^ алгебру Винера Ж (Т) на единичной окружности Т или алгебру Н (Г) гельдеровских на Г функций (см. [1]).
Элемент а (g) является теперь функцией аё (?) е ЭД.,? еГ. Матрица-функция А (?) обратима
тогда и только тогда, когда функции Л (?) = - ^ а,(?)х,(g), У = 1,-, 5 отличны от нуля на Г.
3 у. & amp- 3
ПУ gеО
Обозначим р = тАгЛ (?) — индекс Коши относительно контура Г функции Л у (?), то есть деленное на 2п приращение аргумента этой функции, когда точка? пробегает контур Г. Пусть Л (?) = Л~ (?)?РЛ+(?) — факторизация Винера-Хопфа Лу (?). Тогда
Л (?) = ^ [Л'- (?), •••, Л- (?)] • ^ [Л + (?), • • •, Л+(?)]
— факторизация Винера-Хопфа диагональной матрицы-функции Л (?) и применение Теоремы 1 дает следующий результат.
Теорема 2. Пусть А (?) е ^ ® 2(С[О]) — обратимая на контуре Г матрица-функция вида
(2). Тогда ее факторизация Винера-Хопфа А (?) = А- (?)ё (?) А+ (?) строится по формулам:
А- (?) =
Л1 (?)Х (gl) Л2 (?)Х2(gl)
Л1 (?)Х1(g2) Л2 (?)Х2(g2)
А+ (?) =
ЧЛ1 (?)Х1(gs) Л2 (?)Х2(gs) •
d (?) = а1аё [?Р1,… ,?р], Ру =
Й1Л1+ (?)Х1 (gl) ^2Л1+ (?)Х1 (g2)
1Л2 (?)Х2 (51) ^22 (?)Х2 (¦§ 2)
Л (?ХХ (gl)
Л (?ХХ (g2)
Л (?ХХ (gs)У та г Лу (?),
^ (?)Х1(gs) ЙА+ (?)Х2(gs)
ЛЛ (?ХХ (gl) (?ХХ (g2) — М/ (?ХХ (gs) У
3. Примеры
Пример 1. Пусть О = У4 — четверная группа Клейна. Она является абелевой подгруппой симметрической группы 54:
V = {е,(12)(3 4),(13)(2 4),(14)(2 3)},
изоморфной прямому произведению С2 X С2 циклических групп второго порядка. Матрица А (?) поэтому есть 2-уровневая циркулянтная матрица, то есть 2 X 2 блочно-циркулянтная матрица, с 2 X 2 циркулянтными блоками
Л (?) =
Таблица характеров У4 (см. [7, гл. 3, § 5])
ах (?)) 2 а а3(?) а '--к
а2 (?) аг (?)) а, а и) '--К
с и) '--к) а ах (?) а Ю '--к
) а а3(?) а Ю '--к аг (?)
е (12)(3 4) (13)(2 4) (14)(2 3)
X 1 1 1 1
Х2 1 -1 1 -1
Х3 1 1 -1 -1
Х3 1 -1 -1 1
задает постоянную матрицу Т, которая приводит Л (?) к диагональному виду с диагональными элементами:
Я1(?) = а1(?) + а2(?) + а3(?) + а4(?), ^(?) = аД?)-а2(?) + а3(?)-а4(?),
Я3 (?) = ах (?) + а2 (?) — а3 (?) — а4 (?), Д4 (?) = ах (?) — а2 (?) — а3 (?) + а4 (?).
Индексы Коши этих функций являются частными индексами Л (?).
Пример 2. Пусть О =3 — симметрическая группа степени 3. В этой неабелевой группе имеется 3 сопряженных класса:
К = {е}, К2 = {(12), (13), (2 3)}, К3 ={(12 3),(13 2}.
Таблица умножения базисных элементов С}- алгебры Z (С[5"3]) приведена ниже:
Теперь по формуле (1) мы можем составить матрицу-функцию Л (?):
^ ах (?) 3а2(?) 2а3(?) ^
Л (?) = а2 (?) ах (?) + 2а3 (?) 2а2 (?)
ч а3(?) 3а2(?) ах (?) + а3(?)
Таблица характеров3 имеет вид (см. [7, гл. 3, § 5])
е (12) (12 3)
Х1 1 1 1
Х2 1 -1 1
Х3 2 0 -1
Следовательно, Я1 (?) = аг (?) + 3а2 (?) + 2а3 (?), Л2 (?) = ах (?) — 3а2 (?) + 2а3 (?), Л3(?) = ах (?) — а3 (?).
Т= -
46
(1 3 2 & gt-
1 -3 2, ^-1
V 2 0 -2 V
у[6
Г1 1 2 & gt-
1 -1 0
V1 1 -Ъ
По теореме 2 получаем
A- (t) =
— (t) -2 (t) 2Л3 (t)
Л (t) -2 (t) о
Лі- (t) — (t) -Лз- (t)
^ Л+ (t) 3Л1+ (t)
A+ (t) = Л+ (t) -3Л+ (t)
2Л3+ (t) 0
2Л+ (t) 2Л+ (t)
-2ЛЗ+ (t)
A
и ^ = таг (а1 (?) + 3а2 (?) + а3 (?)),2 = таг (а1 (?) — 3а2 (?) + а3 (?)), ?& gt-3 = таг (а1 (?) — а3 (?)).
Пример 3. Пусть О = Q8 ={±1,±1,±j,±к} - группа кватернионов, заданная определяющими соотношениями 12 = j2 = к2 = Цк = -1. В группе имеется 5 сопряженных классов:
К ={1}, К2 ={-1}, К3 ={±1}, к4 ={^}, К5 ={±к}.
Таблица умножения базисных элементов С}- алгебры Z (С8]) имеет вид
C1 C2 C3 C4 C5
C1 C1 C2 C3 C4 C5
C2 C2 C1 C3 C4 C5
C3 C3 C3 2C1 + 2C2 2C5 2C4
C4 C4 C4 2C5 2C1 + 2C2 2C3
C5 C5 C5 2C4 2C3 2C1 + 2C2
поэтому
a1(t) a2(t) 2a3 (t) 2a4(t) 2a5 (t)
a2(t) a1(t) 2a3 (t) 2a4(t) 2a5 (t)
a3(t) a3(t) a1 (t) + a2 (t) 2a5 (t) 2a4(t)
a4(t) a4(t) 2a5 (t) a1 (t) + a2 (t) 2a3 (t)
as (t) as (t) 2a4(t) 2a3 (t) a1 (t) + a2 (t)
Группа Q8 имеет следующую таблицу характеров:
Знание ее позволяет найти частные индексы и факторизационные множители A (t). Ограничимся только нахождением частных индексов.
Вычисление функций Л (t) = - V ag (t)у,(g), j = і,…, 5, дает такой результат:
J у. & amp- J
nj geG
Л (t) = a1 (t) + a2 (t) + 2a3 (t) + 2a4 (t) + 2a5 (t),
Л2 (t) = a1 (t) + a2 (t) + 2a3 (t) — 2a4 (t) — 2a5 (t),
Л (t) = a1 (t) + a2 (t) — 2a3 (t) + 2a4 (t) — 2a5 (t),
Л4 (t) = a1 (t) + a2 (t) — 2a3 (t) — 2a4 (t) + a5 (t), Л5 (t) = a1 (t) — a2 (t).
Частные индексы A (t) есть индексы Коши этих функций.
Литература
1. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. — M.: Наука, 1971. — 352 с.
2. Adukov, V.M. On Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions / V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory. — 1991.- V. 14. — P. 767−774.
3. Адуков, В. М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфных матриц-функций / В. М. Адуков // Алгебра и анализ. — 1992. — Т. 4. — Вып. 1. — С. 54−74.
4. Адуков, В.М. О факторизации аналитических матриц-функций / В. М. Адуков // Теор. и ма-тем. физика. — 1999. — Т. 118, № 3. — С. 324−336.
5. Адуков, В. М. Факторизация Винера-Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций / В. М. Адуков // Математический сборник. — 2009. — Т. 200, № 8. — С. 3−24.
6. Гахов, Ф. Д. Краевая задача Римана для системы п пар функций / Ф. Д. Гахов // Успехи ма-тем. наук. — 1952. — Т. 7. — Вып. 4(50). — С. 3−54.
7. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III / А. И. Кострикин. — М.: Физматлит, 2000. -272 с.
8. Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. — СПб.: «Лань», 2004.- 624 с.
ABOUT WIENER-HOPF FACTORIZATION OF FUNCTIONALLY COMMUTATIVE MATRIX FUNCTIONS
V.M. AdukoV
An algorithm of an explicit solution of the Wiener-Hopf factorization problem is proposed for functionally commutative matrix functions of a special kind. Elementary facts of the representation theory of finite groups are used. Symmetry of the matrix function that is factored out allows to diagonalize it by a constant linear transformation. Thus, the problem is reduced to the scalar case.
Keywords: Wiener-Hopf factorization, special indexes, finite groups.
References
1. Gokhberg I. Ts., Fel'-dman I.A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya (Convolution equations and projection methods for their solution). Moscow: Nauka, 1971. 352 p. (in Russ.). [Gohberg I.C., Fel'-dman I.A. Convolution equations and projection methods for their solution. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1974. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 41. MR 355 675 (50 #8149) (in Eng.). ]
2. Adukov V.M. On Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. Integral Equations and Operator Theory. 1991. Vol. 14. pp. 767−774. DOI: 10. 1007/BF01198935.
3. Adukov V.M. Faktorizatsiya Vinera-Khopfa meromorfnykh matrits-funktsiy (Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix function). Algebra i analiz. 1992. Vol. 4. Issue 1. pp. 54−74. (in Russ.). [Adukov V.M. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. St. Petersburg Mathematical Journal. 1993. Vol. 4. Issue 1. pp. 51−69. (in Eng.). ]
4. Adukov V.M. O faktorizatsii analiticheskikh matrits-funktsiy (About factorization of analytical matrix functions) Teoreticheskaya i matematicheskayafizika. 1999. Vol. 118, no. 3. pp. 324−336. [Adukov V.M. Factorization of analytic matrix-valued functions. Theoretical and Mathematical Physics. 1999. Vol. 118, no. 3. pp. 255−263. DOI: 10. 1007/BF02557319].
5. Adukov V.M. Faktorizatsiya Vinera-Khopfa kusochno meromorfnykh matrits-funktsiy (Piecewise Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions). Matematicheskiy sbornik. 2009. Vol. 200, no. 8. pp. 3−24. (in Russ.).
6. Gakhov F.D. Kraevaya zadacha Rimana dlya sistemy n par funktsiy (Riemann boundary value problem for system of n pairs of functions). Uspekhi matematicheskikh nauk. 1952. Vol.7. Issue 4(50). pp. 3−54. (in Russ.).
7. Kostrikin A.I. Vvedenie v algebru. Chast III. (Introduction into algebra. Part III). Moscow: Fiz-matlit, 2000. 272 p. (in Russ.).
8. Van der Varden B.L. Algebra. Saint Petersburg: Lan'-, 2004. 624 p. (in Russ.).
Поступила в редакцию 18 марта 2013 г.
1 Adukov Victor Mikhailovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Department of Mathematical Analysis, South Ural State University.
E-mail: victor.m. adukov@gmail. com 12 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой