Применение метода вектор-функций Ляпунова к задаче нормирования воздействий

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Литература
1. Аргучинцев А. В. Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения // Известия высших учебных заведений. Математика. 2002. № 12. С. 23−29.
2. Бартеньев О. В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч. 3. М.: Диалог-МИФИ, 2001. 368 с.
3. Булдаев А. С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2008. 260 с.
4. Булдаев А. С., Моржин О. В. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений // Вестник Бурятского госуниверситета. 2010. Вып. 9: Математика, информатика, с. 10 -17.
5. Булдаев А. С., Моржин О. В. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Известия Иркутского госуниверситета. Серия «Математика». 2009. Т. 2, № 1. С. 94−106.
6. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
7. Срочко В. А., Антоник В. Г., Мамонова Н. В. Вычислительное сравнение методов градиентного типа в задачах оптимального управления // Известия Иркутского государственного университета. Математика. 2007. № 1. С. 275−290.
8. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 2000. 160 с.
9. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 487 с.
10. Krotov V. F. Global methods in optimal control theory. New York: Marcel Dekker, 1996. 408 p.
Бурлаков Иван Дмитриевич, аспирант кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: ivan. burlakov. 91@mail. ru
Burlakov Ivan Dmitrievich, postgraduate student, applied mathematics department, Buryat State University.
УДК 517. 93
© О.Р. Козлова
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА К ЗАДАЧЕ НОРМИРОВАНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Дана обобщенная постановка задачи нормирования внешних воздействий для непрерывных динамических систем. С использованием векторных дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова (ВФЛ) получены достаточные условия свойства Я-технической устойчивости, составляющего основу задачи нормирования. Для квазилинейных систем дана процедура построения ВФЛ и нелинейной системы сравнения, используемых для построения алгоритмов проверки свойства технической устойчивости.
Ключевые слова: техническая устойчивость, вектор-функции Ляпунова, нормирование.
O.R. Kozlova
APPLICATION OF LYAPUNOV'-S VECTOR FUNCTIONS METHOD TO A PROBLEM OF EFFECTS NORMALIZATION
The generalized definition of an external effects normalization problem for continuous dynamic systems is given. The sufficient conditions of Я-technical stability containing the basis of normalization problem have been obtained by use of vector differential inequalities and Lyapunov'-s vector functions (LVF). For quasi-linear systems the procedure of construction LVF and nonlinear comparison system, used for construction technical stability checking algorithms has been given.
Keywords: technical stability, Lyapunov'-s vector functions, normalization.
Введение
Задачи нормирования внешних воздействий возникли, прежде всего, в связи с проблемами охраны окружающей среды. Применительно к экологии задача нормирования состоит в определении для каждого из источников антропогенных воздействий таких пределов, при соблюдении которых исключаются нежелательные изменения природной среды и обеспечиваются приемлемые для здоровья человека условия [4]. Однако подобная постановка оказывается полезной и при решении других прак-
тических проблем исследования или проектирования сложных систем, например химических, экономических, а также систем автоматического управления.
1. Постановка обобщенной задачи нормирования
Рассматривается объект, динамика которого описывается системой
х = /, х, р), (1)
х (0 = Хо е X0, (2)
Здесь х^) е X (/) с RN — состояние объекта, Х0 — множество начальных состояний, вектор р -внешние воздействия или возмущения. Для каждого р е V правая часть системы определена при t е Т = [70, tf ] и х е X ^). Предполагается, что решение системы (1) понимается в смысле Каратеодо-ри, существует и продолжимо на Т для всех х0 е Х0 и р е V. Множество решений с данными х0, р обозначим через X х0, р).
Пусть даны множества V с Я& quot-0,? с Я& quot-, Г с Я& quot-/, В с Я& quot-р, Т1 с +& lt-х>-), Л с V х? х Г х В х Т1 и заданы р0(х0): Х0 ^ Я& quot-0 — векторная функция оценки начальных состояний,
р^, х): (/ е Т, х е X (/)) ^ Я& quot- и pf (х): X (^) ^ Я/ - вектор-функции, оценивающие, соответственно,
& quot-
текущее состояние и состояние в конечный момент времени, рр (р): V ^ Я р — векторная функция оценки текущих возмущений. Пусть фиксирован некоторый набор Л = {5,?, у, р, t/ } из множества Л.
С использованием введенных понятий определим свойство технической устойчивости ST (Л) системы (1):
Ух0 е X0: р0(х0) & lt- 5 Ур е V: рр (р) & lt- р (3)
Ух е Xх0, р) Уt еТ р (t, x (t)) & lt-? & amp- р} (x (t/)) & lt- у.
Неравенства между векторами в (3) понимаются как покомпонентные.
Чтобы подчеркнуть зависимость свойства от данного Л, будем называть его также свойством Л -технической устойчивости.
Данное определение свойства технической устойчивости включает в себя известные определения (А, Л, Т) -устойчивости по Четаеву [11], практической устойчивости [8], [9], [1], [13], [12] сильной и слабой Т-устойчивости [5]. При конкретизации заданий множеств допустимых текущих и начальных состояний и оценочных функций р0, р, р/ в определении (3) свойство ST (Л) можно получить
из более общих понятий практической устойчивости, данных Р. Абдуллиным [7].
Обозначим через Л3 с Л множество наборов Л, с которыми выполняется свойство ST (Л). Пусть на множестве Л определена скалярная функция (р (Л). Теперь обобщенную задачу нормирования можно поставить следующим образом: найти ттр (Л) на множестве л||л.
Данная постановка охватывает многие из известных, например задачу нормирования воздействий В. Гурмана, Г. Константинова [2], [3], [4].
Особенностью поставленной задачи нормирования является то, что ограничения в ней не записаны аналитически, а представлены в виде требования выполнения динамического свойства. Поэтому стандартные методы оптимизации, предполагающие знание и возможность вычисления выражений, описывающих критерий и ограничения, здесь неприменимы. В связи с этим естественно эту задачу решать следующим образом: формировать некоторые процедуры, позволяющие конструктивно проверять, по крайней мере, достаточные условия технической устойчивости. Это приводит к тому, что множество Л3 оптимизируемых значений параметра Л, допустимых требованием технической устойчивости, заменяется, вообще говоря, более узким множеством Л30 с Л3, на котором выполнено достаточное условие технической устойчивости. В итоге вместо точного решения задачи мы получаем лишь верхнюю оценку критерия, которая тем точнее, чем ближе достаточные условия к точным
условиям технической устойчивости. Если по смыслу задачи эта оценка нас устраивает, то можно считать, что мы имеем некоторый практически приемлемый способ решения задачи нормирования. Несмотря на то, что мы перешли к достаточным условиям технической устойчивости, которые также не заданы в виде формул, для них можно построить процедуру проверки, опираясь на методы функций Ляпунова. А сами способы решения задач оптимизации должны позволять применять процедурные (алгоритмически описанные) способы проверки ограничений. Одними из таких методов, например, являются генетические алгоритмы, реализованные в пакете МаАаЬ.
2. Достаточное условие X — технической устойчивости
В настоящей работе предлагаются некоторые методы решения задачи, основанные на векторных дифференциальных неравенствах и вектор-функциях Ляпунова (ВФЛ).
Обозначим через ие = {(?, х): t е Т, х е Xр^, х) & lt- е} множество состояний системы (1), допустимых свойством ST (X) (вектор е в определении ие тот же, что в заданном наборе X).
Пусть на некотором открытом множестве Пе с Т х RN, содержащем ие, определена непрерывная по t, х функция v (s, t, х) со значениями в Як. Будем предполагать, что функция V локально удовлетворяет условию Липшица по х- кроме того, будем считать, что в каждой точке t, х V имеет вправо
по t производную по любому направлению g е RN у'-(е, t, х, g) = Нт — ^(е, t + а, х + ag) — у (е, t, х)).
а
Согласно результатам из [6], в этом случае V имеет правую производную V в силу системы (1), вычисляемую по формуле
1& gt-(е, t, х, р) = v'-(е, t, х, f (t, х, р)). (4)
В соответствии с определениями из [6] будем называть функцию V вектор-функцией Ляпунова (ВФЛ), если в Пе выполнено векторное дифференциальное неравенство
л& gt-(е, t, х, р) & lt- /с (е, t, v (е, t, х), рр (р)), (5)
где функция ^ (е, t, у, рс) со значениями в Як определена и удовлетворяет условиям Каратеодори [10] (непрерывна по у, измерима по t и локально ограничена суммируемой функцией) в области Yе с Т х Як, содержащей значения t, V (е, t,•), и удовлетворяет там условию Важевского (квазимоно-тонно не убывает по у: V '- = 1, к Рс (е, t, у, рс) & lt- Рс (е, t,2,рс) если у & lt- z, у'- = zI [7], [6].
Порожденная этой функцией ^ система дифференциальных уравнений
у = /е (е, t, у, рс), (t, у) е Ув, рс е Тс з рр (V), V с Я& quot-р (6)
называется системой сравнения (СС).
Положим 7е0 = v (t0, X0) и будем предполагать, что V у0 е 7е0 V рс е Vc: рс & lt- Р, где Р принадлежит набору X, решения у (^t0,у0,рс, е) системы (6) определены на Т (так как ^ удовлетворяет условиям Каратеодори, рассматриваются К-решения СС). Множество решений СС с данными t0, у0, рс, е обозначим через Уу0, рс, е).
Имеет место следующая
Теорема. Пусть существует ВФЛ v (е, t, х), удовлетворяющая всем вышеперечисленным, а также следующим условиям:
1) ^ еХ0 пДДО v (е, t0, х0) & lt- Ч0(Р0(x0)),
2) Vt е Т Vx еДДО п X (t) р (t, х) & lt- д^, v (е, t, х)),
3) Vx е Пе (^) п X (tf) р{ (х) & lt- дf ^(е, tf, х)),
где д0(р0), д (^ у), дf () — неубывающие соответственно по р0 е Я& quot-0, у, е Як вектор-функции
к & quot- & quot-{ со значениями в Я, Я& quot-, Я1.
Пусть еще СС (6) обладает свойством Ас -технической устойчивости с р0с (у) = у,
Рс & lt-Л У) = q (t, У), Рс (У)= Ь (У), Ррс (Рс) = Рс и Ас = Я ,?с, Гс, Рс, tf }, ГДе 5с = qo (5), 8с = 7 о = Г, Рс = Р, т. е. выполняется свойство STc (Ас):
Уу0 е Ге0: р0с (у0) & lt- 8С Урс е V: ррс (рс) & lt- Р (7)
Уу (t) е У (70,У0,Рс, 0 Уt еТ рс (t, у (7)) & lt- ^ & amp- Рс (У^)) & lt- 7с. Тогда система (1) А-технически устойчива.
Теорема обобщает достаточные условия практической устойчивости с ВФЛ из [8]. Когда практическая устойчивость понимается в смысле, данном нашим определением ST (А), она охватывает также результаты Р. Абдуллина [7], являясь более удобной для применения и вычисления необходимых количественных оценок.
3. Построение ВФЛ и СС для квазилинейных систем
Процедуру построения вектор-функции Ляпунова и системы сравнения рассмотрим для систем следующего вида
х = Ах + Bg (7, х, р), (8)
где А, В — постоянные матрицы размерности N х N и N х т соответственно, р — внешнее воздействие (возмущение) с оценочной функцией рр.
Относительно нелинейности g (7, х, р) предполагается, что при всех t е Т, х е X (7), р е V
8(7,х, р)| & lt- И0 О0х + ИФ (Ох) + Р?(рр), (9)
где И0, G0, И, О, D — матрицы размерностей соответственно т х т, т х N, т х ту, х N и
т тс
т х тг. Модули понимаются как покомпонентные. Вектор-функция Ф (Я): Я 8 ^ Я 3 непрерывна,
п т3
не убывает в области определения, Ф (0) = 0 — вектор-функция ?(рр): Я р ^ Я 0 не убывает по рр. Оценочные функции р0, р, ру в свойстве (3) считаются определенными следующим образом:
р0 (х0) = Ях|, р (х) = |Ях|, рf (х) = |Язх|, (10)
где Я0, Я, Яз — матрицы соответствующих размерностей, причем Я0 имеет ранг N (и значит, «0 ^ N).
Следуя [7], в качестве ВФЛ будем использовать вектор-функции с компонентами, образуемыми из модулей линейных форм фазовых переменных,
v (х) = |Бх|, (11)
показавших себя одними из наиболее эффективных в приложениях- они позволяют конструктивно провести необходимые построения и вычисление количественных оценок. Здесь S — неособенная, вообще говоря, комплексная N х N матрица, преобразующая матрицу, А к почти диагональной форме.
Для введенной ВФЛ (11) система сравнения, соответствующая системе (8), получается явно и имеет вид:
у = Ру + МФ (Ку) + №(рс), (12)
где Р = А™ +1 В | И01 G0S 1 |, Аш = (а у) — позитивная матрица размерности N х N, образуемая из, А по правилу аи = Яе аи, ау =| ар | при 7 Ф у, 7, у = 1, N, А = SAS, В = SB, М =В | И, К =| ОБ1 |, N =| ВВ | D, рс = рр.
В условиях 1) — 3) теоремы можно принять Ц0(р0) = Q0р0, ц (у) = Qy, Цу (у) = QfУ, где постоянные неотрицательные матрицы Q, Q0, Qf вычисляются по формулам: Q0=|SЯ0-|, Q =| ЯБ-1|, Qf =| ЯуБ & quot-1|. Здесь Я0 — полуобратная к Я0 (размерности N х п0) такая, что Я^Я0 = IN.
Замечание. Матрицы Н0, Н и функция Ф в оценках (9) могут также зависеть от рр (р), являясь неубывающими по р (р).
4. Пример: две параллельные реакции
В реакторе полного смешения протекают две параллельные реакции [4]. Вещество A превращает-
k k 2
ся в продукты реакции B и C по схеме A ^ B, A ^ C.
Обозначим через x, y концентрации продуктов A и B в рабочем объеме реактора. Уравнения модели процесса имеют вид:
q 2
x (u x) кЛ x k^ x,
V 2 q (13& gt-
y = kx--y,
^ 1 v
где V — рабочий объем реактора, q — скорость подачи сырья в реактор (скорость входного потока), u — концентрация продукта A во входном потоке. В дальнейшем параметры q, V, k1, k2 считаются постоянными.
В нормальном режиме работы реактора будем считать процесс установившимся- состояние равновесия обозначим (x, y), а соответствующую концентрацию вещества A во входном потоке u.
В соответствии с технологическими требованиями на выходе из реактора допустимы колебания концентрации x и y в пределах:
x & lt- x & lt- x ,
mm ma^'- (14)
y & lt- y & lt- y.
J mm J J max
Требуется определить допустимые пределы отклонения концентрации вещества A во входном потоке от u, при которых ограничения (14) не будут нарушены в течение заданного времени tf.
q — -
Обозначим а1 = -, u (t) = u + Au (t), a1u = y1, a1 + k2 = y2 и перепишем систему (13) в виде
x = У — Упx-kx2 + aAAu,
1 /2 1 1 (15) y = k x — a1 y.
Положим p0 = | x — y j, 8 = 0, p = col (x, — x, y, — y), pf = col (x (tf), — x (tf), y (tf), — y (tf)),
e = У = col (xmax, -xmin, У,^ - Jmrn), Pp =1 Ali L P = W, T = [0, tf ], x (0) = x, y (0) = У. Тогда сформулированная задача является задачей нормирования с критерием р (А) = - w.
Поскольку правые части системы (15) удовлетворяют условиям Важевского, в качестве ВФЛ здесь
может быть использована простейшая вектор-функция v = | V j, где v1 = |y j, v2 = y j, для которой, учитывая, что xmin & lt- x & lt- xmax, очевидным образом получается линейная СС
— (У2 + k1 xmn) Z1 + a1W
z =
k1 Xmax zi a z2
~Yl & quot- (^2 + k1 Xmax) Z3 + aiW
V k1 Xmin z3 ai Z4,
z1 (0) = х (0), z2 (0) = у (0), Zз (0) = -х (0), z4 (0) = -у (0). По теореме Важевского ее решения мажорируют решения исходной системы (13). Окончательно получаем, что технологический процесс не нарушится при отклонениях во входном потоке вещества, А | Ли | не превышающих
и& gt- = й& gt- = тт{ж, где
w =(Z3 (0)e tf K +klxmax) + xmin)(X2 + k xmax) + X
W-----г-N--+
_5(ь +kx) ,
2 l max'- _1
-tf (к +kx)
f 2 l min
w'- = (Zl (0)e 2 lmi^ _ xmax)(K2 + klxmin) Xl
_5(к +kx ¦)
2 l min
Таким образом, использование метода ВФЛ в этом примере позволяет решить задачу в аналитической форме.
Заключение
Особенностью предложенной обобщенной постановки задачи нормирования внешних воздействий является то, что ограничения в ней представлены в виде требования выполнения свойства Я-технической устойчивости. Использование векторных дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова позволяет конструктивно проверять достаточные условия данного динамического свойства. Эффективность предлагаемого подхода демонстрируется на примере решения задачи о назначении допусков на концентрации реагентов во входных потоках химического реактора полного смешения.
Литература
1. Абгарян К. А. Устойчивость движения на конечном интервале // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, l976. Т. 3. С. 43-l26.
2. Гурман В. И., Константинов Г. Н., Расина И. В. Нормирование воздействий на динамическую систему (постановки задач) // Вопросы прикладной математики. — Иркутск, СЭИ, l975. — С. 25−30.
3. Гурман В. И., Константинов Г. Н. Нормирование воздействий на динамические системы // Автоматика и телемеханика. l979. № l0. С. l2-l8.
4. Константинов Г. Н. Нормирование воздействий на динамические системы. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, l983. l88 с.
5. Константинов Г. Н. Некоторые методы нормирования воздействий на динамические системы // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Наука, l979. С. 25l-257.
6. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 200l. 384 с.
7. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова. М.: Наука, l987. 3l2 с.
8. Мартынюк А. А. Практическая устойчивость движения. Киев: Наукова думка, l983. 352 с.
9. Мартынюк А. А., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова думка, l979. 27l с.
10. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: в 2 т. М.: Изд-во Иностранной литературы, l953. Т. l. 346 с. Том 2. 4l6 с.
11. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, l965. 207 с.
12. Grujic L.T. On practical stability // Int. J. Contr. l973. V. l7, № 4. P. 88l-887.
13. Weiss L., Infante E.F. Finite time stability under perturbing forces and on product spaces // IEEE Trans. Automat. Contr. l967. V. AC l2. № l. P. 54−59.
Козлова Ольга Равилевна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, доцент кафедры методов оптимизации ИМЭИ ИГУ, 664 033, Иркутск, Лермонтова, l34, тел. (395−2) 453l5l, oliia@yandex. ru
Kozlova Olga Ravilevna, candidate of physical and mathematical sciences, researcher of ISDCT SB RAS, associate professor of methods of optimization department, Institute of Mathematics, Economics and Informatics of ISU, 664 033, Irkutsk, Lermontov str., l34, tel. (395−2) 453l5l, oliia@yandex. ru.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой