О формах равновесия океанских вихревых образований и проблеме их устойчивости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 85−98
Механика ^
УДК 532. 5
О формах равновесия океанских вихревых образований и проблеме их устойчивости
Э. К. Лавровский, В. В. Фоминых
Аннотация. В рамках модели идеальной жидкости рассматривается вопрос о стационарных формах равновесия вихревых образований (линз или рингов) с неподвижным центром, находящихся в покоящемся стратифицированном океане. Рассматривается случай произвольной зависимости плотностей вихревого образования и океана от вертикальной координаты.
Ключевые слова: идеальная жидкость, формы равновесия, несжимаемость, вихревые образования, стратификация, плотность, давление, неразрывность, циклоны, устойчивость.
1. Постановка задачи
Более 20 лет океанологи проявляют повышенный интерес к изучению вихревых образований в толще океана — так называемых «линз». Формы равновесия однородных линз, центр масс которых находятся в покое относительно Земли, рассмотрены в работах [1−3]. Эти линзы вращаются вокруг вертикали в невозмущенном стратифицированном океане. В данной работе мы исследуем случай произвольного распределения плотности по вертикали для линзы и океана. Для описания стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости внутри вихревого образования рассмотрим уравнения Эйлера [4] в форме Громека-Ламба (1) в системе координат Cxyz, связанных с вращающейся Землей:
_ _ _ 1 (V2
[(2 Q + rot v) х v] = - grad (p) — grad I --+ gz). (1)
Пусть поле сил гравитации и поле центробежных сил инерции внутри вихревого образования однородны, т. е. g = const, С — условный центр линзы, который находится в покое относительно океана. Оси x, y, z направлены соответственно на восток, север и по местной нормали (вверх) в точке С.
Q- вектор угловой скорости Земли, р = p (z), p — плотность и давление
жидкости линзы, V,|V| - соответственно вектор относительной скорости
частиц вихревого образования и его модуль. Предположим, что вертикаль-
ные составляющие компонент скорости частиц равны нулю, тогда уравнения
(1) в скалярной форме принимают вид
Л — (дУх I дУх оп _ дР гп
Фх = р (Ух дх + Уу ~ду — 2ОгУу) = - дх' (2)
, дуу дуу. др
Фу = р (Ух ~дх + Уу ду + 2°Ух) = - ду'
др
фг = р (д — 2ух& amp-у) = - -, Ох = 0.
Примем во внимание уравнение неразрывности + ё1у (ру) = 0, которое в стационарном случае и при условиях р = р (г) и уг = 0 принимает следующую форму:
^ ^ =0. (3)
дх ду
Будем использовать штрих для обозначения производной от р и других переменных по переменной z. Исследование проблемы в общем случае затруднительно. Ограничимся случаем линейной зависимости горизонтальных компонент скорости от координат х и у:
Ух = а (г)х + ау (г)у + ах (г), Уу = -а (г)у + Ъх (г)х + Ъх (г), ух = 0. (4)
Здесь а, «а», «Ъ» — непрерывные неизвестные функции и аг (0) = Ъг (0) = 0 При этом уравнение неразрывности (3) для «слоевого» скоростного поля (4) удовлетворяется автоматически. Условия согласования (условие существования р) можно получить из соотношений (2)
дФх/ду = дФу/дх, дФх/дг = дФг / дх, дФу / дг = дФг/ду,
т. е.
р [а2 + Ъх (ау — 2 Qz)] + р[2аа'- + Ъ'-х (ау — 2 Ог) + Ъха'-у ] = 0,
р[ааг + Ъг (ау — 2 Ог)] + р[а (а^ + 2 Оу) + Ъг (ау — 2 Ог) + а1'- аг + ауЪг] = 0,
2Ог (ра + ра1) = 0, (5)
р [а2 + ау (Ъх + 2 Ог)] + р[2аа'- + ау (Ъх + 2 Ог) + ау Ъх] = 0,
р [аг (Ъх + 2 Ог) — аЪг] + р[а^ (Ъх + 2 Ог) — аЪг + 2 ау Оу + Ъхах — а'-Ъг] = 0.
Система (5) имеет следующие три первых интеграла:
Ог ар = С1, р (а2 + Ъхау — 2Ог Ъх) = С2, р (а2 + Ъхау + 2Ог ау) = сз, (6)
где «с» — константы данных интегралов. Пусть эти константы известны и Ог = 0. Тогда неизвестные функции а, ау, Ъх легко определяются, а неизвестные функции аг, Ъг удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений второго порядка.
Будем считать, что форма равновесия линзы — поверхность, где давления в океане и линзе равны. В то же время скачок тангенциальных составляю-
щих скоростей разрешен на этой поверхности [1]. Пусть окружающий океан стратифицирован и находится в статическом равновесии. Его плотность Pf = Pf (z) и давление pf = pf (z) — некоторые функции, которые связаны гидростатическими отношениями. Тогда на поверхности раздела сред имеет место равенство p (x, y, z) — pf (z) = 0. Нормаль n к форме равновесия линзы коллинеарна к вектору grad (p — pf (z)) в каждой точке этой поверхности. Следовательно, имеет место следующее условие «непротекания» в каждой точке поверхности:
v ¦ П = v ¦ grad (p — pf) = 0.
Заметим, что vz = 0 в соответствии с отношениями (4), а потому z — компонента вектора П не важна при рассмотрении данного условия. Выразим grad p из основных уравнений (1) и тогда
П = -p (z) | [(rot v + 2Q) x v] + grad ^ ~2T) } '-
Учитывая это, перепишем условие «непротекания» в форме
- v& gt-)+ v. v" (? + ?) =0. (7)
Отсюда, принимая во внимание (3) и (4), имеем
a (v2 — v2) + (bx + ay) vxvy = 0. (8)
Соотношения (7), (8) должны выполняться только на поверхности линзы.
Случай неоднородной линзы. Если линза имеет постоянную плотность p (z) = ро = const, Qz = 0, а pf (z) является линейной функцией, то
проблема решается сравнительно легко. В этом случае можно доказать, что
имеет место следующее условие:
а = ay + bx = 0. (9)
Полученная форма равновесия — поверхность второго порядка по переменным x, y, z. Этот случай рассмотрен подробно в [1−3].
Предположим теперь, что p (z) = const и Pf (z) некоторые функции от z [5]. Можно строго доказать, что соотношение (9) также должно выполняться. Используя второе и третье отношения (6) заключаем, что
ay = bx = -& amp-z ± (^2 + р)• (10)
Далее, из системы (5) можно получить
Z
/hb f
pbxdz +, U (z)= pbxdz
Z Z
hbx
•JxU6 --I IJUx^
оо
(с, й, Н коэффициенты интегрирования). Так как ах (0) = Ъх (0) = 0 будем считать, что й = Н = 0. Тогда
Ух = -Ъх (г)у + ах (г), Уу = Ъх (г)х,
т. е. функция Ъх играет роль угловой скорости точек линзы на различных уровнях г. Константа (с/р), как следует из формулы (10), имеет смысл квадрата угловой скорости, а потому это не нулевая величина. Из формул (2) имеем, что давление в линзе определяется формулой
с 4Q2 г dn
p (x, y, z) = -(x2 + y2) — 2yQyU (z) — gW (z) + ~dZU (Z)dz + P0,
(11)
где
z
W (z) = J p (z)dz.
Поверхность равновесия. Из (11) следует, что форма равновесия линзы в каждом сечении по z представляет собой окружность с центром в точке
2Q
Х0 = 0, yo =-^ U (z), (12)
радиус которой R = R (z) = д/(x — x0)2 + (y — y0(z))2 удовлетворяет соотношению
2 2 Z
-zh = Pf (z) + ^U2(z) + g W (z) — p (0, 0, 0) — 4^ / dU-U (z)dz =
2 c c dz
0
z
= gj [p (z) — pf (z)]dz + Apo, Apo = Pf (0) — p (0,0,0). (13)
0
Таким образом, формулы (12), (13) являются основными формулами для предложенного метода построения поверхности равновесия. Эту поверхность можно рассматривать как совокупность окружностей, у которых R (z)-радиусы на соответствующем z-уровне, центры которых принадлежат некоторой линии в плоскости (y, z).
Если выражение справа в (13) имеет знак обратный знаку с, то сечение поверхности линзы с плоскостью z = const пусто. Если величина R2(z = 0), равная 2Apo/с, положительна, то некоторая форма равновесия у линзы есть всегда, например, вблизи плоскости z = 0. Пусть zp = 0 «нулевой уровень», т. е. уровень, где p = pf- здесь величина R имеет экстремум. Предположим, что величина zpтакова, что (p — pf)(z — zp) & gt- 0, когда z = zp. Тогда верхние слои линзы должны быть более тяжелыми, чем среда на данной глубине, а низкие слои — более легкими. Если форма равновесия линзы является
замкнутой поверхностью, то по своему физическому смыслу Дро & lt- 0, и следует рассматривать только отрицательные величины с. Согласно (10) с = рш (ш + 20, х), где ш угловая скорость линзы вокруг оси г на уровне г. Форма равновесия может быть неограниченной поверхностью, когда константа с положительная величина.
Можно показать, что для ограниченных форм равновесия Архимедов закон выполняется.
Линза в многослойной среде. Предположим, что внешняя среда, в которую погружена линза, содержит три слоя, сильно различающиеся по плотности: верхний слой — «легкая» вода, средний — «просто» вода (океан), нижний — «тяжелая» вода (рассол). Для простоты предполагаем, что плотности верхнего и нижнего слоев постоянны. В качестве верхнего слоя может выступать земная атмосфера (воздух), в качестве нижнего — либо зона повышенной солености, или даже дно водоема, если плотность этого слоя стремится к бесконечности. Каждый слой имеет вертикальное распределение, причем при контакте с линзой границы «горизонтов» могут слегка нарушаться.
Используя формулы (12), (13), можно строить формы равновесия для каждого слоя. Конечно, многослойный океан способен так или иначе повлиять на форму антициклонов (образований при с & lt- 0), у которых ограниченная форма. Однако этот фактор может оказать более сильное влияние на форму равновесия циклонов и незамкнутых антициклонов (с & gt- 0). Данный фактор может изменить неограниченные формы равновесия на ограниченные.
1. Циклоны. Форма равновесия циклонов в однослойной среде напоминает однополостный гиперболоид бесконечной длины с осью по линии мгновенных центров. Какое-либо усечение этого образования с выделением центральной части, например, рассмотрение участка между двумя плоскостями, перпендикулярными оси г, не дает формы равновесия. Только все образование в целом может рассматриваться как форма равновесия (хотя бы как чисто теоретическая форма). Данное образование может «разрываться» на две полубесконечные поверхности при некоторых распределениях плотностей линзы и среды. Можно рассматривать эти образования как теоретическую форму равновесия, но только в том случае, когда они как-то «связаны» механической связкой. Действительно, нижняя часть (более легкая чем среда) стремится всплыть. Этому противодействует верхняя часть, которая более тяжела, чем внешняя среда.
Ситуация теоретических форм равновесия таких циклонов способна измениться в случае трехслойной (и даже в двухслойной) внешней среды. Согласно соотношению (13) производная радиуса Я2 по г пропорциональна д[р (г) — р^(г)] для случая положительного коэффициента с. Таким образом, величина Я2 растет в случае движения вдоль оси г вверх, если р & gt- р^ (и при том растет быстро, если разница плотностей велика), напротив, величина Я2
убывает, если р & lt- р$. Следовательно, находясь в «легкой» жидкости, линза образует «лунку». Находясь в «тяжелой» жидкости, линза также образует подобие «лунки», но выпуклостью вверх. Вершины обеих «лунок» принадлежат линии мгновенных центров вращения. В то же самое время линза (в ее средней части) образует «старую» геометрическую форму, взаимодействуя с «простой» жидкостью, и эта форма — аналог однополостного гиперболоида. Ее самое узкое место — «талия» соответствует уровню р = р^. Медленное изменение величины Я2 на этом участке объясняется малостью по модулю разности (р — р/) — напротив, относительно быстрое изменение Я2 в «лунках» связано с тем, что данная разность велика. Можно показать, что такое построение в целом удовлетворяет закону Архимеда, а выражение Я2 согласно (13) приближенно
т. е. «лунка» имеет форму, которая подобна параболоиду вращения. Здесь р} плотность «легкой» жидкости. Пусть Н соответствует координате г на уровне мирового океана. Тогда
Аналогичные формулы могут быть получены и для нижней «лунки», при-
к нулю. Другими словами, очень тяжелая «морская» вода влияет на форму линзы, как дно океана. Конечно, форма равновесия антициклона не отличается от формы равновесия циклона, если у них равные константы с.
В заключение отметим, что циклоны могут иметь реальные, т. е. ограниченные в пространстве формы равновесия и в двухслойной среде [3], например, в случае только слоя «легкой» или «тяжелой» воды вместе с «просто» водой. В случае слоя «легкой» воды избыток веса линзы компенсируется верхней «лункой». В случае слоя «тяжелой» воды легкое образование вихря становится более тяжелым за счет лунки, которая содержит жидкость нижнего слоя. Если имеется несколько значений гр, то даже в однослойной внешней среде возможно некоторое число ограниченных форм равновесия.
2. Антициклоны. В случае антициклонов с отрицательной константой с, в принципе, повторяются все рассуждения случая циклона. Единственная разница то, что у антициклонов есть ограниченные формы равновесия в однослойной внешней среде. Если же при формировании этой формы участвуют другие слои, то на их границе возникают уже не «лунки», а «горбы». Это следует из формулы (14). Высота «горбов» связана с их радиусами основания горбов аналогичными соотношениями.
?
Я2(г)с = 2д р (г)йг — р}г и 2дг[р (0) — р]• ],
Н и Я2(Н)с/2д[р (0) — р}] и Я2(Н)с/2д[р (Н) — р}].
чем ее «глубина» уже обратно пропорциональна величине р2 — р (-Н), где р2 — плотность тяжелой жидкости, а (-Н) — уровень нижней поверхности среднего слоя. В частности, если р2 ^ то, то данная «глубина» стремится
Численное исследование. Построение форм равновесия, т. е. зависимости Я от океанских глубин г — объект настоящей работы. Во внимание принимались реальные зависимости плотности океана для районов северной Атлантики [6] вблизи побережья США (широта 350). При этом рассматривались различные варианты циклонических (с & gt- 0) и антициклонических (с & lt- 0) вихрей, отличающихся характерной угловой скоростью ш на горизонтах г р. На данных горизонтах предполагалось к тому же равенство плотностей р = р^ для линзы и океана. Рассматривались также линзы с различным градиентом плотности йр/йг. Пусть г4о — горизонт, где Я в точности равно 40 км. Линзы такого размера реально встречаются в этой части океана. Формула (13), которая используется в построениях, позволяет учитывать реальные плотности океана. Некоторые результаты численного исследования представлены ниже.
На рис. 1 показаны зависимости Я от глубин в случае ш = 0. 20 и ш = 0. 50 при гр = г, = 200 м, йр/йг = 0. По оси абсцисс отложены величины Я в километрах, по оси ординат — глубины в метрах. Мысленное вращение той или иной из показанных на рисунке кривых вокруг вертикальной оси г воссоздает качественную картину поверхности равновесия линзы. Сплошными линиями показаны зависимости Я (г) при учете реальной плотности океана в так называемой «западной» зоне 111−3 [6], а пунктиром — те же зависимости, но в случае, если плотность океана заменяется ее линейным представлением. Отметки 1,2 относятся к кривым для случая ш = 0. 20, отметки 3,4 — к случаю ш = 0. 50. К тому же кривая 1 еще и маркирована. Показанные здесь формы равновесия не замкнуты. Видно, что разница между сплошной линией и отвечающей ей пунктиром тем меньше, чем больше ш. Эти кривые дают приблизительное представление о реальной ошибке в случае линейного представления плотности океана и дают общее представление о различии форм равновесия при различных угловых скоростях линз. В дальнейшем случай ш = 0. 20, гр = г, = 200 м, йр/йг = 0 будем считать для циклонов как «основной», он маркировался и строились вариации отдельных параметров около этого режима. Строились, например, зависимости Я (г) для «основного» случая, когда в качестве законов распределения плотности океана берутся распределения не только по «западной» зоне, но и по зонам «прибрежной» 1−1 и «ньюфаунленд» 1−2 [6]. Эти зоны расположены также почти на 35-й параллели. Интересно, что график для 1−1 практически не отличается от кривой 2, а график для 1−2 почти совпадает с кривой 3.
Аналогичные кривые для случаев ш = -0. 20 и ш = -0. 50 антициклона показаны на рис. 2. Здесь формы равновесия — замкнутые поверхности. Кривые 1,2 касаются случая ш = -0. 20, а кривые 3, 4 — случаю ш = -0. 50. Соответственно вариант ш = -0. 20, гр = г, = 200 м, йр/йг = 0 рассматривается как «основной» в случае антициклона. «Основная» кривая 5, распределение плотности которой соответствует зоне 1−2. Отмеченная кривая 1, отвечающая распределению по зоне 111−3, почти неотличима от соответствующей кривой для зоны 1−1.
г
о
-100
-200
-300
-400
о)=0. 50 ы=0. 2П
Рис. 1. Зависимости радиуса линзы от глубины (циклон)
I о
-100
-200
-300 -400 -500
Рис. 2. Зависимости радиуса линзы от глубины (антициклон)
Наиболее интересные результаты были получены в случае изменения величин ё, р/ё, г = 0. «Основные» кривые для случая циклона при ш = 0. 20 показаны на рис. 3. Кривые 1−5 относятся соответственно к случаям роста условной плотности ^ линзы на 0, 0. 1, 0. 2, 0.3 и 0. 46 единиц на каждые сто метров ниже от уровня 200 м. (Величина = (р/ - 1) * 1000, плотность р/ в г/см3). Обращает на себя внимание график 5, который отвечает замкнутой снизу форме равновесия с максимальной глубиной залегания (г = 500 м). Она как бы состоит из незамкнутого циклонического верха (типа половины однополостного гиперболоида) и замкнутого антициклонического низа (напоминающего по форме половину эллипсоида). Наличие такой «смешанной» формы может быть объяснено более быстрым ростом плотности линзы на глубоких горизонтах по сравнению с океанской плотностью. Так, на глубине г = 500 метров эта плотность составляет ^ = 27. 66 условных единиц, а
плотность океана ^ = 26. 75. Однако плотность ^ = 27. 66 не представляется полностью нереальной в зоне 111−3, так как именно такую плотность океан имеет на глубине 2. 5−3 километра. (Условная плотность на уровне Мирового Океана для этой зоны 24. 55).
На рис. 4 представлены кривые «параллельного» основного случая, но уже для антициклона с ш = -0. 20. Номера 1−5 отвечают кривым с ростом величины условной плотности океана на 0, 0. 1, 0. 2, 0.3 и 0.4 единиц г/см3 на каждые сто метров от уровня 200 метров. Формы равновесия здесь (кроме кривой 1) как бы состоят из замкнутого антициклонического верха и незамкнутого циклонического низа. На рис. 3 мы имели совершенно противоположную картину. И здесь наиболее характерна кривая с номером 5. Рост величины Я на ее «глубоких» горизонтах объясняется сменой знака константы с и более высокой плотностью тела линзы в сравнении с окружающим океаном.
Представленные на рис. 3 и 4 кривые показывают, что изменение плотности внутри линзы может являться еще одним фактором, способным изменять замкнутый характер формы равновесия на незамкнутый и наоборот.
При выходе вихревых образований на поверхность океана могут образовываться «горбы» (случай антициклона) либо «лунки» (циклон). Высоты «горбов» или глубин «лунок» К от Я (радиусов вихревых образований при их выходе на поверхность океана) несложно определять по формуле (14). Высоты «горбов» в случае ш = -0. 20, гр = 200 м для распределения плотности океана по зоне 111−3 составляют величины порядка 40 см при Я = 90 км, глубины «лунок» для «параллельного» случая — при ш = 0. 20 — 60 см при Я = 90 км.
Рис. 3. Зависимость радиуса линзы от глубины при ненулевом градиенте
плотности линзы (циклон)
Формы равновесия вращающихся линз в случае вертикальнорадиального распределения его плотности. Рассмотрим более общий
Рис. 4. Зависимость радиуса линзы от глубины при ненулевом градиенте плотности линзы (антициклон)
случай распределения плотности вихревого образования и поля скоростей (4). Пусть
их = -ш (г, г)[у — а (г, г)} = -шР, уу = ш (г, г)[х — Ь (г, г)} = шQ, V, = 0,
Р = [у — а (г, г)}, Q = [х — Ь (г, г)}, г2 = Р2 + Q2, р = р (г, г), (15)
т. е. переменная г неявно является функцией х, у, г. Уравнение неразрывности выполняется при условии
Q • да/дг — Р • дЬ/дг = 0.
(16)
Чтобы условие (16) имело место, дополнительно предположим, что, а = а (г), Ь = Ь (г). Теперь г явно выражается через х, у, г. Нетрудно убедиться, что условия непротекания и условие согласования дФх/ду = дФу/дх при этом выполняются автоматически, а два других условия приводятся к системе соотношений
/ дт дг дт вЬ _ Q дг дг + дг) +™ вг г
/, ,, ^ва «вЬ 20у
т (г, г) = р (г, г) и (г)[ш (г) + 2Ыг}, Q- - р- =
вг вг ш + 20,
Q.
Поскольку последнее из этих условий должно выполняться тождественно, то дифференцируя его по х, у, приходим к необходимости выполнения следующих соотношений:
ва
вЬ
— = 20, у/(ш (г) + 20,), ~г~ = 0, ш = ш (г).
вг
вг
С учетом этого первое из условий системы упрощается и переходит в следующее уравнение в частных производных:
др дрш (ш + 20. х)
9^Т + г------я-------- = 0-
дг дх
Преобразуем полученное уравнение (17):
д'-Ш, а 1 д'-Ш
------+ - ¦ ---------- • - = 0.
дх г ш[ш + 20. г ] дг
Решая это уравнение, получаем, что плотность внутри линзы должна быть вида
р (х'-г) = Г (/ ф) ш + т,] - г0/Ш (х)ш + '-Ш
где Г (х, г) произвольная функция. Так как реальная угловая скорость ш (х) почти постоянна и равна некоторой величине Шо, можем записать
2 Шо[Шо + 20, г]
р ~ Р х — г

-)¦
Однако добавочный член г2ш0(ш0 + 20г)/2д к величине х при учете реальных значений шо, 0 г и д оказывается величиной малой.
Что же касается формы равновесия, то в силу уравнений Громека-Ламба
(2), можем записать
г г
р (х, у, х) — р (0,0, 0) = -д ^ р (?, 0) с?! + ш (х)[ш (х) + 20 г] ^ цр (х, п) йп^
оо
Приравнивая величину р из данного выражения внешнему давлению pf, получаем соотношение для формы равновесия линзы.
Проблема устойчивости форм равновесия. Исследование устойчивости форм равновесия линз — задача более сложная, так как процесс изменения формы линзы есть комбинация (как минимум) двух процессов: горизонтального распространения жидкости и потери ее вертикального уровня. Очевидно, второй процесс частично компенсируется за счет баланса сил, связанного с законом Архимеда. Рассмотрим поэтому проблему горизонтального изменения формы линзы. Для простоты предположим, что линза имеет «блинообразную» форму, расположена (в целом) на некоторой глубине Н при 0Х = 0У = 0, 0 г = 0 (на полюсе Земли) и однородна по плотности р = ро.
Перепишем уравнения Эйлера (2) в цилиндрических координатах:
дуг 1 дуг дуг дуг 1 2 1 др
Уг~Я + уФ~Я-+ уг~я---+ ---уф — 20уф =--'- ,
дг г дф дх ді г ^ р0 дг
1 уу + у дуф + 1 у дуф + у дуф + дуф+20у =-1.1. др
угуф + уг о + уф о + уг о + о, + 2оуг — 0 •
г дг г дф дх ді ро г дф
dvz 1 dvz dvz dvz 1 dp
Vr^i---+ vV -------+ vz^i----------------------+ o7& quot- = g-'- TT~ ¦
dr r дф dz dt p0 dz
Формулы (18) описывают нестационарный случай. Величины vr, vv, vz — проекции скорости на радиально-вертикальные направления. Примем во внимание также уравнение неразрывности:
= 0. (19)
dr дф dz
Для системы (18), (19) рассмотрим уравнения в вариациях относительно стационарного решения vr = vz = 0, vv = шг, ш = const:
d (Svr) d (5vr) п,. 1 d (Sp)
— 2(ш + Q)(Svv) =-----------^,
дф dt p0 dr
, / c d (5vv) d (5vv) 1 1 d (5p)
2(ш + «№"0+*-^ = -p& lt-"--r '-^ф, (20)
(Svr) + r^Tl + =0.
dr Оф
Согласно методу Рэлея-Тейлора (20) ищем решение системы (20) в форме
5vr = U® — exp (Xt + гкф), 5vv = V®'- exp (Xt + гкф), 5p = P® — exp (Xt + гкф)¦
(21)
Здесь U, V, P неизвестные сложные функции от некоторых величин X, к. Величины X — комплексные числа, величины к — реальные (положительные) числа. Заменяя вариации Svr, 5vv, Sp спектральными представлениями (21), получаем из системы (20)
XU® + гкши® — 2(ш + Q) V® = - - - d^-),
p0 dr
гк 1
XV® + i^V® + 2(ш + Q) U® =--------- - - P®,
po r
U ® + r dU (r + ikV ® = 0. dr
Откуда, исключая переменные U, V, находим
r2P'-'- + rP'- - k2P = 0. (22)
Символом «штрих» обозначены производные по переменной r. Общее решение этого уравнения
P ® = Cirk + C2/rk ¦ (23)
Решение (23) в равной степени описывает изменение давления для линзы и для океана. Примем во внимание ограниченность величин давления в этих средах при r = 0 и r = то: тогда P® = Crk (к = 1, 2¦¦¦) — функция для
давления линзы, P® = C2r-k (к = 1, 2¦¦¦) — функция океанского давления.
Связь констант С, С2 определяется условием равенства этих давлений на границе сред:
СЕк = С2/Ек,
где Я — максимальные горизонтальные размеры линзы. Кроме того, на границе сред должно выполняться равенство Щ (Я) = Uf (Я) нормальных компонент скорости. Отсюда после некоторых преобразований получаем
и + кш + 2(ш + 0) и + 20.. . / а
-рf + 0)2 — (и + кш)2 = Ро 40-(Л = = р^'-1)= СШ1Й)'- (24)
Как нетрудно заметить, величины и — решения уравнения (24) являются действительными числами, а поэтому числа Л — чисто мнимые. Это заключение — доказательство устойчивости по Рэлею-Тейлору горизонтального распространения линз.
Список литературы
1. Средиземноморские линзы — жидкие гироскопы в океане / Э. К. Лавровский [и др.] // Доклады РАН. 2000. T. 375. № 1. C. 42−45.
2. Semenova I.P., Slezkin L.N. Dynamically equilibrium shape of intrusive vortex formations in the ocean // Fluid dynamics. 2003. V. 38. № 5. P. 663−669.
3. Слезкин Л. Н., Семенова И. П. Динамически равновесные формы рингов океанических течений // Доклады РАН. 2005. T. 405. № 3. C. 346−350.
4. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика. М.: Госте-хиздат, 1955. 560 с.
5. Лавровский Э. К., Фоминых В. В. Формы равновесия неоднородных вихревых образований в океане // ПММ. 2007. T. 71. Вып.3. С. 458−467.
6. Щербинин А. Д., Галеркин Л. И., Крутько В. П. Поле плотности северной части Атлантического океана. М.: Гидрометеоиздат, 1985. 190 с.
Лавровский Эдуард Кирович (lavrov@imec. msu. ru), к.ф. -м.н., ведущий научный сотрудник, НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова.
Фоминых Валентина Владимировна, научный сотрудник, НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова.
About equilibrium shapes of ocean vast vortical formations and
the problem of its stability
E. K. Lavrovskii, V. V. Fominykh
Abstract. In the frame of ideal liquid model the problem of equilibrium forms of vortical educations (lenses or rings) with the motionless center, being in the
base stratified ocean is studied. The case of any dependence of density of vortical education and the ocean from vertical coordinate is consid-ered.
Keywords: ideal incompressible liquid, equilibrium shapes, vortical
educations, stratification, den-sity, pressure, continuity, cyclones, stability.
Lavrovsky Edward (lavrov@imec. msu. ru), candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher, Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University.
Fominykh Valentina, researcher, Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University.
Поступила 14−12. 2012

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой