Применение МКЭ при исследовании скользящего контакта цилиндра с упругой полуплоскостью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

№ 9
2008
РАЗНОЕ
518. 12:539. 3
ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КОНТАКТА ЦИЛИНДРА С УПРУГОЙ
ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ
Канд. техн. наукдоц.А.Е. Мартьянова
Рассматривается применение МКЭ при исследовании скользящего контакта цилиндра с упругой полуплоскостью с целью изучения точности метода. Прохедура решения задачи реализована МКЭ для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала. Рассмотрено влияние размеров расчетной схемы& gt- числа узлов и сгущения узлов сетки конечных элементов.
Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время является самым популярным численным методом для прочностных и других видов расчетов как наиболее удобный для реализации на ЭВМ, благодаря четкой формализации отдельных этапов решения задачи и матричной форме расчета [1]. Использование МКЭ для исследования скользящего контакта цилиндра с упругой полуплоскостью в условиях плоской задачи (плоской деформации) рассмотрено ниже, Ось цилиндра параллельна оси г выбранной системы координат. Таким образом, скольжение цилиндра осуществляется перпендикулярно его оси. Зададим соотношение между касательными усилиями и нормальными давлениями при скользящем контакте. Предполагается, что для каждой элементарной площадки области контакта применим закон трения скольжения Амонтона, согласно
чение которого определяется свойствами материалов и физическими условиями на поверхности контакта.
Если цилиндр и полуплоскость, по которой он скользит, имеют одинаковые упругие свойства, ширина зоны контакта и распределение нормальных давлений определя-
/ ч 2Р (2 2У2
ется теорией Герца р (х) = -~ х / '- где, а ~ П0ЯУшиРина площадки контакта,
па
Р — нормальная сила на единицу длины оси 2, вдавливающая цилиндр в полуплоскость. Тогда, принимая закон трения Амонтона, для касательных усилий имеем
которому
М=М
р (х, г) Р
— V, где V — постоянный коэффициент трения скольжения, зна-
№ 9
2008
2уР (? -Л½
д (х) = ±-~ - & gt- где у ~ постоянный коэффициент трения скольжения, знак
па
«минус» соответствует положительному направлению скорости V (рис. 1).
Рис. 1. Упругая полуплоскость, нагруженная усилиями р (х) и д (х)
Напряжения в произвольной точке (хэ у) через величины т ил, введенные согласно определениям [2] убудут
т
I2 — 1/24 (а2 — х2 + у2
V, 2 2 ½ (
) +4 х у + (& lt-
+ Iа2 ~ х2 +у2
п21/2(а2-х2+у2У+4×2−2
У
½
— [а2 -х2 + у2

где знаки величин тип совпадают со знаками у их соответственно. Тогда выражения для напряжений принимают вид:

Ро
а
т
'- 2 2 Л 1 У +п1 л 1 + --
2,2
ч т +п у
27
а
п
Г 2
у -т
2-
V
2 2 т +п

у
= ~-т а
/
У +п
2 Л
^ 2,2 ч т +п у
+
%_пт2 -у2
а т2 +п2
0)
2 2
--?1 т ~у
^ XV — п 2 2
а т +п
--т а
у + п
2 Л
1 +
2, 2
Ч Щ Л-П —
№ у 2008
где ро — максимальное нормальное давление, д0 — V • р0 — касательное усилие в точке х = 0.
Состояние текучести большинства пластичных материалов обычно описывается критерием энергии сдвиговой деформации Мизеса [2]. В качестве критерия наступления пластической деформации для металлов принят критерий энергии сдвиговой деформации Мизеса ТП]ах — к — Су- А/з, где су — предел текучести металлов, т -максимальное касательное напряжение.
Главные напряжения плоского напряженного состояния рассчитываются по фор-
(Тх. + сту 1 п-^-~
мулам а12 ~-- - - а/стл- '- максимальных (экстремальных) ка-
сательных напряжений — ттах = (сг1 — сг2)/2.
МКЭ реализован в пакете МаШсаё для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала. Треугольный элемент завоевал популярность благодаря простоте задания постоянного значения деформации внутри элемента, а также ввиду удобства описания геометрических характеристик сложных конструкций [3]. Был выбран вариант сетки конечных элементов, фрагмент которой представлен на рис. 2, а9 как реализующий качественно лучшее соответствие теоретическому распределению напряжений.
Ь ЯтЬ ^тЬ
а)
Рис. 2. Расчетная схема задачи: а- скользящий контакт цилиндра (действуют нормальные давления и касательные усилия)-б- нормальный контакт
цилиндра (действуют только нормальные давления)
№ 9
2008
Упругая полуплоскость расчетной схемы задачи смоделирована прямоугольной пластиной размерами 2L и /г, находящейся в условиях плоской деформации (рис. 2, а). Нижняя граница пластины имеет условия закрепления их5 г^ = 0 (запрещены перемещения вдоль осей X и F). На боковых сторонах пластины реализованы условия закрепления их~ 0 (запрещены перемещения вдоль оси X). Пластина нагружена распределенны-
/ ч 2Р / 2 2V/2 ми нормальными давлениями =-/ и касательными усилиями
тш
, л 2vP/ 2 2 V/2 д 4
q (x) ~--^ Ia & quot- x) & gt- действующими на (- а & lt- х & lt- а), где л = 1э5* и9Р= 1*10
па
Н/м. Модуль упругости материала пластины Е = 2* 10й Па, коэффициент Пуассона ji = 0,3. Соотношения длин сторон и сами длины сторон пластины изменялись. Коэффициент трения скольжения v принимался равным: 0,1- 0,2- 0,3- 0,4- 0,5.
Для случая контакта цилиндра с упругой полуплоскостью в условиях плоской задачи расчетная схема представлена на рис 2, б). Пластина нагружена распределенными
/ ч 2Р [ 2 2 V/2 нормальными давлениями р (х) =-тгШ — X I, действующими на (- а & lt-х & lt- а)9 где
па
а = 1,5*10& quot-4 м, Р — 1*104 Н/м. По условиям симметрии смоделирована только половина пластины, в плоскости симметрии вводятся соответствующие закрепления их = 0 (запрещены перемещения вдоль оси X),
Кроме того, при разбиении контура пластины на конечные элементы была учтена возможность задания сгущения узлов по осям X и Y к указанному узлу. В этом случае распределение узлов по осям X и Y осуществлялось в соответствии с законом геометрической прогрессии.
По (1) рассчитаны значения напряжений о*, гху, ттаХ9 возникающих при контакте цилиндра с упругой полуплоскостью. Расчеты проводились при задании разного числа узлов элементов по осям X и Y при различных вариантах длин границ пластины и их соотношений расчетной схемы. Основные результаты расчетов максимальных значений напряжений ттах представлены в табл. 1 и 2. Результаты расчетов, выполненных по схеме рис. 2, б, приведены в табл. 1, по схеме рис. 2, а — в табл. 2. Коэффициент трения скольжения v в табл. 2 везде равен 0,2. Сетка равномерная.
№ 9 2008
Таблица 1
Погрешность е расчета напряжений ттах, %/рис. 2, б)
Число узлов по X/ Y 8,%
Размеры пластины L = 3*10& quot-4 м и h = 3*10& quot-4 м (L/h = 1, Lia = 2)
11*11 14,4
11*21 14,4
11*41 14,0
21*11 13,5
21*21 14,3
21*41 14,8
41*21 14,2
Размеры пластины Z, = 3* 10& quot-4 м и h = 6* 10~4 м (Z,//? = 0,5,1/а = 2)
11*21 10,3
21*41 10,1
Размеры пластины L = 3* 10& quot-4 м и h = 12* 10& quot-4 м (L/h = 0,25, L/a = 2)
11*81 10,2
Размеры пластины L = 6* 10& quot-4 м и h = 3 * 10& quot-4 м (L/h = 2, L/a = 4)
21*11 19,3
21*21 19,2
Размеры пластины L = 6* 10& quot-4 м и h — 6* 10& quot-4 м (L/h = 1, L/a = 4)
11*11 25,8
21*21 13,1
21*41 13,1
Размеры пластины L = 6*10& quot-4 м и h = 12*10& quot-4 м (Z/Л = 0,5, L/a = 4)
21*41 10,8
Размеры пластины L = 9* 10& quot-4 м и h = 3* 10& quot-4 м (L/h = 3, L/a = 6)
31*11 19,7
Размеры пластины L = 9* 10& quot-4 м и h = 9* 10& quot-4 м (L/h = 1, L/a = 6)
31*31 10,7
Размеры пластины L= 12*10& quot-4 м и/г = 3*10& quot-4 м (L/h = 4, L/a = 8)
41*11 19,8
Размеры пластины L = 12* 10& quot-4 м и h = 6* 10& quot-4 м (L/h = 2, L/a = 8)
41*21 15,0
Размеры пластины I = 12*10& quot-4 м и h = 12* Ю-4 м (L/h = 1, L/a = 8)
21*21 22,9
41*41 8,9
Размеры пластины I = 24* 10& quot-4 м и h = 24* 10& quot-4 м (L/h = 1, L/a = 16)
41*41 20,5
76 _Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_
№ 9 2008
Таблица 2
Погрешность? расчета напряжений ттах, %, (рис. 2, а)
Число узлов иоХ/ У 6,%
Размеры пластины 2L = 6* 10& quot-4 м и к = 3* 10& quot-4 м (2 Ык = 2, LI, а = 2)
21*11 14,0
41*21 15,2
Размеры пластины 2Ь = 6*10& quot-4 м и к = 6* 10& quot-4 м (2Ык = 1, Ыа = 2)
21*21 9,4
Размеры пластины 2L = 6* 10& quot-4 м и h = 12* 10& quot-4 м {2L/h = 0,5, L/a = 2)
21*41 9,3
Размеры пластины 21 = 6* 10& quot-4 м и к = 24* 10& quot-4 м (2Ык = 0,25, Ыа = 2)
21*81 1 9,2
Размеры пластины 2Ь = 12* 10& quot-4 м и к = 6* 10& quot-4 м (2Ык = 2, Ыа = 4)
41*21 12,5
Размеры пластины 2L = 12*10& quot-4 ми, А = 9*10& quot-4 м (2L/k = 1,25, L/a = 4)
41*31 10,4
Размеры пластины 2Ь = 12* 10& quot-4 м и к = 12* 10& quot-4 м (2Ык = 1, Ыа = 4)
41*41 10,1
Размеры пластины 21 = 24* 10& quot-4 м и /г = 3 * 10& quot-4 м (2Ык = 6, Ыа = 8)
81*11 19,7
Размеры пластины 21 = 24*10& quot-4 м и к = 6* 10& quot-4 м (2Ык = 4, Ыа = 8)
81*21 14,5
Установлено, что между результатами, полученными МКЭ, и теоретическими результатами, рассчитанными по (1), нет полного соответствия.
Из табл. 1 видно, что с увеличением числа узлов конечных элементов по Х/У при одних и тех же размерах пластины точность расчета практически не меняется, например, для X = 3*10& quot-4 м и к = 3*10& quot-4 м {Ык = 1) и чисел узлов по Х/У: 11*11, 11*21, 11*41 -погрешности составляют от 14,4 до 14,0%, для тех же размеров и чисел узлов по Х/У: 21*11, 21*21, 21*41 — погрешность возрастает от 13,5 до 14,8%- для размеров пластины Ь = 3*10& quot-4 м и к = 6*10& quot-4 м (Ш = 0,5) и чисел узлов по Х/У: 11*21, 21*41- погрешности составляют 10,3% и 10,1% соответственно- для размеров пластины I = 6*10& quot-4 м и /? = 3*10& quot-4 м (Ык = 2) и чисел узлов тюХ/У: 21*11, 21*21-погрешности составляют 19,3% и 19,2 соответственно- для размеров пластины Ь = 6*10& quot-4 м и Ь = 6*10& quot-4 м (Ш = 1) и чисел узлов по Х/У: 21*21,21*41 погрешности составляют 13,1%ит.д.
Сравнение результатов расчетов для Ь = 12*10& quot-4 м и к = 12*10& quot-4 м {НИ = 1) при числах узлов 21*21 и 41*41 по Х/У показывает, что здесь погрешности — соответственно
__Известия вузов,. МАШИНОСТРОЕНИЕ77
№ 9 2008
22,9 и 8,9%. Это объясняется тем, что площадка контакта при числе узлов 21*21 по Х/У моделируется малым числом узлов в контакте, явно недостаточным для обеспечения точности расчетов — четыре узла для полуширины площадки контакта, в то время как для остальных вариантов расчетов число узлов для полуширины площадки составляло либо шесть, либо одиннадцать, либо двадцать один узел. Для сравнения рассмотрим вариант с числом узлов в контакте, равным четырем при Ь — 6*10& quot-4 м и к = 6*10& quot-4 м {Ык = 1) и числе узлов по Х/У 11*11, здесь погрешность составляет 25,8%, поскольку площадка контакта и здесь моделируется четырьмя узлами для полуширины площадки контакта.
В то же время рассмотрение пластины с размерами Ь = 3*10& quot-4 м и к = 3*10& quot-4 м {Ык — 1) с числом узлов по Х/У 11*11 (шесть узлов в контакте) и 21 *21 (одиннадцать узлов в контакте) показывает, что при увеличении числа узлов в два раза значительного увеличения точности расчета не произошло, погрешности соответственно составляют 14,4 и 14,3%. Уменьшение погрешности заметно при рассмотрении вариантов с соотношением сторон Ык = 1 при увеличении длин сторон (I = 3*10& quot-4 ми к — 3*10& quot-4 м, Ь = 6*10& quot-4 м и к = 6*10& quot-4 м, Ь = 9*10& quot-4 м и к = 9*10~4 м, Ь = 12*10& quot-4 ми, А = 12*10'-4 м) и числами узлов по Х/У: 11*11, 21*21, 31*31 и 41*41 соответственно (число узлов в контакте везде равно шести, шаг узлов по Х/У везде остается одинаковым), когда погрешности составляют соответственно 14,4- 13,1- 10,7 и 8,9%. С ростом длин сторон и одновременным увеличением числа узлов по. Х/Т эта тенденция сохраняется. Очевидно, что здесь на точность расчета влияет фактор абсолютного увеличения длин сторон пластины и, следовательно, снижение влияния условий закрепления на нижней и боковых границах пластины расчетной схемы.
Подобные закономерности прослеживаются также и при исследовании скользящего контакта цилиндра с упругой полуплоскостью в условиях действия нормальных давлений и касательных усилий (табл. 2). Расчет проводился для коэффициента трения скольжения V = 0,2. С увеличением числа узлов конечных элементов по осям Х/У& quot- при одних и тех же размерах пластины точность расчета максимальных значений напряжений Ттах изменяется мало. Например, для Ь = 6* 10~4 м и к — 3* 10& quot-4 м {Ык = 2) и чисел узлов по Х/У: 21*11 и 41*21 погрешность расчета возрастает с 14,0 до 15,2% соответственно. С ростом длин сторон при сохранении соотношения сторон 2Ык и одновременным пропорциональным увеличением числа узлов по Х/У существует тенденция уменьшения погрешности расчета напряжений хтах. Например, для соотношения сторон Ык = 2 при увеличении длин сторон (I — 6*10& quot-4 миЬ 3*10& quot-4 м, Ь = 12* 10& quot-4 ми й =
78_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_
№ 9 2908
6*10& quot-4 м) и чисел узлов по Х/У: 21*11, 41*21 соответственно (число узлов в контакте равно одиннадцати9 шаг узлов по Х/У одинаковый) погрешности составляют соответственно 14,0 и 12,5%. Здесь на точность расчета влияет фактор абсолютного увеличения длин сторон пластины и, следовательно, снижения влияния условий закрепления на нижней и боковых границах пластины расчетной схемы.
С целью определения влияния длин сторон пластины на точность расчета рассматривался вариант Ык — 1 при увеличивающихся длинах сторон на расчетной схеме, представленной на рис, 2, б. Для экономии вычислительных ресурсов компьютера осуществлялось сгущение узлов при числе узлов по Х/У равным 41*41. Сгущение узлов производилось в одинаковой степени по осям X и 7 одновременно с увеличением длин сторон пластины таким образом, что число узлов в полуконтакте всегда оставалось равным шести. Результаты этих вычислений показаны на графике рис. 3.
-1−1-1−1-1−1-1- | & quot- |1
О 0. 05 Gl (Ши 025 03 05 М O5J
L-h, L *10Ча
Рис. 3 Зависимость погрешности е расчета напряжений тшах от длины L
По рис. 3 видно, что при достижении определенной длины стороны пластины (На = 128), погрешность расчета е составляет величину чуть более одного процента. Начиная с соотношения LI, а = 20 и более можно говорить о малом влиянии граничных условий расчетной схемы на точность расчета, так как погрешность расчета ттах составляет менее пяти процентов.
В табл. 3 приведены погрешности 8 расчета ттах МКЭ для размеров пластины 2L = 72*10& quot-4 миА = 36*10& quot-4 м (2 L/k = 2, LI, а = 24) на сетке со сгущением при числе узлов по
_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ 79
№ 9 2008
АГ/У 61*31 при изменяющихся коэффициентах трения скольжения V: 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Напряжения ттах определялись на: 1) глубине у/а = 0,77 (у = 1,144*10& quot-4), на которой напряжения ттах достигают максимального из рассчитанных на рассматриваемой сетке значений- 2) поверхности упругой полуплоскости- 3) глубине у = 2,491 *10& quot-5 под поверхностью. Число узлов в контакте везде равно одиннадцати.
Таблица 3
Погрешность е расчета напряжений ттах, %, (рис. 2, а)
Размеры пластины 21 = 72* 10& quot-4 м и к = 36* 1(Г4 м (2ЫН = 2, 2Ыа = 24), число узлов по Х/У 61*31
коэффициент трения V Максимальное значение на поверхности на глубине 2. 491* 10& quot-5
од 3,4 -17,6 2,5
0,2 3,4 -18,4 1,4
0,3 3,4 -18,6 0,6
0,4 3,4 -18,6 0,2
0,5 3,4 -18,7 -од
Погрешности на глубине у/а = 0,78 составляют около 3,4%, что сопоставимо с расчетами на схеме (рис. 2, б) при действии только распределенных нормальных усилий (расчет на сетке с тем же сгущением при числе узлов по Х/? 31 *31 дает значение 3,9%). Еще меньше погрешность на глубине 2. 491 *10& quot-5. Большие погрешности на поверхности упругой полуплоскости объясняются тем, что в контакте всего одиннадцать узлов. Тем не менее максимальное значение погрешности на поверхности составляет всего 18,7% (для V = 0,5) по абсолютному значению.
Таким образом, нами рассмотрено применение МКЭ к исследованию скользящего контакта цилиндра с упругой полуплоскостью в условиях плоской задачи. Процедура решения задачи МКЭ для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала реализована в пакете МаНюас! Расчеты производились для различных чисел узлов элементов по осям X и 7 при различных вариантах длин границ пластины и их соотношений.
На точность решения задачи МКЭ оказывают влияние условия закрепления на границах пластины расчетной схемы. С увеличением числа узлов конечных элементов по осям Xи Упри одних тех же размерах пластины и полуширины контакта после достижения определенного числа узлов в контакте точность расчета напряжений ттах не
№ 9 2008
увеличивается. На точность решения МКЭ оказывают влияние степень сгущения сетки конечных элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир- 1975. -541 с.
2. Джонсон К., Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1989. — 506 с.
3. Галлагер Р., Метод конечных элементов: Основы. — М.: Мир, 1984. -428 с.
ВНИМАНИЕ. В № 12 журнала «Известия вузов. Машиностроение» за 2007 г.
по вине авторов допущена опечатка.
В статье [1] формулу определения площади очищенного участка поверхности древесины следует записать в следующем виде:
V & gt- - & quot-О
где рш — плотность воды и содержащейся в ней коры древесины, к — толщина коры древесины, t — время обработки древесины струей воды.
[X]. Егошин Е. В. Способ окорки поверхностных пороков древесины вращающимися гидравлическими струями /Е.В. Егошин, А.Я. Полянин/ Известия ВУЗов, Сер. & quot-Машиностроение"-.- 2008.- № 12.- С 54−57.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой