Применение МКЭ при исследовании воздействия сосредоточенной нормальной силы на упругую полуплоскость

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 518. 12:539. 3
А. Е. Мартьянова Астраханский государственный технический университет
ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НОРМАЛЬНОЙ СИЛЫ НА УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ
Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время является самым популярным численным методом для прочностных и других видов расчетов как наиболее удобный для реализации на ЭВМ, благодаря четкой формализации отдельных этапов решения задачи и матричной форме расчета [1]. Все возможности МКЭ и его возможные ошибки определяются заложенными в нем теоретическими принципами и способами их реализации.
В статье рассматривается применение МКЭ при исследованиях воздействия сосредоточенной нормальной силы на упругую полуплоскость с целью исследования точности метода.
Рассмотрена упругая полуплоскость, находящаяся в плоском напряженном состоянии, в точке О которой приложена нормальная сила Р (рис. 1).
& quot-0
х
1

'- -& lt- & gt- м /
Рис. 1. Упругая полуплоскость, нагруженная сосредоточенной нормальной силой
Решение этой задачи впервые получено Фламаном [2]. Напряжения равны:
2Р х2 у 2 Р
--------------------¦ а =-------------
Р (X2 + у2)2 ' у
У. т =_
Р (х2 + у2)2 ' ух
ху
. (1)
Выражение для прогибов (вертикальной компоненты перемещений) упругой полуплоскости от силы Р (х & gt- 0) [3]:
Р
иу =-
у рЕ
Ь
21п — _ (1+т)
х
(2)
а х =
где — - глубина, на которой лежит некоторая неподвижная точка М на оси симметрии, что дает условие закрепления упругой полуплоскости иМ = 0- ум = о (рис. 1) — Е — модуль упругости при растяжении, ц — коэффициент Пуассона.
При х & lt- 0 прогибы симметричны (для этого х надо в (2) принимать по абсолютному значению.
В точке приложения силы имеется особенность: перемещения, как и напряжения, стремятся к бесконечности. При реальном приложении воздействия образуется контактная зона малых, но конечных размеров. В некотором элементе малого радиуса г = 5 распределение напряжений будет отличным от (1). При г & gt- 5, согласно принципу Сен-Венана, оно будет соответствовать этим выражениям.
При исследовании воздействия сосредоточенной нормальной силы на упругую полуплоскость МКЭ по методу перемещений реализован в пакете Mathcad для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала.
Треугольный элемент завоевал популярность благодаря простоте задания постоянного значения деформации внутри элемента, а также ввиду удобства описания геометрических характеристик сложных конструкций [4]. При выборе сетки разбиения из имеющегося разнообразия вариантов возникают определенные трудности. Было рассмотрено шесть вариантов сетки конечных элементов (рис. 2).
index 1 index 2 index 3
index 4 index 5 index 6
Рис. 2. Варианты сетки конечных элементов
Упругая полуплоскость с условиями закрепления неподвижной точкой М (рис. 1) смоделирована прямоугольной пластиной размерами Ь = 2 м, к = 1 м, находящейся в плоском напряженном состоянии. Нижняя граница пластины имеет условия закрепления их, иу = 0 (запрещены перемещения вдоль осей X, У). На боковых сторонах пластины реализованы условия закрепления их = 0 (запрещены перемещения вдоль оси X). Пластина нагружена сосредоточенной нормальной силой? у = -1 • 108 Н/м, модуль упругости Е = 2 • 1011 Па, коэффициент Пуассона ц = 0,3. Расчетная схема (рис. 3) представлена двумя схемами: а) сосредоточенная сила приложена к середине пластины- б) по условиям симметрии смоделирована только половина пластины, в плоскости симметрии вводятся соответствующие закрепления (запрещены перемещения вдоль оси X, их = 0).
У '- ?у 1
1
Ь !
гД- L ч
X
а
Рис. 3. Расчетная схема задачи: а — сосредоточенная сила приложена к середине пластины- б — с учетом условий симметрии
Кроме того, при разбиении контура пластины на конечные элементы по схеме б была учтена возможность задать сгущения узлов к узлу приложения сосредоточенной нормальной силы. В этом случае распределение узлов по оси X осуществлялось в соответствии с законом геометрической прогрессии
Хт = • Чт-
где т принимается равным числу узлов по оси X.
При расчете задается число для вычисления знаменателя прогрессии q и первого члена прогрессии аг геометрической прогрессии.
Были рассчитаны: составляющие напряжений оу по формуле (1) и вертикальная компонента перемещений иу края упругой полуплоскости по формуле (2), возникающие при сжатии упругой полуплоскости сосредоточенной нормальной силой. При этом в узле, в котором приложена со-
средоточенная сила, значения не определялись, поскольку теоретические перемещения и напряжения в этой точке стремятся к бесконечности. Основные результаты расчетов представлены в табл. 1−3.
Расчеты показывают, что наиболее подходящим вариантом сетки конечных элементов из рассмотренных является шестой вариант (index 6), поскольку он дает наименьшие погрешности расчета. Например, на глубине 0,2 • h (при x = 0) для схемы б) (рис. 3) при числе узлов по X/Y 11*11 имеем погрешность расчета оу: -16,6% - для index 1, -10,4% - для index 2, -21,7% - для index 3, -15,0% - для index 4, -12,1% - для index 5, -5,6% -для index 6. С увеличением глубины различия в точности расчета уменьшаются, что обусловлено влиянием граничных условий: на глубине 0,6 • h погрешности для всех вариантов составляют 6,1−7,9%, на глубине 0,8 • h -14,1−15,1%, на глубине 1 • h — 23,2−26,6%.
Из табл. 1 видно, что схемы, а с числом узлов 21*11 и б с числом узлов 11*11 при шестом варианте сетки конечных элементов эквивалентны. Данные табл. 1 также показывают, что с увеличением числа элементов точность расчета по напряжениям оу растет. На результат при глубине 1 • h влияет жесткая заделка основания. Дальнейшие расчеты осуществлялись только по схеме б.
Таблица 1
Погрешность расчета напряжений ау, %, при варианте сетки конечных элементов index 6
Число узлов по X/Y Г лубина (при x = 0)
0,2 • h 0,4 • h 0,6 • h 0,8 • h 1 • h
Схема, а (рис. 3)
21*11 5, б 5,2 7,9 15,1 23,8
Схема б (рис. 3)
11*11 5, б 5,2 7,9 15,1 23,8
21*11 5,0 1,7 б, 9 14,4 24, б
31*11 3,3 1, б б, 9 14,3 25,0
21*21 2,995 2,5 7,5 14,9 22,8
В табл. 2 показана зависимость результатов расчета по напряжениям оу от степени сгущения узлов элементов к узлу приложения сосредоточенной нормальной силы. Наилучшими являются варианты с числом сгущения 10 и 50. Координаты х при числе сгущения 10 и 50 приведены в табл. 3.
Табл. 3 кроме значений координаты х показывает погрешность расчета вертикальной компоненты перемещений иу, реализованной для схемы со сгущением узлов. При значениях координат близких к нулю погрешность расчета вертикальной компоненты перемещений иу довольно значительна (-20,5% в точке с координатой х = 0,007), при значениях координаты х близких к 0,020−0,040 погрешность не превышает 5%. Согласно данным табл. 3, к краю пластины (х = 1,000) погрешность расчета иу резко возрастает, что обусловлено также влиянием граничных условий расчетной схемы.
Таблица 2
Погрешность расчета ey, %, для схемы б (рис. 3) при числе узлов по X/Y 11*11 и варианте сетки конечных элементов index 6 в зависимости от степени сгущения узлов
Степень сгущения Глубина (при x = 0)
0,2 • h 0,4 • h 0,6 • h 0,8 • h 1 • h
0,1 -22,1 7,8 15,8 22,2 29,1
0,5 1,2 8,4 10,4 1б, 5 24,2
1 5, б 5,2 7,9 15,1 23,8
1,2 б, 0 4,2 7,5 14,9 23,9
1,4 б, 2 3,5 7,2 14,7 23,9
1, б б, 2 3,0 7,0 14, б 24,0
1,8 б, 0 2,5 б, 9 14,5 24,1
2 5,8 2,2 б, 8 14,5 24,1
3 4,7 1,4 б, б 14,2 24,4
5 3,1 1,0 б, 5 14,0 24,7
10 1,5 0,8 б, 2 13,7 24,8
50 -0,2 -0,5 4,9 12, б 24,2
100 -0,9 -1,3 4,1 12,0 23,7
500 -2,8 -4,2 1, б 10,2 22,5
5 000 -8,2 -9,б -2,5 7,2 20,5
105 -15,0 -14,8 -7,1 2,4 1б, 3
1015 -234,б -108,4 -45,7 -9,8 17,3
Таблица З
Погрешность расчета, %, вертикальной компоненты перемещений uy для схемы б (рис. 3) при варианте сетки конечных элементов index 6 в зависимости от степени сгущения узлов
Степень сгущения
10 50
Координатаx Число узлов по X/Y 11*11 Координата x Число узлов по X/Y 11*11
0,024 -0,2 0,007 -20,5
0,05б б, 7 0,018 -4,9
0,097 11,3 0,035 3,2
0,150 15,1 0,0б2 б, 7
0,218 19, б 0,102 10,3
0,30б 32,4 0,1б5 15,0
0,419 5б, 0 0,2б2 22,1
0,5бб 127,2 0,412 54,2
0,755 374,8 0, б43 200,9
1,000 897,б 1,000 84б, 8
Установлено также, что для сетки с равномерным распределением узлов по схеме б (рис. 3) при варианте сетки конечных элементов index б и числе узлов по X/Y 11*11 и 21*21 погрешности расчета Uy в точках с одинаковыми координатами x близки. Например при x = 0,100 они составляют соответственно 9,3 и 12,0, при x = 0,200 — 20, б и 19,0.
Таким образом, в статье рассмотрено применение МКЭ к исследованию воздействия сосредоточенной нормальной силы на упругую полуплоскость. Процедура решения задачи МКЭ по методу перемещений для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала реализована в пакете Mathcad. Рассмотрено шесть вариантов сетки конечных элементов. Учтена возможность задания сгущения узлов к узлу приложения сосредоточенной нормальной силы.
Установлено:
1. Схема б (рис. 3) с учетом условий симметрии модели требует приложения половинной силы в нагруженном узле.
2. Наиболее подходящим вариантом разбиения сетки конечных элементов из рассмотренных является шестой вариант (index 6) (рис. 2).
3. С увеличением числа узлов конечных элементов точность решения увеличивается (табл. 1).
4. Сгущение узлов элементов к узлу приложения сосредоточенной нормальной силы позволяет значительно повысить точность расчета (табл. 2).
5. На точность решения МКЭ оказывают влияние условия закрепления расчетной схемы на границах пластины: при рассмотренных условиях на глубине 1 • h (на нижней границе с жесткой заделкой) погрешности расчета ау достигают величины 25% (табл. 1, 2) — для координаты х = 1 (боковая граница пластины с условиями скольжения) погрешности расчета uy составляют около 900%.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Под ред. Б. Е. Победри- Пер. с англ. — М.: Мир, 1975. — 541 с.
2. Александров А. В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. — М.: Высш.
шк., 1990. — 400 с.
3. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / Под ред. Р. В. Гольдштейна- Пер. с англ. В. Э. Наумова, А. А. Спектора. — М.: Мир, 1989. — 506 с.
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов: Основы / Под ред. Н. В. Баничука- Пер. с англ. В. М. Картвелишвили. — М.: Мир, 1984. — 428 с.
Получено 29. 12. 05
THE APPLICATION OF THE FINITE- ELEMENT METHOD TO THE RESEARCH OF THE CONCENTRATED NORMAL FORCE INFLUENCE ON ELASTIC HALF PLANE
A. E. Martyanova
To investigate the accuracy of this method, the application of the finite- element method to the research of the concentrated normal force influence on elastic half plane is considered in the work. The procedure of the task solution of the finite-element method by the displacement method for a flat triangular element at elastic behaviour of material is realized in the Mathcad package. Six variants of a finite element mesh are considered there. The probable task of thickening nodes to one node of the application of the concentrated normal force was also taken into account there.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой