О фрактальных свойствах самоорганизации коллективов в процессе их трудовой деятельности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Народное образование. Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 378. 126:519. 87
О ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ САМООРГАНИЗАЦИИ КОЛЛЕКТИВОВ В ПРОЦЕССЕ ИХ ТРУДОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Данилов Г. В., Рочев К. В.
В статье рассматривается процедура измерения неравномерности деятельности членов трудового коллектива методом дихотомии, то есть разделением всего коллектива на передовую («голова») и отстающую («хвост») части по квантильному принципу.
Требование масштабной инвариантности дихотомии приводит к степенному закону распределения для «головы» и модифицированному степенному закону для «хвоста».
В связи с этим вводятся понятия популяции самоподобной (в направлении) к голове (ПСГ) и популяции самоподобной (в направлении) к хвосту (ПСХ).
На фактическом материале конкретного вуза показано, что по разделу «Учебно-воспитательная работа» ППС самоорганизуется по принципу Парето 60/40, демонстрируя фрактальные свойства — принадлежность к типу ПСГ, а параметр соответствующей степенной функции находится вблизи «золотого коридора» 0,50−0,62.
Ключевые слова: самоподобие, степенной закон, фрактал, преподавательский коллектив, Парето.
ABOUT THE FRACTAL PROPERTIES OF THE LABOR COLLECTIVE SELF-ORGANIZATION IN HIS WORK
Danilov G.V., Rochev K.V.
The article discusses the procedure of the unevenness measurement of the labor collective with using dichotomy method, that is, the division of the entire team to the front (& quot-head"-) and backward (& quot-tail"-) by the quantile principle.
Requirement scaling dichotomy leads to a power law distribution for the & quot-head"- and the modified power law for the & quot-tail. "-
In this regard, the concepts of self-similar population (in direction) to the head (PSH) and the population of self-similar (in direction) to the tail (PST) are introduced.
Evidence-concrete university shows that under the heading & quot-Educational work& quot- Faculty members organize on the principle of Pareto'-s 60/40, showing fractal properties — belonging to the type of PSH, and the corresponding parameter of the power function is close to the & quot-golden corridor& quot- 0. 50−0. 62.
Keywords: self-similarity, power law, fractal, teaching staff, Pareto.
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14. 132. 21. 1031.
Введение
В практике управления и сфере бизнеса все большую популярность приобретает такая упрощенная процедура измерения неравномерности работы членов коллектива (сообщества, популяции), как разделение всей популяции на две части — «передовую» («голову») и «отстающую» («хвост») — и сравнение долей выполненных ими общей работы с количеством работников (долей особей) в этих частях.
В частности, в литературе довольно часто встречаются ссылки на т.н. «принцип Парето», или «принцип 80/20″ [1], согласно которому в изучаемых коллективах (сообществах, популяциях) 20% индивидов (особей) выполняют 80% всей работы („голова“), а остальные 20% работы приходится на 80% особей („хвост“). Иными словами, если в этих популяциях оценивать неравномерность работы особей по методу Парето [2], то часто обнаруживается, что параметр Парето q оказывается равным q = 0,8.
Иногда принцип Парето понимается в расширительном смысле, то есть считается, что он справедлив, даже если соотношение q/1-q просто заметно отличается от пропорции (в процентах) 50/50, характерного для равномерного распределения.
Более того, утверждается [1], что существуют такие удовлетворяющие принципу Парето популяции (пчелы, муравьи …), в которых при отделении в точке х =1- q „хвоста“ от „головы“ последняя снова подчиняется принципу Парето.
Постановка задачи
Не имея возможности проверить каждое из подобных утверждений, поставим и решим более общую задачу: найти однопараметрическое семейство функций распределения трудовой активности популяций, инвариантных к дихотомической процедуре многократного разделения на „голову“ и „хвост“ квантильным методом [2].
Поставим в соответствие произвольно выбранной доли трудового коллектива долю выполненной ею работы по отношению к совокупному объему работ, выполненному всем коллективом. По оси абсцисс расположим доли коллектива в порядке убывания степени участия их в коллективном труде, а по оси ординат — соответствующую степень (которую будем трактовать как частоту) участия (рис. 1). По выборке можно построить гистограмму и эмпирическую
функцию распределения — кумуляту (ступенчатые фигуры на рис. 1) — выборочные аналоги плотности А (х) и функции распределения F (х) (гладкие кривые) соответствующей „статистики“ — индикатора активности членов коллектива, возможные значения которой принадлежат отрезку [0, 1] и принимают тем большую величину, чем меньше активность.
Рис. 1. Разбиение популяции на передовую („голова“) и остальную („хвост“)
части по методу Парето
С учетом вышесказанного имеет место следующее соотношение:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. 0
Доля коллектива
F& quot-(х) = /(х) & lt- 0- 0 & lt- х & lt- 1,
откуда следует, что функция F (х) на отрезке [0,1] выпукла (вверх).
Популяции „самоподобные к голове“
Осуществим следующую пошаговую процедуру.
1-й шаг. Задаемся произвольным q и находим соответствующий q-квантиль хц из уравнения:
q = (2)
2-й шаг. В точке хц отделяем от популяции хвост, оставляя лишь голову -отрезок [0, хц].
3-й шаг. Находим условную функцию распределения головы:
F (х)
F (х19)
4-й шаг. Задаемся тем же q, что и на первом шаге, и записываем соответствующее тождество для q-квантиля х2^
F (х 29) = q •F (х19) (3)
5-й шаг. Потребуем, чтобы (масштабная инвариантность!):
х
= х19 ^ х29 = х2 (4)
х^
С учетом (1), (2) и (3) имеем: Р (х^) = Р 2(х1д).
Продолжая эту процедуру при фиксированном q, отрезая от головы очередной хвост, оставляя у головы голову 2-го порядка, тем самым увеличивая на единицу индексы у соответствующих квантилей, получим после очередных пяти шагов: Р (х^) = Р 3(х1ч)
По индукции доказывается, что:
Р (х') = Р'-(х»), k = 1,2, …
Переходя к традиционному обозначению аргумента, получаем:
Р (х'-) = Р'- (х), к = 1,2, … (5)
Таким образом, функция распределения популяции F (x), удовлетворяющей требованиям типа (4), должна удовлетворять функциональному уравнению (5), смысл которого состоит в том, что если измерить долю особей популяции (голову), выполнивших произвольную (но фиксированную) долю общей работы, а затем от головы отделить такую же долю особей (голову 2-го порядка), то эта голова будет выполнять ту же фиксированную долю работы, но уже — головы 1-го порядка, и это будет справедливо для головы любого порядка.
Такие популяции, имеющие своеобразную фрактальную структуру и сохраняющие коэффициент подобия (скейлинг) при описанной дихотомической процедуре, будем называть «популяциями самоподобными (в направлении) к голове» (ПСГ).
Как известно [3], существует и притом единственная функция F (x) = xa (a Ф 0), x & gt- 0, удовлетворяющая функциональному уравнению (5).
Учитывая выпуклость функции распределения на отрезке [0,1],
F'- '-(x) = a (a — 1) xa-2 & lt- 0
Отсюда a & lt- 1.
Таким образом, популяция, самоподобная (в направлении) к голове, должна иметь функцию распределения в виде однопараметрического семейства степенных функций вида:
Fh (x) = xa (a Ф 0- a & lt- 1) — 0 & lt- x & lt- 1, (head = голова), (6)
в котором a — параметр формы, который, например, по методу Парето [2], вычисляется по формуле:
а = l°g_^ (7)
Решение (6) и формула (7), помимо того, что служат конкретным подтверждением того факта, что «степенные законы — неисчерпаемый источник самоподобия» [4, стр. 151], дают возможность вычислить единственный параметр этого закона.
Популяции «самоподобные к хвосту»
Теперь естественным образом возникает вопрос, существуют ли (по крайней мере, теоретически) популяции, «самоподобные (в направлении) к хвосту»?
Вначале выясним, какому функциональному уравнению должны удовлетворять функции распределения таких популяций.
Осуществим следующую пошаговую процедуру, в основных чертах аналогичную описанной выше для головы.
1-й шаг. Задаемся произвольным q и находим соответствующий q-квантиль хц из уравнения:
2-й шаг. В точке Хц отделяем от популяции голову, оставляя лишь хвост -отрезок [х1ф 1].
3-й шаг. Находим условную функцию распределения хвоста:
F (Х1д + х) ~ F (Х1д) (9)
1 — F () ()
4-й шаг. Задаемся тем же q, что и на первом шаге, и с учетом (7) записываем соответствующее тождество для q-квантиля х2ф
= F (Х1д + Х2д) — F (Х1д)
1 — F (х") '
откуда с учетом (1):
q = ^хц)
(8)
F (Х1д + Х2д) — F (Х1д) = F (Х1д) • 1 — F (Х1д)]
(10)
5-й шаг. Потребуем, чтобы (масштабная инвариантность!):
Х
73^ = Х1д ^ Х2д = Х1д (1 — Х1д) (11)
1 Х1д
Из (8) и (9) следует: F [l — (1 — x^)2 ] = 1 — [l — F ()].
Продолжая эту процедуру при фиксированном q, отрезая от хвоста очередную голову, оставляя у хвоста хвост 2-го порядка и увеличивая на единицу индексы у соответствующих квантилей, получим после очередных пяти шагов: f[1 — (1 — x1q)3 ]=1 -[1- F (x1q)].
По индукции доказывается:
F1 — (1 — X1q) k ]= 1 -[1 — F (X1q)], k = 1,2, —
Переходя к традиционному обозначению аргумента, получаем:
F 1 — (1 — X) k ]= 1 -[1 — F (X)]k, k = 1,2 — (12)
Таким образом, функция распределения популяции F (x), удовлетворяющей требованиям типа (11), должна удовлетворять функциональному уравнению (12), смысл которого состоит в том, что если измерить долю особей популяции (хвост), выполнивших произвольную (но фиксированную) долю общей работы, а затем от хвоста отделить такую же долю особей (хвост 2-го порядка), то этот хвост будет выполнять ту же фиксированную долю работы, но уже -хвоста 1-го порядка, и это будет справедливо для хвоста любого порядка. Такие популяции будем называть «популяциями самоподобными (в направлении) к хвосту» (ПСХ).
Ее функция распределения Ft (x) легко получается из Fh (x), если (исходя из смысла самоподобия к хвосту) в формуле для Fh (x) заменить x на 1- х, а F (x) — на 1- F (x):
F (x) = 1 — (1 — x) b, причем, поскольку выпуклость F (x) требует, чтобы
F& quot-(x) = - b (b-1)(1 — x) b-2 & lt- 0, то b & gt- 1.
Таким образом, популяция, самоподобная к хвосту, должна иметь функцию распределения в виде однопараметрического семейства функций вида:
в котором Ь — параметр формы, который, например, по методу Парето [2], вычисляется по формуле:
Легко проверяется, что (13) удовлетворяет функциональному соотношению (12).
Функции распределения ПСГ и ПСХ совпадают лишь в одном, тривиальном случае, когда, а = Ь = 1 — равномерное распределение ^(х) = х), единственное, самоподобное как к голове, так и к хвосту. В общем случае эти функции различны и в силу монотонности обеих функций, существует и притом единственная точка их пересечения. В частности, когда эта точка — точка Парето Р (1-q, q), параметры, а и Ь, как следует из (7) и (14), связаны простым соотношением: Ь = 1/а.
Наиболее компактный и симметричный вид функции распределения ПСГ и ПСХ приобретают, если их выразить через функцию бета-распределения:
где 1Х (у, ц) — неполная бета-функция с параметрами у, п, а Г (-) — гамма-функция.
^(х) = 1 — (1 — х) ь- Ь & gt- 1, 0 & lt- х & lt- 1(іаі1 = хвост),
(13)
Ь = д (1 — д)
(14)
(15)
С учетом (6), (13) и (15):
Fh (x- а) = 1х (а, 1) — а & lt- 1
(16)
^(х- Ь) _ Ц1, Ь) — Ь & gt- 1 (17)
Отсюда, с учетом (14) и (15), получаем соответствующие числовые характеристики:
для ПСГ (mh- математическое ожидание, о2к — дисперсия, ок — стандарт, Vh — коэффициент вариации головной части- аналогичный смысл имеют те же обозначения для хвостовой части).
а
(18)
(а +1)2(а + 2)' к тк ^(а +1)2 -1 '
для ПСХ:
т = -1-, (19)
' Ь +1 4 7
(Ь + 1)2(Ь + 2) ' '- т, ^Т+гЬ
С учетом (16) и (17) параметры, а для ПСГ и Ь для ПСХ можно оценивать по выборке объема п, применяя следующие формулы:
п
Л — л х_~ _ Ё X
а = -=, Ь = ^^-, в которых X = - - среднее выборочное.
1 _ XX п
«Золотые» пропорции
Возьмем производную по, а от о1 и приравняем нулю:
do к = 2 а + а — 1 _о
da (а + 2)2 (а +1)3 ,
откуда следует, что при:
а = р =Г1 (20)
дисперсия и стандарт ПСГ достигают своих максимальных значений, равных соответственно: (ой2)тах = 5р — 3 * 0,09- О) тах * 0,3.
л/5 -1
Следует обратить внимание на то, что число р =---* 0,618 есть не что иное, как «золотое сечение» (иногда «золотым сечением» называют чис-
лог = р +1 = ^ +1 * 1,618).
2 7
На практике «золотое сечение» никогда не появляется «случайно», его появление всегда связано с какими-то природными причинами, указывающими на наличие ритма, гармонии и красоты в исследуемых явлениях. В данном случае все приведенные выше числовые характеристики для ПСГ приобретают максимально компактный и красивый вид: тк = р2, о2 = р5, V = д/р.
Более того, если кривые функций распределения ПСГ и ПСХ пересекаются в точке Парето Р (1^, q) и параметр, а определен формулой (20), то математические ожидания ПСГ и ПСХ совпадают: т, = т = р, что равносильно,
Р +1
кстати, случаю Ь _ т.
Можно высказать следующее предположение, почему случай (20) занимает особое место:
Возьмем два крайних (идеальных) случая:
1) а _ 0 (о _0) — одна особь выполняет всю работу, остальные ничего не делают. Популяция выродилась.
2) а _ 1 (о _ 0,289 & lt- (ок)тах ~ 0,3) — все особи работают абсолютно одинаково (равномерное распределение).
Это тоже плохой вариант: для живых организмов тождество — это отсутствие эволюции и, как следствие, депопуляция.
Значит, должен существовать промежуточный, оптимальный вариант. Возможно, случай (20), дающий максимальный разброс относительно среднего, и есть тот самый оптимальный вариант организации работ среди особей популяции, позволяющей ей как открытой системе максимально адаптироваться к изменениям окружающей среды. На языке «голова/хвост в точке Парето» этот вариант дает «принцип 58/42», то есть 58% работы выполняют 42% особей, остальные 58% особей выполняют 42% работы.
С другой стороны, «золотые пропорции» в точке Парето обнаруживаются и при, а _ 0,5, то есть когда функция распределения ПСГ имеет вид:
F (х) = у/х (21)
В этом случае ч = 0,5 ^ q = р = 0,618−1 — q = 1 — р = 0,382, то есть абсцисса и ордината точки Парето оказываются «золотыми». При этом дисперсия и стандарт равны соответственно = 0,089- ок «0,3, то есть практически совпадают с максимальными значениями, так что можно говорить о «золотом коридоре» (0,5-
0,62) для параметра а.
Случай (21) на языке «голова/хвост в точке Парето» звучит так:
«62% работы выполняют 38% особей, остальные 62% особей выполняют 38% работы». Как видим, результат очень близкий к предыдущему. Поэтому, усредняя, можно с известной осторожностью высказать следующее предположение:
Наиболее естественной формой самоорганизации особей некоторой популяции типа ПСГ следует считать такую, когда 60% работы выполняет 40% особей и, следовательно, остальную часть работы (40%) выполняют 60% особей (принцип 60/40).
Большие отклонения от этого соотношения указывают на наличие каких-то внешних воздействий управляющего характера, являющихся источниками таких отклонений.
Эксперимент
В УГТУ была предпринята попытка проверить, насколько хорошо согласуются полученные выше результаты с практической деятельностью ППС данного вуза, учитывая наличие в вузе эффективно функционирующей системы сравнительной оценки деятельности и материального стимулирования ППС. В этой системе вся многогранная деятельность преподавателя разбита на шесть крупных разделов, и для каждого преподавателя по результатам учебного года рассчитывается итоговый индекс как линейная свертка частных индексов по каждому разделу. За отчетный был принят 2011−2012 учебный год.
По пяти разделам из шести удовлетворительных результатов в смысле согласованности эмпирического материала с теоретическими формулами получено не было, в то время как по первому разделу «Учебно-воспитательная работа» согласованность наблюдалась вполне приемлемая (она оценивалась по критерию хи-квадрат Пирсона на уровне значимости 0,05). При этом параметр, а принимает значения вблизи «золотого коридора». Графически эти результаты представлены на рисунках 2 и 3 и имеют следующее объяснение. Только в работе по первому разделу участвуют все преподаватели, и притом идут они довольно плотной группой, «выстраиваясь» в соответствии со своими естественными способностями, возможностями и желанием работать. В остальных разделах расслоение коллектива очень сильное за счет наличия показателей «экстра-класса», требующих для своего выполнения особых, порой незаурядных способностей и возможностей, в то время как довольно большой контингент имеет по некоторым из этих разделов нулевые (или близкие к нулевым) частные индексы.
Рис. 2. Эмпирическая (сплошная линия) и теоретическая (пунктир) функции распределения доли работы, выполненной за учебный год соответствующими долями преподавательского коллектива (292 человека) по разделу «Учебновоспитательная работа" — а _ 0,44
Рис. 3. Картина, аналогичная рисунку 2, только не для всего коллектива, а для его «головы» (численность 107 человек) — а = 0,49
Список литературы
1. Качала В. В. Основы теории систем и системного анализа. М.: Горячая линия-Телеком, 2007. 216 с.
2. Данилов Г. В. К вопросу дихотомической оценки деятельности коллектива // Сборник научных трудов УГТУ: Материалы научно-технической конференции (15−18 апреля 2008 г.). Ухта: УГТУ, 2008.
3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М.: Наука, 1979. 719 с.
4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск, РХД, 2001.
References
1. Kachala V. V. Osnovy teorii sistem i sistemnogo analiza [Fundamentals of systems theory and systems analysis]. Moscow: Hotline Telecom, 2007. 216 p.
2. Danilov G.V. K voprosu dikhotomicheskoy otsenki deyatel'-nosti kollek-tiva [On a dichotomous assessment of the team]. Sbornik nauchnykh trudov UGTU: Materialy nauchno-tekhnicheskoy konfe-rentsii (15−18 aprelya 2008 g.) [Proceedings of USTU: Materials Science and Engineering Conference (15−18 April 2008)]. Ukhta: USTU, 2008.
3. Ilin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov B. Kh. Matematicheskiy analiz [Calculus]. Moscow: Science, 1979. 719 p.
4. Shreder M. Fraktaly, khaos, stepennye zakony [Fractals, Chaos, Power Laws]. Izhevsk, RCD, 2001.
ДАННЫЕ ОБ АВТОРАХ
Данилов Георгий Владимирович, помощник ректора, доцент кафедры АИС,
кандидат технических наук, доцент
Ухтинский государственный технический университет
ул. Первомайская, 13, г. Ухта, 169 300, Россия
danilov@ugtu. net
Рочев Константин Васильевич, заведующий лабораторией информационных
систем в экономике, ассистент кафедры ИСТ, аспирант
Ухтинский государственный технический университет
ул. Первомайская, 13, г. Ухта, 169 300, Россия
krochev@ugtu. net
DATA ABOUT THE AUTHORS
Danilov Georgy Vladimirovich, Assistant Rector, Associate Professor of AIS, Candidate of Engineering Science, Associate Professor
Ukhta State Technical University
13, Pervomayskaya Street, Ukhta, 169 300, Komi Republic, Russia danilov@ugtu. net
Rochev Konstantin Vasilevich, Head of Laboratory of Information Systems in Economics, Assistant Professor of IST, postgraduate
Ukhta State Technical University
13, Pervomayskaya Street, Ukhta, 169 300, Komi Republic, Russia krochev@ugtu. net
Рецензент:
Мильков С. Н., канд. ф. -м. наук

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой